集體備課：正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案

1、正切函數(shù)的圖像與性質(zhì)教案 張振坤 一.教材分析1.地位與作用 本節(jié)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北師大版）數(shù)學(xué)必修四第一章三角函數(shù)第7節(jié) 正切函數(shù)。本節(jié)課是研究了正弦、余弦函數(shù)的圖像與性質(zhì)后，又一具體的三角函數(shù)。它前承正、余弦函數(shù)，后啟必修五中的直線斜率問題。研究正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)過程不僅是對正、余弦曲線研討方法的一種再現(xiàn)，更是一種提升，同時(shí)又為后續(xù)的學(xué)習(xí)奠定了基石。2.教材處理 正切函數(shù)與正弦函數(shù)在研究方法上類似，我采用以類比的方式，讓學(xué)生回憶正弦曲線的作圖過程與方法，進(jìn)而啟發(fā)、引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)作正切曲線的一種方法。設(shè)計(jì)中首先得到正切函數(shù)的定義，給出正切線的概念，并類比畫正弦函數(shù)圖像的方式

2、，利用正切線畫正切函數(shù) 的圖像，根據(jù)圖像，研究正切函數(shù)的性質(zhì)。體現(xiàn)了類比思想的應(yīng)用，體現(xiàn)出數(shù)形結(jié)合思想在研究函數(shù)性質(zhì)中的重要作用。在畫圖像之前引導(dǎo)學(xué)生思考分析區(qū)為什么選定間（），這樣既不限制學(xué)生的思維，又把空間留給學(xué)生，讓學(xué)生明白由周期性也可自己選擇其它區(qū)間作圖，設(shè)計(jì)一個(gè)得到正切曲線的方法。這樣，不僅發(fā)揮了學(xué)生的能動(dòng)性，增強(qiáng)動(dòng)腦、動(dòng)手繪圖的能力，而且，在此過程中，學(xué)生會注意到畫正切曲線的細(xì)節(jié)。 在得到圖象后，單調(diào)性是一個(gè)難點(diǎn)，我設(shè)計(jì)了“問題6”幫助學(xué)生理解該性質(zhì)，并啟發(fā)學(xué)生從代數(shù)和幾何兩種角度看問題。二學(xué)情分析 在函數(shù)中我們學(xué)習(xí)了如何研究函數(shù)，而對正弦函數(shù)的研究又再一次做了一個(gè)模板，所以學(xué)生已

3、經(jīng)具備了一定的繪圖技能，類比推理畫出圖象，并通過觀察圖象，總結(jié)性質(zhì)的能力。但在畫正切函數(shù)圖象時(shí)，還有許多需要注意的地方，這又提升了學(xué)生分析問題的能力及嚴(yán)密認(rèn)真的態(tài)度。高一學(xué)生已經(jīng)初步形成了是非觀，具備了分辨是非的能力及語言表達(dá)能力。能夠通過討論、合作交流、辯論得到正確的知識。但在處理問題時(shí)學(xué)生很容易“想當(dāng)然”用事，考慮問題不深入，往往會造成錯(cuò)誤的結(jié)果。三教學(xué)目標(biāo)確定及依據(jù) 正切函數(shù)是繼正、余弦之后的又一個(gè)三角函數(shù)，三者在研究方法與研究內(nèi)容上類似，但某些性質(zhì)有所不同，這就養(yǎng)成學(xué)生在畫圖時(shí)必須全面考慮問題。本著課改理念，養(yǎng)成學(xué)生對知識的勇于探索精神，學(xué)生親自體會正切曲線的獲得過程，這樣學(xué)生的動(dòng)手實(shí)

4、踐能力有了提高，又體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，根據(jù)教學(xué)要求及學(xué)生現(xiàn)有的認(rèn)知水平，現(xiàn)制定以下教學(xué)目標(biāo)：1. 知識與技能：（1）能借助單位圓理解任意角的正切函數(shù)的定義；（2）能用單位圓中的正切線畫出正切函數(shù)的圖像；（3）掌握正切函數(shù)的圖像的基本性質(zhì)； （4）體會用數(shù)形結(jié)合的思想理解和處理問題。2.過程與方法：首先由學(xué)生自主繪圖，通過媒體課件演示作圖過程得到完整的正確圖象，學(xué)生糾正圖像，然后再讓學(xué)生觀察，類比正弦，探索得到性質(zhì)。3.情感態(tài)度與價(jià)值觀：在得到正切函數(shù)圖像的過程中，學(xué)會一類周期性函數(shù)的研究方式，通過自己動(dòng)手得到圖像讓學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)研究的過程，體驗(yàn)探索的樂趣，增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。培養(yǎng)學(xué)生自主探

5、索的學(xué)習(xí)習(xí)慣和分析問題、解決問題的能力。四.重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正切函數(shù)的圖象及其主要性質(zhì)。難點(diǎn)：利用正切線畫出函數(shù)y=tanx， 的圖象，對直線x=，是y=tanx的漸近線的理解，對單調(diào)性這個(gè)性質(zhì)的理解。五教學(xué)理念 本著以人為本的教學(xué)理念及發(fā)揮學(xué)生主動(dòng)性，使學(xué)生成為課堂的主體的教學(xué)原則，遵循事物的發(fā)生、發(fā)展成熟過程及學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，通過學(xué)生的自主探索，總結(jié)出函數(shù)的圖象，并通過圖象得出正切函數(shù)的性質(zhì)，在此過程中體現(xiàn)生生、師生之間的團(tuán)結(jié)合作，互相幫助的精神，學(xué)生的內(nèi)在潛能得以挖掘。通過例題的分析，學(xué)生分析問題及嚴(yán)密推理能力得以提高，學(xué)生體會到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣，同時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)不但美妙而且神奇，并在此過程中

6、體驗(yàn)成功后的喜悅。六、學(xué)法分析:類比學(xué)習(xí)法，即類比正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，在直角坐標(biāo)系內(nèi)學(xué)習(xí)任意角的正切函數(shù)。類比正弦函數(shù)的畫法做正切函數(shù)，利用圖像研究正切函數(shù)的性質(zhì)。七、教法分析：新課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)積極主動(dòng)、勇于探索的學(xué)習(xí)方式，把學(xué)習(xí)的主動(dòng)權(quán)還給學(xué)生。以此為宗旨，我采用引導(dǎo)教學(xué)法、講授教學(xué)法等諸多方法，引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)，努力做到教法、學(xué)法的最優(yōu)組合。結(jié)合本節(jié)內(nèi)容的特征，主要采用啟發(fā)誘導(dǎo)式教學(xué)方式，讓學(xué)生自主地去探求知識。八、教學(xué)過程：教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng) 學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖創(chuàng)設(shè)情境，揭示課題同學(xué)們，在前兩次課中，我們學(xué)習(xí)了任意角的正、余弦函數(shù)，并借助于它們的圖像研究了它們的性質(zhì)。今天我

7、們將類比正弦、余弦函數(shù)的學(xué)習(xí)方法，在直角坐標(biāo)系內(nèi)學(xué)習(xí)另外一種三角函數(shù)，就是任意角的正切函數(shù)，正切函數(shù)的圖像如何畫？正切函數(shù)具有哪些性質(zhì)？這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。請同學(xué)們先自己閱讀教材p35的內(nèi)容，并思考以下問題：問題一： 正切函數(shù)如何定義的？正切函數(shù)的定義域是什么？教師提問，并及時(shí)對學(xué)生的回答進(jìn)行客觀和鼓勵(lì)性的評價(jià)，最后教師進(jìn)行總結(jié)和歸納。歸納：在直角坐標(biāo)系中，如果角滿足：r，k(kz)，那么，角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p（a，b），則ytan=是角的函數(shù)，我們把它叫作角的正切函數(shù)，其中定義域是k，kz. 學(xué)生帶著老師的問題閱讀教材并思考問題的答案，然后與同桌交流答案1， 培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力，讓

8、學(xué)生養(yǎng)成帶著問題閱讀教材的習(xí)慣2，為下面學(xué)習(xí)正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)做準(zhǔn)備新知探究問題二：我們前面學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)的圖像采用幾種方法做出來的？能否采用類比思想劃出正切函數(shù)的圖像？ 類比前面學(xué)習(xí)的正弦線我們學(xué)習(xí)角的正切線。請同學(xué)們繼續(xù)閱讀教材p35的內(nèi)容，歸納總結(jié)出正切線的做法和規(guī)律性。如下圖，單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)為a（1 ,0），任意角的終邊與單位圓交于點(diǎn)p，過點(diǎn)a（1 ,0）作x軸的垂線，與角的終邊或終邊的延長線相交于t點(diǎn)。從圖中可以看出：當(dāng)角位于第一和第三象限時(shí)，t點(diǎn)位于x軸的上方； 當(dāng)角位于第二和第四象限時(shí)，t點(diǎn)位于x軸的下方。分析可以得知，不論角的終邊在第幾象限，都可以構(gòu)造兩個(gè)相似三角形

9、，使得角的正切值與有向線段at的值相等。因此，我們稱有向線段at為角的正切線。教師對學(xué)生的回答進(jìn)行歸納總結(jié)，對正切線的作法進(jìn)行強(qiáng)調(diào)說明，尤其是角在第二、三象限時(shí)是過a點(diǎn)向終邊的反向延長線作垂線，不是向終邊作垂線 問題三：正切函數(shù)是不是周期函數(shù)？若是，最小正周期是什么？學(xué)生對前面所學(xué)習(xí)的正弦函數(shù)的畫法進(jìn)行回顧，一種是利用傳統(tǒng)的“列表-描點(diǎn)-連線”的方法，另一種是利用“正弦線”的方法作出的。然后思考正切函數(shù)圖像的畫法。1，學(xué)生通過思考能夠利用第一種方法作出正切函數(shù)的圖像，但是第二種方法可能不會，造成了思維的障礙，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣2，探索正切函數(shù)的周期性為下面做正切函數(shù)的圖像做準(zhǔn)備正切函數(shù)xy圖像

10、的作法正切曲線與漸近線由于正切函數(shù)是周期為的函數(shù)，所以我們類比研究正弦函數(shù)的圖像的方法，選擇一個(gè)周期內(nèi)來作正切函數(shù)的圖像，然后向左右進(jìn)行延伸即可。教師引導(dǎo)學(xué)生采用正切線作出圖像問題四：如何利用正切線畫出函數(shù)的圖像？ 1，利用正切線作，的圖象(1) 等分：把單位圓右半圓分成8等份。(2) 作正切線(3) 平移(4) 連線2, 根據(jù)正切函數(shù)的周期性，把上述圖像向左、右擴(kuò)展，得到正切函數(shù)，且的圖像，稱“正切曲線”0yx3,從上圖可看出，正切曲線是由被相互平行的直線xk(kz)隔開的無窮多支曲線組成的，這些直線叫作正切曲線各支的漸近線。學(xué)生根據(jù)教師的提示通過單位圓和正切線，類比正、余弦函數(shù)圖象的畫法作

11、出正切函數(shù)的圖象；圖像擴(kuò)展得到“正切曲線”讓學(xué)生學(xué)會分析、解決問題的一般方法（類比思想）；讓學(xué)生學(xué)會實(shí)際動(dòng)手作圖，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力； 學(xué)生得到“正切曲線”明確與“正弦曲線”的不同圖像時(shí)間斷的而且與無數(shù)條漸近線觀察圖像，提煉性質(zhì)問題五：你能利用正切函數(shù)的圖像得出正切函數(shù)性質(zhì)嗎？教師引導(dǎo)學(xué)生利用正切函數(shù)的圖像得出性質(zhì)：（1）定義域：；（2）值域：r（3）周期性：；（4）奇偶性：由知，正切函數(shù)是奇函數(shù)；（5）單調(diào)性：在開區(qū)間內(nèi)，函數(shù)單調(diào)遞增。(6)漸近線方程： 。（7）對稱中心： 問題六：正切函數(shù)在定義域能是不是單調(diào)函數(shù)？ 學(xué)生根據(jù)教師的提示總結(jié)歸納其性質(zhì)并與同桌交流答案培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識，

12、讓學(xué)生體會函數(shù)性質(zhì)與圖像之間的關(guān)系，體會形與數(shù)的結(jié)合更能抓住問題的本質(zhì)三點(diǎn)兩線法問題七：在做正弦曲線時(shí)有“五點(diǎn)法”，請同學(xué)們思考怎樣快速作出正切曲呢？（教師引導(dǎo)學(xué)生得到正切曲線的方法：三點(diǎn)兩線法。） 學(xué)生回顧思考，探究讓學(xué)生了解三點(diǎn)兩線法新知應(yīng)用，鞏固深化例1、不通過求值，比較下列各組數(shù)的大小.（1） tan167與tan173；（2） 與例2、 教師展示例題后，先讓學(xué)生自己分析思考，然后找學(xué)生到黑板上進(jìn)行演算，最后對學(xué)生的演算進(jìn)行客觀和鼓勵(lì)性的評價(jià)。對學(xué)生出現(xiàn)的問題進(jìn)行糾正，并且寫出規(guī)范的解題過程。學(xué)生自己動(dòng)手在草稿本上演算，找到的同學(xué)到黑板上演算，然后和同桌交流答案學(xué)生通過自己的實(shí)踐，真確

13、地體會函數(shù)的性質(zhì)，強(qiáng)化對新建構(gòu)的知識的理解與掌握，加深對所學(xué)知識的認(rèn)識。反饋演練2、關(guān)于正切函數(shù),下列判斷不正確的是（ ）a 是奇函數(shù) b 在整個(gè)定義域上是增函數(shù)c 在定義域內(nèi)無最大值和最小值3、求函數(shù)y=tan3x的定義域。在教師引導(dǎo)下由學(xué)生獨(dú)立完成及時(shí)反饋對知識的掌握情況與對知識鞏固歸納整理，整體認(rèn)識教師展示出問題后，讓學(xué)生自己總結(jié)歸納，提煉知識，然后教師根據(jù)時(shí)間提問學(xué)生（1）請同學(xué)們回顧本節(jié)課所學(xué)過的知識內(nèi)容有哪些？學(xué)到了哪些主要數(shù)學(xué)思想方法？（2）在本節(jié)課的學(xué)習(xí)過程中，你還有那些不太明白的地方，請向老師提出。（3）你自己認(rèn)為自己在這節(jié)課中的表現(xiàn)怎樣？有什么收獲？你最深的體會是什么？學(xué)生

14、自己對問題進(jìn)行思考，整理出1 本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識有哪些，列出提綱和同桌交流讓學(xué)生自己歸納總結(jié)，尋找知識建立的支點(diǎn)，有利于學(xué)生對知識的掌握；通過學(xué)生的自我總結(jié)，可以幫助學(xué)生逐漸養(yǎng)成歸納概括和提升抽象問題的能力。作業(yè)布置一.課堂作業(yè)：1教材39頁 練習(xí)題 第1，2，4三題2.求函數(shù) 的定義域二.課后思考題：畫出的圖像，并通過圖像討論函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，周期性）學(xué)生課后獨(dú)立完成在課堂作業(yè)本上教師進(jìn)行認(rèn)真批改復(fù)習(xí)鞏固知識，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)戰(zhàn)能力，培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問題的精神。八、板書設(shè)計(jì)：課題：7.1 正切函數(shù)的圖像及其性質(zhì)1，正切函數(shù)的定義2，正切線的作法3，正切函數(shù)圖像 4，正切函數(shù)圖像的性質(zhì)5，例題分析6，課后思考題教學(xué)反思