數(shù)學(xué)競(jìng)賽資料

1、取，,則它的積分和為 由此可見積分和極限與他的取點(diǎn)有關(guān)，故d不可積。（2）riemann 可積，積分值為0對(duì)，在區(qū)間在區(qū)間0,1中，分母小于的有理數(shù)只有有限個(gè)，設(shè)不超過m個(gè)；令 ，任意分割0=；當(dāng)a=max，任意取點(diǎn)，它的積分和為，其中第一個(gè)和式是對(duì)小區(qū)間有分母小于的有理式求和，這有第二個(gè)和式是對(duì)小區(qū)間沒有分母小于的有理數(shù)求和，則有例3 求分析：利用定積分定義：原式= 2、n-l公式例1 0t,則_.分析：原式=96 例2、計(jì)算 分析：由及積分上下限為1,0則用變量代換，令原式= 又原式= 由形式 令原式= 注： 通過一個(gè)線性變換消去倍積分式中的一個(gè)因子。973 奇偶性、周期性、對(duì)稱性例1、試

2、確定一下三個(gè)積分的大小順序分析：的被積函數(shù)為奇函數(shù)，則的被積函數(shù)為偶函數(shù)且中的為奇，為偶函數(shù)，且小于0，則,所以。例2 求分析：原式=，其中令，則 原式=+=例3. 求分析：令 則故 原式= =例4. 計(jì)算：分析：利用對(duì)稱性 令，原式=故，原式=例5 設(shè)是連續(xù)函數(shù)，證明： 分析：由；函數(shù)值不變，則必有換元左邊= =左邊=右邊例6 求分析：原式= =例7 求其中e的閉區(qū)間0,4中使被積函數(shù)的有意義的一切值所成集合分析：原式= =2() =2() =4=例3計(jì)算分析：原式= 令 = =例9 計(jì)算： 分析：令原式=i ， 則i=， =且 所以 令， =則 故 =例10 已知， 分析：由于故4、不可有

3、n-l公式 （換元法，分部積分法）例1求（1） （2）分析(1)令，原式=故原式=（2）令 原式= =例2、求分析： 所以： 其中 例3設(shè)，計(jì)算分析：原式（令）=當(dāng)當(dāng)、例4計(jì)算： 分析：換元還原出原式移項(xiàng)原式= =原式故：原式=例5計(jì)算分析：原式=i=則其中又 故=則 2=積分上限函數(shù)+變換積分次序例6設(shè)，及求分析：用積分上限函數(shù) 故 =令則=例7設(shè)，求分析： = 5不直接用n-l公式的積分含三角函數(shù)的積分例1計(jì)算分析：令，原式= 則2=-原式=例2計(jì)算分析：原式=，故原式= 例3計(jì)算： 分析：令，原式=，故原式= 注意：含有參變量的積分法例 求分析：令，則= =所以： 由故 原式=6 廣義積

4、分（倒代換）例1 設(shè)為任意實(shí)數(shù)；計(jì)算分析：由被積函數(shù)形式可令，則 原式=例2計(jì)算： 分析：為無(wú)界點(diǎn)，故該積分為廣義積分，故原式=原式=例3計(jì)算分析：1、（部分分式法）因?yàn)?，?（1）所以 （2）（注：不能由（1）得，因?yàn)橛疫叺膬蓚€(gè)被積函數(shù)都不收斂，同樣（2）中兩個(gè)對(duì)數(shù)要合成一個(gè)對(duì)數(shù)，才可用n-l公式）2（倒代換）原式= 故原式=例4對(duì)參數(shù)p、q討論廣義積分的收斂性分析：令 分兩種情況（1） 當(dāng)q0時(shí)收斂 收斂 收斂（2） 當(dāng)q0時(shí)令r=-q，則由（1）知0p+r+1r,即qp+10,0p+1q 或 q0,q0，是一常數(shù)（其中l(wèi)ogx底數(shù)是不為1的任意常數(shù)）解：令 則=例9.計(jì)算分析：在處、0處

5、無(wú)定義，故為廣義積分，令x=2u。得 故 例10.設(shè) a，b均為常數(shù)，a-2，a0，求a，b為何值時(shí)，使得 解: 而 若 上述極限不存在，所以要等式成立，則必須有，那么，原式 例11.對(duì)，令 ，證明：證明：令 ，得 因?yàn)閟0,則 ，故對(duì)，有，所以 例12.證明積分 分解 分析：當(dāng)，令 ，顯然如果級(jí)數(shù)收斂，則原積分收斂，不難看出的符號(hào)是交錯(cuò)的，令，得 單調(diào)遞減 又 即 所以，單調(diào)遞減且趨向于0，滿足laibniz級(jí)數(shù)，則收斂 所以，本題主要把這個(gè)無(wú)限區(qū)間上的積分分成無(wú)窮段，構(gòu)成一個(gè)級(jí)數(shù)求和形式，然后通過對(duì)這個(gè)級(jí)數(shù)的分析，利用laibniz準(zhǔn)則知級(jí)數(shù)收斂，從而積分收斂，這也是證明廣義積分收斂的一種

6、方法。例13.計(jì)算(級(jí)數(shù)求解) 解： 又 故 三綜合題例1.已知積分，不是初等函數(shù)，試求，使是一個(gè)初等函數(shù)，并求該積分。解：法一;(常規(guī)方法) 原式 故 原式 法二：（待定系數(shù)法） 令 兩邊求導(dǎo)得. 例2.計(jì)算：分析： 由于 所以 原式 例3.設(shè) ，如果，且當(dāng)時(shí) ，求 分析： 設(shè) ,則由題設(shè)得： 由的 則代入得 由得 則 或 ，又即 ，故 ，例4.計(jì)算： 分析：令 ，則原式 故 原式例5.設(shè)，在內(nèi)恒有，且，記，則（ ）a. b. c. d.不確定分析：由得和，則 即 由taylar公式，故 例6.計(jì)算：的值，其中n為正整數(shù) 分析;猜想，該積分值與n無(wú)關(guān)，即即若故作差 若為0，則可得答案 令原式

7、，則 同理可求得： 例7.設(shè)是的一個(gè)原函數(shù)，且，求 解 由 由 故 或 （舍） 則 故 例8.求滿足下列性質(zhì)的曲線c：設(shè)為曲線上任一點(diǎn)，則由曲線，所圍成區(qū)域的面積a與曲線c和，所圍成的面積b相等（注：需加條件“”）解; 由題意得 ，則 b 由 a=b 又 代入上式，則 即 則 是的函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)得 ，由得 則有 ，則 即 即為所求 c為時(shí)，同理可得，c： 練習(xí)二1. 求定積分的值（分部積分 ）2. 求定積分 （變量代換 ，）3. 求定積分的值。（先求出遞推式，由遞推式得）4. 求定積分的值 （）5. 設(shè)常數(shù)，求 （積分區(qū)間分開 ）6. 求， ，：（1）繞軸；（2）繞軸；（3）繞的體積 （；）7. 已知，求的表達(dá)式。()8. _()9. _()10. _()11. 已知 ，且 ，求 （3）12. 設(shè)為的連續(xù)函數(shù)，且滿足方程，求及常數(shù)c ( ,)13. 設(shè)為的連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)， 求 （）14. 已知兩曲線與在點(diǎn)（0，0）