分?jǐn)?shù)階微積分的產(chǎn)生及演變

1、分?jǐn)?shù)階微積分的產(chǎn) 生及演變 分?jǐn)?shù)階微積分是一個(gè)古老而新鮮的概念。 早在整數(shù)階微積分創(chuàng)立的初期，就有一些數(shù) 學(xué)家，如Lhospital、Leibniz等開始考慮它 的含義。然而，由于缺乏應(yīng)用背景支撐等多 方面的原因，它長期以來并沒有得到較多的 關(guān)注和研究。隨著自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的發(fā) 展、復(fù)雜工程應(yīng)用需求的增加，尤其是20世 紀(jì)七八十年代以來對分形和各種復(fù)雜系統(tǒng)的 深入研究，分?jǐn)?shù)階微積分理論及其應(yīng)用開始 受到廣泛關(guān)注。 進(jìn)入21世紀(jì)以來，分?jǐn)?shù)階微積分建模方法 和理論在高能物理、反常擴(kuò)散、復(fù)雜粘彈性材 料力學(xué)本構(gòu)關(guān)系、系統(tǒng)控制、流變性、地球物 理、生物醫(yī)學(xué)工程、經(jīng)濟(jì)學(xué)等諸多領(lǐng)域有了若 干非常成功的應(yīng)

2、用，凸顯了其獨(dú)特優(yōu)勢和不可 代替性，其理論和應(yīng)用研究在國際上已成為一 個(gè)熱點(diǎn)。 另外，分?jǐn)?shù)階微積分的非局域性質(zhì)，導(dǎo)致 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)控制方程數(shù)值模擬的計(jì)算量和存儲(chǔ) 量隨問題規(guī)模的增大而增加得比相應(yīng)整數(shù)階方 程快得多，一些計(jì)算整數(shù)階方程十分有效的數(shù) 值方法對分?jǐn)?shù)階方程也完全失效。而且，目前 大多數(shù)的分?jǐn)?shù)階微積分方程模型還是唯象模型， 其內(nèi)在的物理和力學(xué)機(jī)理還不是很清楚，有待 進(jìn)一步的深入研究。 現(xiàn)在，基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究和工程應(yīng)用研究中最 常用的有以下四種分?jǐn)?shù)階微積分的定義： Grunwald-Letnikov分?jǐn)?shù)階微積分， Riemann- Liouville分?jǐn)?shù)階微積分，Caputo型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和 Ri

3、esz分?jǐn)?shù)階微積分。 Grunwald-Letnikov定義是 差分格式定義，與Riemann-Liouville等定義比較， 該定義較少地被用于數(shù)學(xué)理論分析。然而，它 在微積分方程理論和數(shù)值計(jì)算方面使用較多。 Riemann-Liouville定義采用微分積分形式，避 免了極限求解，在數(shù)學(xué)理論研究中起著重要作 用。 為了方便實(shí)際問題的建模，在黏彈性材料 的研究中引入了另一種分手階微積分的定義， 即Caputo微分。Caputo定義在建模應(yīng)用及積分 變換中滿足的初始條件以整數(shù)階微積分的形式 給出，現(xiàn)在實(shí)際問題建模過程中廣泛應(yīng)用 Caputo定義。 分?jǐn)?shù)階微積分的理論主要的研究內(nèi)容包括： (1)

4、分?jǐn)?shù)階微積分定義的修正與完善。現(xiàn)在分?jǐn)?shù) 階微積分的定義有十幾種，而這些定義之間又 存在密切的聯(lián)系。但是，由于定義的使用范圍、 涉及的初值條件等不相同，所以在應(yīng)用方面存 在一些不確定性，因此分?jǐn)?shù)階微積分定義的分 類與統(tǒng)一是一項(xiàng)非常有意義的開創(chuàng)性工作。 (2)分?jǐn)?shù)階微積分的數(shù)值求解、分?jǐn)?shù)階微積分定 義的擴(kuò)展與延伸(如分形導(dǎo)數(shù)的一些性質(zhì)與分析； 正定分?jǐn)?shù)階微積分的性質(zhì)與應(yīng)用)。 (3)分?jǐn)?shù)階微積分不同于整數(shù)階微積分的性質(zhì)研 究，分?jǐn)?shù)階微積分的積分變換，如傅里葉變換、 拉普拉斯變換、z變換等。以上都是分?jǐn)?shù)階微積 分理論研究的重要方向。 現(xiàn)在，雖然分?jǐn)?shù)階微積分的定義已被提出， 但是分?jǐn)?shù)階微積分的理論體系還有待進(jìn)一步的 擴(kuò)充與完善，如時(shí)間分?jǐn)?shù)階微積分定義的統(tǒng)一 問題?？臻g分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義問題更為嚴(yán)重， 在現(xiàn)階段，空間分?jǐn)?shù)階微積分的定義在數(shù)值計(jì) 算中較為使用的是Grunwald-Letnikov定義與 Riesz-Feller定義，其次是Riemann-Liouville定義。 多維空間分?jǐn)?shù)階定義方面，比較成功的是分?jǐn)?shù) 階拉普拉斯定義，但是該定義也比較繁瑣，現(xiàn) 階段還未見應(yīng)用到微分方程的求解中。 只有在分?jǐn)?shù)階微積分的定義比較完善的情 況下，分?jǐn)?shù)階微積分才能更廣泛地應(yīng)用于自然 學(xué)