第9章動(dòng)量定理08(1)

1、 靜力學(xué)是研究物體的平衡問題，沒有考慮 物體在不平衡力系作用下將如何運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)學(xué) 只研究物體運(yùn)動(dòng)的幾何性質(zhì)而不考慮力的作用。 靜力學(xué)、運(yùn)動(dòng)學(xué)未考慮的問題，正是動(dòng)力學(xué)所 要研究的問題。 第三篇第三篇 動(dòng)力學(xué)動(dòng)力學(xué) 研究作用于物體的力與物體運(yùn)動(dòng)變化之 間的關(guān)系，即建立力和運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。 1 1、動(dòng)力學(xué)任務(wù)、動(dòng)力學(xué)任務(wù) 2 2、 學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)目的學(xué)習(xí)動(dòng)力學(xué)目的 (1) 解決實(shí)際工程問題 (2) 為后續(xù)課程奠定基礎(chǔ) (1) 質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)：具有一定質(zhì)量的幾何點(diǎn)，其幾乎形狀和 大小尺寸忽略不計(jì)。 3 3、動(dòng)力學(xué)的基本模型、動(dòng)力學(xué)的基本模型 (2) 質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系：有限或無限質(zhì)點(diǎn)組成的相互間有一定聯(lián) 系的系統(tǒng)

2、。 （4）剛體系：）剛體系：有限剛體組成的相互間有一定聯(lián)系的系統(tǒng)。 （3）剛體：）剛體：質(zhì)點(diǎn)間距離保持不變的質(zhì)點(diǎn)系。 當(dāng)研究飛行器軌道動(dòng)當(dāng)研究飛行器軌道動(dòng) 力學(xué)問題時(shí)，可將飛行器力學(xué)問題時(shí)，可將飛行器 視為質(zhì)點(diǎn)。視為質(zhì)點(diǎn)。 當(dāng)研究飛行器姿態(tài)動(dòng)力當(dāng)研究飛行器姿態(tài)動(dòng)力 學(xué)時(shí)，可將其視為剛體系或?qū)W時(shí)，可將其視為剛體系或 質(zhì)點(diǎn)系。質(zhì)點(diǎn)系。 （2 2）已知力求運(yùn)動(dòng)）已知力求運(yùn)動(dòng) （1） 已知運(yùn)動(dòng)求力已知運(yùn)動(dòng)求力 P a F1 F2 4 4、動(dòng)力學(xué)主要研究?jī)深惢締栴}、動(dòng)力學(xué)主要研究?jī)深惢締栴} 地球地球 W F a 9-1 9-1 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的微分方程 一、矢量式一、矢量式F t r m

3、 t v mam 2 2 d d d d 二、直角坐標(biāo)式二、直角坐標(biāo)式 三、自然軸系式三、自然軸系式 ; d d d d 2 2 F t s m t v mma ; n 2 n F v mma ;0 bb Fma x F dt xd m 2 2 y F dt yd m 2 2 z F dt zd m 2 2 x y z m F a r S A B M + _ n b t t F a 第九章第九章 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 四、兩類問題四、兩類問題 1、已知運(yùn)動(dòng)，求力（微分問題）、已知運(yùn)動(dòng)，求力（微分問題） 已知已知 trr tvv taa F 求求是一個(gè)微分過程是一個(gè)微分過程

4、 2、已知力，求運(yùn)動(dòng)（積分問題），、已知力，求運(yùn)動(dòng)（積分問題），還要已知初始條件還要已知初始條件 （1）力是常力）力是常力常矢量F 例如：重力例如：重力 x Fxm m F x x t x x x t m F x 0 dd 0 0 m F t x x d d t m F xx x 0 x （2）力是位置的函數(shù)）力是位置的函數(shù) rFF 例如：彈簧力例如：彈簧力 xFxm x m xF x x x x t x x x t x x d d d d d d d d （分離變量法）（分離變量法） x x x x xxF m xx 00 d 1 d x m xx 2 2 0 2 （3）力是速度的函數(shù)）力是

5、速度的函數(shù) vFF 例如：空氣阻力例如：空氣阻力 x xFxm m xF x t t x x t mxF x 00 d 1d （4）力是時(shí)間的函數(shù)）力是時(shí)間的函數(shù) tFF tFxm x x m tF x x t t x x x ttF m x 00 d 1 d 例如：周期力例如：周期力 txx 0 說明：以上積分的分離形式并不是唯一的，具體如何 分離，要與所求問題相對(duì)應(yīng) 1、取研究對(duì)象畫受力圖、取研究對(duì)象畫受力圖 2、確定坐標(biāo)系、確定坐標(biāo)系 3、建立微分方程、建立微分方程 4、求解、求解 求解動(dòng)力學(xué)問題的步驟：求解動(dòng)力學(xué)問題的步驟： 例例1 1 三角楔塊放在光滑的地面上三角楔塊放在光滑的地面上

6、，現(xiàn)在楔塊上放一塊光滑物現(xiàn)在楔塊上放一塊光滑物 塊以加速度塊以加速度a2滑下滑下,求：楔塊的加速度求：楔塊的加速度a1值。值。 解解： A B a1 a2 A ar=a2 P ae=a1 FN y x x: mA(a1cos +a2)=mAgsin y: mAa1sin =FN -mAgcos a1=(gsin - a2)/ cos 討論討論： 2. 2. a1 g tan , 3 3. . a1= g tan , a2=gsin - a1 cos a20, 物塊相對(duì)下降。物塊相對(duì)下降。 a2=0, 物塊相對(duì)不動(dòng)。物塊相對(duì)不動(dòng)。 “物塊物塊A” 例例2 一人在高為一人在高為h的懸崖邊以的懸崖邊

7、以v0的速度平拋一塊石子，的速度平拋一塊石子， 當(dāng)空氣阻力當(dāng)空氣阻力F=- kmv時(shí)時(shí),試求：石子的運(yùn)動(dòng)方程。試求：石子的運(yùn)動(dòng)方程。 解解： v0 x y mg 建立微分方程建立微分方程: mgykmmgFym y - xkmFxm x - xkx - tk x x d d - ktx x x - 0 |ln )(dd 0 kte k v x kt - - kt evx - 0 )1( 0 kt e k v x - - gyky- kt gyk yk - d ktgyk y - 0 | )ln( kt gegyk - )1 ( 2 kt e k g t k g hy - - t k e gy

8、kt d ) 1( d - - x y y F x F m rm r ii C m xm x ii C m ym y ii C m zm z ii C 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 CCiii rmrmrm 9-2 9-2 質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 t r mrm tt r m i iii C d d )( d d d d 2 2 2 2 d d d d t r m t r m i i C ie 2 2 d d ii i i FF t r m ie 2 2 d d ii C FF t r m e d d i C F t v m e iC Fam 再求導(dǎo)：再求導(dǎo)： 求導(dǎo)：求

9、導(dǎo)： 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力主矢量質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)量與質(zhì)心加速度乘積等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上外力主矢量 iiv m C vm 質(zhì)心公式質(zhì)心公式： x y z c mi C r i r O xix C FF t x m R e 2 2 d d yiy c FF t y m R e 2 2 d d ziz c FF t z m R e 2 2 d d 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的直角坐標(biāo)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的直角坐標(biāo) 投影式投影式 e n 2 i c F v m 0 e b F 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的自然坐標(biāo)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理的自然坐標(biāo) 投影式投影式 e t d d i C F t v m 剛體系：剛體系： 2 2 2

10、2 d d d d t r m t r m ci i c R e FFam iCii 剛體系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理剛體系統(tǒng)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)守恒定理 0 e i F 0 C a 量常矢 C v 1、 2、 0 e ix F0 d d 2 t x m C常量 t x v C Cx d d 若0 Cx v 即質(zhì)心沿該軸向無位移常量 C x則 例例3 3 電動(dòng)機(jī)重電動(dòng)機(jī)重W1，外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上。勻質(zhì)桿長(zhǎng)外殼用螺栓固定在基礎(chǔ)上。勻質(zhì)桿長(zhǎng)l， 重重W2，一端連一重一端連一重W3的小球。的小球。 電機(jī)以勻角速度電機(jī)以勻角速度 轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)， 求螺栓和基礎(chǔ)作用于電機(jī)的最大總水平力及鉛直力。求

11、螺栓和基礎(chǔ)作用于電機(jī)的最大總水平力及鉛直力。 x y 0 1 xC a 1 W 2 W 3 W t l 解解 ：t l t l t a xC sin 2 )sin 2 ( d d 2 2 2 2 - tltl t a xC sin)sin( d d 2 2 2 3 - x Ftl g W t l g W -sinsin 2 2322 代入質(zhì)心代入質(zhì)心 運(yùn)動(dòng)定理運(yùn)動(dòng)定理 t g lWW Fx sin 2 )2( 2 32 - 0 1 yC a t l t l t a yC cos 2 )cos 2 ( d d 2 2 2 2 - tltl t a yC cos)cos( d d 2 2 2 3

12、- 321 2 3 2 2 coscos 2 WWWFtl g W t l g W y - t g lWW WWWFy cos 2 )2( 2 32 321 - x F y F g lWW Fx 2 )2( 2 32 max g lWW WWWFy 2 )2( 2 32 321max M “整體整體” 思考：若思考：若螺栓不固定？螺栓不固定？ 例例4 浮吊舉起質(zhì)量浮吊舉起質(zhì)量m1=2000kg的貨物，初始無初速的貨物，初始無初速 , 起重起重 臂與垂直線夾角為臂與垂直線夾角為300 , 試求夾角轉(zhuǎn)到試求夾角轉(zhuǎn)到600時(shí)浮吊的位移。時(shí)浮吊的位移。 設(shè)浮吊質(zhì)量設(shè)浮吊質(zhì)量m2=20000kg , A

13、O=8m,水的阻力不計(jì)。水的阻力不計(jì)。 解：解： t=0, vcx=0, xc=c 21 2 0 1 0 0)30sin( mm mlbm xc 21 2 0 1 1 )60sin( mm xmxlbm xc - xc0=xc1 m266. 0 x 0, 0 Cix xF b y x x FN m1g m2g 9-39-3 動(dòng)量和沖量動(dòng)量和沖量 一、動(dòng)量一、動(dòng)量 iiv mp C vm 動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積動(dòng)量等于質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與速度的乘積 剛體系：剛體系： Ciiv mp kvmjvmivmp iziiyiixi kmvjmvimv CzCyCx p=mv m v m p=0 p=0

14、mv=Kg.m/S(國際單位國際單位) 定義：定義： vmp 質(zhì)點(diǎn)系：質(zhì)點(diǎn)系： 例例5: 已知橢圓規(guī)的勻質(zhì)桿已知橢圓規(guī)的勻質(zhì)桿AB與與質(zhì)量為質(zhì)量為2m1,勻質(zhì)桿勻質(zhì)桿OD質(zhì)量為質(zhì)量為m1， 物塊物塊A,B質(zhì)量為質(zhì)量為m2，OD=AD=BD=l。試求。試求物系的動(dòng)量。物系的動(dòng)量。 21 211 23 22 2 mm tcoslmtcoslmtcos l m xc 21 211 23 22 2 mm tsinlmtsinlmtsin l m yc )mm( tsinlxmp cx21 2 2 5 -)mm( tcoslymp cy21 2 2 5 )mm(lppp yx21 22 2 2 5 t

15、p p x y tantan A B D O x y 解：解： 二、沖量二、沖量 力在某一時(shí)間段里的累積效應(yīng)力在某一時(shí)間段里的累積效應(yīng) 2 1 d t t tFI 2 1 d t t xx tFI 2 1 d t t yy tFI 2 1 d t t zz tFI 2 1 2 1 d)(d 21 t t n t t tFFFtFI 2 1 2 1 2 1 ddd 21 t t n t t t t tFtFtF n III 21合力的沖量等于各分力沖量的矢量和合力的沖量等于各分力沖量的矢量和 定義：定義： 常力 tFI 2、變力： 9-4 9-4 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn)質(zhì)

16、點(diǎn)系中任一質(zhì)點(diǎn): : ie d d ii i i FF t v m 對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系: : ie d )d( ii ii FF t vm 0 i i F e d d i F t p 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系外力的矢量和 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 投影形式投影形式: : e d d ix x F t p e d d iy y F t p e d d iz z F t p 其中其中: : ixix vmp iyiy vmp iziz vmp tFp i dd e 2 1 2 1 dd e t t i p p tFp

17、 - e 12i Ipp 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量的改變量，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系 外力在該時(shí)段間內(nèi)沖量的矢量和。外力在該時(shí)段間內(nèi)沖量的矢量和。 動(dòng)量的改變是外力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng)動(dòng)量的改變是外力對(duì)時(shí)間的積累效應(yīng) 內(nèi)力只是使系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生動(dòng)量的交換，內(nèi)力只是使系統(tǒng)內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)產(chǎn)生動(dòng)量的交換， 不改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量不改變質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量 動(dòng)量定理動(dòng)量定理和和質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理所描述的是同一規(guī)律所描述的是同一規(guī)律 e i n i ii Fvm t 1 d d e i F t p d d e iC Fam 例例6:6: 圖示為起吊機(jī)構(gòu)圖示為起吊機(jī)構(gòu), ,已知吊裝物體的重量已知吊裝物體

18、的重量，不計(jì)輪子不計(jì)輪子 的重量與半徑，試求支座處的全約束力。的重量與半徑，試求支座處的全約束力。 v,a P1 P2 Fy Fx 全約束力全約束力=靜約束力靜約束力 + 動(dòng)約束力動(dòng)約束力 y FPP) v g P v g P ( t - 21 21 2d d a g PP PPFy 2 2 21 21 - - v v/2 d 0 d x x p F t 常矢量常矢量 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理：質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒定理： 0 e ix F Cii vmvmp 0 e i F Cxixix mvvmp常量常量 若作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力矢量和恒等于零， 則質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量保持為常量。 解：解： d d y y p F

19、 t 動(dòng)量定理動(dòng)量定理 力力與運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)速度速度及及加速度加速度之間的關(guān)系之間的關(guān)系 - n i tt Ipp 1 12 i 動(dòng)量定理的積分形式動(dòng)量定理的積分形式 當(dāng)：當(dāng)： 則：則：0 e i F 0 pp 當(dāng)：當(dāng)： 則：則： 0 e i F 0CC vv (若沖量易求，可求速度若沖量易求，可求速度) 守恒形式可求速度或質(zhì)心位置守恒形式可求速度或質(zhì)心位置 動(dòng)量定理的微分形式動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 e i F t p d d e i n i ii Fvm t 1 d d C vmp e iC Fam 可求約束力、質(zhì)心加速度可求約束力、質(zhì)心加速度 R M g 1 m g 2 m

20、 例：例：已知已知 。求：軸承。求：軸承A的約束力。的約束力。ftRmm, 21 解：解：受力分析與運(yùn)動(dòng)分析受力分析與運(yùn)動(dòng)分析 A Ax F Ay F 1 F 2 F R Fa c m 2 C a 1 C a x y gmmFamamy AyCC )(sin: 2121 21 - sin)( 21 2121CCAy amamgmmF- RaC 2 2 sin)()( 2 2121 RmmgmmF Ay - 問題：?jiǎn)栴}： 如何求軸承如何求軸承A水平方向的約束力水平方向的約束力？ sin 21 CC aa A R M g 2 m Ax F Ay F 2 C a N F f F 分別研究圓盤和頂桿分別研究圓盤和頂桿 g 1 m f F 1 F 2 F 1 C a 頂桿：頂桿： gmFamy NC11 1 :- fN Ff F 圓盤：圓盤： sin 2 11 RmgmFN- 2