大學(xué)物理第三章剛體力學(xué)

1、第三章第三章 剛體力學(xué)剛體力學(xué) 剛體是一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)，無論在多大外剛體是一種特殊的質(zhì)點系統(tǒng)，無論在多大外 力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終力作用下，系統(tǒng)內(nèi)任意兩質(zhì)點間的距離始終 保持不變。保持不變。 形狀、大小都不變的物體稱為剛體形狀、大小都不變的物體稱為剛體。 剛體是剛體是可以忽略由于受力而引起物體形狀和可以忽略由于受力而引起物體形狀和 體積改變的體積改變的理想模型。理想模型。 3 31 1 剛體的運(yùn)動剛體的運(yùn)動 一、剛體的平動：一、剛體的平動：剛體運(yùn)動時，剛體上任一條直線的剛體運(yùn)動時，剛體上任一條直線的 位置始終保持彼此平行，稱為位置始終保持彼此平行，稱為平動。平動。 此時，剛體

2、中所有質(zhì)點的位移、速度和加速度都相同，此時，剛體中所有質(zhì)點的位移、速度和加速度都相同， 可任選剛體上一點的運(yùn)動來代表。即剛體的平動滿足可任選剛體上一點的運(yùn)動來代表。即剛體的平動滿足 質(zhì)心運(yùn)動定理：質(zhì)心運(yùn)動定理： ci amF 二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動：二、剛體的定軸轉(zhuǎn)動： 剛體繞一固定直線（轉(zhuǎn)軸剛體繞一固定直線（轉(zhuǎn)軸Z Z）的轉(zhuǎn)動。）的轉(zhuǎn)動。 z 此時此時軸外各質(zhì)點都在垂直于轉(zhuǎn)軸外各質(zhì)點都在垂直于轉(zhuǎn) 軸的平面上作圓周運(yùn)動，在同軸的平面上作圓周運(yùn)動，在同 一時間間隔內(nèi)，走過的弧長雖一時間間隔內(nèi)，走過的弧長雖 不同，但角位移不同，但角位移，因而角速，因而角速 度度 、角加速度、角加速度 都一樣。適合都一

3、樣。適合 用圓周運(yùn)動的角量描述：用圓周運(yùn)動的角量描述： 2 2 ,),( dt d dt d dt d t 32 力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量 一、一、力矩力矩 下圖中，一力下圖中，一力F作用于剛體上的作用于剛體上的P點，可將力點，可將力F正正 交分解為平行于轉(zhuǎn)軸交分解為平行于轉(zhuǎn)軸OZ的分力的分力F1和在轉(zhuǎn)動平面上的和在轉(zhuǎn)動平面上的 分力分力F2。其中，。其中，F(xiàn)1與轉(zhuǎn)軸平行，對剛體不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效與轉(zhuǎn)軸平行，對剛體不產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效 應(yīng)，只有應(yīng)，只有F2對剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)。將對剛體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動效應(yīng)。將F2乘以力的作用乘以力的作用 線到轉(zhuǎn)軸的垂直距離線到轉(zhuǎn)軸的垂直距離d（力臂），稱為力（力臂），

4、稱為力F對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的 力矩大小，即力矩大小，即 sinrFdFM 22 力矩是矢量，在定軸轉(zhuǎn)動中，力矩是矢量，在定軸轉(zhuǎn)動中， 力矩的方向沿著轉(zhuǎn)軸，其指向力矩的方向沿著轉(zhuǎn)軸，其指向 可按右手螺旋法則確定：右手可按右手螺旋法則確定：右手 四指由矢徑四指由矢徑r的方向經(jīng)小于的方向經(jīng)小于 的的 角度轉(zhuǎn)向力角度轉(zhuǎn)向力F方向時，大拇指的方向時，大拇指的 指向就是指向就是力矩的方向力矩的方向。根據(jù)矢。根據(jù)矢 量的矢積定義，力矩可表示為：量的矢積定義，力矩可表示為： FrM 若若F位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，則上式簡化為位于轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，則上式簡化為 sinFrFdM 二、轉(zhuǎn)動定律二、轉(zhuǎn)動定律 力矩是剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化的

5、原因，力矩的作用使力矩是剛體轉(zhuǎn)動狀態(tài)變化的原因，力矩的作用使 剛體獲得角加速度。下圖中，剛體作定軸轉(zhuǎn)動，各質(zhì)剛體獲得角加速度。下圖中，剛體作定軸轉(zhuǎn)動，各質(zhì) 點都繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動，角加速度均為點都繞轉(zhuǎn)軸作圓周運(yùn)動，角加速度均為 。任取剛體中。任取剛體中 一質(zhì)量為的質(zhì)元一質(zhì)量為的質(zhì)元 mi，它到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為，它到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為ri，此質(zhì)，此質(zhì) 元的加速度為元的加速度為ai，所受合外力為，所受合外力為Fi，剛體中所有其他各，剛體中所有其他各 質(zhì)點對它的合內(nèi)力為質(zhì)點對它的合內(nèi)力為fi。根據(jù)牛頓第二定律得。根據(jù)牛頓第二定律得 iiii amfF 切向的分量式為切向的分量式為 iiiiii rmfF

6、sinsin iiiiii rmfFsinsin 兩邊同乘兩邊同乘ri，得，得 2 sinsin iiiiiiii rmrfrF 上式左邊第一項為外力上式左邊第一項為外力Fi對轉(zhuǎn)軸的力矩，而第二項是對轉(zhuǎn)軸的力矩，而第二項是 內(nèi)力內(nèi)力fi 對轉(zhuǎn)軸的力矩。對剛體的所有質(zhì)點都可寫出類對轉(zhuǎn)軸的力矩。對剛體的所有質(zhì)點都可寫出類 似上式的方程，求和得似上式的方程，求和得 )(sinsin 2 iiiiiiii rmrfrF 由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，內(nèi)力矩總和為零由于內(nèi)力總是成對出現(xiàn)的，內(nèi)力矩總和為零 ，有，有 JrmM ii )( 2 其中其中 2 iir mJ稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的稱為剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動

7、慣量。 剛體在合外力矩的作用下，所獲得的角加速度剛體在合外力矩的作用下，所獲得的角加速度 與力矩與力矩M的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比，的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比， 稱為稱為剛體轉(zhuǎn)動定律剛體轉(zhuǎn)動定律。它是剛體轉(zhuǎn)動的基本定律。它是剛體轉(zhuǎn)動的基本定律。 三、轉(zhuǎn)動慣量三、轉(zhuǎn)動慣量 轉(zhuǎn)動慣量反映了剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小。轉(zhuǎn)動慣轉(zhuǎn)動慣量反映了剛體轉(zhuǎn)動慣性的大小。轉(zhuǎn)動慣 量越大的剛體，要改變它的轉(zhuǎn)動狀態(tài)就越困難。量越大的剛體，要改變它的轉(zhuǎn)動狀態(tài)就越困難。 轉(zhuǎn)動慣量與剛體的大小形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動慣量與剛體的大小形狀、質(zhì)量分布以及轉(zhuǎn) 軸的位置等有關(guān)。軸的位置等有關(guān)。 一般的情況下剛體質(zhì)量是連

8、一般的情況下剛體質(zhì)量是連 續(xù)分布的，把它分割成無限多個續(xù)分布的，把它分割成無限多個 微小部分，其中質(zhì)量為微小部分，其中質(zhì)量為dm的小塊的小塊 到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為到轉(zhuǎn)軸的垂直距離為r，則它對該，則它對該 轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 r dm dmrdJ 2 積分得到整個剛體對相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為積分得到整個剛體對相應(yīng)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量為 dmrJ 2 常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量常見剛體的轉(zhuǎn)動慣量 2 mrJ 2 2 /mrJ 2)( 2 2 2 1 /rrmJ 2 2 /mrJ 2 2 /mrJ 12 2 /mlJ 52 2 /mrJ 32 2 /mrJ 例例1 求質(zhì)量為求質(zhì)量為m，長為，長為l的均勻

9、細(xì)棒對下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動的均勻細(xì)棒對下面轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動 慣量：慣量：(1)轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；(2) 轉(zhuǎn)軸通轉(zhuǎn)軸通 過棒的一端并和棒垂直。過棒的一端并和棒垂直。 O A dxx l 2 3 2 2 22 0 12 1 12 ddml l xxmrJ l l 解：解：(1) 在棒上離軸在棒上離軸x處，取處，取 一長度元一長度元dx，設(shè)棒的質(zhì)量線，設(shè)棒的質(zhì)量線 密度為密度為 ，則，則dm= dx，有：，有： （2 2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A A并與棒垂直時：并與棒垂直時： 2 3 0 22 3 1 3 ddml l xxmrJ l A 例例2 求質(zhì)量為

10、求質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R、厚、厚 為為h的均質(zhì)圓盤對通過盤心并與的均質(zhì)圓盤對通過盤心并與 盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。盤面垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。 hdrrmrJ 32 2dd 解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成。取任一解：如圖所示，將圓盤看成許多薄圓環(huán)組成。取任一 半徑為半徑為r，寬度為，寬度為dr的薄圓環(huán)，它的轉(zhuǎn)動慣量為：的薄圓環(huán)，它的轉(zhuǎn)動慣量為： 24 0 3 2 1 2 1 d2dJmRhRrhrJ R 積分：積分： 注意：注意：J與與h無關(guān)一個質(zhì)量為無關(guān)一個質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的實心圓柱的實心圓柱 體對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量也與上述結(jié)果相同。體對其中心軸的轉(zhuǎn)動慣量也與上述結(jié)果相同。

11、 平行軸定理：平行軸定理： 2 mdJJ CD d JC C JD JC 、 JD 分別是剛體對過質(zhì)心軸，分別是剛體對過質(zhì)心軸， 和與之相平行的另一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動和與之相平行的另一轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動 慣量。兩轉(zhuǎn)軸間距為慣量。兩轉(zhuǎn)軸間距為d 薄板的正交軸定理：薄板的正交軸定理： yxz JJJ y x z o X,Y 軸在薄板面上，軸在薄板面上，Z軸與薄板垂直。軸與薄板垂直。 例例3、質(zhì)量、質(zhì)量m，長為，長為l 的四根均勻細(xì)棒，的四根均勻細(xì)棒， 組成一正方形框架，繞過其一頂點組成一正方形框架，繞過其一頂點O 并與框架垂直的軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量。并與框架垂直的軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量。 O m, l C 解：由平行軸

12、定理，先求出一根棒解：由平行軸定理，先求出一根棒 對框架質(zhì)心對框架質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量：的轉(zhuǎn)動慣量： 222 3 1 ) 2 ( 12 1 ml l mmlJ C 因而框架對質(zhì)心因而框架對質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量 2 3 4 4mlJJ CC 再次用平行軸定理，得：再次用平行軸定理，得： 222 3 10 ) 2 2 (4 3 4 mllmmlJ O O J R 例例4、一質(zhì)量為、一質(zhì)量為m，半徑為，半徑為R的薄圓盤，的薄圓盤， 繞與盤邊相切的軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量繞與盤邊相切的軸轉(zhuǎn)動，求轉(zhuǎn)動慣量 Z X Y 解：取圖示坐標(biāo)系，已知解：取圖示坐標(biāo)系，已知 2 2 /mRJ Z 由垂直軸定理得由垂直軸

13、定理得 2 4 1 2 1 mRJJJ zyx 又由平行軸定理，有又由平行軸定理，有 22 4 5 mRmRJJ y 例例5 一質(zhì)量為一質(zhì)量為M，半徑為，半徑為R的定滑輪（當(dāng)作圓盤）上的定滑輪（當(dāng)作圓盤）上 面繞有細(xì)繩。繩的另一端掛一質(zhì)量為面繞有細(xì)繩。繩的另一端掛一質(zhì)量為m的物體而下垂的物體而下垂 忽略軸處摩擦，求物體忽略軸處摩擦，求物體m由靜止下落由靜止下落h高度時的速度高度時的速度 和此時滑輪的角速度。和此時滑輪的角速度。 M mg a h R O T2 T1 對物體對物體m，由牛頓第二定律，由牛頓第二定律 maTmg 滑輪和物體的運(yùn)動學(xué)關(guān)系為滑輪和物體的運(yùn)動學(xué)關(guān)系為Ra 2 2 /MRJ

14、RT 解：對定滑輪解：對定滑輪M，由轉(zhuǎn)動定律，由轉(zhuǎn)動定律， 對于軸對于軸O，有，有 物體下落高度物體下落高度h h時的速度時的速度 Mm mgh ahv 2 4 2 這時滑輪轉(zhuǎn)動的角速度這時滑輪轉(zhuǎn)動的角速度 R Mm mgh R v 2 4 g Mm m a 2 以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為以上三式聯(lián)立，可得物體下落的加速度為 例例6一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、半徑為、半徑為R的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心的勻質(zhì)圓盤繞通過盤心 且垂直于盤面的光滑軸正以且垂直于盤面的光滑軸正以 o的角速度轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將的角速度轉(zhuǎn)動?，F(xiàn)將 盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系盤置于粗糙的水平桌面上，圓盤與桌面間的摩擦系

15、 數(shù)為數(shù)為，求圓盤經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？，求圓盤經(jīng)多少時間、轉(zhuǎn)幾圈將停下來？ 解解 摩擦力是分布在整個盤面上的，計算摩擦力的摩擦力是分布在整個盤面上的，計算摩擦力的 力矩時，應(yīng)將圓盤分為無限多個半徑為力矩時，應(yīng)將圓盤分為無限多個半徑為r、寬為、寬為dr的的 圓環(huán)積分。故摩擦力矩為圓環(huán)積分。故摩擦力矩為 r dr o mgRrdr R m grM R 3 2 2 0 2 2 2 1 mRJ R g J M 3 4 于是得于是得 r dr o 由由 = o+ t = 0得得 g R t Oo 4 3 又又由由 2- o2=2，所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為所以停下來前轉(zhuǎn)過的圈數(shù)為 g R N oo

16、 16 3 22 22 33 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 dMdrFdrF iiiiiii sin)90cos( 一、力矩的功一、力矩的功 外力外力Fi 使剛體轉(zhuǎn)動一微小使剛體轉(zhuǎn)動一微小 角度角度d d 所作的元功：所作的元功： iii rdFdA 剛體轉(zhuǎn)過有限大角度時力矩的功剛體轉(zhuǎn)過有限大角度時力矩的功 有多個力矩作用在剛體上時：有多個力矩作用在剛體上時： o d ii MA dd)( oo MMAA ii 二、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理二、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理 剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能：剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能：為剛體各質(zhì)點動能之和為剛體各質(zhì)點動能之和 2222 2 1 )( 2 1 2 1

17、JrmvmE iiiiK 因因 得到得到 d d d d d d d d J t J t JJM ddJM 2 1 2 1 dd 2 1 2 2 2 1 2 1 JJJMA 外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。 三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理：三、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理： 四、剛體的重力勢能四、剛體的重力勢能 剛體的重力勢能是組成剛體剛體的重力勢能是組成剛體 的各個質(zhì)點重力勢能之和的各個質(zhì)點重力勢能之和 剛體的重力勢能相當(dāng)于質(zhì)量集中在剛體質(zhì)心剛體的重力勢能相當(dāng)于質(zhì)量集中在剛體質(zhì)心C 的重力的重力 勢能。勢能。 o hi hc x m C m y

18、iiiiP hmgghmE c i ii mgh m hm gm 對于包含剛體的系統(tǒng)，功能原理仍然成立：對于包含剛體的系統(tǒng)，功能原理仍然成立：系統(tǒng)外系統(tǒng)外 力所作的功與系統(tǒng)非保守內(nèi)力所作的功之和等于系力所作的功與系統(tǒng)非保守內(nèi)力所作的功之和等于系 統(tǒng)機(jī)械能的增量。統(tǒng)機(jī)械能的增量。 解：細(xì)棒下降過程中只有重力矩做功。解：細(xì)棒下降過程中只有重力矩做功。 桿重心下降了桿重心下降了l /2, 應(yīng)用功能原理應(yīng)用功能原理 l g J mgl J l mgA 3 2 1 2 2 3gllvA 例例7 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m、長為、長為l的均勻細(xì)棒的均勻細(xì)棒OA可繞通過其一可繞通過其一 端的光滑軸端的光滑軸O在豎直

19、平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。今使棒從水平位置在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。今使棒從水平位置 開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時下端點開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時下端點A的速的速 度，和度，和O點處的受力。點處的受力。 O A G 設(shè)在豎直位置時，桿在設(shè)在豎直位置時，桿在O點受力點受力N，將它，將它 分解成水平與豎直的兩個分量。由于此時分解成水平與豎直的兩個分量。由于此時 N與與G 都過轉(zhuǎn)軸都過轉(zhuǎn)軸O，對，對O點的力矩點的力矩=0。 由轉(zhuǎn)動定律知，棒轉(zhuǎn)動的角加速度由轉(zhuǎn)動定律知，棒轉(zhuǎn)動的角加速度 =0 因而因而 O Nn Nt N G C 0, 0 2 ttt maN l a mg l gmagmNN nn 2 5 )

20、 2 ()( 2 例例8有一由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物有一由彈簧、勻質(zhì)滑輪和重物M組成的系統(tǒng)，組成的系統(tǒng)， 該系統(tǒng)在彈簧為原長時被靜止釋放。運(yùn)動過程中繩該系統(tǒng)在彈簧為原長時被靜止釋放。運(yùn)動過程中繩 與滑輪間無滑動。求與滑輪間無滑動。求:重物重物M下落下落h時的速度；時的速度； 222 2 1 2 1 2 1 khJMvMgh h M m rk 解得：解得： mM khMgh v 2 1 2 2 解解 系統(tǒng)在運(yùn)動過程中只有保守力系統(tǒng)在運(yùn)動過程中只有保守力重力和彈性力重力和彈性力 作功，所以機(jī)械能守恒：作功，所以機(jī)械能守恒： rv ,mrJ 2 2 1 代入代入 34 角動量定理角動量定理 角動量守恒

21、定律角動量守恒定律 一、質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律一、質(zhì)點的角動量定理和角動量守恒定律 1質(zhì)點的角動量質(zhì)點的角動量 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m的質(zhì)點，以速度的質(zhì)點，以速度v運(yùn)動，相對于坐標(biāo)運(yùn)動，相對于坐標(biāo) 原點原點O的位置矢量為的位置矢量為r，定義質(zhì)點對坐標(biāo)原點，定義質(zhì)點對坐標(biāo)原點O的的角角 動量為動量為 vmrPrL 其大小為其大小為 sinrmvL 角動量的方向可以用右手螺旋法則來確定。角動量的方向可以用右手螺旋法則來確定。 2、質(zhì)點的角動量定理、質(zhì)點的角動量定理 MFrvm dt d r dt Ld vmvvm dt rd dt vmd rvm dt rd vmr dt d dt Ld )

22、( 0)()( )( )( 而而 質(zhì)點所受的合外力對某一參考點的力矩等于質(zhì)點對質(zhì)點所受的合外力對某一參考點的力矩等于質(zhì)點對 該點的角動量對時間的變化率該點的角動量對時間的變化率角動量定理。角動量定理。 角動量守恒定律是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。角動量守恒定律是自然界普遍適用的一條基本規(guī)律。 力矩力矩M = 0的條件：（的條件：（1）力臂）力臂 r = 0 （有心力作用）（有心力作用）， （2）力）力F = 0，（，（3） r 與與F 相互平行。相互平行。 若質(zhì)點所受的合外力矩若質(zhì)點所受的合外力矩 如果對于某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為如果對于某一固定點，質(zhì)點所受的合外力矩為 零，則質(zhì)點對

23、該固定點的角動量矢量保持不變零，則質(zhì)點對該固定點的角動量矢量保持不變角角 動量守恒定律動量守恒定律 。 0 dt Ld 常矢量常矢量或或則則L 0M 3 3、質(zhì)點的角動量守恒定律、質(zhì)點的角動量守恒定律 例例9行星運(yùn)動的開普勒第二運(yùn)動定律：行星運(yùn)動的開普勒第二運(yùn)動定律：行星對太陽行星對太陽 的位矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。的位矢在相等的時間內(nèi)掃過相等的面積。 解：行星在太陽引力（有心解：行星在太陽引力（有心 力）作用下沿橢圓軌道運(yùn)動，力）作用下沿橢圓軌道運(yùn)動， 因而行星在運(yùn)行過程中，它因而行星在運(yùn)行過程中，它 對太陽的角動量守恒不變。對太陽的角動量守恒不變。 常量常量sinrmvL 因而因而

24、掠面速度：掠面速度： 常量常量 sin 2 1 2 sin rv dt dr dt dSr r m2 m1 O R v 0 v 例例10發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為發(fā)射一宇宙飛船去考察一質(zhì)量為m1，半徑為，半徑為R 的行星。當(dāng)飛船靜止于空間中距行星中心的行星。當(dāng)飛船靜止于空間中距行星中心r=4R時，以時，以 初速初速v0發(fā)射一質(zhì)量為發(fā)射一質(zhì)量為m2(m2遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量遠(yuǎn)小于飛船質(zhì)量)的探測器，的探測器， 要使探測器正好能掠著行星表面著陸，要使探測器正好能掠著行星表面著陸， 角應(yīng)多大？角應(yīng)多大？ 解：探測器飛行過程中只解：探測器飛行過程中只 受到行星的引力，因而對受到行星的引力，因而對 O點的角

25、動量守恒：點的角動量守恒： vRmrvm 202 sin 又由機(jī)械能守恒：又由機(jī)械能守恒： R mm Gvm r mm Gvm 21 2 2 21 2 02 2 1 2 1 代入代入r=4R，求出，求出 2 0 1 2 3 1 4 1 sin Rv Gm 二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律二、剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量定理和角動量守恒定律 1剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量剛體定軸轉(zhuǎn)動的角動量 當(dāng)剛體以角速度當(dāng)剛體以角速度繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上每個繞定軸轉(zhuǎn)動時，剛體上每個 質(zhì)點都以相同的角速度繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)點質(zhì)點都以相同的角速度繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動，質(zhì)點mi對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 的角動量為：的角動量為： 2 iii rmL 于是剛體上所有質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量，即剛體的角于是剛體上所有質(zhì)點對轉(zhuǎn)軸的角動量，即剛體的角 動量為：動量為： JrmrmL iiii 22 寫成矢量形式寫成矢量形式 JL 角動量矢量的方向與角速度矢量的方向一致角動量矢量的方向