概率論與數(shù)理統(tǒng)計復(fù)習要點

1、第一章 隨機事件及其概率一、隨機事件及其運算1. 樣本空間、隨機事件樣本點：隨機試驗的每一個可能結(jié)果，用表示；樣本空間：樣本點的全集，用表示；注：樣本空間不唯一.隨機事件：樣本點的某個集合或樣本空間的某個子集，用a,b,c,表示；必然事件就等于樣本空間；不可能事件是不包含任何樣本點的空集；基本事件就是僅包含單個樣本點的子集。2. 事件的四種關(guān)系包含關(guān)系：，事件a發(fā)生必有事件b發(fā)生；等價關(guān)系：， 事件a發(fā)生必有事件b發(fā)生，且事件b發(fā)生必有事件a 發(fā)生；互不相容（互斥）： ，事件a與事件b一定不會同時發(fā)生。互逆關(guān)系（對立）：，事件發(fā)生事件a 必不發(fā)生，反之也成立；互逆滿足注：互不相容和對立的關(guān)系（

2、對立事件一定是互不相容事件，但互不相容事件不一定是對立事件。）3. 事件的三大運算事件的并：，事件a與事件b至少有一個發(fā)生。若，則；事件的交：，事件a與事件b都發(fā)生； 事件的差：，事件a發(fā)生且事件b不發(fā)生。4. 事件的運算規(guī)律交換律：結(jié)合律：分配律：德摩根（de morgan）定律： 對于n個事件，有二、隨機事件的概率定義和性質(zhì)1公理化定義：設(shè)試驗的樣本空間為，對于任一隨機事件都有確定的實值p(a)，滿足下列性質(zhì)：(1) 非負性：(2) 規(guī)范性：(3)有限可加性(概率加法公式)：對于k個互不相容事件，有.則稱p(a)為隨機事件a的概率.2概率的性質(zhì)若，則注：性質(zhì)的逆命題不一定成立的. 如若則。

3、（）若，則。（）三、古典概型的概率計算古典概型：若隨機試驗滿足兩個條件： 只有有限個樣本點, 每個樣本點發(fā)生的概率相同，則稱該概率模型為古典概型,。典型例題：設(shè)一批產(chǎn)品共n件，其中有m件次品，從這批產(chǎn)品中隨機抽取n件樣品，則(1)在放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件a1）的概率為(2)在不放回抽樣的方式下, 取出的n件樣品中恰好有m件次品（不妨設(shè)事件a2）的概率為四、條件概率及其三大公式1.條件概率：2.乘法公式： 4.全概率公式：若，則。5.貝葉斯公式：若事件如全概率公式所述，且 .五、事件的獨立1. 定義：.推廣：若相互獨立，2. 在四對事件中，只要有一對獨立，

4、則其余三對也獨立。3. 三個事件a, b, c兩兩獨立：注：n個事件的兩兩獨立與相互獨立的區(qū)別。（相互獨立兩兩獨立，反之不成立。）4.伯努利概型：練習：一、 判斷正誤1.事件的對立與互不相容是等價的。（x）2.若 則。（x）3.。 (x)4.a,b,c三個事件恰有一個發(fā)生可表示為。()5. n個事件若滿足，則n個事件相互獨立。(x)6. 當時，有p(b-a)=p(b)-p(a)。（）二、選擇題1設(shè)a, b為兩事件，則p(a-b)等于 ( c ) a. p(a)-p(b) b. p(a)-p(b)+p(ab) c. p(a)-p(ab) d. p(a)+p(b)-p(ab)2 以a表示事件“甲種

5、產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷”，則其對立事件為 ( d )a. “甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷”b. “甲乙兩種產(chǎn)品均暢銷”c. “甲種產(chǎn)品滯銷” d. “甲種產(chǎn)品滯銷或乙種產(chǎn)品暢銷”3若a, b為兩隨機事件，且，則下列式子正確的是 ( a ) a. p(ab)=p(a) b. p(ab)=p(a) c. p(b|a)=p(b) d. p(b-a)=p(b)-p(a)4設(shè)，則等于 ( b ) a. b. c. d. 三、解答題1.解：(1) 因為a，b不相容，有所以(2) 因為a，b獨立，所以,2.已知且求的值.解：由概率乘法公式得 3. 設(shè)有來自三個地區(qū)的各10名,15名和25名考生的報名表, 其中

6、女生的報名表分別為3份,7份和5份隨機地取一個地區(qū)的報名表，從中先后抽出兩份.求先抽到的一份是女生表的概率p。解: 設(shè)表示“第i次取出的報名表是女生表”, i=1,2表示“報名表是取自第j區(qū)的考生”, j=1,2,3. 根據(jù)題意得第二章 隨機變量及其分布一、隨機變量的定義設(shè)樣本空間為，變量為定義在上的單值實值函數(shù)，則稱為隨機變量，通常用大寫英文字母，用小寫英文字母表示其取值。二、分布函數(shù)及其性質(zhì)1. 定義：設(shè)隨機變量，對于任意實數(shù)，函數(shù)稱為隨機變量的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。注：當時，(1)x是離散隨機變量，并有概率函數(shù)則有(2) x連續(xù)隨機變量，并有概率密度f (x)，則.2. 分布函數(shù)性

7、質(zhì)：（1）f(x)是單調(diào)非減函數(shù)，即對于任意x1 1)解: (1)由概率密度的性質(zhì)得故a=20.(2)當x0時，當0x1時，當x1時, 所以x的分布函數(shù)為 第三章 隨機變量的數(shù)字特征一、期望（或均值）1定義： 2期望的性質(zhì)： 3. 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望4. 計算數(shù)學(xué)期望的方法(1) 利用數(shù)學(xué)期望的定義；(2) 利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)；常見的基本方法： 將一個比較復(fù)雜的隨機變量x 拆成有限多個比較簡單的隨機變量xi之和,再利用期望性質(zhì)求得x的期望.(3)利用常見分布的期望；二、方差1方差 注：d(x)=ex-e(x)20；它反映了隨機變量x取值分散的程度,如果d(x)值越大(小)，表示x取值越分散

8、(集中)。2方差的性質(zhì)(4) 對于任意實數(shù)cr，有 e ( x-c )2d( x )當且僅當c = e(x)時, e ( x-c )2取得最小值d(x).(5) (切比雪夫不等式): 設(shè)x的數(shù)學(xué)期望 e(x) 與方差d(x) 存在,對于任意的正數(shù)有或 3. 計算(1) 利用方差定義；(2) 常用計算公式(3) 方差的性質(zhì)；(4) 常見分布的方差.注：常見分布的期望與方差1. 若xb(n, p), 則 e(x)=np, d(x) = npq;2. 若3. 若xu(a, b), 則4. 若5. 若三、原點矩與中心矩（總體）x的k階原點矩：（總體）x的k階中心矩：練習 一、判斷正誤：1.只要是隨機變

9、量，都能計算期望和方差。( x )2.期望反映的是隨機變量取值的中心位置，方差反映的是隨機變量取值的分散程度。()3.方差越小，隨機變量取值越分散，方差越大越集中。( x )4.方差的實質(zhì)是隨機變量函數(shù)的期望。()5.對于任意的x,y，都有成立。( x )二、選擇題1.則的值為（ b ） a. 4, 0.6； b. 6, 0.4； c. 8, 0.3； d. 24, 0.12.隨機變量x的數(shù)字期望為2，方差等于4，則ed(x), de(x)的值分別為( d ) a. x, x； b. 2, 4； c. 4, 2； d. 4, 0.3. 兩個獨立的隨機變量x, y的方差分別為4和2，則隨機變量x

10、-2y的方差等于:( c ) a. 0； b. 8； c. 12； d. 無法計算.4.則對于任意的常數(shù)c, 有（d ）； ； 5.，則對于任意給定的有（ d ） 三、填空題1.設(shè)則的數(shù)學(xué)期望為_。四、計算題1.設(shè)x的概率密度為試求.解：故2游客乘電梯從底層到電視塔的頂層觀光，電梯于每個整點的第5分鐘、25分鐘和55分鐘，從底層起行。一游客在早八點的第x分鐘到達底層候梯處，且x在0,60上服從均勻分布，求該游客等候時間y的數(shù)學(xué)期望. 解：因故其概率密度為由題意得所以第四章 正態(tài)分布一、正態(tài)分布的定義1. 正態(tài)分布 ，其概率密度為其分布函數(shù)為 注：.正態(tài)密度函數(shù)的幾何特性： 2. 標準正態(tài)分布當

11、時，其密度函數(shù)為且其分布函數(shù)為 的性質(zhì)：3.正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關(guān)系定理：若 則.定理：設(shè)則二、正態(tài)分布的數(shù)字特征設(shè) 則1. 期望e(x) 2.方差d(x) 3.標準差三、正態(tài)分布的性質(zhì)1線性性. 設(shè)則；2可加性. 設(shè)且x和y相互獨立，則3線性組合性 設(shè)，且相互獨立，則四、中心極限定理1.獨立同分布的中心極限定理設(shè)隨機變量相互獨立，服從相同的分布，且則對于任何實數(shù)x，有定理解釋：若滿足上述條件，有（1）；（3）2. 棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理設(shè)則定理解釋：若當n充分大時，有（1）；（2）練習：一、判斷題1.若則（ x ）2.若則 （ ）二、選擇題1.若則（ b ）a1 b. 6 c. 5

12、 d. 無法計算2.若且相互獨立，則服從（ c ）分布. a. n(0,1) b. n(-6,-1) c. n(-6,13) d. n(-6, -5)3. 設(shè)隨機變量x與y均服從正態(tài)分布：三、填空題1.已知連續(xù)隨機變量x的概率密度函數(shù)為則x的數(shù)學(xué)期望為_1_; x的方差為_1/2_.四、計算題1. 解：得由獨立同分布的中心極限定理， 第五章 數(shù)理統(tǒng)計的基本知識一、總體 個體 樣本1.總體：把研究對象的全體稱為總體 (或母體).它是一個隨機變量，記x. 2.個體：總體中每個研究對象稱為個體.即每一個可能的觀察值.3.樣本：從總體x中，隨機地抽取n個個體, 稱為總體x的容量為n的樣本。注： 樣本是

13、一個n維的隨機變量； 本書中提到的樣本都是指簡單隨機樣本，其滿足2個特性： 代表性：中每一個與總體x有相同的分布. 獨立性：是相互獨立的隨機變量.4.樣本的聯(lián)合分布設(shè)總體x的分布函數(shù)為f(x)，則樣本的聯(lián)合分布函數(shù)為(1) 設(shè)總體x的概率密度函數(shù)為f (x), 則樣本的聯(lián)合密度函數(shù)為(2) 設(shè)總體x的概率函數(shù)為, 則樣本的聯(lián)合概率函數(shù)為二、統(tǒng)計量1. 定義 不含總體分布中任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)稱為統(tǒng)計量,是的觀測值.注：（1）統(tǒng)計量是隨機變量； （2）統(tǒng)計量不含總體分布中任何未知參數(shù)； （3）統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.2. 常用統(tǒng)計量（1）樣本矩樣本均值 ； 其觀測值 .可用于推斷：總體均值

14、e(x).樣本方差 ; 其觀測值 可用于推斷：總體方差d(x).樣本標準差 其觀測值 樣本k 階原點矩其觀測值 樣本 k 階中心矩其觀測值 注：比較樣本矩與總體矩，如樣本均值和總體均值e(x)；樣本方差與總體方差d(x)；樣本k階原點矩與總體k階原點矩；樣本k階中心矩與總體k階原點矩. 前者是隨機變量，后者是常數(shù).(2)樣本矩的性質(zhì):設(shè)總體x的數(shù)學(xué)期望和方差分別為，為樣本均值、樣本方差，則 3.抽樣分布：統(tǒng)計量的分布稱為抽樣分布.三、3大抽樣分布(1) 定義.設(shè)相互獨立，且，則注：若則（2）性質(zhì)（可加性）設(shè)相互獨立，且則2. t分布設(shè)x 與y 相互獨立,且則注：t分布的密度圖像關(guān)于t=0對稱；

15、當n充分大時，t分布趨向于標準正態(tài)分布n(0,1).3. f分布（1）定義. 設(shè)x與y相互獨立，且則(2) 性質(zhì). 設(shè)則.四、分位點定義：對于總體x和給定的若存在，使得則稱為x分布的分位點。注：常見分布的分位點表示方法（1）分布的分位點 （2）分布的分位點 其性質(zhì)： （3）分布的分位點其性質(zhì)（4）n(0,1)分布的分位點有第六章 參數(shù)估計一、點估計1. 定義 設(shè)為來自總體x的樣本，為x中的未知參數(shù)，為樣本值，構(gòu)造某個統(tǒng)計量作為參數(shù)的估計，則稱為的點估計量，為的估計值.2.常用點估計的方法：矩估計法和最大似然估計法.二、矩估計法1.基本思想: 用樣本矩（原點矩或中心矩）代替相應(yīng)的總體矩.2.求總

16、體x的分布中包含的m個未知參數(shù)的矩估計步驟： 求出總體矩,即； 用樣本矩代替總體矩，列出矩估計方程： 解上述方程（或方程組）得到的矩估計量為： 的矩估計值為：3. 矩估計法的優(yōu)缺點： 優(yōu)點：直觀、簡單; 只須知道總體的矩,不須知道總體的分布形式. 缺點：沒有充分利用總體分布提供的信息；矩估計量不具有唯一性；可能估計結(jié)果的精度比其它估計法的低三、最大似然估計法1. 直觀想法：在試驗中，事件a的概率p(a)最大, 則a出現(xiàn)的可能性就大；如果事件a出現(xiàn)了，我們認為事件a的概率最大.2. 定義 設(shè)總體x的概率函數(shù)或密度函數(shù)為（或），其中參數(shù)未知，則x的樣本的聯(lián)合概率函數(shù)（或聯(lián)合密度函數(shù)）（或）稱為似然

17、函數(shù).3. 求最大似然估計的步驟：（1）求似然函數(shù):x離散： x連續(xù)： （2）求和似然方程：（3）解似然方程，得到最大似然估計值：（4）最后得到最大似然估計量：4. 最大似然估計法是在各種參數(shù)估計方法中比較優(yōu)良的方法，但是它需要知道總體x的分布形式.四、估計量的評價標準1.無偏性設(shè)是未知參數(shù)的估計量，若，則是的無偏估計量，是的無偏估計值。1. 有效性設(shè)和是未知參數(shù)的無偏估計量，若，則稱比有效。練習一、 判斷題(1) 若是來自總體x的樣本，則相互獨立. （ ）(2) 不含總體x的任何未知參數(shù)的樣本函數(shù)就是統(tǒng)計量. ( )(3) 樣本矩與總體矩是等價的。（ x ）(4) 矩估計法的基本思想是用總體矩代替樣本矩，故矩估計量不唯一.( x )(5) 設(shè)總體，則估計量分別是的無偏估計量.( x )二、選擇題1.設(shè)x1,x2 ,xn是來自總體x的簡單隨機樣本,則x1,x2 ,xn必然滿足（ c ）.a. 獨立但分布不同； b. 分布相同但不相互獨立;c. 獨立同分布; d. 不能確定.2.下面不是統(tǒng)計量的是（ d ） 3. 若且x，y相互獨立，則服從（ a ）分布.a. f(1,4) b. t(2) c. n(0,1) d. f(4