線(xiàn)性代數(shù)試題及其答案(綜合測(cè)試題)

1、綜合測(cè)試題線(xiàn)性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題一（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.設(shè)d=m0，則d1= ( )a.2m b.2m c.6m d.6m2.設(shè) a、b、c為同階方陣，若由ab = ac必能推出 b = c，則a應(yīng)滿(mǎn)足 ( )a. a o b. a = o c.|a|= 0 d. |a|03.設(shè)a，b均為n階方陣，則 ( )a.|a+ab|=0，則|a|=0或|e+b|=0 b.(a+b)2=a2+2ab+b2c.當(dāng)ab=o時(shí)，有a=o或b=

2、o d.(ab)-1=b-1a-14.二階矩陣a，|a|=1，則a-1= ( ) a. b. c. d.5.設(shè)兩個(gè)向量組與，則下列說(shuō)法正確的是( )a.若兩向量組等價(jià)，則s = t .b.若兩向量組等價(jià)，則r()= r() c.若s = t，則兩向量組等價(jià).d.若r()= r()，則兩向量組等價(jià).6.向量組線(xiàn)性相關(guān)的充分必要條件是 ( )a. 中至少有一個(gè)零向量b. 中至少有兩個(gè)向量對(duì)應(yīng)分量成比例c. 中至少有一個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示d. 可由線(xiàn)性表示7.設(shè)向量組有兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組與，則下列成立的是( ) a. r與s未必相等 b. r + s = mc. r = s d. r + s m8

3、.對(duì)方程組ax = b與其導(dǎo)出組ax = o，下列命題正確的是( )a. ax = o有解時(shí)，ax = b必有解.b. ax = o有無(wú)窮多解時(shí)，ax = b有無(wú)窮多解.c. ax = b無(wú)解時(shí)，ax = o也無(wú)解.d. ax = b有惟一解時(shí)，ax = o只有零解.9.設(shè)方程組有非零解，則k = ( )a. 2 b. 3 c. -1 d. 110.n階對(duì)稱(chēng)矩陣a正定的充分必要條件是( )a. |a|0 b.存在n階方陣c使a=ctcc.負(fù)慣性指標(biāo)為零 d.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.四階行列

4、式d中第3列元素依次為 -1，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7，4，則d = 12.若方陣a滿(mǎn)足a2 = a，且ae，則|a|= .13.若a為3階方陣，且 ，則|2a|= 14.設(shè)矩陣的秩為2，則t = 15.設(shè)向量(6，8，0)，=(4，3，5)，則(,)= 16.設(shè)n元齊次線(xiàn)性方程組ax = o，r(a)= r n，則基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)為 個(gè).17.設(shè)(1，1，0)，(0，1，1)，=(0，0，1)是r3的基，則=(1，2，3)在此基下的坐標(biāo)為 .18.設(shè)a為三階方陣，其特征值為1，-1，2，則a2的特征值為 .19.二次型的矩陣a= .20.若矩陣a與b=相似，則a

5、的特征值為 .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.求行列式的值.22.解矩陣方程：.23.求向量組=( 1, 1, 2, 3 )，=(1,1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4,2, 5, 6 )的秩和一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示.24.a取何值時(shí)，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.25.已知,求a的特征值及特征向量，并判斷a能否對(duì)角化，若能，求可逆矩陣p，使p 1ap =（對(duì)角形矩陣）26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量，證明向量組是r3空間中的一個(gè)基.線(xiàn)

6、性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題二（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.若三階行列式=0, 則k = ( ).a1 b0 c-1 d-22.設(shè)a、b為n階方陣,則成立的充要條件是 ( ).aa可逆 bb可逆 c|a|=|b| dab=ba3.設(shè)a是n階可逆矩陣, a*是a的伴隨矩陣, 則 ( ).a bc d4.矩陣的秩為2，則 = ( ).a2 b1 c0 d5.設(shè)34矩陣a的秩r(a)=1，是齊次線(xiàn)性方程組ax=o的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組的基

7、礎(chǔ)解系為 ( ).a b c d6.向量線(xiàn)性相關(guān),則( ).ak =-4 bk = 4 ck =-3 dk = 3 7.設(shè)u1, u2是非齊次線(xiàn)性方程組ax=b的兩個(gè)解, 若是其導(dǎo)出組ax=o的解, 則有 ( ).ac1+c2 =1 bc1= c2 cc1+ c2 = 0 dc1= 2c2 8.設(shè)a為n(n2)階方陣，且a2=e，則必有 ( ).aa的行列式等于1ba的秩等于nca的逆矩陣等于eda的特征值均為19.設(shè)三階矩陣a的特征值為2, 1, 1， 則a-1的特征值為 ( ).a1, 2 b2, 1, 1 c, 1 d, 1, 110.二次型是 ( ).a正定的 b半正定的 c負(fù)定的 d

8、不定的二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.=_12.設(shè)a為三階方陣,且|a|=4，則|2a|=_13.設(shè)a=, b =, 則atb =_14.設(shè)a =,則a-1=_15.向量表示為向量組的線(xiàn)性組合式為_(kāi)16.如果方程組有非零解, 則k =_17.設(shè)向量與正交，則a =_18.已知實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣a=,寫(xiě)出矩陣a對(duì)應(yīng)的二次型_19.已知矩陣a與對(duì)角矩陣=相似，則a2=_20.設(shè)實(shí)二次型的矩陣a是滿(mǎn)秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為_(kāi)三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式的值.22.設(shè)矩陣a=

9、，b=，求矩陣a-1b .23.設(shè)矩陣，求k的值，使a的秩r(a)分別等于1，2，3.24.求向量組的秩和一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示.25.求線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.26.已知矩陣，求正交矩陣p和對(duì)角矩陣，使p-1ap=.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，證明：向量組也線(xiàn)性無(wú)關(guān).線(xiàn)性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題三（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.當(dāng)( )成立時(shí)，階行列式的值為零.

10、a.行列式主對(duì)角線(xiàn)上的元素全為零b.行列式中有個(gè)元素等于零c.行列式至少有一個(gè)階子式為零d.行列式所有階子式全為零2.已知均為n階矩陣，e為單位矩陣，且滿(mǎn)足abc=e，則下列結(jié)論必然成立的是 ( ).a. acb=e b. bca=e c. cba=e d. bac=e 3.設(shè)a，b均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是 ( ).a. (ab)-1=a-1b-1 b. (a+b)-1=a-1+b-1 c. (ab)t=atbt d. 4.下列矩陣不是初等矩陣的是 ( ). a. b. c. d.5.設(shè)是4維向量組，則 ( ).a.線(xiàn)性無(wú)關(guān)b.至少有兩個(gè)向量成比例c.只有一個(gè)向量能由其余向量線(xiàn)性表

11、示d.至少有兩個(gè)向量可由其余向量線(xiàn)性表示6.設(shè)a為mn矩陣，且m0 b. a的每一個(gè)元素都大于零c. d. a的正慣性指數(shù)為n10.設(shè)a，b為同階方陣，且r(a) = r(b)，則 ( ). a. a與b相似 b. a與b合同c. a與b等價(jià) d.|a|=|b|二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式 .12.設(shè)a為三階矩陣，|a|=-2，將矩陣a按列分塊為，其中是a的第j列，,則|b|= .13.已知矩陣方程ax=b，其中a=，b=，則x= .14.已知向量組的秩為2，則k = .15.向量的長(zhǎng)度= .16.向量在基下

12、的坐標(biāo)為 .17.設(shè)是4元齊次線(xiàn)性方程組ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣a的秩r(a)= .18.設(shè)是三階矩陣a的特征值，則a = .19.若是正定二次型，則滿(mǎn)足 . 20.設(shè)三階矩陣a的特征值為1,2,3，矩陣b=a2+2a,則|b|= .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.設(shè)三階矩陣a=，e為三階單位矩陣.求：(1)矩陣a-2e及|a-2e|；(2).22.已知向量組求：(1)向量組的秩；(2)向量組的一個(gè)極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組，并將其余向量用該極大線(xiàn)性無(wú)關(guān)組線(xiàn)性表示.23.討論a為何值時(shí)，線(xiàn)性方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求出方程組的通解.24.已知向量組，討論該向量組的線(xiàn)性相關(guān)性.

13、25.已知矩陣a=，(1)求矩陣a的特征值與特征向量；(2)判斷a可否與對(duì)角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣p及相應(yīng)的對(duì)角形矩陣. 26.設(shè)二次型(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).四、證明題（本大題共6分）27.已知a是n階方陣，且，證明矩陣a可逆，并求線(xiàn)性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題四（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.三階行列式，則a = ( ).a. 2 b. 3 c. d. -3 2.設(shè)a，b均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正

14、確的是 ( ).a. (a+b)(a-b) = a2-b2 b. (ab)-1 = b-1a-1 c. 若ab= o, 則a=o或b=o d. |ab| = |a| |b| 3.設(shè)a，b，ab-ba= ( ).a. b. c. d. 4.設(shè)矩陣的秩為2，則 ( ).a. b.t = -4 c. t是任意實(shí)數(shù) d.以上都不對(duì)5.設(shè)向量，則 ( ).a.(1, 0, 5, 4 ) b.(1, 0, -5, 4) c.(-1, 0, 5, 4) d.(1, 0, 5, -6)6.向量組線(xiàn)性相關(guān),則( ).a. k =-4 b. k = 4 c. k = 3 d. k = 27.設(shè)u1, u2是非齊次

15、線(xiàn)性方程組ax = b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2也是方程組ax = b的解，則 ( ).a. c1+c2 =1 b. c1= c2 c. c1+ c2 = 0 d. c1= 2c2 8.設(shè)mn矩陣a的秩r(a) = n-3(n3)，是齊次線(xiàn)性方程組ax=o的三個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解向量，則方程組ax=o的基礎(chǔ)解系為( ).a. b. c. d. 9.設(shè)三階矩陣a的特征值為1，1，2，則2a+e的特征值為( ). a. 3，5 b. 1，2 c.1，1，2 d. 3，3，5 10.n階對(duì)稱(chēng)矩陣a為正定矩陣的充分必要條件是 ( ). a. b.存在n階矩陣p，使得a=ptp c.負(fù)慣性指數(shù)為 d.各階

16、順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11. . 12.設(shè)a為三階方陣，且|a|=2，a*是其伴隨矩陣，則|2a*| = .13.設(shè)矩陣a，則= .14.設(shè)，則內(nèi)積= .15.若向量不能由線(xiàn)性表示，且r()=2，則r(,)= .16.設(shè)線(xiàn)性方程組有解，則t = .17.方程組的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)是 .18.設(shè)二階矩陣a與b相似，a的特征值為-1，2，則|b|= .19.設(shè)二次型的矩陣,則二次型 . 20.用正交變換將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形為，則矩陣a的最小特征值為 .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54

17、分）21.計(jì)算n階行列式.22.解矩陣方程：.23.驗(yàn)證是r3的一個(gè)基，并求向量在此基下的坐標(biāo).24.設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，令，試確定向量組的線(xiàn)性相關(guān)性.25.求線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，并表示其通解.26.求矩陣的特征值和全部特征向量.四、證明題（本大題共6分）27.設(shè)是三維向量組，證明：線(xiàn)性無(wú)關(guān)的充分必要條件是任一三維向量都可由它線(xiàn)性表示.線(xiàn)性代數(shù)（經(jīng)管類(lèi)）綜合試題五（課程代碼 4184）一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)將其代碼填寫(xiě)在題后的括號(hào)內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無(wú)分。1.行列式,則k = ( ).a. 1 b. 4

18、c. -1或4 d. -1 2.設(shè)a，b，c均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是 ( ).a.若ab=ac，則b=c b. (a-c)2 = a2-2ac+c2 c. abc= bca d. |abc| = |a| |b| |c| 3.設(shè)a，b均為n階方陣,則等式(a+b)(a-b) = a2-b2成立的充分必要條件是 ( ).a. a=e b. b=o c. a=b d. ab=ba4.若，則初等矩陣p= ( ).a. b. c. d. 5.設(shè)向量,則 ( ).a. (-1, 3, 8, 9 ) b. (1, 3,8, 9) c. (-1, 0, 8, 6) d. (-1, 3, 9, 8)

19、6.下列結(jié)論正確的是 ( ). a.若存在一組數(shù)k1, k2, ,km, 使得成立，則向量組線(xiàn)性相關(guān).b.當(dāng)k1 = k2 =km=0時(shí)，則向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).c.若向量線(xiàn)性相關(guān)，則線(xiàn)性相關(guān).d.若向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則線(xiàn)性無(wú)關(guān).7. 設(shè)u1, u2是非齊次線(xiàn)性方程組ax = b的兩個(gè)解，若c1u1+c2u2是其導(dǎo)出組ax = o的解，則 ( ).a. c1+ c2 = 0 b. c1= c2 c. c1= 2c2 d. c1+c2 =1 8.線(xiàn)性方程組ax=o只有零解的充分必要條件是 ( ).a. a的行向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) b. a的行向量組線(xiàn)性相關(guān)c. a的列向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān) d. a的列向量組線(xiàn)性相關(guān)9

20、.設(shè)，則2的特征值為 ( ).a. b. c. d.10. 設(shè)二次型的矩陣a是滿(mǎn)秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為3，則二次型的規(guī)范形為 ( ).a. b. c. d. 二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請(qǐng)?jiān)诿啃☆}的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無(wú)分。11.行列式 . 12.設(shè)a為三階方陣，|a|=2，則 |2a-1| = . 13.設(shè),則2a+b= . 14.設(shè)，則(ab)-1= . 15.向量的單位化向量為 . 16.設(shè)向量組的兩個(gè)極大無(wú)關(guān)組分別是和，r和t的關(guān)系是 . 17.設(shè)向量組的秩為2，則t = . 18.設(shè)向量與正交，則k = . 19.已知二次型，寫(xiě)出二次型f的

21、矩陣a= . 20.設(shè)三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的特征值為3,3,0，則a的秩r(a)= .三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.計(jì)算行列式. 22.已知矩陣a=，且a+x=xa，求x.23.設(shè)a=，已知r(a)=2，求a, b的值.24.已知線(xiàn)性方程組，(1)問(wèn)常數(shù)a1，a2，a3滿(mǎn)足什么條件時(shí)，方程組有解？(2)當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出其通解(用它的一個(gè)特解和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示).25.設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣a=，求正交矩陣q，使得q-1aq=.其中，是對(duì)角矩陣.26.設(shè)二次型是正定二次型，求a的取值范圍.四、證明題（本大題共6分）27. 設(shè)向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān)，可由線(xiàn)性表示，而不能由線(xiàn)性表示.

22、證明：向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).綜合測(cè)試答案綜合試題一參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案bdabbccddd二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11. -15； 12. 0； 13. 4； 14. t=-3； 15. 0； 16. n-r； 17.(1, 1, 2)； 18. 1，1，4； 19.； 20.1, 2, 3.三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.解：=x2y2.22.解：令a=, b=.因?yàn)?ae)=，所以.由ax=b，得：x=a-1b=.23.解：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對(duì)其進(jìn)行行變換：.所以

23、，極大無(wú)關(guān)組為 24.解：對(duì)方程組的增廣矩陣施以初等行變換：.若方程組有解，則，故a=5.當(dāng)a=5時(shí)，繼續(xù)施以初等行變換得：，原方程組的同解方程組為：為自由未知量，令x3=x4=0,得原方程組的一個(gè)特解：.與導(dǎo)出組同解的方程組為：為自由未知量，令分別取，得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：，所以，方程組的全部解為： ，其中，c1 ，c2為任意常數(shù).25. 解：矩陣a的特征多項(xiàng)式為：，所以，a的特征值為：.對(duì)于，求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣a的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： 對(duì)于，求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣a的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： .因?yàn)槿A矩陣a有三個(gè)

24、線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，所以， a相似于對(duì)角矩陣，且. 26.解：=. 令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：.四、證明題（本題6分）27.證：因?yàn)?，所以線(xiàn)性無(wú)關(guān)（方法多樣），所以向量組是r3空間中的一個(gè)基. 綜合試題二參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案cdabdcbbda二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）115 1232 13 1415 16-1 17218 19. e 20. 二、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21解：原式= 22解： 方法1 得：. 所以，.方法2 |a|= ，= 所以，.方法3 .23解：對(duì)

25、矩陣a施行初等變換：.當(dāng)k=1時(shí)，a，矩陣a的秩r(a)=1；當(dāng)k= -2時(shí)，a，矩陣a的秩r(a)=2；當(dāng)k1且k-2時(shí)，a，矩陣a的秩r(a)=3.24解：將所給列向量構(gòu)成矩陣a，然后實(shí)施初等行變換： ，所以，向量組的秩，向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：，且有.25解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：與原方程組同解的方程組為：，其中x3, x4為自由未知量.令分別取得基礎(chǔ)解系：.方程組的通解為：. （c1 , c2為任意常數(shù)）26解：矩陣a的特征多項(xiàng)式為：，得矩陣a的所有特征值為：.對(duì)于，求方程組的基礎(chǔ)解系.，得基礎(chǔ)解系為，將此線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量正交化，得：.再標(biāo)準(zhǔn)化，得：對(duì)于解方

26、程組.，方程組的基礎(chǔ)解系為，將其單位化，得：.令p=，=，則p是正交矩陣，且p-1ap=.四、證明題（本大題共6分）27.證：令，整理得：因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)，所以 ，解得：， 故線(xiàn)性無(wú)關(guān). 綜合試題三參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案dbdbdcdddc二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分） 11.24 12.6 13. 14.-2 15.16.(3,-4,3) 17.1 18.1 19. 20.360三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.解：(1) a-2e=| a-2e |= -1；(2).22.解：(1

27、)將所給向量按列構(gòu)成矩陣a，然后實(shí)施初等行變換：.所以，向量組的秩；(2)向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組為：，且有.23.解：對(duì)方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換： .若方程組有解，則，從而a=1.當(dāng)a=1時(shí)，原方程組的通解方程組為： ，為自由未知量.令，得原方程組的一個(gè)特解：(0, 1, 0, 0)t.導(dǎo)出組的同解方程組為：，為自由未知量.令分別取得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：(0, 1, 1, 0)t，(-4, 1, 0, 1)t.所以，方程組的通解為：(0, 1, 0, 0)t+c1(0, 1, 1, 0)t+c2(-4, 1, 0, 1)t，其中，c1，c2為任意常數(shù).24.解：因?yàn)?當(dāng)a=2或a=-6時(shí)，

28、向量組相性相關(guān)；當(dāng)a2且a-6時(shí)，向量組線(xiàn)性無(wú)關(guān).25.解：矩陣a的特征多項(xiàng)式為：，所以，a的特征值為：.對(duì)于，求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣a的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為：，(c0).對(duì)于，求齊次線(xiàn)性方程組的基礎(chǔ)解系，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣a的對(duì)應(yīng)于特征值的全部特征向量為： .因?yàn)槿A矩陣a只有兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量，所以， a不能相似于對(duì)角矩陣. 26.解：(1) 利用配方法，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：. 令，即，得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為：.(2)由上述標(biāo)準(zhǔn)形知：二次型的秩為3，正慣性指數(shù)為2.四、證明題（本大題共6分）27.證：由，得： a2+2a= -e，從而 a(a +2e

29、)= -e, a(-a -2e)= e所以a可逆，且.綜合試題四參考答案一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）題號(hào)12345678910答案bddaabacdd二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）11. 2b-4a； 12. 32； 13.； 14. 2； 15. 3； 16. 1；17. 3； 18. -2； 19.； 20. -1三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）21.解：按第一列展開(kāi)，得：原式= 22.解：方法1 . 所以，故，=. 解法2 |a|=， ，=，所以，=. 23解：因?yàn)椋允莚3的一個(gè)基； 令 ，對(duì)此方程組的增廣矩陣施以初等行變換：，得：，所以，.24解：令,即，整理得：.因?yàn)榫€(xiàn)性無(wú)關(guān)， 所以，而此方程組有非零解，所以向量組線(xiàn)性相關(guān). 25.解：對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換：，原方程組的同解方程組為：，其中x3, x4為自由未知量.令分別取得基礎(chǔ)解系： 方程組的通解為： （c1 , c2為任意常數(shù)）26.解：矩陣a的特征多項(xiàng)式為：，所以a的特征值為. 對(duì)于，解方程組，由于， 可得方程組的基礎(chǔ)解系為，. 故a的對(duì)應(yīng)于特征值2的全部特征向量為(c1,c2不全為零) .四、證明題（本大題共6分）27.證：必要性 若線(xiàn)性無(wú)