2020-2021高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差素養(yǎng)檢測新人教A版選擇性必修第三冊

1、2020-2021高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差素養(yǎng)檢測新人教a版選擇性必修第三冊2020-2021高中數(shù)學(xué) 第七章 隨機(jī)變量及其分布 7.3.2 離散型隨機(jī)變量的方差素養(yǎng)檢測新人教a版選擇性必修第三冊年級：姓名：十二離散型隨機(jī)變量的方差(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共30分,多選題全部選對得5分,選對但不全對得3分,有選錯的得0分)1.(多選題)若隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布,其中p=,e(x),d(x)分別為隨機(jī)變量x的均值與方差,則下列結(jié)論正確的是()a.p(x=1)=e(x)b.e(3x+2)=4c.d(3x+2)=4d.d=【解析】選ab.

2、隨機(jī)變量x服從兩點(diǎn)分布,其中p=,所以p(x=1)=,e(x)=0+1=,d(x)=+=,在a中,p(x=1)=e(x),故a正確;在b中,e(3x+2)=3e(x)+2=3+2=4,故b正確;在c中,d(3x+2)=9d(x)=9=2,故c錯誤;在d中,d(x)=,故d錯誤.2.已知隨機(jī)變量的分布列如表,則的標(biāo)準(zhǔn)差為()135p0.40.1xa.3.56b.c.3.2d.【解析】選d.由分布列的性質(zhì)得:0.4+0.1+x=1,解得:x=0.5,所以e=10.4+30.1+50.5=3.2,所以d=0.4+0.1+0.5=3.56,所以的標(biāo)準(zhǔn)差為=.3.隨機(jī)變量的分布列如下表,且e()=1.1

3、,則d()=()01xppa.0.36b.0.52c.0.49d.0.684【解析】選c.先由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)求得p=.由e()=0+1+x=1.1,得x=2,所以d()=(0-1.1)2+(1-1.1)2+(2-1.1)2=0.49.4.設(shè)隨機(jī)變量x的概率分布為p=,i=1,2,3,則d等于()a.b.c.1d.2【解析】選b.因?yàn)閜(x=i)=,i=1,2,3,所以e(x)=1+2+3=2,d(x)=(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2=.5.已知隨機(jī)變量x的取值為1,2,3,若p=,e=,則d=()a.b.c.d.【解析】選c.設(shè)p(x=1)=p,p(x=2)=q,因?yàn)閑(x)=

4、p+2q+3=,又因?yàn)?p+q=1,由得,p=,q=,所以d(x)=+=.6.袋子里有5個不同的小球,編號分別為1,2,3,4,5,從袋中一次取出三個球,記隨機(jī)變量是取出球的最大編號與最小編號的差,數(shù)學(xué)期望為e,方差為d(),則下列選項(xiàng)正確的是()a.e=2,d=0.6b.e=2,d()=0.4c.e()=3,d=0.4d.e=3,d=0.6【解析】選d.從5個球中取3個球,共有=10種取法,其組合分別為(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5),所以隨機(jī)變量的可能取值為4,3,

5、2,p(=4)=,p(=3)=,p(=2)=.所以e()=4+3+2=3,d()=(4-3)2+(3-3)2+(2-3)2=0.6.二、填空題(每小題5分,共10分)7.有兩臺自動包裝機(jī)甲與乙,包裝質(zhì)量分別為隨機(jī)變量x1,x2,已知e(x1)=e(x2),d(x1)d(x2),則自動包裝機(jī)的包裝質(zhì)量較好.【解析】因?yàn)閑(x1)=e(x2),d(x1)d(x2),故乙包裝機(jī)的包裝質(zhì)量穩(wěn)定.答案:乙8.若隨機(jī)變量x的分布列如表,且e=2,則d(2x-3)的值為.x02app【解析】由題意可得:+p+=1,解得p=,因?yàn)閑(x)=2,所以0+2+a=2,解得a=3.所以d(x)=(0-2)2+(2-

6、2)2+(3-2)2=1.所以d(2x-3)=4d(x)=4.答案:4三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知隨機(jī)變量x的分布列為x01xpp若e=.(1)求d的值;(2)若y=3x-2,求d的值.【解析】(1)由題意可得+p=1,得p=,又e=0+1+x=,解得x=2.所以d=+2-2=.(2)因?yàn)閥=3x-2,所以d=d=9d=9=5.10.根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn),某工程施工期間的降水量x(單位:mm)對工期的影響如表:降水量xx300300x700700x900x900工期延誤天數(shù)y02610歷年氣象資料表明,該工程施工期間降水量x小于300,700,900的概率分別為0.3,0.7,0.9

7、,求:(1)在降水量x至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率;(2)工期延誤天數(shù)y的均值與方差.【解析】(1)由題意可得p=1-p(x300)=1-0.3=0.7,x300且工期延誤不超過6天的概率為p=p=p(x900)-p=0.9-0.3=0.6,因此,在降水量x至少是300的條件下,工期延誤不超過6天的概率為p=;(2)由題意可知p=0.3,p=p-p=0.7-0.3=0.4,p=p-p=0.9-0.7=0.2,p=1-p=1-0.9=0.1.所以,隨機(jī)變量y的分布列如表所示:y02610p0.30.40.20.1所以e=00.3+20.4+60.2+100.1=3,d=0.3+

8、0.4+0.2+0.1=9.8.所以,工期延誤天數(shù)y的均值為3,方差為9.8.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共20分,多選題全部選對得5分,選對但不全對得3分,有選錯的得0分)1.已知的分布列為-101p則在下列各式,e()=-;d()=;p(=0)=中,正確的個數(shù)是()a.0b.1c.2d.3【解析】選c.由題意,根據(jù)隨機(jī)變量的分布列的期望與方差的計算公式可得:e=(-1)+0+1=-,所以正確;d=+=,所以不正確;又由分布列可知p(=0)=,所以正確.2.一個袋中放有大小、形狀均相同的小球,其中紅球1個、黑球2個,現(xiàn)隨機(jī)等可能取出小球,當(dāng)有放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球

9、數(shù)為1;當(dāng)無放回依次取出兩個小球時,記取出的紅球數(shù)為2,則()a.e(1)e(2),d(1)d(2)c.e(1)=e(2),d(1)e(2),d(1)d(2)【解析】選b.1可能的取值為0,1,2;2可能的取值為0,1,p=,p=,p=1-=,故e(1)=,d(1)=02+22+12-=.p=,p=,故e(2)=,d(2)=02+12-=,故e(1)=e(2),d(1)d(2).3.(多選題)設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為x01234pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量y滿足y=2x+1,則下列結(jié)果正確的有()a.q=0.1b.e(x)=2,d(x)=1.4c.e(x)=2,d(x)=1

10、.8d.e(y)=5,d(y)=7.2【解析】選acd.因?yàn)閝+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以q=0.1,故a正確;又e(x)=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2,d(x)=(0-2)20.1+(1-2)20.4+(2-2)20.1+(3-2)20.2+(4-2)20.2=1.8,故c正確;因?yàn)閥=2x+1,所以e(y)=2e(x)+1=5,d(y)=4d(x)=7.2,故d正確.4.已知a,br,隨機(jī)變量x,y的分布列是x-101paby-101pab則隨著a的增大,d()a.一直增大b.一直減小c.先增大后減小d.先減小后增大【解析】選c.由題意得a+b=,即b

11、=-a,所以e(x)=(-1)+0a+1b=b-=-a,d(x)=+a+b=+aa-2+-a=-a2-a+,e(y)=(-1)a+0b+1=-a,d(y)=a+b+=a+=-a2+a+,因?yàn)閤,y相互獨(dú)立,所以d(x+y)=d(x)+d(y)=-2a2+a+=-2+,因?yàn)?a,所以當(dāng)0a時,d(x+y)隨a的增大逐漸增大;當(dāng)a時,d(x+y)隨a的增大逐漸減小.二、填空題(每小題5分,共20分)5.已知隨機(jī)變量的分布列為:123p0.5xy若e()=,則d()=.【解析】由e()=10.5+2x+3y=,整理得:2x+3y=,又由0.5+x+y=1,即x+y=,所以x=,y=,d()=0.5+

12、=.答案:6.已知不透明口袋中裝有除顏色外其余完全相同的2個白球和3個黑球,現(xiàn)從中隨機(jī)取出一球,再換回一個不同顏色的球(即若取出的是白球,則放回一個黑球;若取出的是黑球,則放回一個白球).記換好后袋中的白球個數(shù)為x,則x的數(shù)學(xué)期望e(x)=,方差d(x)=.【解析】依題意可知x的可能取值為1,3,且p=,p=.故x的分布列為x13p所以e=1+3=,d=+=.答案:7.已知隨機(jī)變量x的分布列為x012pa2ab當(dāng)d(x)最大時,e(x)=.【解析】由題知b=1-3a,所以e(x)=2a+2(1-3a)=2-4a,d(x)=(4a-2)2a+(4a-1)22a+(4a)2(1-3a)=-16a2

13、+6a,故當(dāng)a=時d(x)最大,此時e(x)=.答案:8.隨機(jī)變量x的概率分布為p(x=n)=(n=1,2,3),其中a是常數(shù),則d=.【解析】由題意得+=a=a=1,則a=,所以p=,p=,p=,則e(x)=+=,d(x)=+=,所以d(ax)=a2d(x)=.答案:三、解答題(每小題10分,共20分)9.某商場經(jīng)銷某商品,根據(jù)以往資料統(tǒng)計,顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345p0.20.30.30.10.1商場經(jīng)銷一件該商品,采用1期付款,其利潤為200元;分2期或3期付款,其利潤為300元;分4期或5期付款,其利潤為400元,表示經(jīng)銷一件該商品的利潤.(1)求事件a:“購買該商品的3位

14、顧客中,至少有1位采用1期付款”的概率p;(2)求的分布列、期望和方差.【解析】(1)購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款的對立事件是購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款,由a表示事件“購買該商品的3位顧客中至少有1位采用1期付款”,知表示事件“購買該商品的3位顧客中無人采用1期付款”.p=0.512,所以p=1-p=1-0.512=0.488;(2)根據(jù)顧客采用的付款期數(shù)的分布列對應(yīng)于的可能取值為200元,300元,400元.得到變量對應(yīng)的事件的概率p=p=0.2,p=p+p=0.3+0.3=0.6,p=p+p=0.1+0.1=0.2,的分布列為200300400p0.20.60.

15、2所以e=2000.2+3000.6+4000.2=300,所以d=0.2+0.6+0.2=4 000.10.今年情況特殊,小王在居家自我隔離時對周邊的水產(chǎn)養(yǎng)殖產(chǎn)業(yè)進(jìn)行了研究.a,b兩個投資項(xiàng)目的利潤率分別為投資變量x和y.根據(jù)市場分析,x和y的分布列分別為:x5%10%p0.80.2y2%8%12%p0.20.50.3 (1)若在a,b兩個項(xiàng)目上各投資100萬元,和分別表示投資項(xiàng)目a和b所獲得的利潤,求方差d(),d();(2)若在a,b兩個項(xiàng)目上共投資200萬元,那么如何分配,能使投資a項(xiàng)目所得利潤的方差與投資b項(xiàng)目所得利潤的方差的和最小,最小值是多少?(注:d=a2d(x)【解析】(1)由題知,的分布列分別為:510p0.80