用叉乘求法向量

1、用叉乘求法向量平面法向量的求法及其應(yīng)用一、 平面的法向量1、定義：如果 a ，那么向量 a 叫做平面 的 法向量。平面 的法向量共有兩大類(lèi)(從方向 上分)，無(wú)數(shù)條。2、平面法向量的求法方法一 ( 內(nèi)積法 ): 在給定的空間直角坐標(biāo)系中， 設(shè)平面 的法向量 nr (x, y,1) 或 nv (x,1,z)，或 nr (1,y, z) ， 在平面 內(nèi)任找兩個(gè)不共線的向量 ar,br。由 rn ，得 nr ar 0且nr br 0，由此得到關(guān)于 x, y的方程組， 解此方 程組即可得到 rn 。方法二：任何一個(gè) x,y,z的一次次方程的圖形是平 面；反之，任何一個(gè)平面的方程是 x,y,z的一次方 程

2、。 Ax By Cz D 0 (A,B,C不同時(shí)為 0) ，稱(chēng)為平面的一般 方程。其法向量 n (A,B,C);若平面與 3 個(gè)坐標(biāo)軸的 交點(diǎn)為 P1(a,0,0),P2(0,b,0),P3(0,0,c) ,如圖所示 ,則平面方程 為: ax by cz 1,稱(chēng)此方程為平面的截距式方程， 把它 化為一般式即可求出它的法向量。方法三 ( 外積法 ): 設(shè) , 為空間中兩個(gè)不平行的非零向量， 其外積 a b為一長(zhǎng)度等于 |a|b |sin ，(為 , 兩者交角，且0 )，而與 , 皆垂直的向量。通常我們采取右手定則，也就是右手四指由 的方向轉(zhuǎn)為 的 方 向時(shí) ， 大拇 指 所 指 的方 向 規(guī) 定

3、 為 a b 的 方 向 , a b b a 。設(shè)a (x1,y1,z1),b (x2,y2,z2),則: a b注： 1、二階行列式 :M cacy1 z1y2 z2y1y2ad cb；2、適合右手定則。)例1、 已知， a (2,1,0), b ( 1,2,1) ， 試求( 1)： a b;(2)： b a.Key: (1) a b (1, 2,5) ;(2)b a ( 1,2,5) 例 2、如圖 1-1,在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 ABCD 求平面 AEF 的一key個(gè): 法向法量向n AF AE (1,2,2) 二、 平面法向量的應(yīng)用A1B1C1D1中， r 量n。1、 求空間角 (1)、

4、求線面角： 如圖 2-1， 設(shè) n 是平面 的法向量， AB是平面 的一條斜線， A ，則 AB 與平面 所成的角為：Bn 圖C圖 2-1-1: 2 n,AB圖 2-1-2: n,AB 2n AB arccos|n| |AB|n AB|cos n,AB |arccos|n| |AB|2平面角為：mnm,narccos|m| |n|圖 2-2）m,n arccos m n （圖 2-3）|m| |n| 兩個(gè)平面的法向量方向選取合適 , 可使法向量夾 角就等于二面角的平面角。約定，在圖 2-2 中， m的方向?qū)ζ矫?而言向外， n 的方向?qū)ζ矫?而 言向內(nèi)；在圖 2-3 中， m的方向?qū)ζ矫?而言

5、向 內(nèi)，n 的方向?qū)ζ矫?而言向內(nèi)。我們只要用兩個(gè) 向量的向量積 （簡(jiǎn)稱(chēng)“外積”，滿足“右手定則”） 使得兩個(gè)半平面的法向量一個(gè)向內(nèi)一個(gè)向外， 則 這兩個(gè)半平面的法向量的夾角即為二面角 l 的平面角。2、 求空間距離（1）、異面直線之間距離 : 方法指導(dǎo)：如圖 2-4, 作直線 a、b 的方向向量a、 b ，a求 a、b 的法向量 n，即此異面直線 aB、 b 的b公 垂 線的方向向量；AB；a、b 間在直線 a、b 上各取一點(diǎn) A、B， 求向量 AB在 n上的射影 d，則異面直線 的距離為nBNA 外圖一點(diǎn)， 點(diǎn)d |AB?n|, 其中 n a,n b,A a,B b|n|（2）、點(diǎn)到平面的

6、距離 : 方法指導(dǎo)： 如圖 2-5,若點(diǎn) B 為平面 Ana圖為平面內(nèi)任一點(diǎn)，平面的法向量為 n ，則點(diǎn) P 到 平面的距離公式為 d |AB?n|n|之間的距離：nuuur r AB n（ 3）、直線與平面間的距離 : 方法指導(dǎo)：如圖 2-6,直線 a與平面|nr | ，其中 A ,B a。 nnr 是平面 的法向量 Bmaa（ 4）、平面與平面間的距離 : 方法指導(dǎo)：如圖 2-7,兩平行平面 , 之間的距離：圖d |AB?n|，其中 A ,B 。nr 是平面 、 |n|的法向量。aa3、證明（ 1）、證明線面垂直：在圖 2-8 中,m 向 m 是平面 的法向量， a是直線 a 的方向向量，

7、證明平面的法向量與直線所在向量共線 （ m a ）。（2）、證明線面平行： 在圖 2-9中,m向是平面 的 法向量， a是直線 a 的方向向量，證明平面的法 向量與直線所在向量垂直（ m?a 0）。（3）、證明面面垂直： 在圖 2-10中，m是平面 的圖n ）。法向量， n是平面 的法向量，證明兩 平面的法向量垂直（ m?n 0）mD 圖C（ 4）、證明面面平行：在圖 2-11 中, m 向是平面 的法向量， n 是平面 的 法向量，證明兩平面的法向量共線（三、高考真題新解1、（ 2005 全國(guó) I，18）（本大題 滿分 12 分）已知如圖 3-1,四棱錐 P-ABCD 的底面為直角梯形， A

8、B DC，DAB 90 ,PA 底面 ABCD ，且PA=AD=DC= 21AB=1，M 是 PB 的中點(diǎn)）證明：面 PAD面 PCD ；）求 AC 與 PB 所成的角； ）求面 AMC 與面 BMC 所成二面角的大小解:以 A 點(diǎn)為原點(diǎn) ,以分別以 AD，AB，AP 為 x 軸，y 軸， z軸，建立空間直角坐標(biāo)系 A-xyz 如 圖所示.(I). AP (0,0,1)， AD (1,0,0) ，設(shè)平面 PAD 的法向量為m AP AD (0, 1,0)又 DC (0,1,0) ， DP ( 1,0,1) ，設(shè)平面 PCD 的法向量為 n DC DP (1,0,1)m?n 0， m n ，即平

9、面 PAD 平面 PCD。AC?PB10(II ). AC (1,1,0) ，PB (0,2, 1) ， AC,PB arccos arccos| AC| |PB|5(III ). CM ( 1,0,12) ， CA ( 1, 1,0) ，設(shè)平在 AMC 的法向 量為 m CM CA (21, 12,1).又 CB ( 1,1,0),設(shè)平面 PCD 的法向量為11n CM CB ( , , 1).22m,narccos m?n arccos( 2).|m| |n| 3與面 BMC 所成二面角的大小為arccos23面 AMC2 arccos( ). 或32、(2006 分 12 分 ) 如圖

10、3-2 ，在長(zhǎng)方體 ABCDA1B1CM是已知 AB AA1 a， BC 2 a，的中點(diǎn)年云南省第一次統(tǒng)測(cè) 19 題) ( 本題滿（ ） 求證： AD平面 A1BC；（ ） 求證：平面 A1MC平面 A1BD1；( ) 求點(diǎn) A 到平面 A1MC的距離。解: 以 D 點(diǎn)為原點(diǎn) , 分別以 DA,DC,DD1為 x 軸,y 軸 ,z 軸, 建立空間直角坐標(biāo)系 D-xyz 如圖所示 .(I). BC ( 2a,0,0), BA1 (0, a,a), 設(shè)平面 A1BC 的法向量 為 n BC BA1 (0, 2a2, 2a2 )又 AD ( 2a,0,0) , n?AD 0, AD n,即 AD/

11、平面 A1BC. (II). MC ( 22a,0,a), MA1 ( 22 a, a,0) , 設(shè)平面 A1MC的法向 量為 : m MC MA1 (a2, 2 a2, 2 a2),22又 BD1 ( 2a, a,a), BA1 (0, a, a) ,設(shè)平面 A1BD1 的法向量 為: n BD1 BA1 (0, 2a2, 2a2) ,m?n 0, m n,即平面 A1MC 平面 A 1BD 1.(III ). 設(shè)點(diǎn) A到平面 A1MC的距離為 d,2 2 2 2 2m MC MA1 (a2, a2,a2 )是平面 A1MC 的法向量 ,22MA( 2 a,0,0),A 點(diǎn)到平面 A1MC的距離為 : d|m?MA|m|四、 用空間向量解決立體幾何的“三步曲（1）、建立空間直角坐標(biāo)系 （利