第四章角動量守恒定律

1、第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 MrF 一力矩一力矩 d O M F P 大小大小 Fd sinMFr M r 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 力矩合成：力矩合成： 當(dāng)質(zhì)點受到當(dāng)質(zhì)點受到n個力，如：個力，如：F1、F2Fn力同時作用時，力同時作用時， 則則n個力對參考點個力對參考點O的力矩為：的力矩為： n FFFrFrM . 21 n FrFrFr . 21 n MMM . 21 矢量和矢量和 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 2. 必須指明對那一固定點必須指明對那一固定點. 3.MF , 0 可能為零可能為零 1. 垂直

2、于垂直于 構(gòu)成的平面。構(gòu)成的平面。 M Fr , 或或 過固定過固定點：有心力點：有心力F 的條件是0M 0F （如行星受的萬有引力）（如行星受的萬有引力） 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 kFjFiFFkzj yi xr zyx kMjMiM kyFxFjxFzFizFyF FFF zyx kji FrM zyx xyzxyz zyx )()()( y x z x M z M y M M O 4.4.對定點力矩在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)對定點力矩在直角坐標(biāo)系中的表達(dá)： 力矩具有矢量疊加性力矩具有矢量疊加性 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 0,0 ii MF 0,0 ii MF

3、F F F F F 0,0 ii MF 0 i F 0 i M 5.5.力與力矩的關(guān)系：力與力矩的關(guān)系： 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 質(zhì)點對參考點質(zhì)點對參考點O的角動量定義為：的角動量定義為： Lrprm 二質(zhì)點的角動量二質(zhì)點的角動量 m d O L v L 右手螺旋右手螺旋角動量的方向角動量的方向: 角角動動量量的的大大小小 sinsinLrPm r r 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 0, prL kypxp jxpzp izpyp xy zx yz )( )( )( zyx ppp zyx kji sinprprL 注意：同一質(zhì)點相對于不同的點，角動量可以不同。注

4、意：同一質(zhì)點相對于不同的點，角動量可以不同。 說一個角動量時，必須指明是對哪個固定點而言的。說一個角動量時，必須指明是對哪個固定點而言的。 質(zhì)點質(zhì)點m對對O點的角動量：點的角動量： prL 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 prL 例例1圓周運(yùn)動的質(zhì)點關(guān)于圓心圓周運(yùn)動的質(zhì)點關(guān)于圓心O的角動量的角動量 SI：kgm2/s , 或或 J s 2 mrmrvrpL 微觀體系的角動量是明顯量子化的，其取值微觀體系的角動量是明顯量子化的，其取值 只能是普朗克常數(shù)只能是普朗克常數(shù) 的整數(shù)或半奇數(shù)倍。的整數(shù)或半奇數(shù)倍。 sJ100512 34 ./h 但因宏觀物體的角動量比但因宏觀物體的角動量比 大

5、得多，所以宏大得多，所以宏 觀物體的角動量可以看作是連續(xù)變化的。觀物體的角動量可以看作是連續(xù)變化的。 o r L v m 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 三質(zhì)點的角動量定理與角動量守恒定律三質(zhì)點的角動量定理與角動量守恒定律 牛頓定律牛頓定律 角動量定理：角動量定理： )(pr tt L d d d d d d d d p t r t p r d d d d d d d d 0 p t r d d d d F t p d d d d MFr t L d d d d 因是牛頓定律的推論，則只適用于慣性系。因是牛頓定律的推論，則只適用于慣性系。 （共線）（共線） 第四章角動量守恒定律第四章

6、角動量守恒定律 M 和和L 都是相對慣性系中同一定點定義的。都是相對慣性系中同一定點定義的。 2 1 t t tMd d 沖量矩，力矩的時間積累。沖量矩，力矩的時間積累。 1.1.單質(zhì)點的角動量定理單質(zhì)點的角動量定理： 質(zhì)點所受的合外力矩，等于質(zhì)點角動量對時間的變質(zhì)點所受的合外力矩，等于質(zhì)點角動量對時間的變 化率化率 t L M d d d d 積分形式：積分形式： 12 2 1 LLtM t t d d 沖量矩或沖量矩或 角沖量角沖量 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 2. 質(zhì)點角動量守恒定律質(zhì)點角動量守恒定律 由質(zhì)點角動量定理由質(zhì)點角動量定理： t L M d d 00M d dL

7、 L 當(dāng)當(dāng)時時，有有： d dt t 常常矢矢量量，則則若若 LM 0 質(zhì)點角動量質(zhì)點角動量守恒定律守恒定律 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 2.和動量守恒定律一樣，角動量守恒定律也是自然界和動量守恒定律一樣，角動量守恒定律也是自然界 的一條最基本的定律。的一條最基本的定律。 1.1.力矩、角動量均對慣性系中同一點而言。力矩、角動量均對慣性系中同一點而言。若對慣若對慣 性系某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此質(zhì)性系某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為零，則此質(zhì) 點對該固定點的角動量矢量保持不變，即角動量的大點對該固定點的角動量矢量保持不變，即角動量的大 小和方向都保持不變。小和方向都

8、保持不變。 3. M0，可以是，可以是r=0,也可以是也可以是F=0,還可能是還可能是r與與F同同 向或反向，例如有心力情況。向或反向，例如有心力情況。 注意：注意： 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 開普勒第二定律的證明開普勒第二定律的證明 行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積行星與太陽的連線在相同時間內(nèi)掃過相等的面積 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 解解： 0 dt Ld FrM 常量L )( dt rd rmvmrL dt dS m dt rdr mL2 常量 m L dt dS 2 dr dS r 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 第四章角動量守恒定律第

9、四章角動量守恒定律 解：解： 2 mRmvRL 4 1 2 2 mR R mvL LL 4 F m R 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 四質(zhì)點系的角動量定理和守恒定律四質(zhì)點系的角動量定理和守恒定律 1 111112 : dL mrFrf dt 2 222221 : dL mrFrf dt 11222121 12 () () rFrFrrf d LL dt 112212 () d rFrFLL dt O r1 r2 m1 m2 f12 f21 F1F2 r21 1 1質(zhì)點系的角動量定理質(zhì)點系的角動量定理 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律

10、 0 i r j r 1 m 2 m i m j m ji rr ji f ij f iijjjiijij rfrfrrf ij f ji rr 與與 共線，共線， 這一對內(nèi)力矩之和為零。這一對內(nèi)力矩之和為零。 同理所有內(nèi)力矩之和為零。同理所有內(nèi)力矩之和為零。 t L M d d 外 “一個質(zhì)點系所受的合外力矩等于該質(zhì)點系的角動量一個質(zhì)點系所受的合外力矩等于該質(zhì)點系的角動量 對時間的變化率對時間的變化率” 對對i , j 兩個質(zhì)點來說，內(nèi)力矩之和為兩個質(zhì)點來說，內(nèi)力矩之和為: 質(zhì)點系角動量定理質(zhì)點系角動量定理 于是有：于是有： 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 質(zhì)點系對定點的角動量，等

11、于各質(zhì)點對該點的質(zhì)點系對定點的角動量，等于各質(zhì)點對該點的 角動量的矢量和。角動量的矢量和。 i i i dPdL r dtdt iii i rFf in MM 因為內(nèi)力的力矩兩兩相消，則：因為內(nèi)力的力矩兩兩相消，則： 0 in M i i LL ii i rP M dt Ld 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 常矢量，則若 外 LM 0 質(zhì)點系角動量守恒定律質(zhì)點系角動量守恒定律 即：即：“只要系統(tǒng)所受的總外力矩為零，其總的只要系統(tǒng)所受的總外力矩為零，其總的 角動量就保持不變。角動量就保持不變?！?21 LL 2 2質(zhì)點系的角動量守恒定律質(zhì)點系的角動量守恒定律 第四章角動量守恒定律第四章

12、角動量守恒定律 孤立或在有心力作用下的系統(tǒng)角動量守恒。孤立或在有心力作用下的系統(tǒng)角動量守恒。 宇宙中的天體可以認(rèn)為是孤立體系。它們具有旋轉(zhuǎn)宇宙中的天體可以認(rèn)為是孤立體系。它們具有旋轉(zhuǎn) 盤狀結(jié)構(gòu)，成因是角動量守恒。盤狀結(jié)構(gòu)，成因是角動量守恒。 質(zhì)點系的質(zhì)點系的角動量守恒定律角動量守恒定律 當(dāng)質(zhì)點系相對于慣性系中某定點所受的合外當(dāng)質(zhì)點系相對于慣性系中某定點所受的合外 力矩為零時，該質(zhì)點系相對于該定點的角動量力矩為零時，該質(zhì)點系相對于該定點的角動量 將不隨時間改變將不隨時間改變 內(nèi)力矩可影響質(zhì)點系中某質(zhì)點的角動量，但合內(nèi)內(nèi)力矩可影響質(zhì)點系中某質(zhì)點的角動量，但合內(nèi) 力矩等于零，對總角動量無影響。力矩等

13、于零，對總角動量無影響。 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 仙女座星系仙女座星系 (220萬光年萬光年) 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 盤盤 狀狀 星星 系系 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 2. 外力矩和角動量都是相對于慣性系中的同一固定外力矩和角動量都是相對于慣性系中的同一固定 點說的。質(zhì)點系受的外力的矢量和為零，但總外力點說的。質(zhì)點系受的外力的矢量和為零，但總外力 矩不一定為零；矩不一定為零； 1. 內(nèi)力矩不影響質(zhì)點系總角動量，但可影響質(zhì)點內(nèi)力矩不影響質(zhì)點系總角動量，但可影響質(zhì)點 系內(nèi)某些質(zhì)點的角動量。系內(nèi)某些質(zhì)點的角動量。 說明：說明： 3. 若系統(tǒng)不是孤

14、立系統(tǒng)（受外力不為零），但系統(tǒng)若系統(tǒng)不是孤立系統(tǒng)（受外力不為零），但系統(tǒng) 所受外力對某點的外力矩之和為零，則系統(tǒng)動量不所受外力對某點的外力矩之和為零，則系統(tǒng)動量不 守恒，但對該點的角動量守恒。守恒，但對該點的角動量守恒。 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 小結(jié)：動量與角動量的比較小結(jié)：動量與角動量的比較 角動量角動量 i ii prL 矢量矢量 與固定點有關(guān)與固定點有關(guān) 與內(nèi)力矩?zé)o關(guān)與內(nèi)力矩?zé)o關(guān) 守恒條件守恒條件0 i i M 動量動量 i ii mpv 矢量矢量 與內(nèi)力無關(guān)與內(nèi)力無關(guān) 守恒條件守恒條件0 i i F 與固定點無關(guān)與固定點無關(guān) 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 v o v o o m p T R 圓圓 錐錐 擺擺 子子 彈彈 擊擊 入入 桿桿 o v 以子彈和桿為系統(tǒng)以子彈和桿為系統(tǒng) 角動量守恒角動量守恒 動量不守恒；動量不守恒； 以子彈和沙袋為系統(tǒng)以子彈和沙袋為系統(tǒng) 動量守恒；動量守恒； 角動量守恒角動量守恒 圓錐擺系統(tǒng)圓錐擺系統(tǒng) 動量不守恒；動量不守恒； 角動量守恒；角動量守恒； 討討 論論 子子 彈彈 擊擊 入入 沙沙 袋袋 細(xì)細(xì) 繩繩 質(zhì)質(zhì) 量量 不不 計計 第四章角動量守恒定律第四章角動量守恒定律 例例4 如圖所示，質(zhì)量為如圖所示，質(zhì)量為 m