2018年高考數(shù)學(xué) 立體幾何中的向量方法教學(xué)案 理

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題44 立體幾何中的向量方法1.理解直線的方向向量及平面的法向量;2。能用向量語(yǔ)言表述線線、線面、面面的平行和垂直關(guān)系;3.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定理4。能用向量方法解決直線與直線，直線與平面,平面與平面的夾角的計(jì)算問題;5.了解向量方法在研究立體幾何問題中的應(yīng)用 1直線的方向向量與平面的法向量的確定（1）直線的方向向量:l是空間一直線，a，b是直線l上任意兩點(diǎn)，則稱為直線l的方向向量，與平行的任意非零向量也是直線l的方向向量(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè)a，b是平面內(nèi)兩不共線向量，n為平面的法向量，則求法向量的方程組為2用向量

2、證明空間中的平行關(guān)系(1）設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為1和2，則l1l2（或l1與l2重合)12v12。(2）設(shè)直線l的方向向量為,與平面共面的兩個(gè)不共線向量1和2，則l或l存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使x1y2（3）設(shè)直線l的方向向量為,平面的法向量為u,則l或luu0（4)設(shè)平面和的法向量分別為u1，u2，則u1u2u1u2.3用向量證明空間中的垂直關(guān)系（1)設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為1和2,則l1l212120(2)設(shè)直線l的方向向量為，平面的法向量為u，則luvu（3)設(shè)平面和的法向量分別為u1和u2，則u1u2u1u204空間向量與空間角的關(guān)系(1)設(shè)異面直線l1,l2的方向向量分

3、別為m1，m2，則l1與l2所成的角滿足cos _|cosm1,m2|(2)設(shè)直線l的方向向量和平面的法向量分別為m，n，則直線l與平面所成角滿足sin cosm，n|(3）求二面角的大?。?如圖，ab，cd是二面角l的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的直線，則二面角的大小_()如圖，n1,n2 分別是二面角l的兩個(gè)半平面,的法向量，則二面角的大小滿足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1與n2的夾角（或其補(bǔ)角)5點(diǎn)面距的求法如圖,設(shè)ab為平面的一條斜線段，n為平面的法向量，則b到平面的距離d高頻考點(diǎn)一利用空間向量證明平行問題【例1】 如圖所示,平面pad平面abcd，abcd為正方形

4、，pad是直角三角形,且paad2，e，f，g分別是線段pa，pd，cd的中點(diǎn)求證:pb平面efg。證明平面pad平面abcd，且abcd為正方形，ab，ap，ad兩兩垂直以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz，則a（0，0，0），b（2，0,0)，c（2，2，0），d(0，2，0)，p（0，0,2),e（0，0,1），f(0,1，1),g(1，2，0）法一（0，1，0)，(1，2，1)，設(shè)平面efg的法向量為n（x，y，z)，則即令z1,則n(1,0，1)為平面efg的一個(gè)法向量，（2,0，2），n0，n，pb面efg，pb平面efg.規(guī)律方法（1)恰當(dāng)建立坐標(biāo)系，準(zhǔn)確表示各

5、點(diǎn)與相關(guān)向量的坐標(biāo)，是運(yùn)用向量法證明平行和垂直的關(guān)鍵（2）證明直線與平面平行，只須證明直線的方向向量與平面的法向量的數(shù)量積為零，或證直線的方向向量與平面內(nèi)的不共線的兩個(gè)向量共面,或證直線的方向向量與平面內(nèi)某直線的方向向量平行,然后說明直線在平面外即可這樣就把幾何的證明問題轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算【變式探究】 如圖，平面pac平面abc，abc是以ac為斜邊的等腰直角三角形，e，f，o分別為pa，pb，ac的中點(diǎn)，ac16，papc10。設(shè)g是oc的中點(diǎn),證明：fg平面boe；證明如圖，連接op，papc,o是ac的中點(diǎn)，poac，又面pac面abc，po面abc，abc是以ac為斜邊的直角三角形,boa

6、c。所以點(diǎn)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以ob，oc，op所在直線為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系oxyz，則o（0，0,0)，a（0，8，0)，b(8，0,0)，c（0，8，0)，p(0，0，6），e（0,4，3），f(4,0，3)由題意,得g(0,4，0)因?yàn)?8，0，0），(0，4，3)，設(shè)n(x,y,z）為面boe的法向量，則n0,n0，令z4，得y3.所以平面boe的一個(gè)法向量n（0，3，4）由(4,4,3),得n0。又直線fg不在平面boe內(nèi)，所以fg平面boe。高頻考點(diǎn)二利用空間向量證明垂直問題【例2】如圖，在三棱錐pabc中，abac，d為bc的中點(diǎn),po平面abc，垂足o落在線段a

7、d上已知bc8,po4,ao3，od2. （1)證明:apbc；（2)若點(diǎn)m是線段ap上一點(diǎn)，且am3.試證明平面amc平面bmc.證明(1）如圖所示，以o為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線op為z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系oxyz。則o(0，0，0）,a（0,3，0)，b（4，2，0），c(4,2，0)，p(0,0，4)于是（0，3，4），(8，0，0),（0，3，4)(8,0，0）0，所以，即apbc。(2）由(1）知ap|5，又|am|3，且點(diǎn)m在線段ap上，又（4,5,0)，則（0，3，4)0,即apbm，又根據(jù)(1）的結(jié)論知apbc，ap平面bmc,于是am平面bmc.又am平面amc,故平面am

8、c平面bcm.規(guī)律方法（1）利用已知的線面垂直關(guān)系構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算其中靈活建系是解題的關(guān)鍵(2)其一證明線線垂直，只需要證明兩條直線的方向向量垂直；其二證明線面垂直，只需證明直線的方向向量與平面內(nèi)不共線的兩個(gè)向量垂直即可當(dāng)然也可證直線的方向向量與平面法向量平行其三證明面面垂直:證明兩平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能證明一個(gè)平面內(nèi)的一條直線的方向向量為另一個(gè)平面的法向量即可【變式探究】如圖，四棱柱abcda1b1c1d1的底面abcd是正方形，o為底面中心，a1o平面abcd，abaa1。證明：a1c平面bb1d1d。證明

9、由題設(shè)易知oa,ob，oa1兩兩垂直，以o為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖abaa1，oaoboa11，a(1，0，0）,b（0，1,0），c（1，0，0），d(0,1,0)，a1（0，0,1）由，易得b1(1，1，1）(1,0，1），（0，2，0)，（1，0,1)，0,0，a1cbd，a1cbb1，又bdbb1b，a1c平面bb1d1d。高頻考點(diǎn)三利用空間向量解決探索性問題【例3】 在四棱錐pabcd中，pd底面abcd,底面abcd為正方形，pddc,e，f分別是ab,pb的中點(diǎn)(1）求證：efcd；（2)在平面pad內(nèi)是否存在一點(diǎn)g,使gf平面pcb.若存在,求出點(diǎn)g坐標(biāo);若不存在，試說明

10、理由（1）證明如圖，以da，dc，dp所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)ada，則d（0，0，0)，a(a，0，0），b(a,a，0），c(0，a，0），e，p(0，0，a），f.，(0，a，0）0，,即efcd。規(guī)律方法對(duì)于“是否存在”型問題的探索方式有兩種:（1）根據(jù)題目的已知條件進(jìn)行綜合分析和觀察猜想，找出點(diǎn)或線的位置，然后再加以證明,得出結(jié)論；（2）假設(shè)所求的點(diǎn)或線存在，并設(shè)定參數(shù)表達(dá)已知條件,根據(jù)題目進(jìn)行求解，若能求出參數(shù)的值且符合已知限定的范圍，則存在這樣的點(diǎn)或線,否則不存在本題是設(shè)出點(diǎn)g的坐標(biāo)，借助向量運(yùn)算，判定關(guān)于p點(diǎn)的方程是否有解【變式探究】如圖所示,四棱錐

11、pabcd的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，pacd，pa1，pd，e為pd上一點(diǎn)，pe2ed。(1）求證：pa平面abcd；(2)在側(cè)棱pc上是否存在一點(diǎn)f，使得bf平面aec？若存在,指出f點(diǎn)的位置，并證明；若不存在，說明理由（1）證明paad1，pd，pa2ad2pd2，即paad.又pacd，adcdd，pa平面abcd。（2)解以a為原點(diǎn),ab,ad，ap所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系則a（0，0,0)，b（1，0，0）,c（1,1，0),p（0，0，1)，e,(1，1，0)，。設(shè)平面aec的法向量為n(x,y，z)，則即令y1,則n（1，1，2)假設(shè)側(cè)棱pc上存在一點(diǎn)f，且(

12、01)，使得bf平面aec，則n0.又（0，1,0）（，)（，1，），n120，存在點(diǎn)f,使得bf平面aec，且f為pc的中點(diǎn)。高頻考點(diǎn)四求異面直線所成的角【例4】 如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd是矩形，pa底面abcd，e是pc的中點(diǎn)已知ab2，ad2，pa2。求： (1）pcd的面積（2)異面直線bc與ae所成的角的大小解（1）因?yàn)閜a底面abcd,所以pacd。又adcd，所以cd平面pad,從而cdpd。因?yàn)閜d2，cd2，所以pcd的面積為222。(2)法一如圖1，取pb中點(diǎn)f,連接ef，af,則efbc，從而aef(或其補(bǔ)角）是異面直線bc與ae所成的角在aef中,由于e

13、f,af，aepc2.則aef是等腰直角三角形，所以aef.因此，異面直線bc與ae所成的角的大小是.法二如圖2,建立空間直角坐標(biāo)系，則b（2，0，0),c(2，2，0），e（1，1)，(1，1），(0，2,0)設(shè)與的夾角為，則cos ，所以.由此可知，異面直線bc與ae所成的角的大小是.規(guī)律方法本題可從兩個(gè)不同角度求異面直線所成的角，一是幾何法：作-證算；二是向量法:把角的求解轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,應(yīng)注意體會(huì)兩種方法的特點(diǎn)，“轉(zhuǎn)化是求異面直線所成角的關(guān)鍵，一般地,異面直線ac，bd的夾角的余弦值為cos .【變式探究】 如右圖所示正方體abcdabcd，已知點(diǎn)h在abcd的對(duì)角線bd上，hda60

14、。求dh與cc所成的角的大小解如圖所示,以d為原點(diǎn)，da為單位長(zhǎng)度建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則(1，0，0)，（0，0，1）設(shè)(m,m，1）(m0)，由已知，,60由| cos,可得2m，解得m， cos，,45,即dh與cc所成的角為45.高頻考點(diǎn)五利用空間向量求直線與平面所成的角【例5】 （2014北京卷）如圖，正方形amde的邊長(zhǎng)為2，b,c分別為am,md的中點(diǎn)在五棱錐pabcde中，f為棱pe的中點(diǎn)，平面abf與棱pd，pc分別交于點(diǎn)g，h. （1）求證：abfg；(2)若pa底面abcde，且paae.求直線bc與平面abf所成角的大小，并求線段ph的長(zhǎng)(1)證明在正方形amde

15、 中，因?yàn)閎是am的中點(diǎn)，所以abde。又因?yàn)閍b平面pde，所以ab平面pde。因?yàn)閍b平面abf，且平面abf平面pdefg,所以abfg.（2）解因?yàn)閜a底面abcde，所以paab，paae.如圖建立空間直角坐標(biāo)系axyz，則a(0,0,0)，b(1，0，0),c(2,1，0)，p(0，0，2)，f(0，1，1），（1，1，0)設(shè)點(diǎn)h的坐標(biāo)為（u，v,w)因?yàn)辄c(diǎn)h在棱pc上，所以可設(shè)（01)，即(u，v，w2）（2,1，2），所以u(píng)2，v，w22.因?yàn)閚是平面abf的法向量，所以n0，即(0，1，1)（2，22)0.解得，所以點(diǎn)h的坐標(biāo)為.所以ph2.規(guī)律方法利用向量求線面角的方法:（

16、1)分別求出斜線和它所在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，轉(zhuǎn)化為求兩個(gè)方向向量的夾角（或其補(bǔ)角)；(2）通過平面的法向量來(lái)求，即求出斜線的方向向量與平面的法向量所夾的銳角，取其余角就是斜線和平面所成的角【變式探究】 （2014福建卷）在平面四邊形abcd中，abbdcd1,abbd，cdbd，將abd沿bd折起，使得平面abd平面bcd，如圖 （1)求證：abcd；（2）若m為ad中點(diǎn)，求直線ad與平面mbc所成角的正弦值（1）證明平面abd平面bcd,平面abd平面bcdbd,ab平面abd,abbd,ab平面bcd.又cd平面bcd，abcd。（2)解過點(diǎn)b在平面bcd內(nèi)作bebd,如圖由(1）

17、知ab平面bcd,be平面bcd，bd平面bcd,abbe,abbd.以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，,的方向?yàn)閤軸，y 軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系依題意，得b(0,0，0），c（1，1，0），d（0,1，0）,a（0，0，1），m，則(1,1,0），(0，1，1）設(shè)平面mbc的法向量為n(x0，y0，z0），則即取z01,得平面mbc的一個(gè)法向量為n（1，1，1）設(shè)直線ad與平面mbc所成角為,則 sin | cosn,即直線ad與平面mbc所成角的正弦值為。高頻考點(diǎn)六利用空間向量求二面角【例6】 （2014廣東卷）如圖,四邊形abcd為正方形，pd平面abcd，dpc30,afpc于點(diǎn)f,

18、fecd，交pd于點(diǎn)e。（1）證明:cf平面adf；(2）求二面角dafe的余弦值 （2）解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)d為坐標(biāo)原點(diǎn),設(shè)dc1。由于dpc30，pdcd，所以pc2,pd。由于cffd，fecd，所以 df，de，ef.從而d,a，c，f,e五點(diǎn)的坐標(biāo)分別為d（0，0，0）,a(0,0，1），c(0,1,0),f,e.計(jì)算得，(0，0)設(shè)平面aef的法向量為n1（x1，y1，z1),則n1，n1，因此取x14，則n1（4，0，)為平面aef的一個(gè)法向量由于cf平面adf，故平面adf的一個(gè)法向量n2(,1，0）由圖可見所求二面角的余弦值為 cos .規(guī)律方法求二面角最常用的

19、方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角【變式探究】 （2014遼寧卷)如圖,abc和bcd所在平面互相垂直，且abbcbd2，abcdbc120，e，f分別為ac,dc的中點(diǎn) （1）求證：efbc；(2)求二面角ebfc的正弦值 （1）證明由題意，以b為坐標(biāo)原點(diǎn)，在平面dbc內(nèi)過b作垂直bc的直線為x軸，bc所在直線為y軸，在平面abc內(nèi)過b作垂直bc的直線為z軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系易得b（0，0，0)，a(0，1，），d(，1，0），c(0，2，0)因而e，f。所以，（0，2，0)，

20、因此0.從而,所以efbc.（2）解平面bfc的一個(gè)法向量為n1(0,0，1)設(shè)平面bef的法向量n2（x，y，z），又，.由得其中一個(gè)n2(1,1)設(shè)二面角ebfc大小為，且由題意知為銳角,則 cos | cos，又，n(0,180），n60，直線bc與平面pac所成的角為906030.6如圖,正方體abcda1b1c1d1的棱長(zhǎng)為1，e，f分別是棱bc，dd1上的點(diǎn)，如果b1e平面abf，則ce與df的和的值為_答案17。在正方體abcda1b1c1d1中,p為正方形a1b1c1d1四邊上的動(dòng)點(diǎn)，o為底面正方形abcd的中心，m，n分別為ab，bc的中點(diǎn)，點(diǎn)q為平面abcd內(nèi)一點(diǎn),線段d1

21、q與op互相平分，則滿足的實(shí)數(shù)有_個(gè)答案2解析建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的邊長(zhǎng)為2，則p(x，y,2)，o(1，1，0），op的中點(diǎn)坐標(biāo)為，又知d1（0,0，2），q（x1,y1，0)，而q在mn上,xqyq3，xy1，即點(diǎn)p坐標(biāo)滿足xy1.有2個(gè)符合題意的點(diǎn)p，即對(duì)應(yīng)有2個(gè)。8如圖,在四棱錐sabcd中,sa平面abcd，底面abcd為直角梯形，adbc，bad90，且ab4，sa3。e，f分別為線段bc，sb上的一點(diǎn)(端點(diǎn)除外)，滿足,當(dāng)實(shí)數(shù)的值為_時(shí),afe為直角答案解析因?yàn)閟a平面abcd,bad90,故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz.ab4，sa3，b(0,4,0),

22、s(0,0，3)設(shè)bcm，則c(m,4，0)，。(）(）(0，4，3），f(0，)同理可得e(，4,0)，（,，)(0，,)，要使afe為直角，即0，則00，169，解得。9.如圖，四棱錐pabcd的底面為正方形，側(cè)棱pa底面abcd,且paad2，e,f，h分別是線段pa，pd，ab的中點(diǎn)求證：(1)pb平面efh;（2）pd平面ahf.證明建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系axyz。a（0,0,0），b(2，0，0），c（2,2,0），d（0，2,0），p（0,0，2)，e(0,0,1），f(0，1,1），h(1,0,0)(1）（2,0,2),（1，0，1)，2，pbeh.pb平面efh,且eh平面efh，pb平面efh.10。如圖，四邊形abcd為正方形,pd平面abcd,pdqa，qaabpd。證明:平面pqc平面dcq.證明如圖，以d為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段da的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線da、dp、dc分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系dxyz.依題意有q(1，1,0），c(0,0，1），p（0，2,0），則(1,1，0），(0，0，1)，(1，1,0）0，0.即pqdq，pqd