初中數(shù)學(xué)思想的例題淺談

1、淮南市2009年數(shù)學(xué)學(xué)科參評(píng)論文 初中數(shù)學(xué)思想的例題淺談 作者 宮明星 單位 淮南一中 電話【摘要】 教學(xué)中教會(huì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想，掌握思想方法，可以使學(xué)生在解題時(shí)，尋求出已知和未知的聯(lián)系，提 高學(xué)生分析問(wèn)題的能力， 從而使學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和能力有所提高。數(shù)學(xué)思想方法的滲透、 展現(xiàn)是借助于數(shù)學(xué)知識(shí)、 技能這些載體的，離開(kāi)了具體內(nèi)容，是無(wú)法向?qū)W生滲透、傳授數(shù)學(xué)思想方法的。 【關(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想；分析能力；指導(dǎo)作用 數(shù)學(xué)課的教學(xué)，是使學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識(shí)和技能，從而形成解決問(wèn)題的能力的過(guò)程。 而在此過(guò)程 中，數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，直接影響了學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和水準(zhǔn)。 初中數(shù)學(xué)的教學(xué)就是要

2、使學(xué)生獲得 知識(shí)技能和一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想， 從而為接受更高教育的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)本備。 初中學(xué)生的理解和 接受能力是比較有限的，所以教學(xué)中所涉及到的數(shù)學(xué)思想也是普遍和易懂的。在數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)過(guò) 程中，幾乎沒(méi)有哪位數(shù)學(xué)教師單純?yōu)榱私淌跀?shù)學(xué)思想而刻意單獨(dú)作文字闡述，而基本上是在一些特 定的情境或者以例題、習(xí)題為載體，通過(guò)解決問(wèn)題或者解答題目逐步滲透數(shù)學(xué)思想。 從而通過(guò)較長(zhǎng) 一段時(shí)間的該方式的教學(xué)，使學(xué)生能夠形成以一定的思想為指導(dǎo)解決問(wèn)題的方法。 教學(xué)中教會(huì)學(xué)生 建立數(shù)學(xué)思想，掌握思想方法，可以使學(xué)生在解題時(shí)，尋求出已知和未知的聯(lián)系， 提高學(xué)生分析問(wèn) 題的能力，從而使學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和能力有所提高。 或

3、許直到初三畢業(yè)，好多學(xué)生也不能敘述到底 有哪些數(shù)學(xué)思想，也說(shuō)不出某某數(shù)學(xué)思想到底是什么含義， 但是他們能夠?qū)芏嗬}或者習(xí)題的內(nèi) 容加以分析，進(jìn)而利用長(zhǎng)期鍛煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決，這就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想最樸素的目的。 下面，筆者對(duì)初中所涉及的幾種基本數(shù)學(xué)思想舉例說(shuō)明。 一符號(hào)思想 例1、根據(jù)下表中的規(guī)律，從左到右的空格中應(yīng)依次填寫(xiě)的數(shù)字是（） 000 110 010 111 001 101 A. 100，011 B. 011， 100 C. 011, 101 D. 101， 110 解析：從表格中圖形與相應(yīng)代表的數(shù)之間關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)代表 0、1的圖形，選B. 例2、已知： c2c22c3 2223-

4、 33 8 328， 4彳 15 2 452 5 455 15 2424 ，右 b2 b 貝U a + b = 10 10 一符合刖面式子的規(guī)律， aa 解析：觀察已知的四個(gè)等式我們發(fā)現(xiàn)：等式的左邊是一個(gè)整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，且整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子相 同，分?jǐn)?shù)的分母等于整數(shù)的平方減 1，等式的右邊是左邊的整數(shù)的平方與左邊的分?jǐn)?shù)的積，從上述 規(guī)律可以得到式子10-102-中b 10, a 102199，所以a b 109. aa 評(píng)注：這種題形式多樣，學(xué)生感到熟悉又易于理解，具有較強(qiáng)的探索性，求解過(guò)程反映了課程 標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等因此既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，又 要加強(qiáng)此種題型

5、的訓(xùn)練和研究，切實(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力 二整體思想 整體思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握已知和所求之間 的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理來(lái)解決問(wèn)題的方法利用整體思想往往能夠避免局部思考 帶來(lái)的困惑. 解方程組 2002x+2003y=2001 解方程組 2003x+2002y=2004 分析：如果選用代入法解答，比如由得, 2001- 2003y 2002 ,再代入，得 2003X 2001- 2003y 2002 )+2002y=2004 解答起來(lái)十分麻煩 如果選用加減法，比如，X 2003-X 2002,可以消去x,得 2003 X 2003y-

6、2002 X 2002y=2001 X 2003- 2004 X 2002 形式也很復(fù)雜，不易求解 注意到兩個(gè)方程的系數(shù)正好對(duì)調(diào)這一特征，先將兩方程相加，+，得 4005x + 4005y = =4005 化簡(jiǎn)，得x+y=1 再將兩方程相減，-， 得 -x + y : =-3 即 x-y=3 由、組成方程組，得 x + y =1 x - y =3 解這個(gè)方程組得 x = 2 y = -1 例4如圖，矩形ABCD被兩條對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，如果四個(gè)小三角形的周長(zhǎng)的和為 86cm, 一條對(duì)角線長(zhǎng)是13cm，那么矩形的面積是多少？ ?1 D 分析 本題要求矩形的面積，根據(jù)面積公式 S=ABBC,只

7、需求出AB- BC即可 解根據(jù)題意，有 AB+BC+CD+DA =86-2（ AC+BD ） =86-4 X 13 =34. AB+BC=17. 兩邊平方，得 AB 2+2AB BC+BC 2 =289, 又 AB2+BC2=AC2=169, 兩式相減，得2AB- BC=120, AB - BC=60 （cm 2）. 整體思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用， 不僅僅局限于上述的類(lèi)型，還涉及到其他的各種題型，只有通 過(guò)不斷地挖掘、歸納、提煉，才能更好地把握整體思想的本質(zhì)和規(guī)律，從而使問(wèn)題迎刃而解。 三數(shù)形結(jié)合思想 數(shù)和形是初中數(shù)學(xué)中被研究得最多的對(duì)象， 數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，它通過(guò) 形理解數(shù)

8、，利用形的直觀加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解； 通過(guò)數(shù)理解形，利用數(shù)的抽象性加深對(duì)圖形位置 關(guān)系的理解，即圖形位置問(wèn)題的坐標(biāo)化，數(shù)量關(guān)系圖形化。 例5已知正比例函數(shù)y kx的圖象與反比例函數(shù)y 工上（k為常數(shù)，k 0）的圖象有一個(gè)交點(diǎn) x 的橫坐標(biāo)是2. 求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)； 5 k 若點(diǎn)A% %），B（X2, y2）是反比例函數(shù)y 圖象上的兩點(diǎn)，且洛X(qián)2，試比較, y2的大小. x 分析與解答：（1）由由交點(diǎn)橫坐標(biāo)的含義可得方程組 2k 5 k消去字母 2 y，得 2k 亍，解得 7 k 1 .所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為 y x，反比例函數(shù)的表達(dá)式為 4 y -.要求兩個(gè)函數(shù)圖象的交 x 點(diǎn)坐標(biāo)，

9、只須在得出的函數(shù)解析式基礎(chǔ)上畫(huà)出圖象（反比例函數(shù)y 4的圖象分別在第一、三象限 x 內(nèi)的雙曲線，正比例函數(shù)y x的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線）由題知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2即可求出 縱坐標(biāo)也是2即為（2, 2），由圖象的關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱可得另一交點(diǎn)為（2, 2） 所以兩函數(shù) 圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2, 2）, （ 2, 2）. （2）利用上問(wèn)中所畫(huà)圖形得反比例函數(shù) Xi X20 時(shí)，y y .當(dāng) 0 Xi x?時(shí), y -的圖象的y的值隨x值的增大而減小，所以當(dāng) x yi 4 y .當(dāng) Xi 0X2 時(shí)，因?yàn)?yi0 ,y2 Xi 4 X2 所以yi y2. 借助“形”的幾何直觀來(lái)闡明“數(shù)”之間的某種關(guān)系

10、能使問(wèn)題簡(jiǎn)單。這類(lèi)問(wèn)題常把函數(shù)、方程、不 等式聯(lián)系起來(lái) 四化歸思想 所謂化歸思想，就是指對(duì)于那些數(shù)學(xué)問(wèn)題難以求解時(shí)， 我們可以根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)、條件和關(guān)系, 采取適當(dāng)?shù)姆椒ò演^困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的或早已熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解答。 例6如圖，“回”字形的道路寬為i米，整個(gè)“回”字形的長(zhǎng)為8米，寬為7米，一個(gè)人從入口點(diǎn) A沿著道路中央走到終點(diǎn)B，他共走了 . 思路和解答 假設(shè)拖把的寬度是i米，某服務(wù)員拿著拖把沿著小路向前推，那人走遍小路相當(dāng)于把 整塊場(chǎng)地拖完了，而拖i卅的場(chǎng)地相當(dāng)于那人向前走了 i米，整塊場(chǎng)地面積是7X 8=56 （tf）,所 以那人從A走到B共走了 56米，這樣我們就把求線段長(zhǎng)度問(wèn)

11、題化歸成求面積問(wèn)題了。 下面是一個(gè)化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的例題 例7如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)顏色不同的正方形組成，設(shè)中間最小 一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為i,則這個(gè)矩形色塊圖的面積為. 思路和解答 設(shè)次小正方形邊長(zhǎng)為x，則其余正方形的邊長(zhǎng)依次為1+x,2+x,3+x,根據(jù)題意得： (2+x+3+x)(3+x+x)-【(3+x) 2 +(2+x) 2 +(1+x) 2+2x2】=1， 解得x=4. 所以矩形色塊圖的面積為13X 11=143. 注：如果對(duì)待這個(gè)問(wèn)題時(shí)只考慮幾何的面積求法， 很容易陷入分別求邊長(zhǎng)的死胡同，從而一籌莫展， 這里采用代數(shù)考慮，將問(wèn)題用一個(gè)方程表達(dá)出來(lái)， 進(jìn)而求

12、出次小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得解。 這里 又包含了整體思想、方程思想. 五換元思想 2 2 例 8 分解因式(x -3x+2) (x -3x-4)-72 分析：注意題目的形式特征，把某一部分(比如x2-3x+2)看作一個(gè)整體，運(yùn)用整體換元，把 原方程化為形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式，進(jìn)一步用十字相乘法，最后注意分解要徹底。 設(shè) x2-3x+2=t 則 2 2 (x -3x+2) (x -3x-4)-72 =t (t-6 ) -72 =t2 -6t-72 =(t+6 ) (t-12 ) =(x2-3x+2+6) (x2-3x+2-12 ) 2 2 =(x -3x+8) (X-3X-10 ) =(

13、x2-3x+8) (x-5 ) (x+2). 如果把(x2-3x+2 )與(x2-3x-4)相乘，將得到一個(gè)四次多項(xiàng)式，這時(shí)再分解就困難了。 例 9 解方程 3x2-6x-2 . x2 2x 4 +4=0 分析：如果先移項(xiàng)，兩邊平方，方程變形為一個(gè)四次方程，題目就難解了注意到.x2 2x 4， 3 (x2-2x )，設(shè)x2 2x 4為y,原方程變形為3y2-2y-8=0,再?gòu)闹薪獾脃回代得x 六分類(lèi)思想 分類(lèi)思想是根據(jù)所研究的對(duì)象相同點(diǎn)和不同點(diǎn)區(qū)分不同類(lèi)型的數(shù)學(xué)思想方法 例10甲、乙兩人分別從相距30km的A、B兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過(guò) 3h后相距3km再經(jīng)過(guò) 2h,甲到B地所剩的路程是乙到 A

14、地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度。 解：（1）當(dāng)3h后甲、乙兩人未相遇時(shí)，設(shè)甲的速度為 xkm/h，乙的速度為ykm/h,則 3x 3y 30 3 30 5x 2(30 5y) 解得 甲的速度為4Km/h,乙的速度為5Km/h。 （2）當(dāng)3h后甲、乙兩人已相遇時(shí)，設(shè)甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，則 3x 30 3y 30 3 5x 2(30 5y) 3 17 16 解得 甲的速度為16/3Km/h，乙的速度為17/3Km/h。 答：甲的速度為4Km/h,乙的速度為5Km/h或甲的速度為16/3Km/h，乙的速度為17/3Km/h。 這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的分類(lèi)討論的題目， 在分類(lèi)中做到細(xì)心縝密，考慮周全，才能夠不遺漏兩外 一種情況。 以上是筆者簡(jiǎn)單列舉初中數(shù)學(xué)所涉幾個(gè)基本思想，教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的方法，盡 量能夠讓學(xué)生在多次的訓(xùn)練中找到相同的思想，事實(shí)上，這也是