第六章：收益率曲線的擬合技術(shù)

1、第六章 收益率曲線的擬合技術(shù)關(guān)于利率期限結(jié)構(gòu)的研究，在整個債券投資分析的理論和方法中居于最核心的地位。準確地獲得當前市場的利率期限結(jié)構(gòu)信息，對估計當前利率形勢，定價未來現(xiàn)金流，以及債券衍生物的定價和研究都有重要的作用。可以這樣說：如果沒有期限結(jié)構(gòu)信息，債券分析師就無從對債券市場和個別品種進行有效研究。構(gòu)成利率期限結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)是即期利率曲線。通常，即期利率曲線的完整形態(tài)和數(shù)據(jù)是可以準確地通過市場數(shù)據(jù)中導出的。這個過程有時候被稱為“收益率曲線的提取”（yield curve extraction）。由于這個“提取”過程的關(guān)鍵在于能夠有效地建立收益率曲線的參數(shù)模型，而其具體應(yīng)用中有時也會借助于一些工程

2、應(yīng)用中的曲線擬合方法，因此本章的核心內(nèi)容即是主要關(guān)于收益率曲線參數(shù)模型和具體的一些應(yīng)用擬合方法的探討。在國外成熟的債券市場上，關(guān)于“收益率曲線的提取”的理論和技術(shù)已經(jīng)相當完善，其市場的程度成熟和理性程度較高，這降低了不同的參數(shù)模型和擬合方法對最終擬合結(jié)果的影響。因此，在國外的一些關(guān)于固定收益證券理論的書籍和文獻上，對收益率曲線擬合的問題都泛泛帶過，或者敘述得相當簡略。但對于中國債券市場來講，無論是市場本身，還是針對市場的研究方法和理論都還很不成熟。國內(nèi)研究人員往往直接采用一些分析軟件上的收益率曲線數(shù)據(jù)，而不是自己去嘗試建立參數(shù)模型進行擬合。而且，人為地將市場割裂成交易所和銀行間兩個交易制度和參

3、與主體都不盡相同的市場，也給準確地擬合合理的收益率曲線增加了難度。因此，本章的內(nèi)容將著重介紹這些通常被忽視的理論和方法，包括如何從當前的市場上的債券（對于國內(nèi)市場來說，主要是固定息票的國債）數(shù)據(jù)，來獲得當前市場的即期利率曲線。本章將著重介紹幾種最常被使用的方法：nelson-siegel-svensson方法、三次多項式樣條法和三次指數(shù)樣條法，以及擬合中的一些理論和應(yīng)用問題，如目標函數(shù)的設(shè)定和異方差問題的處理。最后，在本章的附錄中，我們將比較這些方法在中國國債交易所市場的應(yīng)用效果和優(yōu)缺點。6-1一般方法息票債券的理論價格和定價誤差在第五章中，我們已經(jīng)提及了對于固定息票債券的定價方法，其前提是我

4、們已知了即期利率曲線，而相應(yīng)地，我們也可以導出瞬間遠期利率曲線。對于每一筆確定性的，發(fā)生在未來時點t的遠期現(xiàn)金流cf，我們有其現(xiàn)值 （6-1）其中，s (t)為t時點的年計連續(xù)復利的即期利率水平，finst (t)為瞬間遠期利率函數(shù)。類似地，我們也定義固定息票債券的理論價格為其所有的內(nèi)含遠期現(xiàn)金流的現(xiàn)值加總（我們不區(qū)分具體的遠期現(xiàn)金流是利率或本金）： （6-2）當然，在真實的交易環(huán)境（包含交易成本和稅費支出）下，（6-2）中的固息債券理論價格只能是一個近似的定價水平。此外，這里的理論價格也沒有考慮債券交易的流動性問題。但我們的目的并不是給債券定價，而是要從考察當前的收益率曲線。假設(shè)當前市場上的

5、債券品種（或我們選取的債券樣本）為集合，n為樣本債券總數(shù)。我們以來表示市場上債券品種i的有效交易價格，為債券品種i的理論價格，則我們有 （6-3）為對應(yīng)債券品種i的定價誤差。對于整個樣本集合，我們可以將（6-3）寫作向量（即n1維矩陣）形式，有 （6-4）這樣，我們就有了總體債券樣本的定價誤差向量，接下來的內(nèi)容中，我們將經(jīng)常會用到這個關(guān)鍵的向量，并基于定價誤差最小化的原則來建立我們的收益率曲線擬合方法。一般方法我們這里所提到的“一般方法”，實際上就是前面所講到的收益率曲線擬合方法的基本原理。原則上來將，一般方法包含的原理可以適用于各種參數(shù)模型。事實上，本章節(jié)中介紹的收益率曲線擬合方法是一種所謂

6、“間接”方法。在許多文獻中也提到“直接”的方法，即不考慮理論價格和實際價格間的誤差，而是直接將所有遠期現(xiàn)金流樣本所對應(yīng)的貼現(xiàn)率直接作為即期利率曲線的基礎(chǔ)。這些貼現(xiàn)率在收益率-期限的兩維平面上是一系列離散的點，可以通過內(nèi)插法把它們連成一條曲線，這就是直接從市場。然而，這種方法在應(yīng)用中實際上是不可行的。如果樣本僅有零息債券，那么每一筆遠期現(xiàn)金流都有可觀察到的實際市場價格與其對應(yīng)。但如果我們的債券樣本中包含息票債券的話，情況就復雜得多（注*：對于一組息票債券來說，其市場價格向量為全部現(xiàn)金流組成的矩陣f和貼現(xiàn)率向量b的乘積，即p = fb。顯然，如果我們要根據(jù)p和f求出b，則必須要求矩陣f非奇異，即所

7、有的樣本債券現(xiàn)金流都相互線性無關(guān)，這很可能導致我們不能將某些債券納入總體樣本中，因此收益率曲線無法代表整個市場的信息）。此外，這樣獲得的收益率曲線也不會是一條很平滑的曲線。因為這樣的原因，通常研究人員都會采取“間接”的方法來獲得收益率曲線。所謂“間接”方法就是先假設(shè)收益率曲線近似符合某些包含有自由參數(shù)的參數(shù)模型，并且約定一個與自由參數(shù)有關(guān)的目標函數(shù)。然后在現(xiàn)有市場數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，估計和調(diào)整函數(shù)中自由參數(shù)，使其令目標函數(shù)達到或接近優(yōu)化目標。這樣，我們將獲得自由參數(shù)的“最優(yōu)值”代入最初的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型，就可以獲得收益率曲線的結(jié)果。這個最優(yōu)化的過程就是我們“擬合”收益率曲線的過程。這樣的方法有許多好

8、處，它可以包含所有必要的市場債券品種，而且確保我們的收益率曲線是平滑的曲線。但這種一般方法代價的是較高的模型風險，即研究人員必須合理地選擇適用的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型，如果模型本身不恰當，或者根本就選取了錯誤的模型，那最終的輸出結(jié)果可能是災(zāi)難性的，所以本章將會使用大部分的篇幅來討論具體的參數(shù)模型。收益率曲線擬合的一般方法，通常是設(shè)定一個參數(shù)模型，這個模型可能是直接體現(xiàn)為一個即期利率關(guān)于到期期限t的函數(shù)，我們記為，其中，為自由參數(shù)向量。另外一種形式為建立貼現(xiàn)率關(guān)于到期期限t的函數(shù)，我們計為，而讀者在上一章已經(jīng)了解，年計連續(xù)復利的即期利率和貼現(xiàn)率之間使可以相互換算的，可表示為 （6-5）所以，這兩種形式

9、的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型本質(zhì)上是一樣的。使用貼現(xiàn)率的函數(shù)往往是出于方便于表達的考慮。在上一小節(jié)中，我們已經(jīng)知道了關(guān)于定價誤差的定義。對于理想的即期利率曲線來說，通常要求使整個債券樣本的總體定價誤差最小，也就是說，如果我們考慮樣本的定價誤差（列）向量，顯然有。而對于自由參數(shù)向量來說，其最優(yōu)估計量應(yīng)滿足使 （6-6）成立。（6-6）這就是我們優(yōu)化的目標函數(shù)。如果按前述的式（6-4），我們實際上是要求理論價格和市場價格間的“絕對定價誤差”最小化，這也就是說，應(yīng)滿足使（6-7）成立。我們注意（6-6）和（6-7）式，這樣的目標函數(shù)形式和我們熟知的最小二乘法（ordinary least squares） 的

10、目標函數(shù)是一致的。事實上，對于某些僅包含線性參數(shù)的期限結(jié)構(gòu)模型，直接使用最小二乘法的結(jié)果使可以求出自由參數(shù)向量的最優(yōu)解的。即，k維參數(shù)向量是函數(shù)關(guān)于（殘差平方和最小化）的最小二乘估計量。根據(jù)最小二乘原理進行多元線性回歸，線性參數(shù)最小二乘估計量的解析解為 （6-8）在（6-8）式中，p是可觀察到的n個樣本債券在同一時點的市場價格組成的n維向量。我們需要注意的一點是，nk維的數(shù)據(jù)矩陣x的取值是和具體的模型設(shè)定有關(guān)的。在本章的多項式樣條法一節(jié)里，我們還會具體討論數(shù)據(jù)矩陣x的設(shè)定。當然，這樣的在最小二乘法（ols）下的解是可能存在很多問題的，因為我們的期限結(jié)構(gòu)模型設(shè)定違反了最小二乘法的一些古典假定。此

11、外，有些形式的期限結(jié)構(gòu)模型是沒有最小二乘估計量的解析解的。關(guān)于這些問題，也會在后面的內(nèi)容中具體討論。最后，關(guān)于債券樣本的選取，最好選擇“同質(zhì)”的一組固定息票或零息債券，也就是說，如果選取的債券樣本不具有相同的信用等級，則它們之間會存在因信用風險息差。而對于含有內(nèi)置期權(quán)的債券也存在類似的問題。不過在國內(nèi)的債券市場上，我們通常最關(guān)心的是固息國債收益率曲線，所以債券樣本選取的問題會簡單一些。6-2nelson-siegel-svensson模型nelson-siegel模型讓我們開始來關(guān)注一下具體的期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型。nelson-siegel模型是一種簡單而且有效的參數(shù)模型，最早在1987年在一篇論

12、文中被charles nelson和andrew siegel提出。它是通過建立現(xiàn)金流的起息和支付時間（兩者差即期限）對瞬間遠期利率的一個較為簡單的函數(shù)表達形式。我們在上一章中曾經(jīng)提到過遠期時點t的瞬間遠期利率是連續(xù)復利的即期利率曲線關(guān)于t的偏導數(shù) （6-9）（6-9）和（5-23）的含義是一致的。不過由于在對收益率曲線擬合時，我們只需考慮當前的即期利率曲線，因此（6-9）的瞬間遠期利率計算時點就是即刻。nelson和siegel在論文中推導出了一個的瞬間遠期利率的函數(shù)表達式，其形式如下 （6-10）而有了瞬間遠期利率的函數(shù)表達式，我們就可以相應(yīng)地獲得即期利率的函數(shù)表達式，因為即期利率，我們求

13、（6-10）的積分，得出 （6-11）在式（6-10）和（6-11）中，我們需要估計四個自由參數(shù)，它們是、 和。這四個參數(shù)都是有真實的經(jīng)濟意義的，具體分別為： 是一個正數(shù)，它表示瞬間遠期利率曲線的水平漸近線，隨著ttm的增大， 的曲線應(yīng)趨向于的值。 是瞬間遠期利率曲線在初始位置（或短期）和漸近線的背離值，它也包含了瞬間遠期利率曲線向水平漸進線的趨近速度的因素。若它是一個正數(shù)，則瞬間遠期利率曲線是隨著期限的增大而上升的，反之則瞬間遠期利率曲線隨著期限的增大而下降。 是一個正數(shù)，它與瞬間遠期利率曲線的橫坐標（期限）相對應(yīng)，標志了遠期利率曲線的極值點出現(xiàn)的位置。 則決定了瞬間遠期利率曲線極值點的性質(zhì)

14、和曲度。若是一個正數(shù)，則曲線是上凸的，反之則曲線是上凹的。圖6-1為以nelsen-siegel方法擬合的中國國債銀行間市場期限結(jié)構(gòu)。我們由上面對自由參數(shù)的經(jīng)濟意義的介紹內(nèi)容以及圖6-1可以發(fā)現(xiàn)，顯然我們可以看出，nelson-siegel提供的方程只能描繪形狀較為簡單的收益率曲線，瞬間遠期利率只能有一個極值點，這就使得實際上經(jīng)常出現(xiàn)的馬鞍形或其他一些更復雜的收益率曲線形態(tài)無法準確地被表達。此外，單調(diào)的收益率曲線也造成了整體定價誤差和模型風險的增加。圖6-1svensson的擴展模型為了彌補nelson-siegel模型的這一缺陷，svensson（1994）提出了一個對nelson-sieg

15、el方程的擴展形式，在這個擴展形式中，瞬間遠期利率為 （6-12）由（6-12），我們可以得出svensson擴展模型的即期利率參數(shù)模型為 （6-13）svensson擴展模型中，比nelson-siegel模型的基礎(chǔ)方程又多出了一個關(guān)于瞬間遠期利率的修正項，以及兩個新的自由參數(shù) 和。這個增加的修正項可以使瞬間遠期利率曲線表現(xiàn)出更為復雜的形態(tài)。類似nelson-siegel基礎(chǔ)模型的自由參數(shù)，和分別描述了瞬間遠期利率曲線的第二個極值點的曲度和出現(xiàn)的位置。這樣，svensson擴展模型事實上已經(jīng)可以描繪大多數(shù)形態(tài)的收益率曲線了。圖6-2是以svensson模型擬合的2002年12月26日中國國債

16、交易所市場期限結(jié)構(gòu)。圖6-2nelson-siegel-svensson擴展模型具有很多應(yīng)用上的優(yōu)點，它僅有6個自由參數(shù)（注*：與具有類似性質(zhì)的其他一些“動態(tài)”模型相比，svensson模型的自由參數(shù)數(shù)目的確是可接受的），而這個較為簡潔的模型卻同時具備了相當強的靈活性，而且在整個模型框架內(nèi)，每個自由參數(shù)都被賦予了很明確的經(jīng)濟意義。有時候，研究人員甚至可以直接通過這些參數(shù)的估計結(jié)果來判斷整個收益率曲線的擬合效果。這一點在實際應(yīng)用中帶來的好處是非常明顯的。此外，在整個模型中的全部6個自由參數(shù)都僅僅依賴于現(xiàn)實的市場數(shù)據(jù)，而不需要我們?nèi)タ紤]設(shè)定某些參數(shù)（注*：在有些文獻中稱參數(shù)是需要設(shè)定的，這實際上是

17、指需要設(shè)定其進行優(yōu)化前的初值而并非終值，因為瞬間遠期利率曲線形態(tài)必須完全通過市場數(shù)據(jù)去獲知），因而模型風險被大大地降低了。nelson-siegel參數(shù)模型和svensson擴展模型的另一個特點在于：關(guān)于瞬間遠期利率的參數(shù)方程中包含有非線性的自由參數(shù)。在這種情況下，6-1節(jié)中自由參數(shù)向量（就是前述的六個自由參數(shù)組成的列向量）是沒有辦法直接獲得解析解的，我們必須通過牛頓迭代方法之類的最優(yōu)化方法來獲得參數(shù)向量的最優(yōu)解。在迭代過程中，需要我們根據(jù)目標函數(shù)（6-7），將每一次的即期利率函數(shù)轉(zhuǎn)化成為債券樣本的理論價格，然后考察總體定價誤差（理論價-市場價的殘差平方和項），直到獲得滿意的優(yōu)化結(jié)果。如圖6-

18、3所示。圖6-3 以nelson-siegel-svensson方法進行參數(shù)優(yōu)化，獲得期限結(jié)構(gòu)函數(shù)參數(shù)向量瞬間遠期利率 finst (t;)即期利率 s (t;)通過迭代方法進行反復優(yōu)化貼現(xiàn)函數(shù) b (t )目標函數(shù)由貼現(xiàn)函數(shù)和樣本債券導出定價誤差樣本債券現(xiàn)金流矩陣當然，進行非線性優(yōu)化前需要對自由參數(shù)向量預設(shè)初值。david bolder和david streliski（1999）的研究指出，nelson-siegel基礎(chǔ)模型對于參數(shù)初值是較為敏感的，即自由參數(shù)向量的初值設(shè)定不同會引至最終優(yōu)化結(jié)果的一定差異，這也是對nelson-siegel方法批評最多的一點。但svensson擴展模型由于包

19、含了修正項而更具靈活性，因此對于參數(shù)初值的敏感性較低，在絕大多數(shù)情況下，svensson擴展模型的初值設(shè)定對最終擬合結(jié)果的影響并不太大。實際上，任何包含非線性參數(shù)的期限結(jié)構(gòu)模型都存在上述這種初值設(shè)定的問題，包括本章接下來要介紹的指數(shù)樣條方法。而要深入研究這方面的問題，事實上屬于最優(yōu)化理論和數(shù)值方法的研究范疇。基本上，我們認為nelson-siegel-svensson擴展模型在這方面的問題還并不算嚴重，畢竟它要求參與優(yōu)化的參數(shù)不多，而且根據(jù)它們的經(jīng)濟意義，初值的設(shè)定也不太困難。由于其模型具有良好的實用效果，nelson-siegel-svensson方法在90年代中后期在世界范圍內(nèi)得到了廣泛的

20、使用。目前，已經(jīng)有瑞典、法國和加拿大等國家的中央銀行使用svensson擴展模型來計算并公布其政府債券的收益率曲線。特別值得一提的是，nelson-siegel-svensson方法是比較適合類似中國國債交易所市場這種交易品種不太多，而且自身也不是非常成熟的市場的。6-2多項式樣條方法多項式樣條函數(shù)樣條方法（splines approach）是一種廣為人知的曲線擬合方法。而在對收益率曲線擬合的諸多方法中，樣條方法也是被應(yīng)用得最廣泛的一種方法。它通過構(gòu)造高階多項式或指數(shù)分段函數(shù)的方法來擬和收益率曲線。由于這類函數(shù)具有連續(xù)、可積、高階可導等良好的性質(zhì)，因此往往可以較好地表現(xiàn)收益率曲線形態(tài)。同nel

21、son-siegel方法原理一樣，樣條法也需要先假設(shè)具體的函數(shù)形式，然后估計函數(shù)中自由參數(shù)的最優(yōu)值。但和通常nelson-siegel直接給出瞬間遠期利率關(guān)于計算時點的方程不同的是，樣條方法是將與即期利率曲線對應(yīng)的即期貼現(xiàn)率函數(shù)b（t）作為參數(shù)模型。通常，這個參數(shù)模型是一個關(guān)于到期期限t的二次或三次多項式，我們稱之為樣條函數(shù)（splines function）。考慮到僅僅依賴一個三次多項式也并不能很好地描述形態(tài)復雜的收益率曲線，一般來說樣條函數(shù)是一個分段函數(shù)，為了收益率曲線光滑而且連續(xù)，樣條函數(shù)在分段點必需連續(xù)且可導（注*：對于三次多項式樣條函數(shù)來說，我們一般要求其在分段點上二階可導）。moc

22、ulloch(1975)最先提出了貼現(xiàn)函數(shù)b（t）的三次多項式樣條函數(shù)一般形式，如下： （6-14）對于即期貼現(xiàn)率函數(shù)b（t）來說，顯然有b (0) = 1。此外，為了要滿足貼現(xiàn)函數(shù)在整個定義域內(nèi)連續(xù)且一、二階可導，還需要滿足如下約束條件： （6-15）其中i 為上式中分段點的序數(shù)，和分別表示貼現(xiàn)率函數(shù)的一階和二階導數(shù)。相對于nelsen siegel方法的復雜之處在于，我們在以多項式樣條法進行擬合時，存在一個參數(shù)矩陣需要估計。函數(shù)分段點越多，需要估計的參數(shù)越多。對于三次多項式樣條法來說，每段分段函數(shù)就需要有四個自由參數(shù)。如果我們將整個收益率曲線的擬合區(qū)間分為三段，就有34 = 12個自由參數(shù)

23、。不過，由于多項式樣條法還是一個線性回歸模型（其需要估計的自由參數(shù)對貼現(xiàn)率函數(shù)的影響都是線性的），因此，我們可以直接應(yīng)用最小二乘法的對線性回歸模型的估計結(jié)果求自由參數(shù)，而不必擔心過多的參數(shù)會導致優(yōu)化過程消耗太長時間。利用最小二乘法計算參數(shù)的解析解以上面的三次多項式樣條函數(shù)作為一個例子，對于每一個樣條分段函數(shù)，我們有一個自由參數(shù)的列向量為那么，由（6-14），貼現(xiàn)函數(shù)b (t) 應(yīng)當為 （6-16）而對于整個債券樣本的市場價格觀測值向量，這個多元線性回歸模型為 （6-17）我們關(guān)鍵要考慮如何從市場數(shù)據(jù)中取得n4維的數(shù)據(jù)矩陣x。我們可以知道每只固息債券的現(xiàn)金流狀況，即其數(shù)量和發(fā)生時間，那么，由（6

24、-16），我們可以將（6-17）變換為 （6-18）上式中，我們將所有的債券遠期現(xiàn)金流數(shù)量都映射到矩陣上，而所有的現(xiàn)金流發(fā)生時間都映射到矩陣上。注意一點，由于t1 tm包含了債券樣本所有的遠期現(xiàn)金流的發(fā)生時間，因此對應(yīng)的現(xiàn)金流矩陣cf必然是一個“稀疏”的矩陣，也就是說，對于每一只債券對應(yīng)的現(xiàn)金流向量（表現(xiàn)為cf的每一個行向量），是對應(yīng)整個債券樣本的現(xiàn)金流的。在實際生成cf矩陣時非常簡單，我們只需要把每一行向量中與本行對應(yīng)的那只債券無關(guān)的現(xiàn)金流計為0即可了。這樣，我們事實上已經(jīng)有了數(shù)據(jù)矩陣x，即 （6-19）直接利用最小二乘正則方程組的解，我們就可以求出自由參數(shù)向量的最小二乘估計量了。當然，對于

25、分段的樣條函數(shù)來說，我們還要在分段點上連續(xù)和可導的約束條件。一種簡單的處理辦法是考慮改變現(xiàn)金流的時間映射矩陣t，例如，如果我們?nèi)蓚€樣條分段函數(shù)，唯一的分段點取值在t =，可考慮對t和的形式作如下改變： （6-20）上式中，。這樣，我們就可以將兩個分段的樣條函數(shù)寫入同一個正則方程組中。而分段函數(shù)連續(xù)同時一階和二階可導的約束條件為 （6-21）為了求出正則方程組的解析解，我們將（6-21）變?yōu)榈木仃囆问?。?（6-22）約束條件矩陣r為 （6-23） 而在約束的下的最小二乘估計量為 （6-24）其中，是無約束條件下求出的自由參數(shù)估計量。上述方法看似繁瑣，特別是分段點越多，（6-20）和（6-23

26、）中的矩陣就會變得愈發(fā)龐大。但在應(yīng)用處理中，我們通常是以matlab等數(shù)學工具軟件對收益率曲線進行擬合的，因此上述過程可以通過編程完成。而且，直接求最優(yōu)估計量的解析解比迭代優(yōu)化方法在運行時速度快得多。如果我們采用迭代算法，而且設(shè)置的樣條函數(shù)分段點較多時，自由參數(shù)數(shù)目的增加將會造成處理時間的幾何增長。當自由參數(shù)的數(shù)目超過12個時（也就是取3段以上的分段函數(shù)時），即使以目前的硬件處理速度，迭代優(yōu)化所需要的時間也是比較長的。雖然在moculloch的三次多項式樣條法在80年代的華爾街是一種流行的收益率擬合方法，但它也遭受了許多批評。作為一種關(guān)于貼現(xiàn)率的參數(shù)模型，多項式樣條法的缺點主要在于：1、 需要

27、足夠的市場數(shù)據(jù)（債券樣本）作為擬合的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)，否則只能減少函數(shù)分段數(shù)量，導致擬合質(zhì)量下降（例如，在缺乏長期債券的市場，比如中國的國債市場上，三次多項式樣條法對20年以上長期利率的擬合結(jié)果明顯不合理）。2、 而在有足夠樣本數(shù)據(jù)的情況，對分段點數(shù)量的選擇也需謹慎，否則很容易出現(xiàn)“過度擬合”的情況。有時候，甚至會出現(xiàn)“扭動的”或“擺動的”收益率曲線。3、 多項式樣條法的參數(shù)基本上沒有經(jīng)濟意義，因此無法根據(jù)這些參數(shù)獲得關(guān)于收益率曲線的經(jīng)濟信息（這也是多項式樣條法相比nelson-siegel-svensson方法這類參數(shù)模型的重要不足之處）。對于多項式樣條法的收益率出現(xiàn)的扭動和擺動（特別是在遠端）問題

28、，許多學者提出，應(yīng)對多項式樣條法的目標函數(shù)加入一個懲罰函數(shù)（roughness penalty）來進行修正。典型的一種懲罰函數(shù)如fisher（1995），fisher提出的修正的目標函數(shù)形式如下： （6-25）其中，為瞬間遠期利率曲線，而常數(shù)的取值需使成立。其中，n為集合中的債券數(shù)量，rss () 為理論價格和實際價格的殘差方差和（實際上就是最早的未經(jīng)調(diào)整過的目標函數(shù)），ep() 為有效參數(shù)的數(shù)目，為參數(shù)調(diào)整的成本，在fisher的方法中取為2。針對應(yīng)用中的批評，多項式樣條方法也在不斷改進中。對三次多項式函數(shù)的“懲罰函數(shù)”修正就是其中之一，但這類方法使模型變得復雜而臃腫，使用中也存在很多問題。

29、例如懲罰函數(shù)修正雖然避免了收益率曲線的擺動，但它也使曲線變得僵硬（注*：特別是修正常數(shù)取值過大時）。6-3指數(shù)樣條法三次指數(shù)樣條函數(shù)在多項式樣條函數(shù)的基礎(chǔ)上，vasicek和fong (1982) 提出的三次指數(shù)樣條函數(shù)得到了為廣泛的認同，因為它選取了自然對數(shù)底e關(guān)于時間t的冪作為表達貼現(xiàn)函數(shù)的基礎(chǔ)，這樣能夠更好地反映資產(chǎn)在經(jīng)過（關(guān)于時間的）連續(xù)復利后的增長。三次指數(shù)樣條法的貼現(xiàn)函數(shù)的有如下的形式 （6-26）在樣條函數(shù)所具有的一般性質(zhì)和服從的約束條件上，指數(shù)樣條函數(shù)和多項式樣條函數(shù)并無不同。對于三次指數(shù)樣條函數(shù)來說，通常的約束條件為分段函數(shù)在分段點上連續(xù)和一階、二階可導。自由參數(shù)u但值得注意

30、的是，指數(shù)樣條函數(shù)比多項式樣條函數(shù)多包含一個參數(shù)u，實際上可以證明 （6-27）也就是說，u是一個具有明確經(jīng)濟意義的參數(shù)。它是前述的瞬間遠期利率在即期計算的、發(fā)生時點趨向于無限遠時的極限值。有了這樣一個重要的參數(shù)，在我們研究最終樣條函數(shù)的優(yōu)化結(jié)果時，可以通過u的最終值來估計擬合結(jié)果是否合理，這也是指數(shù)樣條法得到廣泛歡迎的原因。但這個參數(shù)也帶來了很大的麻煩，由于u在模型中是一個非線性參數(shù)，因此我們無法通過最小二乘法正則方程組得出關(guān)于自由參數(shù)的估計值，而必須通過迭代優(yōu)化方法來進行最優(yōu)估計。這就帶來了一個兩難的問題，我們?nèi)绻》侄吸c過多，那么自由參數(shù)的數(shù)量也會相應(yīng)增加。但有的時候，為了擬合的準確性，

31、我們又必須選取較多的分段點，所以研究人員必須在擬合的準確性和速度之間尋找一個平衡點。比對多項式函數(shù)進行迭代更麻煩的是，指數(shù)樣條函數(shù)需要非線性優(yōu)化，其目標函數(shù)收斂速度要慢得多。在計算機硬件運算速度遠遠無法和現(xiàn)在相比的80年代，研究人員們通常估計一個u的值（例如5%），然后將它作為一個常數(shù)代入模型，這樣指數(shù)樣條函數(shù)就變成了一個線性回歸模型。即使失去了一個最重要的自由參數(shù)，指數(shù)樣條法的表現(xiàn)還是要優(yōu)于多項式樣條法。另一種折衷的方法是直接利用約束條件來化簡（6-26）式，這樣可以約去一部分自由參數(shù)?；喌暮锰幉粌H僅是減少了參數(shù)，甚至連約束條件也包含在化簡后的樣條函數(shù)中了。這樣的辦法在處理有3個以下分段點

32、的樣條函數(shù)的時候還是很實用的。分段點的選擇樣條函數(shù)分段點的選取并不是越多越好。雖然理論上來說，分段越多則最后的擬合結(jié)果越精確，但這也需要有足夠的樣本才可以。此外，考慮到避免“過度擬合（over fitting）”的問題，因此每個分段區(qū)間包含的債券樣本不宜少于3只。priaulet（1997）認為，樣條分段點數(shù)目的選取應(yīng)使樣本債券的平均定價誤差小于一個具體標準。priaulet選取“平均定價標準差”作為衡量定價誤差的依據(jù)，即 （6-28）（注*：這里的定價標準差，實際上沒有考慮有關(guān)自由度的問題，不過我們通常并不是要把期限結(jié)構(gòu)模型作為一個經(jīng)濟模型來研究，而是側(cè)重于研究樣本債券和收益率曲線的關(guān)系，因

33、此priaulet的方法從實用的角度上看是較為恰當?shù)模﹑riaulet認為，定價標準差小于0.15%則說明樣條分段點數(shù)目是合理的。但他的研究基礎(chǔ)是法國債券市場，其市場的成熟程度顯然是比較高的。對于中國債券市場來說， 0.15%的平均定價誤差顯然是太小了。關(guān)于這個問題，將在附錄中提供一些實證研究的資料。此外，即使我們確定了樣條分段點的數(shù)目，關(guān)于分段點的位置選取也需要研究者自行設(shè)定。一般來說，分段原則上要考慮到能夠體現(xiàn)市場的自然屬性。moculloch從擬合原理的角度出發(fā)，認為每一個分段區(qū)間內(nèi)包含的樣本債券數(shù)目都應(yīng)該是相同的。這樣的考慮在現(xiàn)實中并不一定符合市場的特征。最后需要指出的是，設(shè)置分段點的

34、做法，是考慮到樣條方法對于收益率曲線只是“一種合適的曲線擬合方法”而已，因為其模型本身包含的關(guān)于收益率曲線的經(jīng)濟意義信息非常有限，因此，如果我們手頭的債券樣本沒有足夠的某一期限的債券數(shù)據(jù)，那最終樣條曲線對于這一區(qū)域內(nèi)收益率曲線的表達就有會很大問題。例如國內(nèi)交易所市場剩余期限最長的債券只有不到20年，則對20年以上的收益率曲線就只是一種函數(shù)自然延伸的結(jié)果，并不一定代表市場的真實狀況或預期。6-4異方差問題與處理異方差性在本章前面幾個小節(jié)中介紹的描述利率期限的參數(shù)模型中，通常都是以到期期限（或發(fā)生時點，相對于瞬間遠期利率）作為重要的解釋變量，而由于我們在對模型中的自由參數(shù)向量進行估計時，通常以殘差

35、方差和作為衡量參數(shù)最優(yōu)值的標準，即參數(shù)向量的估計量應(yīng)滿足目標函數(shù)（6-6）和（6-7）。我們注意（6-6）和（6-7）的關(guān)系，在計算殘差時，我們是根據(jù)式（6-4）取得。對于其方差，我們記為。對于參數(shù)向量，我們也給出了其作為最小二乘估計量的解析解（6-8）和(6-24)。但注意，這種目標函數(shù)設(shè)定中及其推導，都是基于普通最小二乘法的（注*：我們這里將前面所述的最小二乘法（ordinary least squares）稱為普通最小二乘法，是為了和后面內(nèi)容中廣義最小二乘法相區(qū)分）。熟悉數(shù)理統(tǒng)計的讀者應(yīng)該知道，普通最小二乘法要求：殘差項必須服從零均值，非自相關(guān)和同方差三個假設(shè)，這樣，（6-8）和(6-2

36、4)中的解才是對參數(shù)向量的線性無偏有效估計量。這也是普通最小二乘法的古典假設(shè)。在我們前述的幾種擬合方法中，殘差項服從零均值是體現(xiàn)在參數(shù)模型的目標函數(shù)中的。而由于收益率曲線的擬合是對橫截面數(shù)據(jù)進行處理，因此我們也可不考慮自相關(guān)問題。對上述的一系列方法來說，最關(guān)鍵的模型風險，即其關(guān)于異方差問題的處理。換而言之，對于個別的殘差項方差，其經(jīng)濟意義是什么呢？這里的i對應(yīng)的是某一只具體債券的定價誤差，而在期限結(jié)構(gòu)模型中與其對應(yīng)的唯一解釋變量是到期期限t。如果我們以即期利率曲線作為研究對象，這里的t對應(yīng)的也就是某一只具體債券的久期。在第三章中，我們已經(jīng)介紹了關(guān)于久期的概念。一個眾所周知的結(jié)論是：債券價格的波

37、動主要受利率變動影響，而在利率變動同樣大小的條件下，其價格性同時受其久期（duration）和凸度(convexity)影響，表現(xiàn)為。如果我們忽略凸度影響，則近似為 。也就是說，假設(shè)即期利率曲線上對應(yīng)每一個期限的點利率的波動率水平都是一致的話，那么期限越長的債券，價格波動率越大，并且其波動率與其久期有線性關(guān)系（注*：實際上，不同的點利率的波動率水平并非一致，關(guān)于這個問題，本書后面章節(jié)會有一些深入的討論）。我們還需要第二個假設(shè)，即債券市場是有效的，那么可以有另一個推論，就是債券的定價誤差是完全因隨機因素引起的，其被觀測到的平均定價誤差的大小應(yīng)是與其價格的波動率水平一致的。因此我們可以認為，對于殘

38、差的期望值與解釋變量t之間存在著線性關(guān)系，而具有不同期限的債券樣本的跨觀測值方差的期望值也不同。這顯然從根本上違反了普通最小二乘法的同方差假定。也就是說，我們設(shè)定的目標函數(shù)（6-7）的對最終估計結(jié)果是無效的估計量（注*：嚴格地講，根據(jù)擾動項的具體分布等因素，目標函數(shù)（6-7）下的估計量對并不一定是完全無效的，也可能存在可以得出一個的至少是無偏的估計量的情況。但這一部分的推斷的目的只是解釋異方差問題帶來的模型風險，而且可以證明廣以最小二乘法可以得出更有效地估計量）。讓我們換一個角度，從直觀上來理解這個問題。由于我們選擇的樣本債券本身就是一組期限不等（通常由小于1年到20年以上）的同質(zhì)債券，而至少

39、是從經(jīng)驗上我們也可以判斷出，短期限的，尤其是即將到期的債券，其凈價迅速收斂于其面值；而長期限的債券品種往往有更大的價格波動性和定價誤差。然而，關(guān)于目標函數(shù)（6-7），所有券種的定價誤差都擁有相同的權(quán)重，顯然，這樣的收益率曲線擬合結(jié)果對于長期券是相對“過度擬合”的，而對于短期券則是相對“擬合不足”的。這個問題在中國的債券市場上體現(xiàn)得特別明顯。久期修正的目標函數(shù)與廣義最小二乘法顯然，我們理應(yīng)允許期限較長的債券具有較大的定價誤差。因此，我們在設(shè)定目標函數(shù)時應(yīng)加入一個權(quán)重系數(shù)，使目標函數(shù)（6-7）修正為一個加入權(quán)重的目標函數(shù) （6-29）關(guān)于權(quán)重系數(shù)的選擇問題，有許多不同的處理方法。但我們考慮到，的選

40、取原則是給與長期券較低的權(quán)重，而給與短期券較高的券重。根據(jù)我們上一部分所提到的，若市場是有效的，且不同期限點利率具有相同的波動性，則個券的定價誤差與其久期存在線性關(guān)系。也就是說應(yīng)使這個久期在定價誤差中的影響被消去?；谶@個原則，顯然應(yīng)是久期倒數(shù)的一個線性函數(shù)。如果我們?nèi)?，則有 （6-30）式（6-30）是一種最常見的權(quán)重選取方法。vasicek和fong (1982)也使用了類似的辦法，但相對略微復雜，他們采用美元久期的倒數(shù)作為修正的權(quán)重系數(shù)： （6-31）這兩種方法本質(zhì)上并無區(qū)別。根據(jù)（6-30）的方法，修正后的目標函數(shù)為 （6-32）我們?nèi)绻Ｍㄟ^nelson-siegel-svenss

41、on模型進行收益率曲線的擬合，可以直接在matlab軟件中設(shè)定（6-32）式作為修正的目標函數(shù)。了解廣義最小二乘法的讀者應(yīng)該已經(jīng)注意到，上述方法在原理上是符合廣義最小二乘法對于異方差問題的處理辦法的。我們考慮將殘差項寫成下面的矩陣形式： （6-33）上式中，我們將異方差的殘差項方差-協(xié)方差矩陣寫作權(quán)重矩陣和標準化的殘差方差的乘積形式。如果我們上述的兩個假設(shè)（市場有效且點利率同方差）成立，那么，對于（6-33），其中的 （6-34）而權(quán)重 （6-35）請讀者注意一點，廣義最小二乘法需要權(quán)重矩陣被標準化為的狀況，因此（6-35）與（6-30）的權(quán)重計算方法略有不同。但它們在原則上都是符合修正的目標

42、函數(shù)（6-29）的。針對多項式樣條函數(shù)，我們在已知了債券樣本的市場價格觀測值向量p、數(shù)據(jù)矩陣x和權(quán)重矩陣的情況下，可以求出自由參數(shù)向量的廣義最小二乘估計量 （6-36）同樣，對于分段的樣條函數(shù)，我們也可以繼續(xù)求出約束條件下的自由參數(shù)估計量。由于其解析表達式比較復雜，這里就不再列出了。 應(yīng)該說明的式，雖然上面所列的這種解決方案是最常用的修正樣條函數(shù)的，但它在理論上也需要依賴一些假設(shè)。事實上，除此之外，我們也沒有其他的更好的方法來處理異方差問題。大多數(shù)關(guān)于期限結(jié)構(gòu)參數(shù)模型的文獻對這些問題也沒有進行特別深入的研究。這是因為，在成熟高效、且債券品種較多的市場上，即使不考慮異方差問題，采取樣條方法進行收

43、益率曲線擬合的質(zhì)量也是很高的。但對于中國市場來說，異方差的影響對于收益率曲線擬合的影響特別嚴重。因此，重視這個問題對于進行期限結(jié)構(gòu)的高質(zhì)量研究還是非常重要的。附錄：收益率曲線擬合方法的比較研究在本章的正文部分已經(jīng)對收益率曲線的擬合技術(shù)原理作了詳細的介紹。但這些方法和理論在實際應(yīng)用中的表現(xiàn)如何呢？特別是它們在中國債券市場的應(yīng)用效果如何呢？相信這是很多讀者都很關(guān)心的問題。相對而言，由于我國的交易所債券市場的流動性較好，同一時點可獲得的橫截面數(shù)據(jù)較為完全地體現(xiàn)了所有交易品種的狀況，也基本上不存在類似銀行間市場的非正常報價和成交。因此在附錄中，將基于上海證券交易所債券市場數(shù)據(jù)，借鑒國外一些成熟的方法進

44、行利率期限結(jié)構(gòu)的構(gòu)造，并根據(jù)實證研究的結(jié)論，對最常用的兩種收益率曲線擬合方法：svensson方法和三次指數(shù)樣條法的優(yōu)缺點進行具體分析。此外，我們還將考察針對異方差問題的久期修正對擬合效果的影響。定價誤差比較我們以2002年11 -12月內(nèi)國債交易所市場14只固息國債的價格信息，分別采用nelson-siegel-svensson擴展模型和三次指數(shù)樣條法，對國債交易所的收益率曲線進行擬合，并考察擬合結(jié)果的差別和定價誤差。我們參照priaulet的“平均定價標準差”方法來定義針對收益率曲線擬合結(jié)果的樣本債券定價誤差 （6-37）同時，考慮到為了解決異方差問題，我們在目標函數(shù)加入了久期權(quán)重修正，因

45、此同時選取另一標準，即經(jīng)久期加權(quán)的定價誤差 （6-38）其中，權(quán)重項選取為 （6-39）我們在比較nelson-siegel-svensson模型和三次指數(shù)樣條法的擬合效果時，均采用了matlab 6.1軟件進行迭代優(yōu)化。優(yōu)化的目標函數(shù)均為加入久期修正的目標函數(shù)（6-29）。nelson-siegel-svensson（加入久期修正）擬合的平均定價誤差為（共43個樣本點）：sd = 1.3211%wsd = 0.3735%考慮到交易所市場債券品種較少，而樣條分段函數(shù)的分段點應(yīng)代表出市場的特性，因此我們選取3年和8年作為樣條函數(shù)的兩個分段點。三次指數(shù)樣條法的平均定價誤差為（共43個樣本點）：sd

46、 = 1.4067%wsd = 0.4042%圖6-4為2002年11月29日分別以nelson-siegel-svensson擴展模型和三次指數(shù)樣條法（加入久期修正）擬合的交易所市場國債即期利率曲線。同時，我們還在圖中標出了交易所國債當日的位置（橫坐標為久期，縱坐標為到期收益率）以供參考。我們可以看出：三次指數(shù)樣條法和nelson-siege-svensson模型的擬合結(jié)果，從直觀上來看并不太大。但從定價誤差來看，無論是否進行久期加權(quán)，svensson模型的定價誤差都要略小于指數(shù)樣條法。而且考慮到久期加權(quán)的定價標準差wsd已經(jīng)考慮到了減小長期債對最終誤差數(shù)值的影響（實際上一半以上的絕對標準誤

47、差sd都來自兩只長期品種01國債7和 02國債13的貢獻），因此svensson模型在定價誤差上表現(xiàn)出了優(yōu)于指數(shù)樣條法的特征。目標函數(shù)設(shè)置在已知異方差問題存在的情況下，我們還可以比較采用修正的目標函數(shù)（6-29）和未經(jīng)修正的目標函數(shù)（6-7）的擬合效果。定價誤差見表6-1，定價誤差為樣本債券在2002年11 12月的均值，指數(shù)樣條函數(shù)選取3年、8年兩個分段點。表6-1 目標函數(shù)對定價誤差的影響平均定價誤差sd久期（倒數(shù)）加權(quán)的平均定價誤差wsdnelson-siegel-svensson模型（目標函數(shù)加入久期修正）1.3211%0.3735%nelson-siegel-svensson模型（目標函數(shù)無修正）1.1900%0.8436%三次指數(shù)樣條法（目標函數(shù)加入久期修正）1.4067%0.4042%三次指數(shù)樣條法（目標函數(shù)無修正）1.5397%0.9919%我們注意到，久期修正對指數(shù)樣條法的影響更為明顯，采取修正后的目標函數(shù)擬合之后，不僅