量子力學的作業(yè)提要

1、量子力學的復習提要、 量子理論基礎1、熱輻射普朗克量子假說：物體發(fā)射或吸收電磁輻射只能以“量子”方式進行，每個能量子的能量 為 h 。2、光電效應愛因斯坦光子假說 ： 光和粒子相互作用時表現(xiàn)出粒子 性，每一個光量子的能量 E 與輻射頻率 的關系 E h 。3、康普頓效應h光量子具有動量， p E/c h 在定量上 是正確的；在微觀的單個碰撞事件 中，動量和能量守恒定律仍成立。4、玻爾理論原子具有離散能量的 定態(tài) ，兩個定態(tài)之間的 量子躍遷 的概念以及 頻率條件：h En Em.5、德 布 羅 意 的 波 粒 二 象 性 假 設德布羅意波 物質(zhì)波695de Broglie relationE二、

2、量子力學的基本框架1、量子系統(tǒng)的狀態(tài)用波函數(shù)描述 。 波函數(shù)的概率詮釋(r) 2 x y z：在 r 點處的體積元 d x y z中 找到粒子的概率 。 態(tài)疊加原理如 1, 2 , , n, 等都是體系的可能696狀態(tài)，那末它們的線性疊加態(tài)c1 1 c2 2cn ncn n 也是這個體系的一個可 n能狀態(tài)，2 、描寫物理系統(tǒng)的一個力學量，對應于一個線性厄米算符。p? i ，本征值 p本征函數(shù)p (x)1i p x /e (2)3L?r p?i r(L?2, L?z) 的 共同 本征 函數(shù) 是球 諧函 數(shù)697Ylm( ,L2 Ylm( ,) l(l 1) 2Ylm( , ) ，LzYlm( ,

3、 ) m Ylm( , )對易式 A?, B? A?B? B?A?. 基本對易式 x , p i 角動量對易式L?x, L?x 0,L?y, L?y 0,L?z, L?z 0,L?x, L?y i L?z, L?y, L?z i L?x，L?z, L?x i L?yL?2, L? 0. ( x, y,z)698厄米算符的本征值為實數(shù)， 對應不同本 征值的本征矢相互正交。3 、任一狀態(tài)的波函數(shù) ，都可以用力 學量算符的本征函數(shù)系， 或一組力學 量完全集的共同本征函數(shù)系來展開。當系統(tǒng)處在由波函數(shù) 所描述的狀 態(tài)時，每次測量一個力學量所得到的結 果，只可能是與該力學量相對應的算符 的所有本征值中的一

4、個。 矚慫潤厲釤瘞睞櫪廡賴。對與算符 A?相應的力學量進行足夠 多次的測量，所得的平均值 A是 與 A?699的內(nèi)積 ( , A? ) ，同 與其自身的內(nèi)積 ( , ) 的商，即A ( , A? ).A ( , )或者說，對與算符 A?相應的力學量進行 測量，每次測量的結果取 A?的某一本征 值 An 的概率 wn，等于 對 A?的本征函數(shù) 系的展開式中， 相應于本征函數(shù) n那項 的系數(shù) ( n, ) 的模方，即 聞創(chuàng)溝燴鐺險愛氌譴凈。wn ( n, ) 2.4、態(tài)函數(shù)隨時間的演化遵從薛定諤方程iH? ,t700其中 H? 是系統(tǒng)的哈密頓算符， 當哈密頓算符 H?不顯含時間 t 時，對應的定態(tài)

5、薛 定諤方程（能量本征值方程）為H?5、系統(tǒng)內(nèi)任意兩個全同粒子互相交換，都不會改變系統(tǒng)的狀態(tài)。玻色子： s 0, ,2 ,3 ,費米子： s 1/ 2,3/ 2 ,5/ 2 ,7 /2 ,泡利不相容原理：不可能有兩個全同的費米子處于同一 個單粒子態(tài)7016、旋與軌道角動量的基本內(nèi)容要清自旋算符與軌道角動量的代數(shù)類 似。7 、 氫原子 能級特點，簡并度。波函數(shù)由徑 向和角度兩部分構成。、基本計算能力要具備1、 基本例題和作業(yè)題要掌握一維無限深勢阱，線性諧振子，勢壘 穿透7022、波函數(shù)的概率詮釋，定態(tài)的概念與判3、重點在前三章中的基本內(nèi)容。4、補充習題與參考答案補充習題 1（選做）、已知局限在

6、x 0 到nxa 范 圍 內(nèi) 運 動 的 粒子的歸一化波函數(shù)為2 sin( ), 0xan(x)0,a a ，計算其動量和動能平 elsewhere均值。解：動量算符為 p? i x ，22動能算符為 p?2 /2m22m x703動量的平均值為api0i 2 aa0 i 2 n a動能的平均值為2m2a sin( ma 0 2 n 2 a(n )2 ma a 0*n* (x)n(x)dxxsin( ) sin( )dxa x aa()a02n* (x) 2 n(x)dx0 n x2 n2 nx) 2 sin()dxa x a222 n 2ma2nxnxx2nxsin2()dxa補充習題選做）

7、為H21m(p22m2 2 2m2 02x2) ，2m 0 1/ 4 2( ) ( 0 ) exp(sin(n x )cos( n x)dx 0 aa、簡諧振子的能量算符基態(tài)的歸一化波函數(shù)為/ 2)，其中 ( m 0 / )x 。704計算其動量和能量的平均值解：動量的平均值為*p i0* (x)0(x)dxxi e 2 /2 e 2/2di e 2/2d 0x動能的平均值為E0* (x)H 0(x)dx2m0* (x)( 2x22 2 2 * m2 02x2) 0* (x)dx2 m 02me 2 /2)e / 2dx殘騖樓諍錈瀨濟溆塹籟。補充習題 3（選做） 、補充習題 1 中的波函 數(shù)是

8、否動量的本征函數(shù)？是否動能的本征 函數(shù)？如果是，本征值是多少？705解：( 1)p? n (x) ix不是本征函數(shù)n(x)i 2 sin(axnxa)i2acos( ) aa2)p?22mn(x)2m x2 n(x)22msin(nx)2ma2n(x)是本征函數(shù)，本征值為2 2 2 n 2ma2 。補充題 4(選做)：在狀態(tài) ( ) 1 cos 中，討論 l?z 的值，并求 lz? 1 im解： l?z 的本征函數(shù)為e ，本征值為m , m 0, 1, 2, 3,.706but( ) 1 21(ei e) 121i2e1 i 12 ei2顯然， ( ) 1 cos 是由 l?z的兩個本 征函數(shù)疊加而成，這兩個本征態(tài)對應 于 lz，且取 and - 的概率相同，各為 12 2 12 。l?z 的本征值自然為零11 lz 12. 21( ) 0。補充題 5 (選做) ：粒子在一維無限深 勢阱中運動，對于基態(tài)求： x p ?707解：寬為 a 的一維無限深勢阱中