二維卷積運算

1、一、二維卷積運算gabor變換的本質(zhì)實際上還是對二維圖像求卷積。因此二維卷積運算的效率就直接決定了gabor變換的效率。在這里我先說說二維卷積運算以及如何通過二維傅立葉變換提高卷積運算效率。在下一步分內(nèi)容中我們將此應(yīng)用到gabor變換上，抽取筆跡紋理的特征。1、離散二維疊加和卷積關(guān)于離散二維疊加和卷積的運算介紹的書籍比較多，我這里推薦william k. pratt著，鄧魯華 張延恒 等譯的數(shù)字圖像處理（第3版），其中第7章介紹的就是這方面的運算。為了便于理解，我用下面幾個圖來說明離散二維疊加和卷積的求解過程。a可以理解成是待處理的筆跡紋理，b可以理解成gabor變換的核函數(shù)，現(xiàn)在要求a與b的

2、離散二維疊加卷積，我們首先對a的右邊界和下邊界填充0（zero padding)，然后將b進行水平翻轉(zhuǎn)和垂直翻轉(zhuǎn)，如下圖：然后用b中的每個值依次乘以a中相對位置處的值并進行累加，結(jié)果填入相應(yīng)位置處（注意紅圈位置）。通常二維卷積的結(jié)果比a、b的尺寸要大。如下圖所示：2、快速傅立葉變換卷積根據(jù)傅立葉變換理論，對圖像進行二維卷積等價于對圖像的二維傅立葉變換以及核函數(shù)的二維傅立葉變換在頻域求乘法。通過二維傅立葉變換可以有效提高卷積的運算效率。但在進行傅立葉變換時一定要注意“卷繞誤差效應(yīng)”，只有正確對原有圖像以及卷積核填補零后，才能得到正確的卷積結(jié)果。關(guān)于這部分內(nèi)容可以參考william k. prat

3、t著，鄧魯華 張延恒 等譯的數(shù)字圖像處理（第3版）第9章的相關(guān)內(nèi)容，此處就不再贅述。目前網(wǎng)上可以找到開源c#版的快速傅立葉變換代碼（exocortex.dsp），我使用的是1.2版，2.0版似乎只能通過cvs從sourceforge上簽出， 并且功能沒有什么太大改變。將exocortex.dsp下載下來后，將源代碼包含在自己的項目中，然后就可以利用它里面提供的復(fù)數(shù)運算以及傅立葉變換功能了。為了測試通過傅立葉變換求卷積的有效性，特編寫以下代碼： using system;using exocortex.dsp;class mainentry static void main() fftconv2

4、 c = new fftconv2(); c.dofftconv2(); public class fftconv2 double, kernel = -1, 1, 0, 1; double, data = 10,5,20,20,20, 10,5,20,20,20, 10,5,20,20,20, 10,5,20,20,20, 10,5,20,20,20; complex kernel = new complex8*8; complex data = new complex8*8; complex result = new complex8*8; private void init() for(

5、int y=0; y2; y+) for(int x=0; x2; x+) kernely*8+x.re = kernely,x; for(int y=0; y5; y+) for(int x=0; x5; x+) datay*8+x.re = datay,x; public void dofftconv2() init(); fourier.fft2(data, 8, 8, fourierdirection.forward); fourier.fft2(kernel, 8, 8, fourierdirection.forward); for(int i=0; i8*8; i+) result

6、i = datai * kerneli / (8*8); fourier.fft2(result, 8, 8, fourierdirection.backward); for(int y=0; y6; y+) for(int x=0; x6; x+) console.write(0,8:f2, resulty*8+x.re); console.writeline(); 程序的運行結(jié)果與離散二維疊加和卷積的運算結(jié)果完全相同。由于卷積結(jié)果與原始輸入圖片的大小是不一樣的，存在著所謂“邊界”，在我的實際應(yīng)用程序中，為了避免這些“邊界”對結(jié)果過多的影響，我采用的是居中陣列定義，并且從卷積結(jié)果中只截取需要

7、的那部分內(nèi)容，確保和原始圖片的大小完全一致，如下圖：這就需要對卷積的傅立葉求法做些微小的調(diào)整，具體調(diào)整辦法就不說了，主要是坐標的變換，將示例代碼貼上來供大家參考：using system;using exocortex.dsp;class mainentry static void main() centerfftconv2 s = new centerfftconv2(); s.commonmethod(); s.dofftconv2(); public class centerfftconv2 double, kernel = 0, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 0, 3; doub

8、le, data = new double12,12; complex kernel = new complex16*16; complex data = new complex16*16; complex result = new complex16*16; public centerfftconv2() random r = new random(); for(int y=0; y12; y+) for(int x=0; x12; x+) datay,x = r.nextdouble(); for(int y=0; y3; y+) for(int x=0; x3; x+) kernely*

9、16+x.re = kernely,x; for(int y=1; y13; y+) for(int x=1; x13; x+) datay*16+x.re = datay-1,x-1; public void dofftconv2() console.writeline( = by fft2conv2 method =); fourier.fft2(data, 16, 16, fourierdirection.forward); fourier.fft2(kernel, 16, 16, fourierdirection.forward); for(int i=0; i16*16; i+) r

10、esulti = datai * kerneli / (16*16); fourier.fft2(result, 16, 16, fourierdirection.backward); for(int y=2; y14; y+) for(int x=2; x14; x+) console.write(0,5:f2, resulty*16+x.getmodulus(); console.writeline(); public void commonmethod() double real = 0; console.writeline( = direct transform =); for(int

11、 y=0; y 12; y+) for(int x=0; x 12; x+) for(int y1=0; y1 3; y1+) for(int x1=0; x1 =0) & (y - 1 + y1)=0) & (x - 1 + x1)12) real += datay - 1 + y1, x - 1 + x1 * kernel2 - x1, 2 - y1; console.write(0,5:f2, real); real=0; console.writeline(); console.writeline(n); 有了此部分的基礎(chǔ)知識后，我們就要步入筆跡識別中最核心的部分gabor變換，提取筆

12、跡的特征了。二、gabor函數(shù)gabor變換屬于加窗傅立葉變換，gabor函數(shù)可以在頻域不同尺度、不同方向上提取相關(guān)的特征。另外gabor函數(shù)與人眼的生物作用相仿，所以經(jīng)常用作紋理識別上，并取得了較好的效果。二維gabor函數(shù)可以表示為：其中：v的取值決定了gabor濾波的波長，u的取值表示gabor核函數(shù)的方向，k表示總的方向數(shù)。參數(shù)決定了高斯窗口的大小，這里取。程序中取4個頻率（v=0, 1, ., 3），8個方向（即k=8，u0, 1, . ,7），共32個gabor核函數(shù)。不同頻率不同方向的gabor函數(shù)可通過下圖表示：圖片來源：gaborfilter.html圖片來源：http:/www.bmva.ac.uk/bmvc/1997/papers/033/node2.html三、代碼實現(xiàn)gabor函數(shù)是復(fù)值函數(shù)，因此在運算過程中要分別計算其實部和虛部。代碼如下：private void calculatekernel(int orientation, int frequency) double real, img; for(int x = -(gaborwidth-1)/2