求非線性發(fā)展方程孤立波解的一種解法畢業(yè)論文

1、 a 基礎(chǔ)理論 b 應(yīng)用研究 c 調(diào)查報(bào)告 d 其他本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）求非線性發(fā)展方程孤立波解的一種解法二級(jí)學(xué)院：數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級(jí)：2008學(xué) 號(hào)：224504作者姓名： 指導(dǎo)教師： 完成日期：2012年5月3日求非線性發(fā)展方程孤立波解的一種解法專業(yè)名稱：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者姓名： 指導(dǎo)教師： 論文答辯小組組 長： 成 員： 論文成績： 目錄1.引言12.算法43.應(yīng)用63.1 newell-whitehead-segel方程6例163.2 kdv方程和五階kdv方程8例28例3103.3 ch-dp方程14例4144 小結(jié)19參考文獻(xiàn)20求非線性發(fā)展方程孤立波

2、解的一種解法作者 劉偉儀 指導(dǎo)教師 鄧圣福講師湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院, 湛江 524048摘要: 本文介紹了求非線性發(fā)展方程孤波解的一種方法,并應(yīng)用這種方法求出kdv方程,五階kdv方程,newell-whitehead-segel方程, ch-pd方程的精確的孤立波解.關(guān)鍵字: 非線性發(fā)展方程; kdv方程; 五階kdv方程; newell-whitehead-segel方程ch-pd方程one method for finding solitary wave solutions of nonlinear evolution equationsliu weiyischool of m

3、athematics and computational science, zhanjiang normal university, zhanjiang, 524048abstract: this paper introduces one method for finding solitary wave solutions of nonlinear evolution equations. application of this method gives the exact solitary wave solutions of the kdv equation, the fifth order

4、 kdv equation, the newell-whitehead-segel equation and the ch-pd equation.key word: nonlinear evolution equations; kdv equation; fifth order kdv equation; newell-whitehead-segel equation; ch-pd equation1.引言孤立波是指波長為無限大,孤立的,只有波峰且在移動(dòng)中不變形的非線性波.它是非線性發(fā)展方程在無窮遠(yuǎn)有確定值的行波解.孤立波屬于有限振幅波的一種.孤立波最早是由scott russell于183

5、4年偶爾觀察到的一種奇妙的水波.1844年,他在英國科學(xué)促進(jìn)協(xié)會(huì)第14屆會(huì)議報(bào)告上發(fā)表的論波動(dòng)一文中,對(duì)這種水波做了生動(dòng)的描述: 我觀察過一次船的運(yùn)動(dòng),這條船被兩匹馬拉著沿狹窄的運(yùn)河迅速前進(jìn)著,突然,船停下來,而被船所推動(dòng)的大堆水卻并不停止,它們積聚在船頭周圍激烈地?cái)_動(dòng)著,然后水浪突然呈現(xiàn)出一個(gè)滾圓而平滑,輪廓分明,巨大的孤立的鼓包,并且以巨大的速度向前滾動(dòng)著,急速地離開了船頭.在行進(jìn)中它的形狀和速度并沒有明顯的改變,我騎在馬上緊跟著觀察,它以每小時(shí)約八,九英里的速度滾滾向前,并保持長約30英尺,高約1-1.5英尺的原始形狀,漸漸地它的高度下降了.當(dāng)我跟蹤1-2英里后,它終于消失在逶迤的河道之

6、中. russell認(rèn)為這種孤立的波動(dòng)是流體運(yùn)動(dòng)的一個(gè)穩(wěn)定解,并稱它為孤立波.ru-ssell試圖找到這種解,但未能成功.直到50年以后,即1895年,兩位數(shù)學(xué)家korteweg和de vries從數(shù)學(xué)上導(dǎo)出了著名的淺水波kdv方程,并給出了一個(gè)類似于russell孤立波的解析解,即孤立波解,孤立波的存在才得到普遍承認(rèn).從russell的發(fā)現(xiàn)到kdv方程的提出,大約經(jīng)歷了60年時(shí)間,孤立波才為學(xué)術(shù)界普遍接受. russell當(dāng)時(shí)已經(jīng)知道了孤立波的一些重要性質(zhì),如:孤立波在傳播過程中保持波形和速度不變;兩個(gè)孤立波碰撞時(shí)互相穿透且維持原來的波形和速度;孤立波的波幅愈高,其傳播速度愈快等等.雖然18

7、95年kdv方程從理論上闡明了孤立波的存在,但當(dāng)時(shí)學(xué)術(shù)界還沒有能回答孤立波是否穩(wěn)定;兩個(gè)孤立波碰撞后其速度和波形是否改變;以及在流體以外的其他領(lǐng)域,孤立波是否也存在等重大問題. 從19世紀(jì)末到20世紀(jì)中,關(guān)于孤立波的研究工作處在寂靜時(shí)期,沒有明顯的進(jìn)展.盡管在非線性電磁學(xué),固體物理,流體動(dòng)力學(xué),神經(jīng)動(dòng)力學(xué)等學(xué)科中,相繼提出了一些與孤立波有關(guān)的問題,但當(dāng)時(shí)有關(guān)孤立波的已有的知識(shí),在新問題面前顯得很不夠用,且這些問題與應(yīng)用數(shù)學(xué)之間相互促進(jìn)的關(guān)系也沒有得到足夠的重視.人們似乎已忘記了russell發(fā)現(xiàn)孤立波的重要意義. 經(jīng)過了約60年的平靜時(shí)期之后, 1955年enrico fermi, john

8、pasta, stan ulam (fpu)發(fā)表了studies of nonlinear problem一文,重新燃起了人們對(duì)孤立波的興趣,使人們對(duì)孤立波的研究又活躍了起來. 1965年,美國普林斯頓大學(xué)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家matin d. kruskal和貝爾實(shí)驗(yàn)室的norman j. zabusky對(duì)fpu結(jié)果的進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),若用弦的位移表示,它們正好滿足kdv方程.兩個(gè)kdv孤立波的碰撞具有三個(gè)特點(diǎn):孤立波在碰撞前后保持高度不變;碰撞時(shí)兩個(gè)孤立波重疊在一起,其高度低于碰撞前孤立波高度較高的一個(gè),這表明在非線性過程中,不存在線性疊加原理;碰撞后孤立波的軌道與碰撞前發(fā)生了相移.他們?cè)跀?shù)值實(shí)驗(yàn)中,

9、既研究了兩個(gè)孤立波的碰撞,也研究了四個(gè)孤立波的碰撞,并首次引入孤立子這一術(shù)語,用來描述這種具有粒子性質(zhì)的孤立波. 之后,在固體物理,非線性電磁學(xué)和神經(jīng)動(dòng)力學(xué)等學(xué)科也發(fā)現(xiàn)了與孤立波有關(guān)的問題,人們開始考慮在流體以外的領(lǐng)域孤立波是否存在及其表示孤立波演化的微分方程的求解問題.20世紀(jì)60年代以來,孤立子的研究有了突飛猛進(jìn)的發(fā)展.除了在流體,還在固體物理,激光,電氣工程,等離子體,生物學(xué)等領(lǐng)域相繼發(fā)現(xiàn)了孤立子的存在.而且在數(shù)學(xué)領(lǐng)域,逆散射方法的提出與推廣,也為求解孤立子演化方程提供了有力的數(shù)學(xué)工具.1972年夏天在美國召開了一次時(shí)間長達(dá)3周半的孤立子學(xué)術(shù)討論會(huì),來自數(shù)學(xué),力學(xué),物理學(xué),電氣工程,生物

10、學(xué),地質(zhì),地球物理等十多個(gè)學(xué)科的學(xué)者聚集在一起,交流對(duì)孤立子研究的進(jìn)展和經(jīng)驗(yàn). 目前，孤立波研究領(lǐng)域日益廣泛.在超導(dǎo)研究方面,約瑟夫遜(brian d. josephon)效應(yīng)中的磁通量子實(shí)際上就是孤立子,于是孤立子的研究方法被引入超導(dǎo)研究,現(xiàn)已在研發(fā)耗能特別小,速度特別快的新型計(jì)算機(jī)器件上有新進(jìn)展.在生物學(xué)方面發(fā)現(xiàn)了達(dá)維多夫(a.s. davydov)孤立子,探討了生物體蛋白質(zhì)中孤立子的傳播問題,為弄清肌肉收縮的機(jī)制提供了有力的途徑.孤立子在高科技方面最具代表性的成功應(yīng)用,是光纖中的光孤立子,亦稱光孤子.它具有長距離傳輸損耗小,無需中繼站,比特率高等優(yōu)點(diǎn).現(xiàn)普遍認(rèn)為,光纖孤立子通信有希望成為

11、超高速率和超長距離通信的重要手段.3給出了一種求解非線性發(fā)展方程孤波解的方法,由于當(dāng)時(shí)的條件限制,這種方法沒有使用符號(hào)計(jì)算,因而顯得不成熟,并且沒有受到應(yīng)有的關(guān)注.后來陸續(xù)出現(xiàn)了許多解非線性偏微分方程的方法,如雙曲正切展開法,最簡方程法,雅可比橢圓函數(shù)法,改良的最簡方程法,展開法等. 本文介紹的是3中方法的改良形式.實(shí)際上,我們所要尋求非線性發(fā)展方程的孤立波解具有如下的形式 , (1.1)其中函數(shù)的形式為 . (1.2)我們?nèi)菀装l(fā)現(xiàn)函數(shù)滿足方程 , (1.3)這里表示函數(shù)對(duì)的導(dǎo)數(shù). 利用方程(1.3)可以求出的導(dǎo)數(shù),的二階導(dǎo)數(shù),甚至的高階導(dǎo)數(shù),然后通過本文所闡述的方法求出系數(shù),代入即可求得非線

12、性發(fā)展方程的孤立波解. 本論文將通過尋找四個(gè)非線性發(fā)展方程的精確孤立波解來說明這種改良方法的應(yīng)用,即newell-whitehead-segel方程 ,korteweg de vries (kdv)方程的和五階kdv方程 ,以及camassa-holm-degasperis-procesi(ch-dp)方程. 并給出了它們的精確孤立波解的圖形.2. 算法本方法分為六步.第一步: 化非線性發(fā)展方程為非線性常微分方程.設(shè)非線性發(fā)展方程有如下的形式 . (2.1)考慮其行波解,并假設(shè), . 將非線性發(fā)展方程(2.1)轉(zhuǎn)化為含參數(shù)和非線性常微分方程 . (2.2)第二步: 計(jì)算公式(1.1)中的數(shù)值.

13、為方程(2.2)解的極點(diǎn)的階.令,代入方程(2.2),比較指數(shù)最小的兩項(xiàng)或者多項(xiàng),計(jì)算出的值,從而得到的值.當(dāng)為整數(shù)時(shí),則可以繼續(xù)使用下面介紹的算法.當(dāng)不是整數(shù)時(shí),則函數(shù)必須使用變式以使取整.例如,當(dāng)數(shù)值(為整數(shù))時(shí),我們可以使用變式,其中是新的函數(shù).第三步: 將以及的導(dǎo)數(shù),代入方程(2.2).下面以五階非線性常微分方程為例進(jìn)行說明.首先,其中是第二步得到的數(shù)值,如時(shí),則取,然后結(jié)合方程(1.3)計(jì)算得到函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即 將(2.3)中以及的各階導(dǎo)數(shù)代入方程(2.2),得到含有函數(shù),系數(shù),參數(shù)和的新方程.第四步: 尋找第三步新方程中含有系數(shù),參數(shù)和的代數(shù)方程組.將第三步得到的新方程按合并同類項(xiàng),

14、再令每一項(xiàng)的系數(shù)為零,這樣就得到了含有如下形式的代數(shù)方程組. (2.4)第五步: 解代數(shù)方程組求解代數(shù)方程組(2.4),得到系數(shù)以及參數(shù)和的值,再代入(1.1)式便可得到方程(2.2)的形如解.第六步: 化簡,檢查方程(2.2)的解.為減少錯(cuò)誤,在求出非線性偏微分方程的解后,必須將解代入原方程進(jìn)行檢驗(yàn),而且有必要說明方程的解是否經(jīng)過檢驗(yàn).3. 應(yīng)用下面通過尋找四個(gè)非線性發(fā)展方程的精確孤立波解來闡述本方法的應(yīng)用.3.1 newell-whitehead-segel方程例1 考慮newell-whitehead-segel方程 . (3.1)第一步: 令, .非線性發(fā)展方程(3.1)變成如下的常微

15、分方程. (3.2)第二步: 取,所以代入(3.2)式得到.比較最小的指數(shù)令,求得,即.第三步: 將時(shí)代入(2.3),求得代入(3.2)式得到方程第四步: 令各項(xiàng)系數(shù)為零,得到下面的代數(shù)方程組第五步: 運(yùn)用mathematics軟件解方程組得到如下解結(jié)合和方程(1.3),得到非線性發(fā)展方程(3.1)的解如下常數(shù)解: 非常數(shù)解(孤立波解): 解(4)的圖像如下解(6)的圖像如下解(8)的圖像如下第六步: 經(jīng)檢驗(yàn),上述解滿足微分方程(3.1).3.2 kdv方程和五階kdv方程例2 考慮kdv方程 . (3.3)第一步: 令.kdv方程(3.3)轉(zhuǎn)化為 . (3.4)第二步: 取,由此得到代入方程

16、(3.4)得.比較上式指數(shù)最小的兩項(xiàng),得到,解得,故.第三步: 將代入(2.3),故代入方程(9),化簡得到第四步: 令每一項(xiàng)的系數(shù)為零,則得到如下方程組第五步: 運(yùn)用mathematics解方程組得到三組解結(jié)合,和得到非線性發(fā)展方程的解:常數(shù)解: (1),為任意常數(shù), (2),為任意常數(shù),(1)和(2)實(shí)際上表示同一個(gè)解.非常數(shù)解(孤立波解): (3).取參數(shù),解(3)的圖像如下:第六步: 經(jīng)檢驗(yàn),上述解滿足kdv方程.例3 考慮五階非線性kdv方程 . (3.5)令,將方程(3.5)化為. (3.6)取,所以代入(3.6)式得到的指數(shù)有其中最小的兩個(gè)指數(shù)可能為這三項(xiàng)中的兩項(xiàng),兩兩比較易得,

17、即.將代入方程(2.3),算出,代入(3.6)式,化簡得到方程令每一項(xiàng)的系數(shù)為零,得到代數(shù)方程組,解代數(shù)方程組得到如下解結(jié)合,和,得到方程(3.5)的解如下常數(shù)解: , . (1)和(2)實(shí)際上表示同一個(gè)解.非常數(shù)解(孤立波解): , 經(jīng)檢驗(yàn),上述解滿足五階kdv方程(3.5).取參數(shù),解(3)的函數(shù)圖像如下取參數(shù),解(4)的函數(shù)圖像如下取參數(shù),解(5)的圖像如下取參數(shù),解(8)的函數(shù)圖像如下3.3 ch-dp方程例4 考慮廣義的的camassa-holm-degasperis-procesi(ch-dp)方程 , (3.7)其中.當(dāng)時(shí), (3.7)化為camassa-holm(ch)方程 .

18、 (3.8)當(dāng)時(shí), (3.7)化為廣義的ch方程. (3.9)當(dāng)時(shí), (3.7)化為degasperis-procesi(dp)方程 . (3.10)當(dāng)時(shí), (3.7)化為廣義的dp方程. (3.11)通過運(yùn)用本文所闡述的方法對(duì)上述微分方程(3.8), (3.9), (3.10)和(3.11)進(jìn)行求解,結(jié)果發(fā)現(xiàn),方程(3.8)和(3.10)不能用此方法求其孤立波解,而方程(3.9)和(3.11)可以被求解.也就是說對(duì)廣義的ch-dp方程(3.7),當(dāng)m=2時(shí),可以用本文所述方法求其孤立波解.首先對(duì)廣義的ch方程(3.9)進(jìn)行求解.令.微分方程(3.9)變成. (3.12)取所以(3.12)式變

19、成最小的兩個(gè)指數(shù)為由得到,則,所以代入(3.12)式得到令的系數(shù)為零,得到代數(shù)方程組,并求解方程組得結(jié)合和得到方程(3.9)的解如下:常數(shù)解: , 實(shí)際上(1)和(2)表示同一個(gè)解.非常數(shù)解(孤立波解): 滿足, 滿足經(jīng)檢驗(yàn),上述解滿足方程(3.9).取參數(shù)=1,解(3)的圖像如下取參數(shù)=1,解(4)的圖像如下下面對(duì)廣義的dp方程(3.11)進(jìn)行求解.令,方程(3.11)變成 (3.13)取,所以(3.13)式變成最小的兩個(gè)指數(shù)為由得到,故,則有代入(3.13)式得到令的系數(shù)為零,得到代數(shù)方程組并解之得結(jié)合, ,對(duì)應(yīng)得到方程(3.11)的解如下常數(shù)解: , .實(shí)際上,(1)和(2)表示同一個(gè)解

20、.非常數(shù)解(孤立波解): ,其中滿足方程,其中滿足方程經(jīng)檢驗(yàn),上述解滿足方程(3.11).取參數(shù)=1,解(3)的圖像如下取參數(shù)=1,解(4)的圖像如下4. 小結(jié)本文介紹了求解非線性發(fā)展方程孤立波解的一種符號(hào)算法,按照步驟能夠快速有效地求出非線性發(fā)展方程的孤立波解,其應(yīng)用簡單可行.不足之處是這種方法不適用于求解非線性發(fā)展方程的周期解.參考文獻(xiàn)1 郭柏靈,龐小峰著.孤立子m.科學(xué)出版社,1987,2:1-2.2 王振東.孤立波與孤立子j.力學(xué)與實(shí)踐, 2005,27(5):3-5.3 kurdryashov n.a. exact soliton solutions of the generalized evolution equation of wave dynamicsj. appl. math. mech.,1988,52:361-365.4 nourazar s.s., soori m., nazari-golshan a. on the exact solution of newell-whitehead-segel equation using t