黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)典型例題2充要條件的判定

1、黃岡中學(xué)高考數(shù)學(xué)典型例題詳解充要條件的判定充分條件、必要條件和充要條件是重要的數(shù)學(xué)概念，主要用來區(qū)分命題的條件p和結(jié)論q之間的關(guān)系.本節(jié)主要是通過不同的知識點(diǎn)來剖析充分必要條件的意義，讓考生能準(zhǔn)確判定給定的兩個(gè)命題的充要關(guān)系.難點(diǎn)磁場()已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程x2+ax+b=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根、，證明：|2且|2是2|a|4+b且|b|0),若p是q的必要而不充分條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.命題意圖：本題以含絕對值的不等式及一元二次不等式的解法為考查對象，同時(shí)考查了充分必要條件及四種命題中等價(jià)命題的應(yīng)用，強(qiáng)調(diào)了知識點(diǎn)的靈活性.知識依托：本題解題的閃光點(diǎn)是利用等價(jià)命題對題目的文字表述方式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，

2、使考生對充要條件的難理解變得簡單明了.錯解分析：對四種命題以及充要條件的定義實(shí)質(zhì)理解不清晰是解此題的難點(diǎn)，對否命題，學(xué)生本身存在著語言理解上的困難.技巧與方法：利用等價(jià)命題先進(jìn)行命題的等價(jià)轉(zhuǎn)化，搞清晰命題中條件與結(jié)論的關(guān)系，再去解不等式，找解集間的包含關(guān)系，進(jìn)而使問題解決.解：由題意知：命題：若p是q的必要而不充分條件的等價(jià)命題即逆否命題為：p是q的充分不必要條件.p:|1|2212132x10q:x22x+1m20x(1m)x(1+m)0 *p是q的充分不必要條件，不等式|1|2的解集是x22x+1m20(m0)解集的子集.又m0不等式*的解集為1mx1+m，m9，實(shí)數(shù)m的取值范圍是9，+.

3、例2已知數(shù)列an的前n項(xiàng)sn=pn+q(p0,p1),求數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件.命題意圖：本題重點(diǎn)考查充要條件的概念及考生解答充要條件命題時(shí)的思維的嚴(yán)謹(jǐn)性.知識依托：以等比數(shù)列的判定為主線，使本題的閃光點(diǎn)在于抓住數(shù)列前n項(xiàng)和與通項(xiàng)之間的遞推關(guān)系，嚴(yán)格利用定義去判定.錯解分析：因?yàn)轭}目是求的充要條件，即有充分性和必要性兩層含義，考生很容易忽視充分性的證明.技巧與方法：由an=關(guān)系式去尋找an與an+1的比值，但同時(shí)要注意充分性的證明.解：a1=s1=p+q.當(dāng)n2時(shí)，an=snsn1=pn1(p1)p0,p1,=p若an為等比數(shù)列，則=p=p,p0，p1=p+q，q=1這是an為等比數(shù)列的

4、必要條件.下面證明q=1是an為等比數(shù)列的充分條件.當(dāng)q=1時(shí)，sn=pn1(p0,p1)，a1=s1=p1當(dāng)n2時(shí)，an=snsn1=pnpn1=pn1(p1)an=(p1)pn1 (p0,p1)=p為常數(shù)q=1時(shí)，數(shù)列an為等比數(shù)列.即數(shù)列an是等比數(shù)列的充要條件為q=1.錦囊妙計(jì)本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有：(1)要理解“充分條件”“必要條件”的概念：當(dāng)“若p則q”形式的命題為真時(shí)，就記作pq，稱p是q的充分條件，同時(shí)稱q是p的必要條件，因此判斷充分條件或必要條件就歸結(jié)為判斷命題的真假.(2)要理解“充要條件”的概念，對于符號“”要熟悉它的各種同義詞語：“等價(jià)于”，“當(dāng)且僅當(dāng)”，“

5、必須并且只需”，“，反之也真”等.(3)數(shù)學(xué)概念的定義具有相稱性，即數(shù)學(xué)概念的定義都可以看成是充要條件，既是概念的判斷依據(jù)，又是概念所具有的性質(zhì).(4)從集合觀點(diǎn)看，若ab，則a是b的充分條件，b是a的必要條件；若a=b，則a、b互為充要條件.(5)證明命題條件的充要性時(shí)，既要證明原命題成立(即條件的充分性)，又要證明它的逆命題成立(即條件的必要性).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、選擇題1.()函數(shù)f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)的充要條件是( )a.ab=0b.a+b=0c.a=bd.a2+b2=02.()“a=1”是函數(shù)y=cos2axsin2ax的最小正周期為“”的( )a.充分不必要條件b.必要不

6、充分條件c.充要條件d.既非充分條件也不是必要條件二、填空題3.()a=3是直線ax+2y+3a=0和直線3x+(a1)y=a7平行且不重合的_.4.()命題a：兩曲線f(x,y)=0和g(x,y)=0相交于點(diǎn)p(x0,y0),命題b：曲線f(x,y)+g(x,y)=0(為常數(shù))過點(diǎn)p(x0,y0),則a是b的_條件.三、解答題5.()設(shè)，是方程x2ax+b=0的兩個(gè)實(shí)根，試分析a2且b1是兩根、均大于1的什么條件？6.()已知數(shù)列an、bn滿足：bn=,求證：數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn也是等差數(shù)列.7.()已知拋物線c：y=x2+mx1和點(diǎn)a(3，0)，b(0，3)，求拋物線c與

7、線段ab有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件.8.()p:2m0,0n0.即有4+b2a(4+b)又|b|44+b02|a|4+b(2)必要性：由2|a|4+bf(2)0且f(x)的圖象是開口向上的拋物線.方程f(x)=0的兩根，同在(2，2）內(nèi)或無實(shí)根.，是方程f(x)=0的實(shí)根，同在(2，2）內(nèi)，即|2且|2.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練一、1.解析：若a2+b2=0,即a=b=0,此時(shí)f(x)=(x)|x+0|+0=x|x|=(x|x+0|+b)=(x|x+a|+b)=f(x).a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的充分條件，又若f(x)=x|x+a|+b是奇函數(shù)，即f(x)=(x)|(x)+a|+b=f(x),則必有

8、a=b=0,即a2+b2=0.a2+b2=0是f(x)為奇函數(shù)的必要條件.答案：d2.解析：若a=1,則y=cos2xsin2x=cos2x,此時(shí)y的最小正周期為.故a=1是充分條件，反過來，由y=cos2axsin2ax=cos2ax.故函數(shù)y的最小正周期為,則a=1,故a=1不是必要條件.答案：a二、3.解析：當(dāng)a=3時(shí)，直線l1:3x+2y+9=0;直線l2:3x+2y+4=0.l1與l2的a1a2=b1b2=11，而c1c2=941,即c1c2,a=3l1l2.答案：充要條件4.解析：若p(x0,y0)是f(x,y)=0和g(x,y)=0的交點(diǎn)，則f(x0,y0)+g(x0,y0)=0

9、，即f(x,y)+g(x,y)=0，過p(x0,y0);反之不成立.答案：充分不必要三、5.解：根據(jù)韋達(dá)定理得a=+,b=.判定的條件是p:結(jié)論是q:(注意p中a、b滿足的前提是=a24b0)(1)由，得a=+2,b=1,qp(2)為證明pq,可以舉出反例：取=4,=,它滿足a=+=4+2,b=4=21,但q不成立.綜上討論可知a2,b1是1,1的必要但不充分條件.6.證明：必要性：設(shè)an成等差數(shù)列，公差為d,an成等差數(shù)列. 從而bn+1bn=a1+nda1(n1) d=d為常數(shù). 故bn是等差數(shù)列，公差為d.充分性:設(shè)bn是等差數(shù)列，公差為d,則bn=(n1)dbn(1+2+n)=a1+2a2+nanbn1(1+2+n1)=a1+2a2+(n1)an得：nan=bn1an=,從而得an+1an=d為常數(shù)，故an是等差數(shù)列.綜上所述，數(shù)列an成等差數(shù)列的充要條件是數(shù)列bn也是等差數(shù)列.7.解：必要性：由已知得，線段ab的方程為y=x+3(0x3)由于拋物線c和線段ab有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，所以方程組*有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解.消元得：x2(m+1)x+4=0(0x3)設(shè)f(x)=x2(m+1)x+4,則有充分性：當(dāng)3x時(shí)，x1=0方程x2(m+1)x+4=0有兩個(gè)不等的實(shí)根x1,x2,且0x1x23,方程組*有兩組不同的實(shí)數(shù)解.因此，拋物線y=x2+mx1和