儲油罐的變位識別與罐容表標定模型(數(shù)學建模論文)

1、2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽承 諾 書我們仔細閱讀了中國大學生數(shù)學建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我們參賽選擇的題號是（從a/b/c/d中選擇一項填寫）： a 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報名號的話）： 所屬學校（請?zhí)顚懲暾娜?參賽隊員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導教師或指導教師組負責人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2010高教社杯全國大學生數(shù)學建模競賽編 號 專 用 頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：儲油罐的變位識別與罐容表標定摘 要本文旨在對儲油罐的變位情況進行分析，并建立體積積分模型對罐容表的標定值進行求解計算。根據(jù)題意要求對發(fā)生變位

3、，即縱傾與橫滾情況下的儲油罐罐容表進行正確的標定定位，需要標定的油罐分為兩種，通過分析我們考慮到，對于橢圓柱體油罐和實際油罐其初步的分析情況是一致的，都需求解出兩側(cè)的面積，并在此基礎(chǔ)上對圓柱的變化情況進行積分，并根據(jù)其特有的結(jié)構(gòu)進行一定的近似積分求解。本題所涉及到主要工作有體積積分模型的建立，數(shù)據(jù)的擬合，誤差的分析以及罐容表的標定。對于第一問，要求對橢圓型的儲油罐進行罐容表標定，由于橢圓油罐的傾斜角是已知的，故我們可以根據(jù)正切關(guān)系求解出測量高度下的左側(cè)面的液面高度，為了積分求解的方便，我們建立橢圓曲線方程式，并移動坐標軸至橢圓低端，進一步在轉(zhuǎn)化為極坐標的情況下，對相應(yīng)液面高度的橢圓面積進行積分

4、，從而得到左側(cè)液面高度的面積值。通過分析我們考慮到，由于液面是按一定的規(guī)律從左至右傾斜而下，以及考慮到斜液面的積分分為三段高度，故我們在求解出左側(cè)面積的基礎(chǔ)上對斜率變化下的橢圓面積進行分段積分，由此得到橢圓柱體儲油罐相應(yīng)高度的體積情況，通過對原始數(shù)據(jù)的比較，發(fā)現(xiàn)有一定的誤差，并按油面的高度成二次曲線的關(guān)系，最后我們根據(jù)體積積分模型以及結(jié)合誤差關(guān)系曲線得出了120個間隔為1cm高度的橢圓柱油罐體體積。對于第二問，要求對實際的球冠柱體的儲油罐進行罐容表的標定，由于題中所給的縱傾角和橫滾角是未知的，故我們需要在建立模型的基礎(chǔ)上用最小二乘法擬合得到角度的參數(shù)。通過分析我們考慮到附件2中的油量累加體積數(shù)

5、據(jù)可能存有很大的誤差，而兩個時間點下少量的出油體積數(shù)據(jù)是準確無誤的，故擬合參數(shù)時，必須要把前一個高度下計算得出的體積量減去下一個的體積量。在建立模型時，我們使用了坐標變換的方法并結(jié)合使用兩個切面的二重積分方法得出了中間圓柱體的體積，進一步的我們對兩個球冠頭依次按照橫切和縱切的一重積分法得出其相應(yīng)體積，由于切割面積是建立在相對于油罐的水平情況下，而液面的高度是水平于地平線的，故還存有一個小切塊體積，我們同樣使用三角形近似切割積分法對兩個球冠頭下剩余的切塊體積進行求解。綜合以上三個積分體積之和以及在考慮到液面的分段情況下，我們使用逐步搜索法對角度參數(shù)進行精度搜索并結(jié)合最小二乘法得出了的值為。最后我

6、們根據(jù)得出的角度值計算出了30個間隔為10cm高度的儲油罐體積值。本文最后對模型的優(yōu)缺點進行了分析，并對在相互變化的情況下進行了靈敏度分析。文章中我們使用了大量的圖表使抽象的理論情況更為形象化。關(guān)鍵詞：最小二乘擬合 體積積分 縱傾橫滾 坐標變換 逐步搜索法1 問題重述通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統(tǒng)”，采用流量計和油位計來測量進/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過預先標定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲油量的對應(yīng)關(guān)系）進行實時計算，以得到罐內(nèi)油位高度和儲油量的變化情況。許多儲油罐在使用一段時間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會發(fā)生縱向傾斜和橫向偏

7、轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對罐容表進行重新標定。請你們用數(shù)學建模方法研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的問題。 （1）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，利用如圖4的小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體），分別對罐體無變位和傾斜角為的縱向變位兩種情況做了實驗，實驗數(shù)據(jù)如附件1所示。請建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。（2）對于圖1所示的實際儲油罐，試建立罐體變位后標定罐容表的數(shù)學模型，即罐內(nèi)儲油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請利用罐體變位后在進/出

8、油過程中的實際檢測數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值。進一步利用附件2中的實際檢測數(shù)據(jù)來分析檢驗?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。2 問題分析本文主要是讓我們根據(jù)小橢圓型模型求得實際罐容與高度的關(guān)系式，進而標定罐容表。對于小橢圓模型，想到應(yīng)該先求出無變位時的模型，這部分是規(guī)則題，應(yīng)該能求出具體表達式。在得到無變位模型后，我們分析變位和無變位之間的區(qū)別僅僅在于變位后，罐內(nèi)油位高度不是定值，而是沿著一個平面線性變化。這時計算體積，想到只要把每個地方的橢圓面面積都求出來，進而積分就可以得到。而橢圓面的截面積在無變位模型時已求解出，

9、我們只需將始終的高度用現(xiàn)在的高度表達式替換即可。在得到第一問的模型后，分析第二問中實際儲油罐與小橢圓儲油罐的區(qū)別在于中間部分為圓柱體，兩邊為球罐體。中間部分與第一問中的橢圓柱體本質(zhì)上是一致的，只是加上橫向偏轉(zhuǎn)后，實際各點高度與油位計的高度關(guān)系更為復雜。兩邊的球罐體可以采用分割近似求解來求。3 模型假設(shè)1 假設(shè)在理論計算體積時，不考慮罐壁厚度；2 假設(shè)理論值與實際值的誤差主要來自于罐體內(nèi)部結(jié)構(gòu)； 3 假設(shè)給出的實驗數(shù)據(jù)與真實值很接近，可以作為檢驗數(shù)據(jù)；4 假設(shè)罐體結(jié)構(gòu)不會隨溫度、儲油量或其它環(huán)境因素的影響而發(fā)生變形。4 符號說明無變位時油罐體罐容； 變位時油罐體罐容；油位計測量罐內(nèi)油位高度； 截

10、面面積。5 小橢圓儲油罐罐容標定模型（問題一）為了掌握罐體變位后對罐容表的影響，本節(jié)利用小橢圓型儲油罐（兩端平頭的橢圓柱體）來模擬實際儲油罐，分別針對罐體無變位和傾斜角為a=4.100的縱向變位兩種情況建立數(shù)學模型，與實驗數(shù)據(jù)進行比對，分析模型的正確性，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值。本節(jié)內(nèi)容安排如下：l 罐體無變位模型l 罐體變位模型l 結(jié)果與誤差分析l 罐容表標定5.1 罐體無變位模型問題要求我們建立數(shù)學模型研究罐體變位后對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標定值?？紤]到罐體傾斜后，涉及到傾角，在用幾分求體積表達式時比較復雜，為此我們先研究簡單情

11、況罐體無變位時罐容（體積）與油位計測量罐內(nèi)油位高度的關(guān)系式，即為罐體無變位時的數(shù)學模型。下面分析求解過程及計算方法。5.1.1 罐容與油位高度的關(guān)系式無變位模型為使問題數(shù)學化，我們采用解析幾何的方法，首先建立如圖所示三維直角坐標系，如圖5.1所示。圖5.1 三維直角坐標系我們要求罐容，也就是圖中虛線以下部分體積，與油浮子高度的關(guān)系式，顯然需要用到多重積分。已知三重積分的積分函數(shù)時，其在空間有界閉區(qū)域上得三重積分即為有界閉區(qū)域的體積，即 （5-1）根據(jù)上述知識，我們只需要確定有界閉區(qū)域的空間表達式，即可在上對函數(shù)積分得到的體積。（1）積分空間的表達式圖5.1給出的是橢圓形儲油罐的正面圖，我們畫出

12、其側(cè)面圖（橢圓），將其放在與圖5.1一致的直角坐標系內(nèi)，如圖5.2所示。圖5.2 儲油罐側(cè)面圖我們可以清楚地看出側(cè)面是一個橢圓，已知其半長軸和半短軸，可以很快寫出其表達式如下： （5-2）在確定側(cè)面橢圓表達式后，我們來確定上面表達式，上面應(yīng)是平行與平面的平面，其表達式為： （5-3）在確定這兩個面以后，還需知道的范圍，從圖中可以看出 （5-4）由此，我們可以得到空間有界閉區(qū)域應(yīng)為曲面，平面，圍成的閉區(qū)域，即： （2）閉區(qū)域的體積無變位時罐容表達式三重積分求解過程如下：將投影到面上，得投影區(qū)域如圖5.3所示。圖5.3 投影區(qū)域則應(yīng)有 （5-5）只需求解雙重積分即可得出體積。顯然雙重積分應(yīng)為圖中陰

13、影部分的面積，記為。由于滿足橢圓關(guān)系式，這里采用極坐標計算。先進行坐標變換：雙重積分 （5-6）令 ，由積分限 ，得 ，只取到橢圓的右半部分，故 （5-7）最終得到無變位時罐容表達式為： （5-8）5.1.2 分析理論與實驗結(jié)果我們將附件1中無變位進油和無變位出油時測得的油位高度帶入式（5-8），求出對應(yīng)的罐容理論計算值，如附表1.1所示，matlab程序見附錄2.1。這里給出部分理論值表，如表5.1所示。表5.1 無變位時部分罐容值油位高度/mm實際罐容/l理論罐容/l誤差/l100.00163.594159.02312322.8810.88176.14362374.6312.63192.5

14、9412426.3614.36208.50462478.1316.13223.93512529.8517.85238.97562581.6119.61253.66612633.3521.35268.04662685.0823.08為清晰看出實驗值與理論值之間的關(guān)系，利用matlab畫出兩者相同高度對應(yīng)的體積走勢圖如下圖5.4所示。圖5.4 理論值與實際值比較分析結(jié)果：比較理論與實際差值，發(fā)現(xiàn)理論值比實際值高，且隨著油位計測量罐內(nèi)油位高度的增加，差值變大。這一結(jié)果與事實是相符的，為證明模型的正確性，下面分析理論值與實際值不一致，且隨高度增加變大的原因。從題目中給出的圖形，不難發(fā)現(xiàn)，儲油罐底部空間

15、內(nèi)部基本沒有什么管道之類，而越到上部，罐內(nèi)結(jié)構(gòu)越復雜，所占空間也越多，所以實際容積會出現(xiàn)比理論值小的現(xiàn)象。根據(jù)實際儲油罐的內(nèi)部結(jié)構(gòu)決定當采用相同高度計算理論值時會比實際罐容量大，這是合乎實際的。因而可以確定本模型是正確的。5.2 罐體變位模型在得到小橢圓儲油罐無變位模型后，我們再考慮傾角對罐容的影響。此時，由于已有正常情況下的模型，我們只要找到變位模型與無變位模型的關(guān)系，推理過去，即可得到變位模型。下面分析求解方法、過程以及結(jié)果分析。5.2.1 罐容與油位高度的關(guān)系式變位模型（1）建立直角坐標系同樣，我們用解析幾何及微積分知識來建模。首先，建立直角坐標系。由于儲油罐發(fā)生變位，有一定得傾角，因此

16、在建立直角坐標系時，就得考慮怎樣選取坐標軸。此時，若取水平線為一條軸，顯然會使問題變得復雜，尤其是橢圓面的表達式，且前面求得的無變位模型沒有使用價值。考慮到以上因素，我們?nèi)越⑴c無變位模型相一致的坐標系，如圖5.5所示。只是，此時罐內(nèi)液體不在與罐底平行，而是發(fā)生一定程度的傾斜。圖5.5 三維直角坐標系（2）積分空間的表達式和無變位模型分析一樣，我們只需確定積分空間，然后對積分函數(shù)在閉區(qū)域內(nèi)進行三重積分即可求得變位時罐容與油位高度的數(shù)學模型。分析比較發(fā)現(xiàn)，變位模型與無變位模型最大的區(qū)別在于，無變位模型液面與面平行，變位模型與面存在一定夾角。這就使得原積分空間是由大小一致的橢圓面（一部分）累加而成

17、，現(xiàn)在的積分空間是隨著值改變大小改變的橢圓面（一部分）累積而成。因此，我們只需確定空間上面的表達式即可知道積分空間。從圖5.4中不難求出上平面的表達式如下： （5-9）故應(yīng)是平面平面，橢圓面，及圍成，即：（3）閉區(qū)域的體積變位時罐容表達式我們分析知道每一個液面高度對應(yīng)一個面積，當把所有的面積累加起來（積分）就可得到體積。在無變位模型時，面積是一個定值，現(xiàn)在只需將原模型中的高度用現(xiàn)在變化的高度表達式替換，然后再積分即可得體積?？紤]到罐體發(fā)生變位后，體積求解會隨高度的變化而使表達式發(fā)生改變，體積應(yīng)是油高的分段函數(shù)。對此，我們將體積的求解分為如圖5.6所示三段考慮。 圖5.6 分段示意圖第一種情況，

18、求解過程如下：當時，也就是油位高度超過圖中第i部分的最大高度，但小于第iii部分的最低高度時，此種情況跟無變位時求解方法一樣。我們利用無變位時油位高度對應(yīng)的面積表達式 ，根據(jù)高度表達式，可以知道每個位置對應(yīng)的高度，將無變位時面積表達式中的用替換，即可得到傾角時的面積表達式為： （5-10）在得到面積關(guān)于的表達式后，我們對從0到積分，即可得第一種情況下儲油罐裝油體積（罐容）與油位高度的表達式： （5-11）第二種情況，求解過程如下：當時，也就是油位高度在圖中第i部分范圍內(nèi)時。分析知，在求其體積時，面積表達式與第一種情況一樣，只是積分限不再是從0到，而應(yīng)變?yōu)閺?到。因此，在求解體積時只需將積分限改

19、變，就可以求得第二種情況下儲油罐裝油體積與油位高度的表達式：（5-12）第三種情況，求解過程如下：當時，即油位高度上升到圖中第iii部分時，分析知可以采用整個儲油罐體積減去沒有裝油的體積。對于iii部分沒有裝油的體積，我們同樣先求橢圓面面積，此時高度應(yīng)為利用式（5-7）可以得到上面沒有裝油的部分平行于平面的截面積如下：然后對從到積分，即可得沒有裝油部分的體積。整個油罐的體積為，用其減去沒有裝油部分的體積，得到第三種情況下儲油罐裝油與油位高度的關(guān)系式為：（5-13）綜合上述三種情況得到變位時罐容與油高的關(guān)系式為：注：用上式求得體積單位為立方米（1立方米=1000升）。5.2.2 結(jié)果與誤差分析我

20、們利用matlab編程求解附件1中變位進油和變位出油高度時，對應(yīng)的罐容理論計算值，如附表1.2所示，程序見附錄2.2。這里給出部分數(shù)據(jù)，如表5.2所示。表5.2 變位后部分理論計算值油位高度/mm實際罐容/l理論罐容/l誤差/l411.29962.861010.0847.22 423.451012.861058.3645.51 438.331062.861118.08355.22 450.541112.861167.5654.71 463.901162.861222.1259.32 477.741212.861279.2366.37 489.371262.861327.5264.66 502.

21、561312.791382.6469.85 514.691362.791433.6470.85 為清晰看出實驗值與理論值之間的關(guān)系，利用matlab畫出兩者相同高度對應(yīng)的體積走勢圖如下圖5.7所示。圖5.7 變位后實際值與理論值比較理論與實際差值，發(fā)現(xiàn)理論值同樣比實際值高，但隨著油位計測量罐內(nèi)油位高度的增加，誤差先變大后變小。這一結(jié)果與事實是相符的，為驗證模型的正確性，下面分析理論值與實際值不一致，且誤差隨高度增加先變大后變小的原因。從題目中給出的圖形，不難發(fā)現(xiàn)，儲油罐底部空間內(nèi)部基本沒有什么管道，而越到上部，罐內(nèi)結(jié)構(gòu)越復雜，所占空間也越多，所以實際容積會出現(xiàn)比理論值小的現(xiàn)象。隨著油位高度的升

22、高，誤差逐漸積累，因而誤差先增大。當油位上升到一定高度后，上部空間會出現(xiàn)增大的趨勢，因而誤差又逐漸減小，所以本模型正確。5.2.3 罐體變位罐容表標定在得到變位罐容與高度的模型后，我們可以標出理論罐容表標定值，顯然這樣做沒有實際意義。因為，標定罐容表是為了方便我們真實的了解罐體發(fā)生變位后油位高度與儲油量的實際關(guān)系?？紤]到此，我們決定對誤差進行擬合，得到誤差表達式，再用理論模型減去誤差，即可得到與實際情況很接近的罐容標定模型。（1）誤差擬合用matlab畫出附表2.1中的誤差隨高度變化的曲線如圖5.8所示（藍色部分），可以很快看出誤差隨高度的變化呈現(xiàn)拋物線趨勢，因而我們決定采用拋物線函數(shù)來擬合。

23、圖5.8 誤差擬合曲線設(shè)擬合誤差函數(shù)為二次拋物函數(shù)，利用matlab編程可以很快求出參數(shù)畫出擬合誤差函數(shù)的圖形如圖5.8（紅色部分），可以看出二次曲線能很好反映誤差變化趨勢，且當用理論值減去用誤差函數(shù)計算的誤差時，結(jié)果與實驗值很接近。（2）罐容表標定在得到誤差擬合曲線后，我們來進行罐容標定。由于實驗給出的數(shù)據(jù)都是在情況下的數(shù)據(jù)，且根據(jù)上述誤差表達式知道在很小時誤差幾乎為0，因而時就不進行誤差修訂。根據(jù)上述分析，以及上文求得的體積和誤差表達式，我們可以得到進行誤差修訂后的體積表達式 （5-14）利用matlab編程，得到油位高度變化1cm時的管容標定表如表5.3所示。表5.3 罐容標定表高度(c

24、m)標定值(l)高度(cm)標定值(l)高度(cm)標定值(l)高度(cm)標定值(l)13.5331625.24611756.43913035.9126.2732656.05621798.89923076.4539.9833687.53631841.49933116.68414.7634719.64641884.22943156.59520.7035752.36651927.08953196.14627.8636785.68661970.03963235.32736.3237819.56672013.08973274.12846.1538853.99682056.20983312.50957

25、.4039888.95692099.39993350.441070.1440924.42702142.621003387.931184.4141960.38712185.881013424.9412100.2742996.81722229.171023461.4413117.76431033.69732272.461033497.4014136.94441071.01742315.751043532.8115248.63451108.75752359.011053567.6216263.82461146.89762402.231063601.8117280.48471185.41772445.

26、401073635.3518298.49481224.30782488.511083668.1919317.74491263.55792531.531093700.3020338.16501303.13802574.461103731.6421359.68511343.03812617.281113762.1622382.25521383.24822659.971123791.8123405.80531423.74832702.521133820.5324430.31541464.52842744.921143848.2625455.72551505.55852787.141153874.90

27、26482.00561546.83862829.171163900.3727509.11571588.35872871.001173924.5128537.02581630.08882912.601183947.0429565.69591672.01892953.971193967.8730595.11601714.14902995.071203987.03分析變位后罐容表標定值，可以發(fā)現(xiàn)從14cm到15cm體積明顯增大，因為此時處于第一段和第二段分界值兩邊，所以體積明顯增大與實際物體形狀相符。從117cm以后增大趨勢減小，是因為處于第二段和第三段分界處，在向上體積增加將會減小。6 實際儲油罐

28、罐容標定模型（問題二）為了掌握實際儲油罐罐體變位后對罐容表的影響，本節(jié)針對罐體縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)時的情況，建立了罐容與罐內(nèi)油位高度關(guān)系式的數(shù)學模型，應(yīng)用實驗數(shù)據(jù)求出變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標定值，最后檢驗?zāi)Ｐ偷臏蚀_性。本節(jié)內(nèi)容安排如下：l 儲油罐罐體變位模型l 變位參數(shù)的確定l 罐容表標定l 結(jié)果分析6.1 實際儲油罐罐體變位模型在得出第一問模型后，對第二問有很多啟發(fā)。在求解第二問體積與高度的關(guān)系式時，我們可以借助第一問的求解思路，對此我們將實際儲油罐分為三部分兩個球冠體、一個圓柱體，分別求出每部分體積后相加，即可得實際儲油罐儲油體積與油位高度的關(guān)系式。建立如圖

29、6.1所示三維直角坐標系，由圖清晰得知需要求三部分的體積，下面分別介紹每部分的求解過程。 6.1.1圓柱體部分的體積（1）求截面積我們從實際儲油罐中拿出圓柱體部分，畫出示意圖如圖6.2所示，同樣需要分三種情況考慮。下面先計算平行于平面高度為的截面的面積。圖6.2 圓柱體部分畫出截面部分示意圖，如圖6.3所示。圖6.3 截面示意圖觀察發(fā)現(xiàn)截面都是圓的一部分，寫出圓的表達式如下： 我們需要求出圖中陰影部分面積 采用極坐標法來求解，先令 然后換積分限，時，只是右半部分，由于兩邊對稱，所以 （6-1）在求得截面面積后，我們需要找到與的關(guān)系式，從而能夠得到截面積與的關(guān)系式，又知上平面方程為 分析罐體變位

30、時，油位探針相對于罐體的位置不變，從側(cè)面看它應(yīng)是始終通過圓心的，示意圖如圖6.4所示。圖6.4 側(cè)面變位示意圖由圖可以很快求出與的關(guān)系式如下： 將的表達式帶入式（6-1），求得截面積與的關(guān)系式如下： （6-2）（2）圓柱部分的體積第一種情況：當，即時，積分函數(shù)為截面積，積分限為，求得體積第二種情況：當，即時，積分函數(shù)為截面積，積分限為，求得體積第三種情況：當，即時，這種情況需要分為兩段來考慮，第一部分是整個圓面從0到對積分，第二部分還是對截面積積分，積分限為，求得體積最終得到圓柱部分的體積為6.1.2 左側(cè)球罐體部分的體積為使計算簡單我們以球心為原點建立新的直角坐標系，如圖6.5所示。圖6.5

31、 球罐體坐標系由勾股定理可以求出球的半徑，用如下式計算 求得半徑，進而可以寫出球的解析方程 寫成極坐標形式為 分析知需將球罐體分為兩部分來求解，紅線以上和紅線以下兩部分，下面分開求兩部分的體積。（1）球罐體下部分體積我們采用平行于平面的截面去截下部分體積，因而我們先求截面面積。截面是球的一部分，表達式為，所以應(yīng)該是一簇平行圓面的一部分，畫出示意圖如圖6.6所示。圖6.6 截面示意圖圖中陰影部分面積就是需要求解的，由于是圓，面積計算方便，這里就采用扇形面積減去三角形面積計算。扇形面積： 三角形面積： 陰影部分面積： 在得出截面積后，我們把截面積作為積分函數(shù)，對從到積分，其中這里采用極坐標求解，需

32、要換積分限，積分限變?yōu)閺牡?，最終得到球罐體下部分體積為（2）球罐體上部分體積在與上圖同樣的坐標系中，我們畫出球罐體上部分示意圖，如圖6.7所示。圖6.7 罐體上部分示意圖底面平面是一個圓面，圓面的方程為，上面是一個與面呈傾角的平面，左側(cè)是球體的一部分。由于傾角不大，為計算出這部分的體積，我們把球面近似看成與面垂直的柱面，當我們作與面平行的截面時，截面就近似為一個個的三角面，求出每個的面積，累加積分即可求出該部分的體積。三角截面的面積：對面積積分得到體積為：將兩部分體積相加得到左側(cè)球罐體部分的體積為：6.1.3 右側(cè)球罐體部分的體積求右側(cè)體積時，方法和過程和左側(cè)基本一致，只是需要改動一些參量，讓

33、兩部分相減來得到。示意圖如下圖6.8所示。圖6.8 右側(cè)罐體示意圖首先還是求解下部分體積，分析知只需將左側(cè)下部分體積表達式中的高度變?yōu)榧纯?，表達式如下：其次，觀察上面部分，與左側(cè)的球法也是一樣的，近似求解出體積為：從而的到右側(cè)球罐體的體積為：整個罐體變位后罐容與高度關(guān)系式將以上三部分求得的體積相加即可得到整個罐體變位后罐容與高度關(guān)系式為6.2 變位參數(shù)的確定在得到整個球罐體變位后儲油量與油位高度的關(guān)系式后，我們需要確定變位參數(shù)縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b，附件2中給出了實際儲油量與油位高度的數(shù)據(jù)，分析決定采用最小二乘法來擬合求解體積表達式中的未知參數(shù)a、b。根據(jù)上文求解的的表達式，擬合實驗數(shù)

34、據(jù)中出油量，用最小二乘法就是使誤差的平方和最小，即使達到最小。我們使用matlab編程求解，使用搜索法求解縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b，程序見附錄1.3。具體搜索算法如下：step1: 選取弧度角、的步長為0.1，從初始值為至開始進行搜索。step2: 將附件2中的出油量數(shù)據(jù)代入到模型中，由于油罐處于傾斜狀態(tài)，故我們選取測量高度值的中間250個數(shù)據(jù)。step3：對250個高度值在不同、角的情況下進行模型求解，并將得到的數(shù)據(jù)帶入最小二乘法的模型，使誤差的平方和最小。step4: 在得到粗略的、值后，我們在粗略值附近0.2度內(nèi)，選取步長0.01進行精確搜索求解，直到找到最優(yōu)值。step5：將得到

35、的、值帶入公式，求出誤差精度。6.3 靈敏度分析與罐容表標定用matlab編程擬合求解出=2.11，=4.31，將、帶入體積表達式，求解出各高度對應(yīng)的體積見附表1.3。分析知用最小二乘法擬合的結(jié)果與實驗值比較接近，誤差較小。為分析出、角度變化對體積的影響，我們將改變，觀察到需要調(diào)整很大角度，才能與實驗結(jié)果接近，且擬合精度不高。而當改變，稍微調(diào)整角，體積就會有較大變化，很快接近實驗值，說明角比角對罐容的影響大。利用表達式求出間隔10cm的體積，做出罐容標定表如表6.1所示。表6.1 罐容標定表高度(cm)標定值l增值l/10cm高度(cm)標定值l增值l/10cm10507.8216035789

36、.842915.77201550.291042.4717038253.572463.73303019.221468.9318040899.342645.77404760.691741.4719043587.772688.43506706.221945.5320046314.152726.39608811.142104.9221048825.862511.717011042.612231.4822051359.632533.778013359.262316.6423053782.852423.219015857.992498.7324056003.422220.5710018504.572646

37、.5825058095.312091.8911021289.542784.9726060025.131929.8212024120.602831.0627061747.121721.9913026997.352876.7528063190.341443.2214029891.082893.7329064189.42999.0815032874.062982.9830065176.66分析罐容表中數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)高度間隔10cm增加，體積先是逐漸增大，而后減小，與罐體發(fā)生變位后的實際情況是相符的。模型也是分段求解體積的，在每段交接處，值跳變還是很明顯的。附錄附表1.1 附表1.2小橢圓無變位小橢圓變位

38、油位高度/mm實際罐容/l理論罐容/l差值/l159.02312322.8810.88176.14362374.6312.63192.59412426.3614.36208.50462478.1316.13223.93512529.8517.85238.97562581.6119.61253.66612633.3521.35268.04662685.0823.08282.16712736.8524.85296.03762788.5826.58309.69812840.3328.33323.15862892.0630.06336.44912943.8031.80349.57962995.5433

39、.54362.5610121047.3035.30375.4210621099.0537.05388.1611121150.8138.81400.7911621202.5540.55413.3212121254.2942.29425.7612621306.0344.03438.1213121357.7745.77450.4013621409.4947.49462.6214121461.2449.24474.7814621512.9850.98486.8915121564.7452.74498.9515621616.4954.49510.9716121668.2456.24522.9516621

40、719.9857.98534.9017121771.7359.73546.8217621823.4661.46558.7218121875.1963.19570.6118621926.9564.95582.4819121978.6866.68594.3519622030.4368.43606.2220122082.2070.20618.0920622133.9571.95629.9621122185.6773.67641.8521622237.4375.43653.7522122289.1677.16665.6722622340.8978.89677.6323122392.6780.67678

41、.542315.82396.6180.78690.532365.82448.3782.54690.822367.02449.6282.56702.852417.02501.4084.34714.912467.02553.1186.05727.032517.02604.8887.82739.192567.02656.5989.53751.422617.02708.3491.28763.702666.92760.0193.03764.162668.82761.9493.11776.532718.82813.6694.83788.992768.82865.4296.59801.542818.8291

42、7.1798.34814.192868.82968.92100.09826.952918.83020.67101.84839.832968.83072.41103.58852.843018.83124.14105.31866.003068.83175.89107.06879.323118.83227.63108.80892.823168.83279.38110.55892.843168.93279.46110.55906.533218.93331.18112.27920.453268.93382.94114.03934.613318.93434.67115.76949.053368.93486.43117.52963.803418.93538.17119.26978.913468.93589.92121.01994.433518.93641.67122.761010.433568.93693.42124.511026.993618.93745.14126.231044.253668.93796.89127.981062.373718.93848.65129.741081.593768.93900.39131.481102.333818.93952.14133.231125.323868.94003.86134.951152.363918.94055.61136