邊緣分布與獨立性

1、 對于概念和理論方面的內(nèi)容，從高到低分別用 “理解”、“了解”、“知道”三級來表述； 對于方法，運算和能力方面的內(nèi)容，從高到低分別用 “熟練掌握”、“掌握”、“能”（或“會”）三級來 表述。 學習要求 了解二維隨機變量的邊緣分布的概念和性質(zhì)， 掌握二維隨機變量的邊緣分布與聯(lián)合分布的關(guān)系 理解隨機變量獨立性的概念， 掌握離散型和連續(xù)型隨機變量獨立的條件 會運用隨機變量的獨立性進行概率計算 二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量 (X,Y)的取值及其概率規(guī)律的取值及其概率規(guī)律. 而單個隨機變量而單個隨機變量X,Y 也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要

2、問那么要問:二者之間有二者之間有 什么關(guān)系呢什么關(guān)系呢? 邊緣分布邊緣分布 二維隨機變量二維隨機變量 (X,Y)作為一個整體作為一個整體,具有分布函具有分布函 數(shù)數(shù) ,F x y而而 和和 都是隨機變量都是隨機變量 , XY 也有各自的分也有各自的分 布函數(shù)布函數(shù),分別記為分別記為 , XY FxFy X FxP Xx 變量變量 (X,Y) 關(guān)于關(guān)于 X 和和 Y的的邊緣分布邊緣分布函數(shù)函數(shù). 依次稱為二維隨機依次稱為二維隨機 , Y FyP YyP XYyFy 一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù) ,P Xx Y ,F x 一般地，對離散型一般地，對離散型 r.v ( X,Y )， 則則 (X,

3、Y) 關(guān)于關(guān)于X 的邊緣分布律為的邊緣分布律為 X和和Y 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 , 2 , 1,),(jipyYxXP ijji 11 , ijij jj PXx Yyp ,2,1i i xXP 1 , j jii yYxXxX 二、離散型隨機變量的邊緣分布律二、離散型隨機變量的邊緣分布律 . i p (X,Y) 關(guān)于關(guān)于 Y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為 j yYP j i ijji i ppyYxXP . 11 , 1,2,j 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)X為三次為三次 拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而，而 Y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與為正面出現(xiàn)

4、次數(shù)與 反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值 , 求求 (X ,Y) 的分布律的分布律 . 解解 ( X, Y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3) PX=0, Y=3 PX=1, Y=1 PX=2, Y=1 PX=3, Y=0 Y X 13 01 8 3 80 0 1 2 3 3 80 01 8 2 311 221 2 311 222 3 1 2 1 8. =3/8 =3/8 3 1 2 1 8 我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊 緣上，由此得出邊緣分布這個名詞緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.

5、Y X 13 01 8 3 80 0 1 2 3 3 80 01 8 j P Yy i P Xx 1 8 3 8 3 8 1 8 6 82 8 聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系聯(lián)合分布與邊緣分布的關(guān)系 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布; 但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. Y X 13 01 8 3 80 0 1 2 3 3 80 01 8 j P Yy i P Xx 1 8 3 8 3 8 1 8 6 82 8 對連續(xù)型對連續(xù)型 r.v ( X,Y ) ， X 和和Y 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 則則 ( X,Y ) 關(guān)于關(guān)于 X 的的邊緣概

6、率密度邊緣概率密度為為 ),(yxf dyyxfxf X ),()( dyyxfdxxFxF x X ,事實上事實上 , , XX fxFxfx y dy 三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度 x ( X,Y )關(guān)于關(guān)于Y 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 dx)y, x(f)y(fY y 例例2 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是 其它, xy,x),x(cy )y, x(f 0 0102 求求 (1) c的值；的值； （2）兩個邊緣密度。）兩個邊緣密度。 = 5c/24 , c =24/5. 1 00 (2) x dxcyx dy 解解 (1) 2 1, R

7、 fx y dxdy 故故 yx x y 01x 1 23 0 2 2 c xx dx 例例2 設(shè)設(shè) (X,Y) 的概率密度是的概率密度是 解解 求求 (1) c 的值的值; (2) 兩個邊緣密度兩個邊緣密度 . 其它,0 0, 10),2( ),( xyxxcy yxf dyyxfxfX , 0 0 , ,. X x x fxf x y dy f x y dyf x y dy (2) x x y 0 yx 1 x x x 10, ,0,0. X xxy f x yfx 或或 都都有有故故 當當 時時 當當 時時,01x 暫時固定暫時固定 ),2( 5 12 2 xx 注意取值范圍注意取值范圍

8、 x dyxy 0 )2( 5 24 綜上綜上 , .,0 ,10,2 5 12 2 其它其它 xxx xf X x x yx x y 01 x x 0 0 , ,. X x x fxf x y dy f x y dyf x y dy 當當 時時,01x 例例 2 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度是的概率密度是 解解 (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 兩個邊緣密度兩個邊緣密度 . 其它,0 0, 10),2( ),( xyxxcy yxf dxyxfyfY , .0,0, ,01 yfyxf xyy Y 故故都有都有 對對時時或或當當 ., , ,10 1 1 dxyxfdxyxf dxyx

9、fyf y y y Y 時時當當 yx y y y 1 1y 暫時固定暫時固定 0 y x ), 2 2 2 3 ( 5 24 2 y yy 1 )2( 5 24 y dxxy 其它, 0 10), 2 2 2 3 ( 5 24 )( 2 y y yy yfY 綜上綜上 , 注意取值范圍注意取值范圍 在求連續(xù)型在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時，往往要求聯(lián)的邊緣密度時，往往要求聯(lián) 合密度在某區(qū)域上的積分合密度在某區(qū)域上的積分. 當聯(lián)合密度函數(shù)是分當聯(lián)合密度函數(shù)是分 片表示的時候，在計算積分時應(yīng)特別注意積分限片表示的時候，在計算積分時應(yīng)特別注意積分限 . 下面我們介紹兩個常見的二維分布下面我們介紹

10、兩個常見的二維分布. 設(shè)設(shè)G是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為A.若二若二 維隨機變量（維隨機變量（ X,Y）具有概率密度）具有概率密度 其它, 0 ),(, 1 ),( Gyx A yxf 則稱（則稱（X,Y）在）在G上服從均勻分布上服從均勻分布. 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域G上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落 在在G內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域B的概率與小區(qū)域的面積成正比，的概率與小區(qū)域的面積成正比， 而與而與B的形狀及位置無關(guān)的形狀及位置無關(guān). 則質(zhì)點的坐標則質(zhì)點的坐標 (X,Y)在在G 上服從均勻分布上服從均勻分布. 例例 若二維隨機變量（若二維隨機變

11、量（X,Y）具有概率密度）具有概率密度 則稱（則稱（ X,Y）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為 的的二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布. , 2121 其中其中 均為常數(shù)均為常數(shù) , 且且, 0, 0 21 , 2121 1. 記作（記作（ X,Y） N( ). 22 1212 , ,x ,y 2 1 2 2 2 1 12 2 122 2 122 11() ,exp 2 1 21 ()()() 2 x fx y xyy 例例 3 試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度. , X fxfx y dy 解解 2 1 2 1 () 2 1 1 2 x e 2 2 2 2 () 2 2 1

12、2 y Y fye y x 二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布二維正態(tài)分布的兩個邊緣分布都是一維正態(tài)分布 , 并且不依賴于參數(shù)并且不依賴于參數(shù) . 可見可見 由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. 也就是說也就是說,對于給定的對于給定的 不同的不同的 對應(yīng)對應(yīng) 1212 , 不同的二維正態(tài)分布不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的但它們的邊緣分布卻都是一樣的. 此例表明此例表明 1. 在這一講中，我們與一維情形相對照，介在這一講中，我們與一維情形相對照，介 紹了二維隨機變量的邊緣分布紹了二維隨機變量的邊緣分布. 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以

13、確定邊緣分布; 但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. 2. 請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系: 小結(jié)小結(jié) 六、布置作業(yè)六、布置作業(yè) 3-2: 1, 5 兩事件兩事件 A , B 獨立的定義是：若獨立的定義是：若P(AB)=P(A)P(B) 則稱事件則稱事件 A , B 獨立獨立 . 設(shè)設(shè) X,Y是兩個是兩個r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有 )()(),(yYPxXPyYxXP 則稱則稱 X 和和 Y 相互相互獨立獨立 . 一、隨機變量相互獨立的定義一、隨機變量相互獨立的定義 隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性 )()(),(yF

14、xFyxF YX 用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 設(shè)設(shè) X,Y是兩個是兩個r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有 則稱則稱 X 和和 Y 相互相互獨立獨立 . 它表明，兩個它表明，兩個r.v相互相互獨立時，它們的聯(lián)合分布函獨立時，它們的聯(lián)合分布函 數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 . ),(yxf其中其中是是X和和Y的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度， )()(),(yfxfyxf YX 幾乎處處成立，則稱幾乎處處成立，則稱 X 和和 Y 相互相互獨立獨立 . 對任意的對任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型是連續(xù)型r.v ，則上述獨立性的定義，則上述獨立性的定

15、義 等價于：等價于： 這里這里“幾乎處處成立幾乎處處成立”的含義是：在平面上除的含義是：在平面上除 去面積為去面積為 0 的集合外，處處成立的集合外，處處成立. 分別是分別是X的邊緣密度和的邊緣密度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 . )(),(yfxf YX 若若 (X,Y)是離散型是離散型 r.v ，則上述獨立性的定義等，則上述獨立性的定義等 價于：價于： )()(),( jiji yYPxXPyYxXP 則稱則稱 X 和和Y 相互相互獨立獨立. 對對(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有 例例1 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度為的概率密度為 其它, 0 0, 0, ),( )(

16、 yxxe yxf yx 問問X和和Y是否獨立？是否獨立？ 二、例題二、例題 即即 其它, 0 0, )( xxe xf x X 其它, 0 0, )( ye yf y Y )()(),(yfxfyxf YX 可見對一切可見對一切 x, y, 均有：均有： 故故 X , Y 獨立獨立 . 若若(X,Y)的概率密度為的概率密度為 其它, y,yx, )y,x(f 0 1002 問問X和和Y是否獨立？是否獨立？ 解解),1 (22)( 1 xdyxf x X y Y ydxyf 0 ,22)( 0 x1 0y1 由于存在面積不為由于存在面積不為0的區(qū)域，的區(qū)域， )()(),(yfxfyxf YX

17、 故故 X 和和 Y 不獨立不獨立 . 例例2 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時時30分在某地會面分在某地會面.如如 果甲來到的時間在果甲來到的時間在12:15到到12:45之間是均勻分布之間是均勻分布. 乙乙 獨立地到達獨立地到達,而且到達時間在而且到達時間在12:00到到13:00之間是均勻之間是均勻 分布分布. 試求先到的人等待另一人到達的時間不超過試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5 分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？ 解解 設(shè)設(shè)X為甲到達時刻為甲到達時刻,Y為乙到達時刻為乙到達時刻 以以12時為起點時為起點,以分為單位以分為單位,依題意依題

18、意, XU(15,45), YU(0,60) 其它, 0 4515, 30 1 )( x xf X 所求為所求為P( |X-Y | 5) , 其它, 0 600, 60 1 )( x yfY 其它, 0 600 ,4515, 1800 1 ),( yx yxf 甲先到甲先到 的概率的概率 由獨立性由獨立性 先到的人等待另一人到達的時間不先到的人等待另一人到達的時間不 超過超過5分鐘的概率分鐘的概率 P(XY) 解一解一 45 15 5x 5x dxdy 1800 1 P( | X-Y| 5 ) x y 0 1545 10 60 40 5yx 5yx =P( -5 X -Y 5) x y 0 1

19、545 10 60 40 yx P(XY) 45 15 60 x dxdy 1800 1 1 2. 1 6. 解二解二 5| yx | dxdy 1800 1 P(X Y) 1 6. P( | X-Y| 5 ) 類似的問題如：類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨 立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時，乙船需停泊小時，乙船需停泊2小時，而該碼頭小時，而該碼頭 只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出 的

20、概率的概率. 在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等 可能的可能的. 若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間 隔小于隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾. 求發(fā)生兩信求發(fā)生兩信 號互相干擾的概率號互相干擾的概率. 盒內(nèi)有盒內(nèi)有 個白球個白球 , 個黑球個黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例3 兩次兩次. nm 設(shè)設(shè) 1, 0, X 第第1次摸到白球次摸到白球 第第1次摸到黑球次摸到黑球 1, 0, Y 第第2次摸到白球次摸到白球 第第2次摸到黑球次摸到黑球 試求試求 ,X Y (1) 的聯(lián)合分布律及邊緣分布律的聯(lián)合分布律及邊緣分布律; ,XY (2) 判斷判斷 的相互獨立性的相互獨立性; (3) 若改為無放回摸球若改為無放回摸球,解上述兩