高考山東理科數(shù)學試題詳細解析（選擇、填空、解答題全解全析）

1、2011年普通高等學校全國統(tǒng)一考試（山東卷）理科數(shù)學一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的的四個選項中，只有一個項是符合題目要求的。（1）設集合，則a. b. c. d. 【解析】：，則，答案應選a。（2）復數(shù)為虛數(shù)單位）在復平面內對應的點所在的象限為a.第一象限 b.第二象限 c.第三象限 d.第四象限【解析】：對應的點為在第四象限，答案應選d.（3）若點在函數(shù)的圖象上，則的值為a. b. c. d. 【解析】：因為點在函數(shù)的圖象上，所以，答案應選d.（4）不等式的解集是a. b. c. d. 【解析】：解法一：當時，原不等式可化為，解得；當時，原不等式可化為，不

2、成立；當時，原不等式可化為，解得.綜上可知，或，答案應選d。解法二：可以作出函數(shù)的圖象，令可得或，觀察圖像可得，或可使成立，答案應選d。解法三：利用絕對值的幾何意義，表示實數(shù)軸上的點到點與的距離之和，要使點到點與的距離之和等于10，只需或，于是當，或可使成立，答案應選d。（5）對于函數(shù)，“的圖象關于軸對稱”是“是奇函數(shù)”的a充分不必要條件 b.必要不充分條件 c.充要條件 d.即不充分也不必要條件【解析】：若是奇函數(shù)，則的圖象關于軸對稱；反之不成立，比如偶函數(shù)，滿足的圖象關于軸對稱，但不一定是奇函數(shù)，答案應選b。（6）若函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則a. b. c. d. 【解析】

3、：解法一：函數(shù)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，則，即，答案應選c。解法二：令得函數(shù)在為增函數(shù)，同理可得函數(shù)在為減函數(shù)，則當時符合題意，即，答案應選c。解法三：由題意可知當時，函數(shù)取得極大值，則，即，即，結合選擇項即可得答案應選c。解法四：由題意可知當時，函數(shù)取得最大值，則，結合選擇項即可得答案應選c。（7）某產品的廣告費用與銷售額的統(tǒng)計數(shù)據如下表：廣告費用（萬元） 4 2 3 5銷售額（萬元） 49 26 39 54根據上表可得回歸方程中的為9.4，據此模型預報廣告費用為6萬元是銷售額為a.6.6萬元 b. 65.5萬元 c. 67.7萬元 d. 72.0萬元【解析】由表可計算,因為點在回

4、歸直線上,且為9.4，所以, 解得,故回歸方程為, 令x=6得65.5,選b.（8）已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點為圓的圓心，則該雙曲線的方程為a. b. c. d. 【解析】：圓化為標準方程，圓心（3,0），所以雙曲線的右焦點為（3,0），而，則，答案應選a。d.c.b.a.（9）函數(shù)的圖象大致是【解析】：函數(shù)為奇函數(shù)，且，令得，由于函數(shù)為周期函數(shù)，而當時，當時，則答案應選c。（10）已知是上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當時，則函數(shù)的圖象在區(qū)間上與軸的交點的個數(shù)為a.6 b.7 c.8 d.9【解析】：當時，則，而是上最小正周期為2的周期函數(shù)，則，答案應選b。(11)右圖

5、是長和寬分別相等的兩個矩形。給定三個命題：存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖；存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖。其中真，命題的個數(shù)是a.3 b.2 c.1 d.0【解析】：均是正確的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱，讓其直角三角形直角邊對應的一個側面平臥；直四棱柱的兩個側面是正方形或一正四棱柱平躺；圓柱平躺即可使得三個命題為真，答案選a。（12）設是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若,且，則稱調和分割，已知平面上的點調和分割點，則下面說法正確的是a. c可能是線段ab的中點 b. d可能是線段ab的中點c. c,d可能同時在線段ab上

6、d. c,d不可能同時在線段ab的延長線上【解析】：根據題意可知，若c或d是線段ab的中點，則，或，矛盾；若c,d可能同時在線段ab上，則則矛盾，若c,d同時在線段ab的延長線上，則，故c,d不可能同時在線段ab的延長線上，答案選d。二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分。（13）執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入，則輸出的y的值是 。【解析】：當輸入l=2，m=3，n=5時不滿足，因此執(zhí)行： 。由于278105，故執(zhí)行,執(zhí)行后y=278-105=173，再執(zhí)行一次y=y-105后y的值為173-105=68，此時68105不成立，故輸出68.答案應填：68.（14）若展開式的常數(shù)項為60

7、，則常數(shù)的值為 ?！窘馕觥浚旱恼归_式通項，令。答案應填：4.（15）設函數(shù)，觀察：，根據上述事實，由歸納推理可得：當，且時， 。【解析】：由題意，以此類推可得。答案應填：。16.已知函數(shù)且。當時函數(shù)的零點為，則 ?！窘馕觥浚焊鶕?，而函數(shù)在上連續(xù)，單調遞增，故函數(shù)的零點在區(qū)間內，故。答案應填：2.三、解答題：本大題共6小題，共74分。17.（本小題滿分12分） 在中，內角的對邊分別為，已知，（）求的值；（）若，求的面積s?！舅悸贩治觥浚ǎ┮阎堑仁街屑群薪嵌扔趾羞呴L，由于所求為角的函數(shù)值，因此可考慮利用正弦定理將邊的關系轉化為角的三角函數(shù)，進行化簡得到，再逆用兩角和的正弦公式即得；（）依據

8、題設條件，欲求的面積s可考慮正弦面積公式，如何求出a,c呢？由（）知的值，利用正弦定理的a,c的一個方程，又有余弦定理得到第二個方程，將兩個方程聯(lián)立解出a,c的值，代入得到三角形的面積。解：（）在中，由及正弦定理可得，即則，而，則，即。另解1：在中，由可得由余弦定理可得，整理可得，由正弦定理可得。另解2：利用教材習題結論解題，在中有結論.由可得即，則，由正弦定理可得。（）由及可得則，s，即。（18）（本題滿分12分） 紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員a、b、c進行圍棋比賽，甲對a、乙對b、丙對c各一盤。已知甲勝a、乙勝b、丙勝c的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設各盤比賽結果相互獨立。（）求紅

9、隊至少兩名隊員獲勝的概率；（）用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望。【思路分析】（）紅隊至少兩名隊員獲勝的情況有：甲乙勝丙不勝，甲丙勝乙不勝，乙丙勝甲不勝，甲乙丙都勝。這四個事件彼此互斥，可利用彼此互斥事件有一個發(fā)生的概率加法公式進行求解；（）依題意可知，對應的事件為：甲乙丙都不勝；對應的事件為：甲勝乙丙不勝，乙勝甲丙不勝，丙勝甲乙不勝；對應的事件為：甲乙勝丙不勝，甲丙勝乙不勝，乙丙勝甲不勝；對應的事件為：甲乙丙都勝。解析：（）記甲對a、乙對b、丙對c各一盤中甲勝a、乙勝b、丙勝c分別為事件,則甲不勝a、乙不勝b、丙不勝c分別為事件，根據各盤比賽結果相互獨立可得故紅隊至少兩名隊員獲

10、勝的概率為.（）依題意可知，；;.故的分布列為0123p0.10.350.40.15故.19. （本小題滿分12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形為平行四邊形，平面，（）若是線段的中點，求證：平面；（）若，求二面角的大小幾何法：【思路分析】（）證明直線與平面平行最常用的方法有兩種，一是判定定理，二是平面與平面平行的性質。本題兩種方法都可以證明。思路一：注意到四邊形為平行四邊形，且，從而，又點是線段的中點，所以，四邊形為平行四邊形，則，由直線與平面平行的判定定理得證；思路二：取的中點為n,連接mn,gn,易證明平面mng/平面abfe，再由平面與平面平行的性質可得平面。（）求解二面角的平面角一般可

11、考慮幾何法和向量法兩種方法。思路一：（幾何法）因為平面，則平面,因而可考慮三垂線定理法作出二面角的平面角。取ab的中點h，則， 平面，作，則為二面角的平面角。然后利用直角三角形計算出角的大小。思路二：（向量法）易知兩兩垂直，因此可以分別以ac,ad,ae為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量的坐標運算求出兩個半平面的法向量，再由公式求得二面角的大??； 證明：（），可知延長交于點，而，則平面平面，即平面平面，于是三線共點，若是線段的中點，而,則，四邊形為平行四邊形，則，又平面，所以平面；（）由平面，作，則平面，作，連接，則，于是為二面角的平面角。若，設，則，為的中點，在中,則，即二面角的

12、大小為。坐標法：（）證明：由四邊形為平行四邊形， ，平面，可得以點為坐標原點，所在直線分別為建立直角坐標系，設，則,.由可得，由可得,，則，而平面，所以平面；（）（）若，設，則， ,則,設分別為平面與平面的法向量。則，令，則，； ，令，則，。于是，則，即二面角的大小為。20. （本小題滿分12分）等比數(shù)列中，分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù)，且中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行第三行（）求數(shù)列的通項公式；（）若數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和【思路分析】（）可采用逐項分析驗證的方法得到只有一組值符合題意，由此得到公比q的值，進而求出數(shù)列的通項公式；（）將（）得到的代入并

13、進行化簡，得，由三部分的和構成，因此考慮利用拆項法求和，又由于式子中含有，因而還應該考慮分n為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況求和。解析：（）由題意可知，公比，通項公式為；（）當時，當時故另解：令，即則故.21. （本小題滿分12分）某企業(yè)擬建造如圖所示的容器（不計厚度，長度單位：米），其中容器的中間為圓柱形，左右兩端均為半球形，按照設計要求容器的容積為立方米，且假設該容器的建造費用僅與其表面積有關已知圓柱形部分每平方米建造費用為3千元，半球形部分每平方米建造費用為（）千元設該容器的建造費用為千元（）寫出關于的函數(shù)表達式，并求該函數(shù)的定義域；（）求該容器的建造費用最小時的【思路分析】（）本小題難度較小，比較

14、容易理解題意，但需要注意運算。首先應該根據所給容器的體積把圓柱的高用表示出來，再求出關于的函數(shù)表達式。而函數(shù)的定義域應由解出，同時注意；（）由（）得到的關于的函數(shù)表達式，要求y最小時r的值，需要考慮運用導數(shù)求函數(shù)的最值。因為得到的與函數(shù)的定義域的關系不能確定，因此需要分類討論。解析：（）由題意可知，即，則.容器的建造費用為，即，定義域為.（），令，得.令即，（1）當時，當，函數(shù)為減函數(shù)，當時有最小值；（2）當時，當，；當時，此時當時有最小值。22. （本小題滿分12分）已知動直線與橢圓：交于兩不同點，且的面積，其中為坐標原點（）證明：和均為定值；（）設線段的中點為，求的最大值；（）橢圓上是否存

15、在三點，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請說明理由【思路分析】這個題目關鍵是做好第（）問，由于第（）問作為起點比前幾年第（）問高了些（前幾年第（）問多數(shù)為求曲線方程，比較簡單，而今年的第（）問思維量大、運算量大，還需要進行分類討論），所以考生普遍感到較難事實上，第（）問完全可以通過特殊情況的研究獲得正確的結果，做第（），（）問時只要充分利用第（）問的結果，是不難做好的解析：（）當直線的斜率不存在時，兩點關于軸對稱，則，由在橢圓上，則，而，則于是，.當直線的斜率存在，設直線為，代入可得，即，即，則，滿足，綜上可知，.（）當直線的斜率不存在時，由（）知當直線的斜率存在時，由（）知，當且僅當，即時等號成立，綜上可知的最大值為。（）假設橢圓上存在三點，使得，由（）知，.解得,，因此只能從中選取，只能從中選取，因此只能從中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線必有一個過原點，這與相矛盾，故橢圓上不存在三點，使得。 【解后反思】（）這是大多數(shù)學生熟悉的解法，特別是從特殊情況討論的辦法，值得同學們重視一般地，定值問題都可以利用特殊情況確定這個定值，使對一般情況的研究有了方向解法二：若使用面積公式，其中，同樣能得到，這個辦法可以使運算量減小，應該適當考慮這個辦法一般地，用割補法求三角形的面積時