概率論習(xí)題2答案

1、2.1習(xí)題 22）拋擲一顆勻稱質(zhì)骰子兩次 ， 以 X 表示前后兩次出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和 ， 求 X 的概率分布，并驗(yàn)證其滿足 （2.2.2 ）式 。2.1解 ：樣本空間為(1,1),(1,2),.,(16),(2,1), ,(6,6) ，且每個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)的概率均1為 ，X 的所有可能的取值為 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 ，且有36P(XP(X122) P (1,1) ,P(X 3) P (1,2),(2,1) ,36 364) P (1,3),(3,1),(2,2) 336類似地 P（X5)P(X9)4565,P(X 6) , P(X 7) ,P(X 8) ,3636363643

2、214336, P(X 11) 2 136,P(X 10)36326,P(X 12) 36,X 的概率分布為pk23411136 18 12567815159 36 6 369 10 11 121 1 1 19 12 18 36滿足 ：12k2P(X k) 366 21 2 3 4 5366 2 5 6/2 13636k=1 ， 2,，試確定常數(shù) a.2.2 設(shè)離散隨機(jī)變量 X 的概率分布為 P X k ae ke12.2 解：由于 1P(X k) ae k a e 1 ，故 a1 e 1k1k11ee1 1 e 1 e2.3 甲 、乙兩人投籃 ， 命中率分別為0.7,和 0.4 ，今甲 、乙

3、兩人各投籃兩次 ，求下列事件的概率：2 ）甲比乙投中的次數(shù)多word 資料可編輯2.3解：設(shè) X,Y分別為甲 、乙投中的次數(shù) ，則有 X B(2,0.7),Y B(2,0.4)，因此有k k 2 k k k 2 kP(X k) C2k(0.7)k(0.3)2 k,P(Y k) C2k (0.4)k (0.6)2 k ,k 0,1,21 ) 兩人投中次數(shù)相同的概率為P(X Y) P(X k)P(Y k) 0.3142 k0P(X 1)P(Y 0) P(X 2) P(Y 0) P(Y 1)2 ) 甲比乙投中次數(shù)多的概率為P(X Y) P(X k)P(Y k) k00.56282.4 設(shè)離散隨機(jī)變量

4、 X 的概率分布為P X k1k ， k=1 ， 2 ， .求1 ) P X 2,4,6,. ； (2) P X 2.5 ；2.4 解：( 1) P 1 X 3 P(X 1) P(X 2) P(X 3) 1 2 3156 0.4152) P 0.5 X 2.5 P(X 1) P(X 2)1215135 0.22.5 設(shè)離散隨機(jī)變量 X 的概率分布為 P X k 1k5k=12，3，4，5.求1)P 1 X 3 ； (2) P 0.5 X 2.5 ；2.5 解：( 1) P X 2,4,6,.P(X 2k)k1k 1 22kk141k1/41 1/4 32) P(X 3) P(X k)1 1/8

5、k3k 3 2k 1 1/21 0.2542.6 設(shè) 事件 A在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為0.4 ，當(dāng)A發(fā)生 3次或 3次以上時(shí) ，指示燈發(fā)出信 號(hào)， 求下列事件的概率 .1)進(jìn)行 4 次獨(dú)立試驗(yàn) ， 指示燈發(fā)出信號(hào)word 資料可編輯2)進(jìn)行 5 次獨(dú)立試驗(yàn) ， 指示燈發(fā)出信號(hào)2.6 解：設(shè) X為 4次獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)事件 A 發(fā)生的次數(shù) ，設(shè) Y為 5 次獨(dú)立試驗(yàn)時(shí)事件 A發(fā)生的 次數(shù)，則有 X B(4,0.4),Y B(5,0.4)(1) 所求概率為 ：P(X 3) P(X 3) P(X 4) C430.43(1 0.4)4 3 C44 0.44 (1 0.4)4 44 0.43 0.6 0.44

6、 0.1792(2) 所求概率為 ：3 3 5 3 4 4 5 4P(Y 3) P(Y 3) P(Y 4) P(Y 5) C530.43(1 0.4)5 3 C54 0.4 4(1 0.4)5 45 5 5 5 3 2 4 5C55 0.45 (1 0.4)5 510 0.430.625 0.440.6 0.450.317442.7 某城市在長(zhǎng)度為 t(單位 ：小時(shí))的時(shí)間間隔內(nèi)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) X服從參數(shù)為 0.5t的泊 松分布 ，且與時(shí)間間隔的 2 無(wú)關(guān) ， 求下列事件的概率 .(1 )某天中午 12 點(diǎn)到下午 15 點(diǎn)末發(fā)生火災(zāi) ；(2 )某天中午 12 點(diǎn)到下午 16 點(diǎn)至小發(fā)生兩次火災(zāi)

7、 。2.7解：(1)設(shè) X為中午 12 點(diǎn)到下午 15 點(diǎn)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) ，根據(jù)題意可知 ，X服從參數(shù) 為 3 0.5 1.5 的泊松分布 ， 所求概率為1.50 1.5 1.5P(X 0) 1.5 e 1.5 e 1.5 0.223130!(2)設(shè) Y 為中午 12 點(diǎn)到下午 16 點(diǎn)發(fā)生火災(zāi)的次數(shù) ， 根據(jù)題意可知 ，Y 服從參數(shù)為4 0.5 2 的泊松分布 ， 所求概率為P(Y 2) 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) P(Y 1)20e20!2 e 2 1 3e 2 0.59399 1!2.8 為保證設(shè)備正常運(yùn)行 ，必須配備一定數(shù)量的設(shè)備維修人員 ，現(xiàn)有同類設(shè)備 180 臺(tái)， 且 各設(shè)

8、備工作相互獨(dú)立 ，任一時(shí)間設(shè)備發(fā)生故障的概率都是 0.01 。假定一臺(tái)設(shè)備由一人進(jìn)行word 資料可編輯修理 ，問(wèn)至小配備多小設(shè)備維修人員 ，才能 保證設(shè)備發(fā)生故障后得到及時(shí)維修的概率不小 于 0.99 ？ .2.8解：設(shè)X為180臺(tái)機(jī)器同時(shí)發(fā)生故障的臺(tái)數(shù) ，則 X B(180,0.01) P(1.8) ，設(shè)需要 n個(gè) 維 修 人 員 才 能 保 證 P X n 0.99 ， 即 P(X n 1) 0.01 ， 現(xiàn) 在P(X k)1.8kek!1.8于是 P(X k) 0.1 ，查表得 n 1 7,n 6 ，即 6 個(gè)維修 k n 1人員可滿足要求 。 其它2.9 某種元件的壽命 X(單位：小

9、時(shí) )的概率密度函數(shù)為x 1000,x 1000.1000 f (x)x20,求 5 個(gè)元件使用 1500 小時(shí)后 ， 恰有 2 個(gè)元件失效的概率2.9 解：設(shè)事件 A 為元件壽命大于 1500 小時(shí) ， 則p P(A) P(X 1500)500f(x)dx150010002 dxx1000|1500x10001500設(shè) Y為 5 個(gè)元件中壽命不大于 1500 小時(shí)的元件個(gè)數(shù) ，則Y B(5,1/ 3) ，所求概率為P(Y 2) C52 (1/ 3) 2 (1 1/3)5 210 192393802432.10 設(shè)某地區(qū)每天的用電 量 X(單位 ：百萬(wàn)千瓦 )是一連續(xù)型隨機(jī)變量 ，概率密度函數(shù)

10、為f(x) 120x(1 x),0,0 x 1, 其它 .假設(shè)每天供電 量?jī)H有 80 萬(wàn)千瓦時(shí) ，求該地區(qū)每天的供電 量不足 的概率 。 若每天供電 量上升 到 90 萬(wàn)千瓦時(shí) ，每天的供電 量不足 的概率是多小 ？word 資料可編輯2.10 解 ：（ 1）若供電量為 80 萬(wàn)千瓦小時(shí) ，則供電量不足的概率為1 2 1 2 3P(X 0.8) f (x)dx 12x(1 x)2dx12(x 2x2 x3)dx 0.02722） 若供電量為 90 萬(wàn)千瓦小時(shí) ，則供電量不足的概率為1 2 1 2 3P(X 0.9) f (x)dx 12x(1 x) 2dx12(x 2x2 x3)dx 0.02

11、3722.11 設(shè)隨機(jī)變量 K U（ 2,4） ，求方程 x2 2Kx 2K 3 0有實(shí)根的概率2.11 解 ：K 的密度函數(shù)為1, f (x) 6,0,2 x 4,其他，則方程有實(shí)根的概率為 ：p P4K24(2K3)0P K22K 30P (K 1)(K 3) 0P (K1)0,(K3)0 P (K1)0,(K3)04 111111P(K 3) P(K 1) dx dx3 6266632.12 設(shè)某型號(hào)的飛機(jī)雷達(dá)發(fā)射管的壽命 X（ 單位：小時(shí) ）服從參數(shù)為 0.005 的指數(shù)分布 ， 求下列事件的概率 （1）發(fā)射管的壽命不超過(guò) 100 小時(shí) ；（2）發(fā)射管的壽命超過(guò) 300 小時(shí) 。（3

12、）一只發(fā)射管的壽命不超過(guò) 100 小時(shí)，另一只發(fā)射管的壽命在 100 至300 小時(shí)之間 。1 x/200 f(x)200e0,2.12 解：X 的密度函數(shù)為 ：x 0,x01 ） 所求概率為word 資料可編輯P(X 100) 100 f(x)dxe x/200 |1000 1 e 0.5 0.39341(2 ) 所求概率為P(X 300) f(x)dx e x/200 |300 e 1.5 0.22313(3) 由于兩個(gè)事件相互獨(dú)立 ， 故所求概率為P(X 100)P(100 X 300) 1 e 0.5e 0.5 e 1.5 0.152.13 設(shè)每人每次打電話的時(shí)間 X(單位：分鐘)服從

13、參數(shù)為 0.5 的指數(shù)分布 ，求 282 人次所打電話中 ， 有兩次或兩次以上超過(guò) 10 分鐘的概率 。2.13解：設(shè)A為事件 “打電話時(shí)間超過(guò) 10分鐘”，X為打電話時(shí)間 ，則X服從參數(shù) 0.5的 指數(shù)分布 ，即 X Exp(0.5) ，于是p P(A) P(X 10) f(x)dx 0.5e 0.5xdx e 0.5x |10 e 5 0.00674設(shè) Y 為 282 人 中 “ 打 電 話 時(shí) 間 超 過(guò) 10 分 鐘 ” 的 人 次 ， 則 Y B(282, p) P(282p) P(1.9) 。所求概率為P(Y 2) 1 P(Y 1) 1 P(Y 0) P(Y 1)1 e 1.9 1

14、.9e 1.9 1 2.9e 1.9 0.566252.14 某高校女生的收縮壓 X(單位：毫米汞柱 )服從 N (110,12 收縮壓在 100 至 120 之間的概率為 word 資料可編輯 ) ,求該校某名女生 ： (1)收縮壓不超過(guò) 105 的概率 ；P(X 105) F (105)105 11010( 0.42) 1 (0.42)1 0.6628 0.3372(2 )收縮壓在 100 至 120 之間的概率 。2.14 解 ：( 1)收縮壓不超過(guò) 105 的概率為 ：P(100 X 120) F (120) F (100)120 11010100 11010(0.83) ( 0.83

15、) 2 (0.83) 1 2 0.7967 1 0.59342.15 公共汽車門的高度按成年男性與車門碰頭的機(jī)會(huì)不超過(guò) 0.01 設(shè)計(jì)的 ， 設(shè)成年男性的2身高 X(單位：厘米 )服從正態(tài)分布 N (170,6 2 ) ，問(wèn)車門的最低高度應(yīng)為多小 ？2.15 解：設(shè)車門最低高度為 a，則 P(X a) 0.01，即1 P(X a) 0.01F(a) P(X a) 0.99a 17060.99反查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表得 (a 170)/6 2.33，即 a 170 6 2.33 183.98 184，即車門最低高度為 184 厘米 。2.16 .20 同類型產(chǎn)品中有 2 件次品 ，其余為正品 ，

16、今從該 20 件產(chǎn)品中每次任取 4 次， 每次 只取 1件，取后不放回 ，以X表示 4次取到正品的件數(shù) ，求 X的分布律與分布函數(shù) .2.16 解：這是一個(gè)超幾何分布問(wèn)題 ，即 X的概率分布為pk P(X k)C2kC14k8C240,k 0,1,2即 X 的分布律為C20C148 0C41860p0P(X0)44C20C20951 4 1C 12C148 12C138432p1P(X0)44C20C2095C22C148 2C1283p2P(X0)44C20C2095X 0 1 2pk60323959595X 的分布函數(shù)為x00x11x2x20,60F(x) P(X x)9952951,3

17、只， 以 X2.17 . 袋中有同類型的小球 5 只，編號(hào)分別為 1,2,3,4,5 ，今在袋中任取小球 表示 3 總小球的最小號(hào)碼 ， 求隨機(jī)變量 X 的分布律與分布函數(shù)2.17 解：X 的所有可能取值為 1，2，3，其概率分布為pk610P(X 1) C42310C5310,C323,C5310,11,C5310,36P(X 2)P(X 3)110X 的分布函數(shù)為 ：0,x16,1x21092 x 3101,x3F(x) P(X x)2.18. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為word 資料可編輯0,F(x) ln x,x 1,1 x e1, x e1 )求 P X 2 , P 0 X

18、3 , P 2 X 2.5 .(2)求 X 的密度函數(shù) .2.18 解： (1) 因?yàn)?X 是連續(xù)型隨機(jī)變量 ，故P(X 2) P(X 2) F(2) ln2 0.69315, P(0 X 3) P(0 X 3) F(3) F(0) 1 0 1,P(2 X 2.5) F(2.5) F(2) ln2.5 ln2 ln1.25 0.223142) X 的密度函數(shù)為x 1,1 x e, xx e 0,1 x e, 其他，0,1f (x) F(x) ,x0,2.18. 設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為x2a be 2F(x)0,x 0 x01)求常數(shù) a和b,(2)求X 的概率密度函數(shù) ，(3)求P

19、( ln4 X ln16)2.19 解：( 1)由于1 F( ) lim F(x) a，得a 1，又由于 F(x)在 x 0點(diǎn)右連0,b 1續(xù)，可得0 F(0) lim F(x) a b，即得 a b2) X 的密度函數(shù)為f (x) F(x)xe x2 /20,x 0,x0ln 41e2ln 1 ln1 e 2 e 3 41 1 1 0.252 4 4word 資料可編輯2.20. 設(shè)型隨機(jī)變量 X 的概率分布為X0/23 /2pk0.30.20.40.1求型隨機(jī)變量 Y 的概率分布 :(1) Y (2X)2 , (2) Y COS(2X).2.20 解：(1)由 X 的分布律得X0/23 /

20、2pk0.30.20.40.1Y202242于是即得 Y (2X)2 的分布律 ：Y0242pk0.20.70.1(2) 由 X 的分布律得X0/23 /2pk0.30.20.40.1Y1111于是即得 Y COS(2X) 的分布律 ：Y11pk0.70.32.21. 設(shè)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為word 資料可編輯0, x 10.3, 1 x 1F(x)0.8, 1 x 21, x 21)求 X的概率分布 (2)求 y x X的概率分布 。2.21 解：( 1) X 的概率分布為X112pk0.30.50.22)|X | X的概率分布為|X|12pk0.80.22.22. 設(shè)隨機(jī)變量 X

21、N (0,1) ，求下列隨機(jī)變量 Y 的概率密度函數(shù)(1)Y 2X 1; (2)Y e X; (3)Y X2，求Y 1 X 的密度函數(shù) .2.22 解 ：X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為 ：1x2fX(x) (x) e 2 ，F(xiàn)X(x)(x) P(X x)，2且有 FX(x)(x) (x) fX (x)(1)Y 2X 1的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY (y),FY(y) P(Y y)，其中y 1 y 1FY(y) P(Y y) P(2X 1 y) P X ，22因此 Y 的密度函數(shù)為word 資料可編輯fY (y) dFY(y)dy222) Y eFY(y)y121y 1 21(y 1)2222

22、 2 exp8X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為 fY (y),FY (y) P(Y y)，其中11exp y 1 y 1 1222FY(y) P(Y y) P(e X y)0,y0P(X ln y), y 0P(X ln y) 1 P(X ln y) 1 P(X ln y)1 ( ln y)(ln y)于是 Y 的密度函數(shù)為0,fY(y) FY(y)(ln y)(ln y),y 0, y00,y 0,0,1y (ln y), y 0,y01exp y2(ln y)y023)Y X 2的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY (y),FY (y) P(Y y)，其中2FY (y) P(Y y) P(X2 y

23、)0,P( y X y,y 0,y0于是 Y 的密度函數(shù)為0,( y) ( y),y 0,y00,2 ( y) 1,y 0,y 0.0, y 0, 0, fY (y) FY (y)2 ( y)( y), y 01y ( y),y 0,y0y 0, y02.23. 設(shè)隨機(jī)變量 X U(0, ) ，求下列隨機(jī)變量 Y 的概率密度函數(shù)word 資料可編輯(1) Y 2ln X; (2)Y cosX; (3)Y sin X.，求Y 1 X 的密度函數(shù)2.23 解 ： X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為 ：1/ , 0 x ,fX(x)0, 其他， ， FX(x) P(X x)，且有 FX(x) fX (x

24、)1)Y 2ln X 的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY (y),FY (y) P(Y y)，其中yyFY(y) P(Y y) P(2ln X y) PX e2FXe2 ，因此 Y 的密度函數(shù)為fY (y) FY (y)21 e2 ,0，e2y ey21ey22y0 e2 ，2其他，0，ye21 ey2 ,2) Y cosX 的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為1y1e2 1/ ,22 0,y 2ln ，其他，y0 e2,其他，fY(y),FY(y) P(Y y)，其中FY (y) P(Y y) P(coxX y) P arccosy XFX( ) FX (arccosy)1 y20,0 arccosy ,

25、其他，1 y20,1 y 1,其他，于是 Y 的密度函數(shù)為fY (y) F1Y (y) f X (arccosy)(arccosy) fX (arccosy) 2 1 y23)Y sinX 的密度函數(shù)和分布函數(shù)分別為fY(y), FY(y) P(Y y)，其中FY(y) P(Y y) P(sin X y) P 0 X arcsin y) P( arcsin y XFX (arcsiny) FX(0) FX ( ) FX ( arcsiny)于是 Y 的密度函數(shù)為word 資料可編輯fY(y) FY(y) f X (arcsin y)(arcsin y) fX( arccos y)(arccos

26、 y)112 fX (arcsin y) 2 fX ( arcsin y)1 y21 y211 y20,11 y20,221 y20,0 arcsin y ,其他，0 arcsin y其他，11 y20,0 arcsin y ,其他，20 arcsin y ,其他，0 arcsin y ,其他，0 y 1,其他，第二章綜合練習(xí)1. 填空題1） 已知隨機(jī)變量 X 的分布列為X0123Pk0.1 0.20.4 p則： p = 0.3 。x（ 2） 設(shè) X 的分布函數(shù)為 F （x）1 e ， x 0，則 PX 20，x 0word 資料可編輯P X 3 ； X 的概率分布 f(x)0x2其它則 P

27、X 11，3 ) . 設(shè) X 的 概 率 分 布 為 f (x) 2，0，P X 24) 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率密度為 f (x)Acosx， x 2 ，則：系數(shù) A=0，其它P0 X =5).設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為則Y 2 X 2的分布律為3， X 的分布函數(shù) F(x)為6 ) .設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為 P(X K)A ， K 1,2, ，0 ， 則常數(shù)K!(7) 若隨機(jī)變量 X的概率密度為 f (x)ex0xx 00，則當(dāng) C時(shí)，有X02P111424P(X C) 1 。2(8).設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為 f (x)2x00 x 10其他x 1，對(duì) X 進(jìn)行三次獨(dú)立重復(fù)觀察，

28、用Y 表示事件1(X )出現(xiàn)的次數(shù) ，則 P(Y 2)2word 資料可編輯0,x 0,0 x , 則 A=2x.2(1)設(shè)隨機(jī)變量X 的概率密度為對(duì)任意實(shí)數(shù) a 有()a2.選擇題A F( a) 1 f (x)dxC F( a) F(a)(9).設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)為 F(x) Asin x,1,， P(| X | )6f(x)，且 f ( x) f(x) ， F(x)是 X的分布函數(shù) ，則1aB. F( a) 2 0 f (x)dxD. F( a) 2F(a) 12)下述函數(shù)中 ， 可作為某個(gè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)的是( )A.F(x)11 x211B. F(x) 2 arctan

29、xC.F(x) 2(1 e ),0,x 0;x 0.3222AabB. a ，b5533131b3Ca，bD. a ，22223)xD. F(x)f(t)dt，其中f (t)dt 1。3)設(shè) X1， X2 是隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為 F1(x) ， F2(x) ，為使F(x) aF1(x) bF2(x)是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù) ，在下列給出的各組數(shù)中應(yīng)取4x , 0 x 14設(shè)隨機(jī)變量 X 的密度函數(shù)為 f (x) ，則使 P(X a) P(X a)0, 其它word 資料可編輯成立的常數(shù) a (A) 4 2(B) 4 2(C) 21(D) 1 4125.設(shè) X 的概率分布為Ax，f(x)0，0x1其它，則 PX 1=(2)。(A) 34( B) 13(C) 14(D ) 12均服從正態(tài)N( ，42)，Y N( ，52) ， 記p1 P X 4 ，p2 PY5 ，則 (A) 對(duì)任何實(shí)數(shù)都有 p1 p2(B) 對(duì)任何實(shí)數(shù) 都有 p1 p2(C) 僅對(duì) 的個(gè)別值有 p1 p2(D) 對(duì)任何實(shí)數(shù) 都有 p1 p2計(jì)算