理論力學(xué)第十一章

1、1 111 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 112 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 113 剛體剛體繞繞定軸定軸的的轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 114 剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量剛體對(duì)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 115 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 116 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 第十第十一一章章 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn) 質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系 動(dòng)量定理：動(dòng)量定理：動(dòng)量的改變動(dòng)量的改變 外力（外力系主矢）外力（外力系主矢） 動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸）動(dòng)量矩定理建立了質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于某固定點(diǎn)（固定軸） 的動(dòng)量矩的改變與外力對(duì)同一點(diǎn)的動(dòng)量矩的改變與外

2、力對(duì)同一點(diǎn)(軸）之矩兩者之間的關(guān)系。軸）之矩兩者之間的關(guān)系。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理：質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)外力（外力系主矢）外力（外力系主矢） 物體在物體在移動(dòng)移動(dòng)時(shí)運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系時(shí)運(yùn)動(dòng)與受力之間的關(guān)系 動(dòng)量定理。動(dòng)量定理。 物體在物體在轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)的量與受力之間的關(guān)系動(dòng)量矩定理中運(yùn)動(dòng)的量與受力之間的關(guān)系動(dòng)量矩定理 F C A例：勻質(zhì)圓盤，質(zhì)心例：勻質(zhì)圓盤，質(zhì)心 C 在轉(zhuǎn)軸上。在轉(zhuǎn)軸上。 , 0 C v C vMp 動(dòng)量：動(dòng)量：, 0質(zhì)心無運(yùn)動(dòng)質(zhì)心無運(yùn)動(dòng) , 0 )( e F 所以，動(dòng)量不能反應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。所以，動(dòng)量不能反應(yīng)轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。 而：而： 一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 FrF

3、MO )( z O z FMFM)()( )()()(kFjFiFkzj yi xFM zyx O xyz OyFxFFM)( y o x z B F r 力對(duì)軸力對(duì)軸 z 的之矩：的之矩： 代數(shù)量 A )(FMO 力對(duì)點(diǎn)力對(duì)點(diǎn)O之矩在之矩在z軸上的投影：軸上的投影： kFMjFMiFMFM z O y O x OO )()()()( xyz yFxFFM)( 復(fù)習(xí)：力對(duì)點(diǎn)復(fù)習(xí)：力對(duì)點(diǎn)O之矩之矩 zOz vmMvmM)()( 2.質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸質(zhì)點(diǎn)對(duì)軸 z 的動(dòng)量矩的動(dòng)量矩 代數(shù)量代數(shù)量 y o x z A vm r 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩：動(dòng)量矩： vmrvmMO )( )( vmMO xyz

4、OymvxmvvmM)( 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩在之矩在z軸上的投影：軸上的投影： xyz ymvxmvvmM)( 單位：單位：kg2/s。動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)動(dòng)量矩度量物體在任一瞬時(shí)繞固定點(diǎn)(軸軸)轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。轉(zhuǎn)動(dòng)的強(qiáng)弱。 Q 質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量對(duì)點(diǎn)O之矩之矩 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩在動(dòng)量矩在z軸上的投影，軸上的投影， 等于對(duì)等于對(duì)z軸的動(dòng)量矩軸的動(dòng)量矩 質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩 是代數(shù)量，從是代數(shù)量，從 z 軸正向看，逆時(shí)針為正，順軸正向看，逆時(shí)針為正，順時(shí)針為負(fù)。時(shí)針為負(fù)。 )(vmM z 二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩 )( ii OOvmML

5、 )( iizz vmML 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸質(zhì)點(diǎn)系對(duì)軸 z 動(dòng)量矩動(dòng)量矩：各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一各質(zhì)點(diǎn)對(duì)同一z軸動(dòng)量矩的代數(shù)和。軸動(dòng)量矩的代數(shù)和。 iii vmr 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩動(dòng)量矩：各質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)點(diǎn)O動(dòng)量矩的矢量和。動(dòng)量矩的矢量和。 )( iizz vmML z OL zzO LL 對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與對(duì)點(diǎn)的動(dòng)量矩與對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系對(duì)軸的動(dòng)量矩的關(guān)系: : 即即 kjiL zyxO LLL 7 剛體動(dòng)量矩計(jì)算剛體動(dòng)量矩計(jì)算 () OOCCC LMmvrmv () iiii iCCC rmvmrvrMv 平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩等于剛體質(zhì)

6、心的動(dòng)量對(duì) 該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。該點(diǎn)（軸）的動(dòng)量矩。 1平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩：平動(dòng)剛體的動(dòng)量矩： 1）平動(dòng)剛體平動(dòng)剛體對(duì)固定點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)O的動(dòng)量矩：的動(dòng)量矩： 2）平動(dòng)剛體對(duì)軸平動(dòng)剛體對(duì)軸 z 動(dòng)量矩動(dòng)量矩： )( Czz vmML 8 iiiiizz rvmmML)(v 2 iiiii rmrrmww 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：轉(zhuǎn)動(dòng)慣量： 2 iiz rmJ w zz J L 2定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的動(dòng)量矩等于剛體對(duì)該軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 與角速度的乘積。與角速度的乘積。 9 3平面運(yùn)動(dòng)剛體平面運(yùn)動(dòng)剛體 平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩

7、，平面運(yùn)動(dòng)剛體對(duì)垂直于質(zhì)量對(duì)稱平面的固定軸的動(dòng)量矩， 等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì)等于剛體隨同質(zhì)心作平動(dòng)時(shí)質(zhì)心的動(dòng)量對(duì)該軸的動(dòng)量矩與繞質(zhì) 心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。心軸作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的動(dòng)量矩之和。 () zzCC LMmvJw 112223 2 1 wwRRvv 1 2 232 2 2 2 2 2 1 )(wRmm R J R J LO OCOBOAO LLLL 2332222211 )(RvmRvmJJww 解解：運(yùn)動(dòng)分析運(yùn)動(dòng)分析 滑輪滑輪A：m1，R1，R1=2R2，J1， 滑輪 滑輪B：m2，R2，J2 ；物體物體C：m3 求求: 系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)對(duì)O軸的動(dòng)量矩。軸的動(dòng)量矩

8、。 A輪：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)輪：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) C物：平動(dòng)物：平動(dòng) B輪：平面運(yùn)動(dòng)輪：平面運(yùn)動(dòng) 逆時(shí)針逆時(shí)針 F dt vmd )( 一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 兩邊叉乘矢徑兩邊叉乘矢徑 , 有有 Fr dt vmd r )( r 左邊可寫成左邊可寫成 vm dt rd vmr dt d dt vmd r )( )( , )( , 0FMFrvmvvm dt rd O 而 Frvmr dt d ,)( 質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì) 點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩點(diǎn)上的力對(duì)同一點(diǎn)之矩。這就是。這就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理。質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)

9、量矩定理。 故： ).()(FMvmM dt d OO 將上式在通過固定點(diǎn)將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得 ()( ), ()( ), ()( ) xxyyzz ddd MmvMFMmvMFMmvMF dtdtdt 上式稱質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理，也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定也稱為質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定 理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，理的投影形式。即質(zhì)點(diǎn)對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)， 等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。等于作用在質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)同一軸之矩。 稱為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒。 若0)(FMO 則)( vmM

10、O 常矢量常矢量 ).()(FMvmM dt d OO )(常量vmM z ).0)( FM z 若 則 已知已知 單擺單擺 m，l，t = 0 時(shí)時(shí) = 0，從靜止開始釋放。，從靜止開始釋放。 O A O A 微幅擺動(dòng)時(shí)，微幅擺動(dòng)時(shí)， , sin 0 2 w n 解微分方程解微分方程,并代入初始條件并代入初始條件 則運(yùn)動(dòng)方程則運(yùn)動(dòng)方程)0, 0( 00 t t l g cos 0 ，擺動(dòng)周期擺動(dòng)周期 g l T2 并令并令 l g n 2 w O A 注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致注：計(jì)算動(dòng)量矩與力矩時(shí)，符號(hào)規(guī)定應(yīng)一致 （本題規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎ū绢}規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩

11、定理的應(yīng)用：質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量矩定理的應(yīng)用： 在質(zhì)點(diǎn)受有心力的作用時(shí)。 質(zhì)點(diǎn)繞某心（軸）轉(zhuǎn)動(dòng)的問題。 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系 上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。上所有外力對(duì)同一點(diǎn)之矩的矢量和（外力系的主矩）。 二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序左邊交換求和與導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的順序: ),( ii OOvmML )( )( )( e O e i O O MFM dt Ld 一質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 n i e i O n i i i O n i

12、ii OFMFMvmM dt d 1 )( 1 )( 1 )()()( 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有對(duì)質(zhì)點(diǎn)系，有 ), 3 , 2 , 1( ).()()( )()( niFMFMvmM dt d e i O i i O ii O 對(duì)質(zhì)點(diǎn)對(duì)質(zhì)點(diǎn)Mi ： )( , )( ,)( )()()()(e iz z e iy ye x e ix x FM dt dL FM dt dL MFM dt dL 將上式在通過固定點(diǎn)將上式在通過固定點(diǎn)O的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得的三個(gè)直角坐標(biāo)軸上投影，得 ,0)( )( i i OFM 而而: : 則則: : 上式稱為上式稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理。質(zhì)點(diǎn)系對(duì)固定軸的動(dòng)量矩定理

13、。即即 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定軸的動(dòng)量矩對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，等于作用在 質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸質(zhì)點(diǎn)系上所有外力對(duì)同一固定軸之矩的代數(shù)和（外力系對(duì)同一軸 的主矩）。的主矩）。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒 當(dāng)時(shí)，常矢量。 當(dāng)時(shí)，常量。 0 )( e OM 0 )( e z M O L z L 動(dòng)量矩定理說明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力動(dòng)量矩定理說明內(nèi)力不會(huì)改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩，只有外力 才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。才能改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩。 )( , )( ,)( )()()()(e iz z e iy ye x e

14、 ix x FM dt dL FM dt dL MFM dt dL 參見動(dòng)畫：爬繩比賽的力學(xué)分析參見動(dòng)畫：爬繩比賽的力學(xué)分析(1) 參見動(dòng)畫：爬繩比賽的力學(xué)分析參見動(dòng)畫：爬繩比賽的力學(xué)分析(2) 參見動(dòng)畫：挺身式跳遠(yuǎn)的騰空動(dòng)作參見動(dòng)畫：挺身式跳遠(yuǎn)的騰空動(dòng)作 w O BA O Jrv g P rv g P L 25 解解： 系統(tǒng)的動(dòng)量矩守恒。 , 0)( )(e O Fm rvvmrvm ABAA )(0 2 v v A 猴A與猴B向上的絕對(duì)速度是一樣的, 均為 。 2 v 已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相對(duì)繩速度 上爬，猴A不動(dòng)，問當(dāng)猴B向上爬時(shí)，猴A將如何動(dòng)？ 動(dòng)的速度多大？（輪重不計(jì)）

15、v 1 2 2 1 (a)(b) 參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題4 1 2 2 1 (a)(b) 參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題5 對(duì)于一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體一個(gè)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體w zz JL .)( )(e zz MJ dt d w )( 2 2 )(e zz e zz M dt d J MJ 或剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 解決兩類問題解決兩類問題： 已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。已知作用在剛體的外力矩，求剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律。 已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。已知?jiǎng)傮w的轉(zhuǎn)動(dòng)規(guī)律，求作用于剛體的外力（矩）。 但不能求出軸承處的約束反

16、力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。但不能求出軸承處的約束反力，需用質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求解。 代入質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩定理，有 2）若若 常量，則常量，則 =常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。常量，剛體作勻變速轉(zhuǎn)動(dòng)。 將將 與與 比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量比較，剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 是剛體是剛體 轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的度量。 1）若若 ,則則 恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn)恒量，剛體作勻速轉(zhuǎn) 動(dòng)或保持靜止。動(dòng)或保持靜止。 特殊情況特殊情況： . 0)( )( )( e z e z FMM w, 0 )(e z M )(e zz MJFam z J 37 例：例：均質(zhì)圓柱半徑為均質(zhì)圓柱半徑為r，質(zhì)量為質(zhì)量為m，置該置該 圓柱于墻角，初時(shí)角速度圓柱于墻

17、角，初時(shí)角速度w w0，由于摩擦阻，由于摩擦阻 力，使轉(zhuǎn)動(dòng)減速，摩擦因數(shù)力，使轉(zhuǎn)動(dòng)減速，摩擦因數(shù) fs 求：使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間。求：使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需的時(shí)間。 解： B F NB F A F NA F 應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的微分方程 CiC MJ ) 1 ( 2 1 2 rFrF t d d mr BA w 考慮質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理考慮質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 yc xc c Fym Fxm Fam )3(0 )2(0 mgFF FF ANB BNA )5( )4( sNBB sNAA fFF fFF C 38 解得 2 2 2 2 1 , 1 s s B s s A f fmg F f mgf F 代入（1）

18、式 )1 ( )1 (2 d d 2 s ss fr fgf t w 得 dt fr fgf d t s ss 0 2 0 )1 ( )1 (2 0 w w積分 未知量 NBNABA FFFF,w )1 (2 )1 ( 0 2 ss s fgf rf t w 39 提升裝置中，輪提升裝置中，輪A、B的重量分別為的重量分別為P1 、 P2 ,可視為均質(zhì)圓可視為均質(zhì)圓 盤盤; 物體物體C 的重量為的重量為P3 ;輪輪A上作用常力矩上作用常力矩M1 。求：求： 物體物體C上升上升 的加速度。的加速度。 40 2 ) 輪輪B與物體與物體C： (2) ) 2 1 ( 2322 3 2 2 2 2 rPr

19、Fvr g P r g P dt d T w 補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件補(bǔ)充運(yùn)動(dòng)學(xué)條件 112222 ,wrar vr 化簡化簡(1) 得：得： 化簡化簡(2) 得：得： 3 32 2 2 PFa g PP T T F r M a g P 1 11 2 g PPP PrM a2 2 / 321 311 (1) 2 111 2 11 rFM g rP T 解解: 1 ) 輪輪A: 41 42 43 例例：齒輪傳動(dòng)裝置，開始時(shí)角速度分別為齒輪傳動(dòng)裝置，開始時(shí)角速度分別為w w01 01， ，w w02 02，重分 ，重分 別為別為P P1 1，P P2 2，求耦合后的求耦合后的w w1 1值。值。 解解: d

20、R g P dR g P 2 2 1 1 2 02 1 0122 w w w w 2 2 2 2 2 2 FR dt d R g P dt d J ww 2211 wwRR )( 2 )( 2 022 22 011 11 wwww g PR g PR 121 02220111 1 )RPP PRPR （ ww w 左左輪輪: : 右右輪輪: : 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系: 方程右端化簡相等方程右端化簡相等: : w w1 R1 w w2 R2 w w02 w w01 R1 R2 FN F F FN 1 2 1 1 1 2 FR dt d R g P dt d J 一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義一轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的定義：

21、 2 iiz rmJ 剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量是剛體對(duì)某軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣性大小的度量，它的 大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。大小表現(xiàn)了剛體轉(zhuǎn)動(dòng)狀態(tài)改變的難易程度。 若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則若剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布，則 dmrJ mz 2 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國際單位制中單位轉(zhuǎn)動(dòng)慣量恒為正值，國際單位制中單位kgm2 。 二轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算二轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算 積分法積分法（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用）（具有規(guī)則幾何形狀的均勻剛體可采用） 勻質(zhì)細(xì)直桿長為勻質(zhì)細(xì)直桿長為l ,質(zhì)量為質(zhì)量為m 。 求：求：1）對(duì)對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ； 2）對(duì)）對(duì)z 軸的轉(zhuǎn)

22、動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 z J z J 2 2 2 l l z dx l m xJ 解解： 12 2 ml l z dx l m xJ 0 2 3 2 ml 勻質(zhì)細(xì)圓盤半徑為勻質(zhì)細(xì)圓盤半徑為R ,質(zhì)量為質(zhì)量為m 。 求：求：1）對(duì)對(duì)O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 ；2）對(duì)）對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 。 O J x J d R m dJ O 2 2 2 解解： d Ox y R O d R m J 0 2 2 2 2 2 mR A y A x dA R m xJdA R m yJ, 2 2 2 2 O A yx JdA R m xyJJ 2 22 )( 2/ Oyx JJJ 4 2 mR J

23、J yx 2. 回轉(zhuǎn)半徑回轉(zhuǎn)半徑 由所定義的長度由所定義的長度 稱為剛體對(duì)稱為剛體對(duì) z 軸的回轉(zhuǎn)半徑。軸的回轉(zhuǎn)半徑。 m J z z z 2 zz mJ 對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對(duì)對(duì)于均質(zhì)剛體，僅與幾何形狀有關(guān)，與密度無關(guān)。對(duì) 于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回于幾何形狀相同而材料不同（密度不同）的均質(zhì)剛體，其回 轉(zhuǎn)半徑是相同的。轉(zhuǎn)半徑是相同的。 z 在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡單幾何形狀或已在機(jī)械工程設(shè)計(jì)手冊(cè)中，可以查閱到簡單幾何形狀或已 標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)化的零件的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和回轉(zhuǎn)半徑。書中列出幾種常見均質(zhì)

24、 剛體的，以供參考。剛體的，以供參考。 zz J和 剛體的回轉(zhuǎn)半徑相當(dāng)與將所有質(zhì)量集中在離軸距離為剛體的回轉(zhuǎn)半徑相當(dāng)與將所有質(zhì)量集中在離軸距離為 位置上位置上 z 3. 平行移軸定理平行移軸定理 同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。同一個(gè)剛體對(duì)不同軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量一般是不相同的。 2 mdJJ zCz 剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于剛體對(duì)某軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于 剛體對(duì)通過質(zhì)心且與該軸平行的剛體對(duì)通過質(zhì)心且與該軸平行的 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，加上剛體的質(zhì)量 與兩軸間距離的平方之乘積。與兩軸間距離的平方之乘積。 由公式可知：剛體對(duì)過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。由公式可知：剛體對(duì)過質(zhì)心的軸

25、的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量最小。 )( 222 iiiiizC yxmrmJ )( 222 iiiiiz yxmrmJ )( , 2 2 dyxmJ dyyxx iiiz iiii ii iiii ymd dmyxm 2 )()( 2 22 證明：證明：設(shè)質(zhì)量為設(shè)質(zhì)量為m的剛體，質(zhì)心為的剛體，質(zhì)心為C，CzzO/ 2 0 , mdJJmyymmm zCzCiii 例如例如，對(duì)于例對(duì)于例1中均質(zhì)細(xì)桿中均質(zhì)細(xì)桿z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為 2 ) 2 ( l mJJ zz 剛體對(duì)通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值剛體對(duì)通過質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量具有最小值。 222 3 1 4 1 12 1 mlmlml 當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)

26、則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部當(dāng)物體由幾個(gè)規(guī)則幾何形狀的物體組成時(shí)，可先計(jì)算每一部 分分(物體物體)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量, 然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。然后再加起來就是整個(gè)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 若若 物體有空心部分物體有空心部分, 要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理要把此部分的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量視為負(fù)值來處理。 4計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法計(jì)算轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的組合法 盤桿OOO JJJ 2 2 2 2 2 1 )( 2 1 3 1 RlmRmlm )423( 2 1 3 1 22 2 2 1 lRlRmlm 鐘擺：鐘擺： 均質(zhì)直桿均質(zhì)直桿m1, l ； 均質(zhì)圓盤：均質(zhì)圓盤：m2 , R 。 求求 JO

27、。 解解： 52 實(shí)驗(yàn)法測(cè)試轉(zhuǎn)動(dòng)慣量實(shí)驗(yàn)法測(cè)試轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 1.扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法扭轉(zhuǎn)振動(dòng)法kM z k t J d d 0k J J k w k J T2 標(biāo) 標(biāo) J T k 2 ) 2 ( 2 2 標(biāo) 標(biāo) T T JJ k 已知：標(biāo)準(zhǔn)盤的已知：標(biāo)準(zhǔn)盤的J標(biāo) 標(biāo)，求測(cè)試盤的 ，求測(cè)試盤的 J。 k J T 標(biāo) 標(biāo) 2 J T k 2 ) 2 ( z 53 2.落體觀測(cè)法落體觀測(cè)法 為測(cè)試不均質(zhì)材料的鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以在一側(cè)懸桂一為測(cè)試不均質(zhì)材料的鼓輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，可以在一側(cè)懸桂一 個(gè)重物，當(dāng)個(gè)重物，當(dāng)t=0時(shí)系統(tǒng)靜止不動(dòng)，然后測(cè)試重物下落時(shí)系統(tǒng)靜止不動(dòng)，然后測(cè)試重物下落h高度的高度的t 值，求值，求:鼓輪的

28、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。鼓輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。 Pr)( 0 vr g P J dt d r a rPar g P J 0 2 0 2 rPgJ grP a 2 2 1 ath ) 1 2 ( 22 0 h gt g rP J 動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理: 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： 自由落體時(shí)有：自由落體時(shí)有： 則：則： a v P h w w 一質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩一質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量矩 )( . rCCrCCC OLLLvmrL 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心和固定點(diǎn)的動(dòng)量矩定理，具有完全相似 的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存在這種的數(shù)學(xué)形式，而對(duì)于質(zhì)心以外的其它動(dòng)點(diǎn)，一般并不存

29、在這種 簡單的關(guān)系簡單的關(guān)系。 .)( )()( e C e i C rC MFM dt Ld 二質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理二質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)于質(zhì)心的動(dòng)量矩的改變，只與作用在質(zhì)點(diǎn)系上 的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。的外力有關(guān)，而與內(nèi)力無關(guān)。 設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系設(shè)有一平面運(yùn)動(dòng)剛體具有質(zhì)量對(duì)稱平面，力系 可以簡化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形可以簡化為該平面內(nèi)的一個(gè)力系。取質(zhì)量對(duì)稱平面為平面圖形S， 質(zhì)心一定位于質(zhì)心一定位于S內(nèi)。內(nèi)。 n FFF , 21 取質(zhì)心取質(zhì)心C為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)

30、動(dòng)可分解為為動(dòng)系原點(diǎn)，則此平面運(yùn)動(dòng)可分解為 1） 隨質(zhì)心隨質(zhì)心C的平動(dòng)的平動(dòng) ( xC , yC ) 2） 繞質(zhì)心繞質(zhì)心C的轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)動(dòng) （ ） 可通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量可通過質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理和相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量 矩定理來確定。矩定理來確定。 w CC rC CrC JJ dt dL JL , . )( , )( e CCC FMJFam 寫成寫成投影形式投影形式 或或 上式稱為上式稱為平面運(yùn)動(dòng)微分方程平面運(yùn)動(dòng)微分方程。 ).(, )(e iCCyCxC FMJFymFxm . )(, )( e iCCyCyxCx FmJFmaFma . )(, )( e CCn n Ct t C FMJFm

31、aFma . )( , )( e CCC FMJFam 參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題10(1、2、3) 圓柱在圖示力作用下由靜止開始作平面運(yùn)動(dòng)。令它的鉛直對(duì)稱圓柱在圖示力作用下由靜止開始作平面運(yùn)動(dòng)。令它的鉛直對(duì)稱 面重合于坐標(biāo)平面面重合于坐標(biāo)平面 Oxy ，軸軸 x 沿斜面向下，則有沿斜面向下，則有 圓柱平面運(yùn)動(dòng)的三個(gè)微分方程可寫成圓柱平面運(yùn)動(dòng)的三個(gè)微分方程可寫成 aC = r (d) maC = mgsin F (a) 0 = FNmgcos (b) JC = Fr (c) 當(dāng)圓柱只滾不滑時(shí)，滑動(dòng)摩擦力必須滿足當(dāng)圓柱只滾不滑時(shí)，滑動(dòng)摩擦力必須滿足 F fsFN ，代入代入

32、 求出的求出的 F， 和和 FN ，則得則得 從而求得圓柱滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件從而求得圓柱滾動(dòng)而不滑動(dòng)的條件 聯(lián)立求解以上四個(gè)方程，并考慮到聯(lián)立求解以上四個(gè)方程，并考慮到 JC = mr2/2 ，就得到就得到 aC = 2gsin / 3 , FN = mgcos , F = mgsin / 3 A 參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題參見動(dòng)畫：動(dòng)量矩定理例題11 O AB A C D E O (b) w E O AB (C) w A C D E O AB (b) w A C D E (c) x y O A B C y x x y O FA FB mg Cv A B C y x x y O FA FB mg

33、 Cv A B C y x x y O FA FB mg Cv A B C y x )f ( sin cos 2 llxC 一基本概念一基本概念 1動(dòng)量矩動(dòng)量矩：某瞬時(shí)物體繞點(diǎn)某瞬時(shí)物體繞點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量時(shí)機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的一種度量。 2質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩： 3質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩： 4轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。物體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的度量。 .)(vmrvmMO . iiiO vmrL 對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對(duì)過質(zhì)心垂直對(duì)于均勻直桿，細(xì)圓環(huán)，薄圓盤（圓柱）對(duì)過質(zhì)心垂直 于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。于質(zhì)量對(duì)稱平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量要熟記。

34、 第十第十一一章動(dòng)量矩定理習(xí)題課章動(dòng)量矩定理習(xí)題課 2 )2 ) 若 ，則 常量。 5剛體動(dòng)量矩計(jì)算剛體動(dòng)量矩計(jì)算 平動(dòng)：平動(dòng)： 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)： ).( , CzzCCO vmMLvmrL w zz JL .)( w CCzz JvmML 二質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒二質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理及守恒 1質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩定理 ).()( ),()(FMvmM dt d FMvmM dt d zz OO 或 2質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)量矩守恒 1 ) 若若 ，則，則 常矢量。常矢量。0)(FM O 0)(FM z )( vmMO )( vmmz 平面運(yùn)動(dòng)：平面運(yùn)動(dòng)： 三質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守

35、恒三質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理及守恒 1質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩定理 )( )( )( )( )( ,)( e z e z z e O e O O MFM dt dL MFM dt Ld 或 2質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量矩守恒 )( )( , e zC zC e C C M dt dL M dt Ld 或 四質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理四質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)心的動(dòng)量矩定理 2 )2 ) 若，則 常量。 1 ) 若若 ，則，則 常矢量。常矢量。 0 )( e OM 0 )( e z M OL z L . )(J ),( z FMFmJ zzz 或 五剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程五剛體定軸

36、轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程和剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 1剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 2剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程 或 xCx Fma yCy Fma ).( )( e CC FMJ xC Fx m yC Fy m . )( )( e CC FMJ 六動(dòng)量矩定理的應(yīng)用六動(dòng)量矩定理的應(yīng)用 應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對(duì)單軸應(yīng)用動(dòng)量矩定理，一般可以處理下列一些問題：（對(duì)單軸 傳動(dòng)傳動(dòng)系統(tǒng)尤為方便）系統(tǒng)尤為方便） 1已知質(zhì)點(diǎn)系的已知質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。運(yùn)動(dòng)，求系統(tǒng)所受的外力或外力矩。 2已知質(zhì)點(diǎn)系所受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體已知質(zhì)點(diǎn)系所

37、受的外力矩是常力矩或時(shí)間的函數(shù)，求剛體 的角加速度或角速度的改變。的角加速度或角速度的改變。 3已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù)已知質(zhì)點(diǎn)所受到的外力主矩或外力矩在某軸上的投影代數(shù) 和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。和等于零，應(yīng)用動(dòng)量矩守恒定理求角速度或角位移。 七應(yīng)用舉例七應(yīng)用舉例 例例1 均質(zhì)圓柱，半徑為均質(zhì)圓柱，半徑為r，重量為重量為Q，置圓柱于墻角。初始角速置圓柱于墻角。初始角速 度度w w0，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為，墻面、地面與圓柱接觸處的動(dòng)滑動(dòng)摩擦系數(shù)均為 f ，滾滾 阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需要的時(shí)間。阻不計(jì)，求使圓柱停止轉(zhuǎn)動(dòng)所需

38、要的時(shí)間。 解解：研究對(duì)象研究對(duì)象: 圓柱圓柱; 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程)0 , 0( CyCx aa BA FN 0 QNF BA 0 rFrF dt d r g Q BA 2 1 2 w 1 2 3 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程： BBAA NfFNfF , 4 受力分析如圖示; 運(yùn)動(dòng)分析：質(zhì)心C 不動(dòng)，剛體繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)。 將將4式代入式代入1、2兩式，有兩式，有 0) 1( 2 QNf B 1 , 1 , 1 , 1 2 2 222 f Qf F f Qf N f Qf F f Q N AABB 將上述結(jié)果代入將上述結(jié)果代入3式，有式，有 , 2 1 1 2 r g f f f d

39、t d w 解得：解得： ) 1 ( 2 )1 ( 0 2 fgf rf t w BA FN 0 QNF BA 0 rFrF dt d r g Q BA 2 1 2 w 1 2 3 補(bǔ)充方程：補(bǔ)充方程： BBAA NfFNfF , 4 dt f f r gf d t 0 2 0 1 12 0 w w 例例2 兩根質(zhì)量各為兩根質(zhì)量各為8 kg的均質(zhì)細(xì)桿固連成的均質(zhì)細(xì)桿固連成T 字型，可繞通過字型，可繞通過O 點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)的水平軸轉(zhuǎn)動(dòng)，當(dāng)OA處于水平位置時(shí)處于水平位置時(shí), T 形桿具有角速度形桿具有角速度w w =4rad/s 。求該瞬時(shí)軸承求該瞬時(shí)軸承O的反力。的反力。 解：解：一、一、

40、“ T ”字型桿字型桿 . rad/s 20.75 2 ).( )(e OO FM dt d J w 2222 12 17 12 1 3 1 mlmlmlmlJO 四、由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程四、由定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程 二、受力分析：二、受力分析：,mg,mg OyOx FF , 三、運(yùn)動(dòng)分析：定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、運(yùn)動(dòng)分析：定軸轉(zhuǎn)動(dòng) . 2 lmg l mgJO mg mg Ox F Oy F 五、由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得五、由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)微分方程，得 OxxCxC Fmama 21 mgmgFmama OyyCyC 21 N 96) 5 . 04 25. 04( 8)( 22 21 xCxCOx aamF N 3

41、.32 ) 5 . 075.20 25. 075.20 ( 88 . 982 Oy F ., 2 2 2 11yC C t yc t c alaa l a OxCx FMa OyCy FMa N, 96 Ox F .(N) 3 .32 Oy F ., 2 2 2 2 1 2 1xC C t xc n c alaa l aww 總結(jié)：總結(jié)： 1 1、此題為動(dòng)量矩定理與動(dòng)量定理綜合運(yùn)用的題目此題為動(dòng)量矩定理與動(dòng)量定理綜合運(yùn)用的題目 2 2、先用動(dòng)量矩定理求出運(yùn)動(dòng)，即：先用動(dòng)量矩定理求出運(yùn)動(dòng)，即： ; ; 由運(yùn)動(dòng)學(xué)求各桿質(zhì)心的加速度由運(yùn)動(dòng)學(xué)求各桿質(zhì)心的加速度 3 3、用動(dòng)量矩定理求約束力用動(dòng)量矩定理

42、求約束力. . 例例3 均質(zhì)圓柱體均質(zhì)圓柱體A和和B的重量均為的重量均為P，半徑均為半徑均為r，一繩纏在一繩纏在 繞固定軸繞固定軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱轉(zhuǎn)動(dòng)的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱上，繩的另一端繞在圓柱B上，繩重上，繩重 不計(jì)且不可伸長，不計(jì)軸不計(jì)且不可伸長，不計(jì)軸O處摩擦。處摩擦。 求：求：1 、圓柱圓柱B下落時(shí)質(zhì)心的加速度。下落時(shí)質(zhì)心的加速度。 2、 若在圓柱體若在圓柱體A上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩上作用一逆時(shí)針轉(zhuǎn)向的轉(zhuǎn)矩M，試問在什么試問在什么 條件下圓柱條件下圓柱B的質(zhì)心將上升。的質(zhì)心將上升。 分析：分析： 1、A 圓柱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱作定軸轉(zhuǎn)動(dòng) 2、B 圓柱作平面轉(zhuǎn)動(dòng)圓柱作平面轉(zhuǎn)動(dòng) 用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求解用剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程求解 用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解用剛體平面運(yùn)動(dòng)微分方程求解 二、圓柱二、圓柱B： )3( 2 1 2 rTr g P B )2(TPa g P C 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：)4( BAC rra Trr g P A 2 2 1 （1） 解：一、圓柱解：一、圓柱 A： 由1、3式得： BA , 5 2 r g BA ga C 5 4 代入3、4式得： 由動(dòng)量矩定理由動(dòng)量矩定理： rPMr g P rv g P r g P dt d