薛定諤方程習題教材

1、第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答第二章 薛定諤方程 習題 ( 課本 44 頁)2.1 證明在定態(tài)中，概率流密度與時間無關(guān)。證明：當一個系統(tǒng)處于定態(tài)時，其波函數(shù) (r,t) 可以寫作，(r,t) (r )exp于是便有，* * i*(r,t) *(r)exp Et根據(jù)概率流密度的定義式 (2.4-4) 有， i * *J ( * * )2m2mexpexpiE t * expiEt exptiE t * * exp* expiE t exp iEtiE t expiEt2m ii即有， J ( * * ) ( * * )2m 2m顯然， 在定態(tài)中概率流密度與時間無關(guān)。 從某種意義上說明上述波

2、函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)是名副其實的。2.2 由下列兩定態(tài)波函數(shù)計算概率流密度：11 1exp(ikr ) ， 2 exp( ikr) 。rr從所得結(jié)果說明 1 表示向外傳播的球面波，2 表示向內(nèi) ( 即向原點 )傳播的球面波。解：在解本題之前，首先給出一個函數(shù)f 的梯度在球坐標系下的表達式，即f e?rf ? 1 f r e? re? rs1in rsinexp(ikr ) exp( ikr ) exp( ikr ) exp(ikr ) rrikreikr ikr e ikeikr e ikr e?ikr ikr eikrikeikr2er2rrrrrrrk2 mr 首先求解函數(shù) 1 的概率流密度

3、iJ1 青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林 ( 1 1* 1* 1) 2m i2m i2m第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答可見，概率流密度 J1與 r 同號，這便意味著 J1 的指向是向外的，即 1表示向外傳播的球面波。 同理，可以得到 2 的概率流密度iJ2 ( 2 *2 *2 2)2 2m 2 2 2 2i exp( ikr ) exp(ikr ) exp(ikr ) exp( ikr) 2m r r r rikrikrikeikrikr2me?rikre2rmr這里的負號， 即為概率流密度 J2 與 r 的符號相反，意味著概率流密度 J2 的指向是向內(nèi)的，即波函數(shù) 2 表示向內(nèi)

4、傳播的球面波。2.3 一粒子在一維勢場, x 0 U (x) 0,0 x a, x a中運動，求粒子的能級和對應的波函數(shù)。解：在量子力學中，一維薛定諤方程扮演著非常重要的角色。0a其一， 一維問題是微分方程中最簡單、最基礎的問題，通過解一維薛定諤方程，不但可以了解到量子力學中不同于經(jīng)典力學的結(jié)果， 如能量的量子化和勢壘的貫穿等， 還可以解更高維薛定諤方程的基礎， 如經(jīng)典的氫原子的結(jié)構(gòu)問題和現(xiàn)代的黑洞的結(jié)構(gòu)問題， 這些問題通 過分離變量，最終化成求解一維薛定諤方程問題。其二，隨著現(xiàn)代科學技術(shù)的發(fā)展， 在實驗室中已經(jīng)制成了一維的或準一維的系統(tǒng)， 這樣， 求解一維薛定諤方程對于理解這些系統(tǒng)的性質(zhì)起著

5、至關(guān)重要的作用。一維薛定諤方程的求解一般有兩大類： 一類是束縛態(tài)的求解， 即求解束縛態(tài)的能級及相 應的波函數(shù)；一類是散射問題， 即求解散射態(tài)的反射系數(shù)、透射系數(shù)以及相應的波函數(shù)。這 兩類問題實質(zhì)上也是整個初等量子力學所關(guān)注的最主要的兩類問題。具體到本題，顯然是一維薛定諤方程中的束縛態(tài)問題。具體求解如下：在勢阱內(nèi) (0 x a) ，一維薛定諤方程的定態(tài)波動方程為，22 d2dx(2x) E (x) d2dx(2x)2E2(x)第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答2E其中 E 0 ，如果令 k ，則上述方程為，2d (2x) k a2 青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林 (x) 0dx2 于

6、是上述方程的解可表示為，(x) A sin kx B coskx 。在勢阱外 (x 0, x a) ，根據(jù)波函數(shù)應滿足的連續(xù)性和有限性條件可知，(x) 0 (x 0,x a)則，由第一個邊界條件(0) 0 知， B 0。于是波函數(shù)為，(x) Asin kx (A 0)再根據(jù)第二個邊界條件(a) 0 有，Asin ka 0這就意味， ka nk ，其中 n 為正整數(shù)。 a由k(k )22 E E ，便可求出粒子的能級為，2然后，再對波函數(shù)進行歸一化處理，| (x)|2 dx 1，即，| A|2 sin2 (kx)dx 1sin 2 ( kx)d ( kx)k 2 ka|A|2 2k|A|2是，|

7、A|2 ，不失一般性，取 A 2 。 aa在此所使用的數(shù)學積分公式：sin 2 xdx 1x 1sin(2x) C242 1 1 cos2 xdxx sin(2x) C24第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答則，對應的波函數(shù)為，x 0 or x a.0 x a,最后，作幾點說明：首先，既然 n 為正整數(shù)，則能量的最小值為2 2 (2 a2) ，這是純粹量子效應的零點能。其二，對于無限方勢阱，量子化的能量間隔不是等距的。其三， 顯然方勢阱的寬度越小， 相應的能級越高， 這也可以看作是海森伯不確定性原理 的一個表現(xiàn)：當方勢阱的寬度越小， 那么粒子位置的不確定度就越小， 這樣，根據(jù)海森伯不 確定性原

8、理，粒子的動量的不確定度就越大，于是，相應的能量便越高。其四，從波函數(shù)的形式，基態(tài)波函數(shù)沒有節(jié)點，第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點，第 k 個激發(fā)態(tài) 有 k 個節(jié)點，這表明：當粒子的能級越高，其相應的波函數(shù)的空間分布上的起伏就越厲害。A。 a2.4 證明 (2.6-14) 式中的歸一化常數(shù)是解：已知粒子的波函數(shù)為A sin2a(x a),|x| a(2.6-14)0,|x| a對波函數(shù)進行歸一化處理，22| |2 dx 1a|A |2 sinan (x a) dx 12a令上式的左邊為 A ，再構(gòu)造 B ，即A |A |2sin2 an2a(x a) dxB a|A |2 cos22a(x a) dx兩式

9、相加，得，A B |A |2 2a兩式相減，應用公式，cos2sin2 cos(2 ) ，有第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答a 2 2 B A |A |2 cos2 an2a(x a) dx a|A |2sin2n (x a) dx2aaB A|A |2 cosaa 2 a (x a) dx | A |2 a a nd sinn (x a) 0a2 2 2 1 則得， (A B) (B A) 2A 2|A | a， A |A | a 1 |A | a 這樣所確定出的歸一化條件為，|A|1 exp(i ), Ra由于量子力學中波函數(shù)的特殊性質(zhì)，即如果兩個波函數(shù)相差一個常數(shù)的模| exp(i

10、)|2 1 的相位因子，則這兩個波函數(shù)將描述相同的物理狀態(tài)。據(jù)此，只須在其中選 擇一個波函數(shù)即可。在該題中，選擇0，即 A 1 a ；也可選擇A 1 a。當然還有許多別的選擇方式，比如選擇 A 1 a ，或者選擇 A 1 a都是對的， 而且描述相同的物理狀態(tài)。2.5 求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài)時概率最大的位置。解：求一維諧振子處在第一激發(fā)態(tài) 1(x) 時概率最大的位置，實質(zhì)上也就是求解| 1( x) |2的最大值時 x所對應的值。由課本 32 頁“能量 En 所對應的波函數(shù)”表達式 (2.7-15) 的第二式有，n(x) Nn expn ( x)1(x) N1 exp22x H 1( x)根據(jù)

11、課本 32 頁“厄密函數(shù)的歸一化常數(shù) Nn”的表達式 (2.7-17)有，Nn2nn!N1根據(jù)課本 32 頁“厄密多項式Hn ”的表達式(2.7-14) 可知， H12 2 x ，則，1(x)exp 1 2x2 2 x第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答由 d | 1(x) |2 dx0 ，可以得到，2x 2 2x3 0 x 1 ,or x 0這里的m ， m 為諧振子的質(zhì)量。于是，有，2 2 2 2 2| 1(x)|2x2 exp( 2x2)這樣，d | 1(x)|2 2 3 2 3 2 21 (2x 2 x )exp( x ) dx經(jīng)過對 | 1(x)|2 的二階導數(shù)的驗證，發(fā)現(xiàn)：x 0時

12、，| 1(x)|2取極小值 (其實也就是零 )； x 1 時， | 1( x) |2取最大值。 討論 | 1( x) |2的極小值的位置除了 x 0 ，實質(zhì)上還有 x ，但總的來說，這是平庸 的解，是所有束縛態(tài)系統(tǒng)的普遍性質(zhì)。 注意到 | 1(x)|2 取最大值的位置是左右對稱的，本質(zhì)上是由于勢場的左右對稱符合 對稱性原理，即對稱的原因?qū)a(chǎn)生對稱的結(jié)果。2.6 在一維勢場中運動的粒子，勢能對原點對稱： U( x) U (x) ，證明粒子的定態(tài)波 函數(shù)具有確定的宇稱。求解：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程課本 24頁式 (2.5-3) ，假設某定態(tài)波函數(shù)滿足以下方程 ,2 d2 (x)d (2x) U (x)

13、 (x) E (x) 2m dx 2可以證明，波函數(shù) (x) ( x) 也同樣滿足上面的定態(tài)方程。首先注意到，U (x) (x) U (x) ( x) U ( x) ( x) 以及，青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答E (x) E ( x) d2 (x) d 2 ( x) dx2dx2綜合以上各式，有22d (2x) U (x) (x) E (x)2m dx 22 d2 ( x)d (2 x) U ( x) ( x) E ( x) 2m dx即，波函數(shù) (x) ( x) 也同樣滿足定態(tài)方程。 把對應于一個本征值有一個以上本征函數(shù)的情況稱為簡并，把對應于

14、同一個本征值 的本征函數(shù)的數(shù)目稱為簡并度。 如果屬于能量 E 的本征態(tài)是非簡并的，則上面的結(jié)果就意 味著，( x) c (x)據(jù)此可知 c2 1 ，因而有 c 1 。于是，有當 ( x) (x) 時稱波函數(shù)為偶宇稱；當 ( x)(x) 時稱波函數(shù)為奇宇稱。 如果屬于能量 E 的本征值是簡并的，特別地，( x) c (x)這時，可以構(gòu)造兩個與之相關(guān)的波函數(shù)，f(x) (x) ( x), g(x) (x) ( x)，據(jù)此，可知， f ( x) f (x) ，因而具有偶宇稱； g( x) g(x) ，因而具有奇宇稱。以上結(jié)果本質(zhì)上是根據(jù)哈密頓的對稱性去推知它的本征態(tài)的對稱性。 如果屬于某一能量的本征

15、態(tài)是非簡并的，則該能量本征態(tài)會攜帶哈密頓算符的對稱性。 如果屬于某一能量的本征態(tài)是簡并的， 則并不是其中的每一個本征態(tài)都會攜帶哈密頓算 符的對稱性，但總可以通過它們的某種組合使之攜帶哈密頓算符的對稱性。 青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答U(x)U02.7 * 一粒子在一維勢阱U (x) U0 0, |x| a0, |x| a中運動，求束縛態(tài) (0 E U0 )的能級滿足的方程。求解：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程的表達式 ( p.24, 2.5.3) ：2 U (r)E2m(2.5-3)粒子的波函數(shù)滿足的定態(tài)薛定諤方程為，d2m2 E0,|x| adx2d2 d

16、x22m(U02 E) 0, |x| ak12mE2m(U 0 E)則方程和可分別寫為d2d 2 k12 0, |x| a dxd2d 2 k22 0, | x| a dx束縛態(tài) 0 E U0 ，所以 k1 , k2都是大于零的實數(shù)，則方程和的解為方程的解為，1 A exp(k2 x), x a，( x時， 1有限)，方程的解為，2 Bcos(k1x),| x| a， (偶宇稱 )，方程的解為，2 Bsin(k1x), |x| a，(奇宇稱 )，方程的解為，3 Aexp( k2x), x a，( x時， 3有限)。再根據(jù)波函數(shù)的單值性和連續(xù)性，有偶宇稱青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林第

17、二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答Aexp( k2a) Bcos(k1a)k2Aexp( k2a) k1Bsin(k1a)奇宇稱Aexp( k2a)B sin( k1a)k2Aexp( k2a) k1 B cos(k1a)由式 / 得，tan(k1a) kk12 (偶宇稱)由式 / 得，k1tan(k1a)( 奇宇稱 )k2將 k1,k2 的表達式分別代入和，利用tan2 sec2 1,cot2 csc2 1化簡，整理得，cossinE ( 奇宇稱 )U0即為約束態(tài) (0 E U0) 的能級滿足的方程。2.8 分子間的范德瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢能可以近似地表示為，U(x), x 0 U 0, 0

18、x a U1, a x b 0, x bU(x)0aU0U1求束縛態(tài)的能級滿足的方程。求解：根據(jù)定態(tài)薛定諤方程的表達式 ( p.24, 2.5.3) ：22 U (r) E2m(2.5-3)青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答對于束縛態(tài)情況能級 E 0 。在區(qū)域 (x 0) 中，因勢能為無窮大，根據(jù)“波函數(shù)連續(xù)性條件的性質(zhì)”，波函數(shù)為，1 0, x 0在區(qū)域 (0 x a) 中，波函數(shù)滿足方程，d2 2dx20xa其中，2 (U 0 E)方程的解為，2 Aexp( k2x) A exp(k2x), 0 x a在區(qū)域 (a x b) 中，波函數(shù)滿足方程，d

19、 2 3dx2k32 3 0,axb其中，k32m(E U1)方程的解為，3 Bsin(k3x ), a x b在區(qū)域 (x b) 中，波函數(shù)滿足方程，d2d 24 k42 4 0, x b dx其中，2mEk4方程的解為，4 Cexp( k4x), x b，( x, 4 0 ，有限 )10青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答利用波函數(shù)的單值性和連續(xù)性，有在 x 0 處，1(0)2(0) 0 A A 0其中，在 x a 處，Aexp( k2a) A exp(k2a) B sin(k3 a )k2 Aexp( k2a) k2A exp(k2 a) k3B

20、cos(k3a )tan(k3a)k3 exp(k2a) exp( k2a) k3k2 exp(k2a) exp( k2a) k2th(k2a)th(k2a) exp(k2a) exp( k2a)2exp(k2a) exp( k2a)在 x b 處，B sin(k3b ) Cexp( k4b) k3Bcos(k3b ) k4C exp( k4b)tan(k3b )k3將和式代入關(guān)系式，tan k3(a b)tan(k3a ) tan(k3b )1 tan(k3a ) tan(k3b )得到tan k3(a b)k3k4th(k2a) k2k3k2k4 k32th(k2a) 例題 1. 證明：函

21、數(shù) (x)(2 3x3 3 x)2x2 是線性諧振子的波函數(shù)，并求此波函數(shù)對應的能量。d2解題思路 ：首先求解題示函數(shù) (x)關(guān)于 x 的二階導數(shù) d 2 ，并將其代入線性諧振子的 dx2薛定諤方程 (2.7-1) 式，11青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答2m dx2E 1m 2x2 02(2.7-1)將求出的能級和“線性諧振子的能級”表達式 (2.7-8)En1 n , n 0,1,2,2(2.7-8)的結(jié)果加以比較，來判斷題示波函數(shù)是否滿足線性諧振子的條件。證明：首先計算題示波函數(shù)關(guān)于 x 的一階導數(shù)：33(2 x 3 x)expd (x) d

22、dx dxddx (x) 3 2 5x4 9 3x23 exp21 2 x2再來計算題示波函數(shù)關(guān)于 x 的二階導數(shù)：d 2 (x)dx2d 2 5x4 9 3x2 3 exp dx 31 2x2dx2d 2 (x)5 3 3 7 5 5 3 3 1 2 2 ( 8 5x3 18 3x 2 7x5 9 5x3 3 3x) exp 2x2537553d 2 (x)dx2(2 7 x5 17 5x3 21 3x) exp 31 2x22d 2 (x)dx2( 4x2 7 2)(2 3x3 3 x)d 2 (x)dx2( 4 x2 7 2) (2 3x3 3 x)3最后得到，d (x) ( 4x2 7

23、 2) (x)dx2然后將題示波函數(shù)關(guān)于 x 的二階導數(shù)代入線性諧振子的薛定諤方程 (2.7-1) 式d212 (x) m 2m dx 2 2x2 (x) E (x)(2.7-1)的左邊，即Left 7 2 2m (x) 2m4x2 (x) 1m 2x2 (x)12青海民族大學 電子工程與信息科學系 李林第二章 波函數(shù)和薛定諤方程 習題解答將關(guān)系式， 代入上式，Left 7 m (x) mx2 (x) 1m 2x2 (x)2m 2m 2712 2 1 2 2 7Left (x) m 2 x2 (x) m 2x2 (x) (x)22 2 2而線性諧振子的薛定諤方程 (2.7-1) 式右邊 Right E (x) 。可見當 E 7 時