固體物理習(xí)題選講

1、固體物理習(xí)題選講 2010年12月22日 第一章 晶體結(jié)構(gòu) 1.3 二維布拉維點(diǎn)陣只有二維布拉維點(diǎn)陣只有5種，試列舉并畫圖表示之。種，試列舉并畫圖表示之。 答：二維布拉維點(diǎn)陣只有答：二維布拉維點(diǎn)陣只有5種類型：正方、矩形、六角、種類型：正方、矩形、六角、 有心矩形和斜方。分別如圖所示：有心矩形和斜方。分別如圖所示： 正方 a=b ab=90 六方 a=b ab=120 矩形 ab ab=90 帶心矩形 a=b ab=90 平行四邊形 ab ab90 3.5設(shè)有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為設(shè)有一維晶體，其原子的質(zhì)量均為m，而最，而最 近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于近鄰原子間的力常數(shù)交替地等于 和和1

2、0設(shè)有設(shè)有 一維晶體，其原子的質(zhì)量均為一維晶體，其原子的質(zhì)量均為m，而最近鄰原，而最近鄰原 子間的力常數(shù)交替地等于和子間的力常數(shù)交替地等于和10， 且最近鄰的距且最近鄰的距 離為離為a/2，試畫出色散關(guān)系曲線，并給出，試畫出色散關(guān)系曲線，并給出q=0和和 處的。處的。 解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所解：設(shè)標(biāo)為奇數(shù)的原子和附近為偶數(shù)的原子所 處的環(huán)境不同，處的環(huán)境不同， aq/ /2a 3.5、質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的質(zhì)量相同兩種原子形成一維雙原子鏈，最近鄰原子間的 力常數(shù)交錯(cuò)等于力常數(shù)交錯(cuò)等于 和和 ，并且最近鄰間距，并且最近鄰間距 1) 求出色散關(guān)系和分析計(jì)

3、算求出色散關(guān)系和分析計(jì)算 處格波的頻率值處格波的頻率值 2) 大致畫出色散關(guān)系圖大致畫出色散關(guān)系圖 1 c 2 10c 0,qq a 解解 綠色綠色標(biāo)記的原子位于標(biāo)記的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 紅色標(biāo)記原子位于紅色標(biāo)記原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 第第2n個(gè)原子和第個(gè)原子和第2n1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程 2122221121 21122112222 () () nnnn nnnn m m 1 (2 ) 2 2 1 (21) 2 21 itnaq n itnaq n Ae Be 體系體系N個(gè)原胞，有個(gè)原胞，有2N個(gè)獨(dú)立的方程個(gè)獨(dú)立的方程 方程的解方程的解 令令

4、 22 1122 /,/mm 11 22222 22 1212 11 22222 22 1212 ()()0 ()()0 i aqi aq i aqi aq AeeB eeAB 11 22222 22 1212 11 22222 22 1212 (),() (),() 0 i aqi aq i aqi aq ee ee 1111 22222222 2222 121212 ()()0() i aqi aqi aqi aq eeee A、B有非零的解，系數(shù)行列式滿足有非零的解，系數(shù)行列式滿足 1111 22222222 2222 121212 ()()0() i aqi aqi aqi aq ee

5、ee 1 c 2 10c 2222 0120 10 ,10 cc mm 22244 000 (11)20(10c01)osaq 22 0 (1120cos101)qa 兩種色散關(guān)系兩種色散關(guān)系 22 0 (1120cos101)qa 0q 22 0 (11121) 0 220 q a 22 0 (1181) 00 202 色散關(guān)系圖色散關(guān)系圖 兩種色散關(guān)系兩種色散關(guān)系 3.8 設(shè)固體的熔點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距的設(shè)固體的熔點(diǎn)對(duì)應(yīng)原子的振幅等于原子間距的10 的振動(dòng)，推證，對(duì)于簡(jiǎn)單晶格，接近熔點(diǎn)時(shí)原子的的振動(dòng)，推證，對(duì)于簡(jiǎn)單晶格，接近熔點(diǎn)時(shí)原子的 振動(dòng)頻率振動(dòng)頻率 其中其中M是原子質(zhì)量。是原

6、子質(zhì)量。 解解 當(dāng)質(zhì)量為當(dāng)質(zhì)量為M的原子以頻率及等于原子間距的的原子以頻率及等于原子間距的10 的振幅振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)能為：的振幅振動(dòng)時(shí)，其振動(dòng)能為： 在熔點(diǎn)時(shí)，原子的能量可按照能量均分定理處理，即在熔點(diǎn)時(shí)，原子的能量可按照能量均分定理處理，即 一個(gè)一維原子的平均能量為一個(gè)一維原子的平均能量為 2/1 502 M Tk a mB 2 222 102 1 2 1 a MAME mBT k 第一章 晶體結(jié)構(gòu) 1.5 如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最如將等體積的硬球堆成下列結(jié)構(gòu)，求證球可能占據(jù)的最 大大體積體積與與總體積總體積之比為（之比為（1）簡(jiǎn)立方：）簡(jiǎn)立方： （2）體心立方：）體

7、心立方： （3）面心立方：）面心立方： （4）六方密堆積：）六方密堆積： （5）金剛石：）金剛石： 答：令答：令Z表示一個(gè)立方晶胞中的硬球數(shù)，表示一個(gè)立方晶胞中的硬球數(shù)，Ni是位于晶胞內(nèi)的是位于晶胞內(nèi)的 球數(shù)，球數(shù)，Nf是在晶胞面上的球數(shù)，是在晶胞面上的球數(shù)，Ne是在晶胞棱上的球數(shù)，是在晶胞棱上的球數(shù)，Nc 是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有：是在晶胞角隅上的球數(shù)。于是有： 6 3 8 2 6 2 6 3 16 111 248 ifec ZNNNN 第一章 晶體結(jié)構(gòu) 邊長(zhǎng)為邊長(zhǎng)為a的立方晶胞中堆積比率為：的立方晶胞中堆積比率為： 假設(shè)硬球的半徑都為假設(shè)硬球的半徑都為r，占據(jù)的最大面積與總體積之比為，

8、占據(jù)的最大面積與總體積之比為， 依據(jù)題意依據(jù)題意 （1）對(duì)于簡(jiǎn)立方，晶胞中只含一個(gè)原子，簡(jiǎn)立方邊長(zhǎng)為）對(duì)于簡(jiǎn)立方，晶胞中只含一個(gè)原子，簡(jiǎn)立方邊長(zhǎng)為2r， 那么：那么： = = （2）對(duì)于體心立方，晶胞中有兩個(gè)原子，其體對(duì)角線的長(zhǎng)）對(duì)于體心立方，晶胞中有兩個(gè)原子，其體對(duì)角線的長(zhǎng) 度為度為4r，則其邊長(zhǎng)為，則其邊長(zhǎng)為 那么：那么： = = 3 3 4 * 3 r FZ a 3 3 4/3 (2 ) r r 6 4 3 r 3 3 2 (4/3) (4/3 ) r r 3 8 則有：則有： mBT k a M 2 2 102 1 2/1 502 M Tk a mB 3.9 按德拜近似，試證明高溫時(shí)晶

9、格熱容按德拜近似，試證明高溫時(shí)晶格熱容 20 1 1 3 2 T NkC D Bv 4 3 2 0 9( /) 1 D x T vBD x e x dx CNkT T e D T x 證明：由書可知證明：由書可知 在高溫時(shí)，在高溫時(shí)，則在整個(gè)積分范圍內(nèi)，則在整個(gè)積分范圍內(nèi) 為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡(jiǎn)為為小量，因此可將上式中被積函數(shù)化簡(jiǎn)為 12 1 12 1 24 1 2 2 2 2 2 3 4 2/2/ 4 2 4 x x x x x x x ee x e xe xx x x 將上式代入將上式代入 v C的表達(dá)式，得的表達(dá)式，得 35 3 11 9( /) 360 DD vBD CNk

10、T T TT 32 3 11 9( /)1 320 DD BD NkT T TT 2 1 31 20 D B Nk T 5.10若熱電子發(fā)射電子垂直金屬表面的平均動(dòng)若熱電子發(fā)射電子垂直金屬表面的平均動(dòng) 能是能是kBT，則平行于表面的平均能量也是，則平行于表面的平均能量也是kBT。 解：由波爾茲曼分布率知，能量在解：由波爾茲曼分布率知，能量在EE+dE范范 圍內(nèi)的電子的數(shù)量為圍內(nèi)的電子的數(shù)量為: dvve Tk m NdN Tkmv / B B 22/ 23 2 2 4 0 20 2 2 3 )( )( m Tk dvvfv N dvvNfv v B 電子的均方電子的均方 平均速度平均速度 Tk

11、mv B 2 3 2 1 2 電子的平均動(dòng)能電子的平均動(dòng)能 電子在垂直于表面方向的平均能量為電子在垂直于表面方向的平均能量為: Tk B * 同理平行于表面的平均能量也是同理平行于表面的平均能量也是kBT。 6.10 金屬鉍的導(dǎo)帶底部有效質(zhì)量倒數(shù)張量為金屬鉍的導(dǎo)帶底部有效質(zhì)量倒數(shù)張量為 求有效質(zhì)量張量的各分量，并確定此能帶底部附近求有效質(zhì)量張量的各分量，并確定此能帶底部附近 等能面的性質(zhì)等能面的性質(zhì) zzyz yzyy xx aa aa a m 0 0 00 1 第一章 晶體結(jié)構(gòu) 解：解： 的逆矩陣即為的逆矩陣即為 矩陣，用矩陣矩陣，用矩陣 計(jì)算方法，可求得計(jì)算方法，可求得: 1 m m xx

12、 xx a m 1 2 yzzzyy zz yy aaa a m 2 yzzzyy yy zz aaa a m 2 yzzzyy yz zyyz aaa a mm 其余為其余為0 為確定等能面，在作為為確定等能面，在作為k矢量原點(diǎn)的能帶底部矢量原點(diǎn)的能帶底部 附近泰勒展開（有用的僅二階項(xiàng)），并假定能附近泰勒展開（有用的僅二階項(xiàng)），并假定能 帶底帶底E0，在能帶底一階導(dǎo)數(shù)為，在能帶底一階導(dǎo)數(shù)為0，即，即: 0 i k E ijij ji 2 a*m kk E 1 2 )( 1 2222 1 2 2 xxxxyyyyzzzyzyz E ka ka ka ka k k 故有故有 顯然等能面顯然等能面

13、 E kc是一個(gè)橢球面是一個(gè)橢球面 解：只計(jì)入最近鄰格點(diǎn)原子的相互作用時(shí)，解：只計(jì)入最近鄰格點(diǎn)原子的相互作用時(shí)，s態(tài)原子能級(jí)態(tài)原子能級(jí) 相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)表示為：相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)表示為： NearestR Rk i ss s s s eRJJkE )()( 0 17、 一維單原子鏈，原子間距一維單原子鏈，原子間距a，總長(zhǎng)度為，總長(zhǎng)度為L(zhǎng)Na 1) 用緊束縛近似方法求出與原子用緊束縛近似方法求出與原子s態(tài)能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù)態(tài)能級(jí)相對(duì)應(yīng)的能帶函數(shù) 2) 求出其能帶密度函數(shù)求出其能帶密度函數(shù) 的表達(dá)式的表達(dá)式 3) 如每個(gè)原子如每個(gè)原子s態(tài)中只有一個(gè)電子，計(jì)算態(tài)中只有一個(gè)電子，計(jì)算T=0K時(shí)的費(fèi)密能

14、級(jí)時(shí)的費(fèi)密能級(jí) 和和 處的能態(tài)密度處的能態(tài)密度 0 F E 0 F E )(EN 對(duì)于一維情形對(duì)于一維情形, 任意選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn)任意選取一個(gè)格點(diǎn)為原點(diǎn) 有兩個(gè)最近鄰的格點(diǎn)，坐標(biāo)為：有兩個(gè)最近鄰的格點(diǎn)，坐標(biāo)為：a和和a NearestR Rk i ss s s s eRJJkE )()( 0 )()( 10 ikaika s s eeJJkE kaJJkE s s cos2)( 10 dkkaaJkdE s )sin2()( 1 kaaJ kdE dk s sin2 )( 1 能帶密度函數(shù)能帶密度函數(shù)的計(jì)算的計(jì)算 22 10 (1/4( ) )( ) ss s dkaJE kJdE k 4

15、2 Na dZdk 22 10 2( ) 4( ) s s s NdEk JEkJ 1 0 2 )( cos J JkE ka s s 2 1 0 ) 2 )( (1sin J JkE ka s s kaJJkE s s cos2)( 10 1 (1/2sin)( ) s dkaJka dEk 對(duì)于一維格子，波矢為對(duì)于一維格子，波矢為 具有相同的能量具有相同的能量 此外考慮到電子自旋有此外考慮到電子自旋有2種取向，在種取向，在dk區(qū)間的狀態(tài)數(shù)區(qū)間的狀態(tài)數(shù) k andk 22 10 2 ( ) ( ) 4( ) s s s dZN N E dEk JEkJ 能帶密度能帶密度 T=0K的費(fèi)密能級(jí)計(jì)

16、算的費(fèi)密能級(jí)計(jì)算 總的電子數(shù)總的電子數(shù) 0 0 ( )( ) F k E s E NN E dE k 0 0 22 10 2 ( ) 4( ) F k E s s E s N NdEk JEkJ 0 0101 0 2cos2 kss k EJJkaJJ 其中其中 0 01 11 2 arcsinarcsin 222 Fs EJJ JJ 0 0 0 1 2arcsin 2 F k E s s E EJ J 0 0Fs EJT=0K的費(fèi)密能級(jí)的費(fèi)密能級(jí) 1 ( ) N N E J T=0K費(fèi)密能級(jí)處的能態(tài)密度費(fèi)密能級(jí)處的能態(tài)密度 202 10 2 ( ) 4() Fs N N E JEJ 由于能帶

17、的交疊，能帶由于能帶的交疊，能帶1中的部分電子轉(zhuǎn)移到能帶中的部分電子轉(zhuǎn)移到能帶2中，而中，而 在能帶在能帶1中形成空穴，討論中形成空穴，討論 時(shí)的費(fèi)密能級(jí)時(shí)的費(fèi)密能級(jí) 其中其中 為能帶為能帶1的帶頂，的帶頂， 為能帶為能帶2的帶底的帶底 18、 半金屬交疊的能帶半金屬交疊的能帶 22 111 1 2 2 22002 2 ( )(0),0.18 2 ( )()() ,0.06 2 k E kEmm m E kE kkkmm m 1(0) E 20 ()E k 120 (0)()0.1EE keV 0TK 解：半金屬的能帶解：半金屬的能帶1和能帶和能帶2 22 11 1 2 2 2200 2 (

18、)(0) 2 ( )()() 2 k E kE m E kE kkk m 能帶能帶1的能態(tài)密度的能態(tài)密度 1 3 ( )2 (2 ) k VdS N E E 2 1 k k E m 111 2(0)( )/km EE k 111 2(0)( )/ kE EE km 2 1 3 111 4 ( )2 (2 )2(0)( )/ Vk N E EE km 3 1 2 111 22 22 ( )()(0)( ) (2 ) Vm N EEE k 1 3 ( )2 (2 ) k VdS N E E 同理能帶同理能帶2的能態(tài)密度的能態(tài)密度 3 2 2 2220 22 22 ( )()( )() (2 ) V

19、m NEE kE k 如果不發(fā)生能帶重合，電子剛好填滿一個(gè)能帶如果不發(fā)生能帶重合，電子剛好填滿一個(gè)能帶 由于能帶交疊，能帶由于能帶交疊，能帶1中的電子填充到能帶中的電子填充到能帶2中，滿足中，滿足 0 1(0) 0 2() 0 12 ( )( ) F Fk E E EE N E dENE dE 1(0) 0 3 1 2 11 22 22 ()(0)( ) (2 ) F E E Vm EE k dE 0 2() 0 3 2 2 220 22 22 ()( )() (2 ) F k E E Vm E kE k dE 0 1(0) 0 2() 0 3/23/23/23/2 1112220 (0)(

20、)( )() F Fk EE EE mEE kmE kE k 00 11220 (0)() FF m EEm EE k 0 11220 12 (0)() F m Em E k E mm 12 0.18,0.06mm mm 120 (0)()0.1EE keV 0 20 ()0.075 F EE keV 19、 設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)場(chǎng)設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)場(chǎng) ) 2 cos() 2 cos(4),(y a x a UyxU 用近自由電子近似的微擾論用近自由電子近似的微擾論 近似求出在布里淵頂角近似求出在布里淵頂角( /a, /a)處的能隙處的能隙 解：晶體布里淵頂角解：晶體布里淵頂角( /

21、a, /a)處的能隙處的能隙 11 2VEg 近自由電子近似中，勢(shì)能函數(shù)的第近自由電子近似中，勢(shì)能函數(shù)的第n個(gè)傅里葉系數(shù)個(gè)傅里葉系數(shù) a Gi dUe a nV n 0 2 )( 1 )( n Rr yxd dd n Gkk )(),( 2222 y a iy a ix a ix a i eeeeUyxU 晶體勢(shì)場(chǎng)晶體勢(shì)場(chǎng) 2211 ,anyanx n Rr )(),( 2211 2222 21 a i a i a i a i eeeeUU ) 2 cos() 2 cos(4),(y a x a UyxU a Gi dUe a nV n 0 2 )( 1 )( nxy kGkkk aa 22

22、nxy Gkk aa 布里淵區(qū)布里淵區(qū) 的頂角的頂角 21 bb 代入代入 yx a a a a bbi a a a i a i a i a i dde eeeeU a V yx yyxx ) 11 ()( 0 0 2222 2 1 2121 )( 1 xy kkk aa yx aa i a a a i a i a i a i dde eeeeU a V yx yyxx ) 22 ( 0 0 2222 2 1 )( 1 a a yx a i a i ddeeU a V yx 0 0 44 2 1 )1)(1 ( 1 UV 1 UE g 2 1 布里淵頂角布里淵頂角 處的能隙處的能隙),( aa

23、 解：將解：將 改寫為改寫為)( 2 22 2 yx kk m E 2 22 2 mE kk yx 給定能量，該方程在波矢給定能量，該方程在波矢k空間表示的是一個(gè)圓空間表示的是一個(gè)圓 2 2 )2( 2 L k空間，單位面積內(nèi)的狀態(tài)數(shù)空間，單位面積內(nèi)的狀態(tài)數(shù) 2 k 20、限制在邊長(zhǎng)為、限制在邊長(zhǎng)為L(zhǎng)的正方形中的的正方形中的N個(gè)電子個(gè)電子 )( 2 22 2 yx kk m E 1）求能態(tài)密度）求能態(tài)密度 2）求二維系統(tǒng)在絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能量）求二維系統(tǒng)在絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能量 電子的能量電子的能量 2 2 2 )2( 2k L Z E mL Z 2 2 2 2 mE k 半徑半徑 的圓內(nèi)的狀態(tài)

24、數(shù)的圓內(nèi)的狀態(tài)數(shù) dE mL dZ 2 2 能態(tài)密度能態(tài)密度 2 2 )( mL EN 能量能量 之間的狀態(tài)數(shù)之間的狀態(tài)數(shù)dEEE 能態(tài)密度能態(tài)密度 2 2 )( mL EN 能量能量 電子的數(shù)目電子的數(shù)目dEEEdEEfENdN)()( dEEf mL dN)( 2 2 0 2 2 0 2 2 0 F E E mL dE mL N F 絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能量絕對(duì)零度時(shí)的費(fèi)米能量 2 2 0 mL N EF 21、設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫成、設(shè)一維晶體的電子能帶可以寫成 )2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma kE 式中式中a為晶格常數(shù)，計(jì)算為晶格常數(shù)，計(jì)算 1)

25、能帶的寬度能帶的寬度 2) 電子在波矢電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度的狀態(tài)時(shí)的速度 3) 能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量 )2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma kE 解：解：1) 能帶的寬度的計(jì)算能帶的寬度的計(jì)算 能帶底部能帶底部0k0)0(E a k 2 2 2 )( maa E 能帶頂部能帶頂部 )0()(E a EE 能帶寬度能帶寬度 2 2 2 ma 電子的速度電子的速度 dk kdE kv )(1 )( )2sin 4 1 (sin)(kaka ma kv )2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma

26、kE 2) 電子在波矢電子在波矢k的狀態(tài)時(shí)的速度的狀態(tài)時(shí)的速度 2 *2 2 / E m k cos(1/2)cos2 m kaka * 2mm * 2 3 mm )2cos 8 1 cos 8 7 ()( 2 2 kaka ma kE 電子的有效質(zhì)量電子的有效質(zhì)量 有效質(zhì)量有效質(zhì)量 有效質(zhì)量有效質(zhì)量 3) 能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量能帶底部和能帶頂部電子的有效質(zhì)量 能帶底部能帶底部0k a k 能帶頂部能帶頂部 * 123 222 123 m m m m mmm 22、 設(shè)電子等能面為橢球設(shè)電子等能面為橢球 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 222 )( m k m k

27、m k kE , * qB m 外加磁場(chǎng)外加磁場(chǎng)B相對(duì)于橢球主軸方向余弦為相對(duì)于橢球主軸方向余弦為 1) 寫出電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程寫出電子的準(zhǔn)經(jīng)典運(yùn)動(dòng)方程 2) 證明電子繞磁場(chǎng)回轉(zhuǎn)頻率為證明電子繞磁場(chǎng)回轉(zhuǎn)頻率為 其中其中 恒定磁場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的基本方程恒定磁場(chǎng)中電子運(yùn)動(dòng)的基本方程( ) dk qv kB dt )( 1 )(kEkv k 3 2 3 2 2 2 2 2 1 2 1 2 222 )( m k m k m k kE 123 123 ( ) k EEE E kkkk kkk 222 123 123 123 ( ) k kkk E kkkk mmm 電子的速度電子的速度 電子能量電子能量 電子的速度電子的速度 123 123 123 ( ) kkk v kkkk mmm Bkvq dt kd )( 123 kkk 123 123123 123 ()() dkkkk qBkkkkkk dtmmm 磁感應(yīng)強(qiáng)度磁