第4章離散傅里葉變換

1、2021-6-20第4章離散傅里葉變換 第第4章章 圖像變換圖像變換 n4.2 離散余弦變換離散余弦變換 n4.3 K-L變換變換 n4.4 小波變換小波變換 2 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 第第4章章 圖像變換圖像變換 為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析，常常需為了有效和快速地對(duì)圖像進(jìn)行處理和分析，常常需 要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他要將原定義在圖像空間的圖像以某種形式轉(zhuǎn)換到其他 空間，并且利用圖像在這個(gè)空間的特有性質(zhì)進(jìn)行處理，空間，并且利用圖像在這個(gè)空間的特有性質(zhì)進(jìn)行處理， 然后通過(guò)逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。然后通過(guò)逆變換操作轉(zhuǎn)換到圖像空間。 本章討論圖像變

2、換重點(diǎn)介紹圖像處理中常用的正交本章討論圖像變換重點(diǎn)介紹圖像處理中常用的正交 變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。變換，如傅里葉變換、離散余弦變換和小波變換等。 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 設(shè)設(shè)f(x)f(x)為為x x的函數(shù)，如果的函數(shù)，如果f(x)f(x)滿足下面的狄里赫萊條件：滿足下面的狄里赫萊條件： (1)(1)具有有限個(gè)間斷點(diǎn)；具有有限個(gè)間斷點(diǎn)； (2)(2)具有有限個(gè)極值點(diǎn)；具有有限個(gè)極值點(diǎn)； (3)(3)絕對(duì)可積。絕對(duì)可積。 則定義則定義f(x)f(x)的傅里葉變換為：的傅里葉變換為： dxexfuF uxj2 )()( 4 2021-6-20第4章離散傅里葉

3、變換 從從F(u)F(u)恢復(fù)恢復(fù)f(x)f(x)稱為傅里葉反變換，定義為：稱為傅里葉反變換，定義為： dueuFxf uxj2 )()( 上述二式形成傅里葉變換對(duì)，記做上述二式形成傅里葉變換對(duì)，記做 ： )()(uFxf 函數(shù)函數(shù)f(x)f(x)的傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)數(shù)，它可以由下式表示：的傅里葉變換一般是一個(gè)復(fù)數(shù)，它可以由下式表示： F(u)=R(u)+jI(u)F(u)=R(u)+jI(u) R(u),I(u) R(u),I(u)分別為分別為F(u)F(u)的實(shí)部和虛部。的實(shí)部和虛部。 寫成指數(shù)形式：寫成指數(shù)形式： ju F uF u e 5 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 F

4、(u)為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角：為復(fù)平面上的向量，它有幅度和相角： 幅度： 2/122 )()(| )(|uIuRuF 相角： )( )( arctan)( uR uI u 幅度函數(shù)|F(u)|稱為f(x)的傅里葉譜或頻率譜，(u)稱為 相位譜。 )()(| )(|)( 222 uIuRuFuE 稱為f(x)的能量譜或稱為功率譜。 6 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2. 2.二維連續(xù)傅里葉變換二維連續(xù)傅里葉變換 傅里葉變換可以推廣到兩個(gè)變量連續(xù)可積的函數(shù)傅里葉變換可以推廣到兩個(gè)變量連續(xù)可積的函數(shù) f(x,y)f(x,y)若若f(x,y)f(x,y)滿足狄里赫萊條件，則存在如下

5、傅里葉滿足狄里赫萊條件，則存在如下傅里葉 變化對(duì)：變化對(duì)： ),(),(),( 22 vuIvuRvuE dxdyeyxfvuF vyuxj)(2 ),(),( 二維函數(shù)的傅里葉譜、相位和能量譜分別表示為： ),(),(| ),(| 22 vuIvuRvuF ),( ),( arctan),( vuR vuI vu dudvevuFyxf vyuxj)(2 ),(),( 7 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 1.1.一維離散傅里葉變換一維離散傅里葉變換 對(duì)一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x)等間隔采樣可得到一個(gè)離散序列。 設(shè)共采了N個(gè)點(diǎn)，則這個(gè)離散序列可表示為 f(0),f(1),f(N-1)。借助這種

6、表達(dá)，并令x為離散空域 變量，u為離散頻率變量，可將離散傅里葉變換定義為： 2 1 0 ( )( ) ux N j N x F uf x e 8 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 傅里葉反變換定義由表示：傅里葉反變換定義由表示： 2 1 0 1 ( )( ) ux N j N u f xF u e N 可以證明離散傅里葉變換對(duì)總是存在的。 其傅里葉譜、相位和能量譜如下： 2/122 )()(| )(|uIuRuF )( )( arctan)( uR uI u )()(| )(|)( 222 uIuRuFuE 9 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2.2.離散傅里葉變換（離散傅里葉變

7、換（DFTDFT）的矩陣表示法）的矩陣表示法 由由DFTDFT的定義，的定義，N N4 4的原信號(hào)序列的原信號(hào)序列 f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)f(x)=f(0),f(1),f(2),f(3)的傅里葉變換的傅里葉變換F(u)F(u)展開為：展開為： 0000 0:(0) (0)(1)(2)(3)uFfefefefe 23 22 0 2 1:(1) (0)(1)(2)(3) jj j uFfefefefe 46 22 2 0 2 2:(2) (0)(1)(2)(3) jj j uFfefefefe 69 22 3 0 2 3:(3) (0)(1)(2)(3) jj j uFf

8、efefefe 10 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 將將e指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)可寫成矩陣形式：指數(shù)項(xiàng)化簡(jiǎn)可寫成矩陣形式： 0000 3 0 22 00 3 0 22 (0)(0) (1)(1) (2)(2) (3)(3) jj j jj jj j eeee Ff Ffeeee Ffeeee Ff eeee 記作： FWf 可用復(fù)平面的單位圓來(lái)求W的各元素。如圖4-1所示。當(dāng)N=4時(shí)， 參看圖4.1(a)。 把單位圓分為N=4份，則正變換矩陣第u行每次移動(dòng)u份得到該 行系數(shù)。 11 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 0 4 W 1 4 W 2 4 W 3 4 W 0 8 W 1 8 W 2

9、 8 W 3 8 W 4 8 W 5 8 W 6 8 W 7 8 W (a) (b) 圖4.1 復(fù)平面單位圓 (a)N4 (b)N8 12 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 0000 0123 0202 0321 1111 11 1111 11 WWWW jjWWWW WWWW jjWWWW 同理N=8見(jiàn)圖4-1(b)的單位圓。N=8的W陣應(yīng)把單位圓分 為8份，順時(shí)順次轉(zhuǎn)0份,1份、,7份，可得W陣為: 13 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 00000000 01234567 02460246 03614725 04040404 05274163 06420642 0765432

10、1 11111111 1111 11 2222 1111 jjjj jj WWWWWWWW WWWWWWWW jjj WWWWWWWW WWWWWWWW W WWWWWWWW WWWWWWWW WWWWWWWW WWWWWWWW 1111 11 2222 11111111 1111 11 2222 1111 1111 11 2222 j jjjj jj jjjj jj jjjj jjjj jj 14 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2.2.二維離散傅里葉變換二維離散傅里葉變換 一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此， 數(shù)字圖像處理主要

11、是二維數(shù)據(jù)處理。數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。 如果一幅二維離散圖像如果一幅二維離散圖像f(x,y)f(x,y)的大小為的大小為M M* *N N，則二，則二 維傅里葉變換可用下面二式表示。維傅里葉變換可用下面二式表示。 11 2 () 00 0,1,2,1 ( , )( , ) 0,1,2,1 uxvy MN j MN xy uM F u vf x y e vN 11 2 () 00 0,1,2,1 1 ( , )( , ) 0,1,2,1 uxvy MN j MN uv xM f x yF u v e yNMN 15 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 在圖像處理中，一般總是選擇方形

12、陣列，所以通常情在圖像處理中，一般總是選擇方形陣列，所以通常情 況下總是況下總是M=NM=N。正逆變換對(duì)具有下列對(duì)稱的形式：。正逆變換對(duì)具有下列對(duì)稱的形式： 11 2 () 00 1 ( , )( , ),0,1,2,1 ux vy NN j N xy F u vf x y eu vN N 11 2 () 00 1 ( , )( , ),0,1,2,1 ux vy NN j N uv f x yF u v ex yN N 16 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 3. 3.二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 二維離散傅里葉變換有一些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為二維離散傅里葉變換有一

13、些重要的性質(zhì)，這些性質(zhì)為 使用提供了極大的方便。使用提供了極大的方便。 1 1）分離性）分離性 二維離散傅里葉變換具有分離性二維離散傅里葉變換具有分離性 11 2 () 00 1 ( , )( , ) ux vy NN j N xy F u vf x y e N 11 22 00 1 ( , ) uxvy NN jj NN xy ef x y e N 1 2 0 1 ( , ) ux N j N x F x v e N 1 2 0 1 ( , )( , ) vy N j N y F x vNf x y e N 17 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 分離性質(zhì)的主要優(yōu)點(diǎn)是可借助一系列一維傅

14、里葉變換分兩步 求得F(u,v)。第1步，沿著f(x,y)的每一行取變換，將其結(jié)果 乘以1/N,取得二維函數(shù)F(x,v);第2步，沿著F(x,v)的每一列 取變換，再將結(jié)果乘以1/N,就得到了F(u,v)。這種方法是先 行后列。如果采用先列后行的順序，其結(jié)果相同。 如圖4.6所示。 18 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 (0,0) f(x,y) N-1 N-1 x y (0,0) F(x,v) N-1 N-1 v x (0,0) F(u,v) N-1 N-1 v u 行變換列變換 圖4.6 把二維傅里葉變換作為一系列一維的計(jì)算方法 19 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 對(duì)逆變換

15、對(duì)逆變換f(x,y)也可以類似地分兩步進(jìn)行。也可以類似地分兩步進(jìn)行。 11 2 () 00 11 22 00 1 2 0 ( , )( , ) ( , ) ( , ) uxvy MN j MN uv uxvy NN jj NN uv ux N j N u f x yF u v e eF u v e f u y e 20 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 2 2）平移性）平移性 傅里葉變換和逆變換對(duì)的位移性質(zhì)是指：傅里葉變換和逆變換對(duì)的位移性質(zhì)是指： )(2 00 00 ),(),( N yvxu j eyxfvvuuF N vyux j evuFyyxxf 00 2 00 ),(),(

16、由f(x,y)乘以指數(shù)項(xiàng)并取其乘積的傅立葉變換，使頻率 平面的原點(diǎn)位移至(u0,v0)。同樣地，以指數(shù)項(xiàng)乘以F(u,v)并 取其反變換，將空間域平面的原點(diǎn)位移至(x0,y0)。當(dāng) u0=v0=N/2時(shí)，指數(shù)項(xiàng)為： 00 2 () ()() ( 1) u x v y j jx yx y N ee 21 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 即為即為：) 2 , 2 () 1)(,( )( N v N uFyxf yx 這樣，用（-l）(x+y)乘以f(x,y)就可以將f(x,y)的傅里 葉變換原點(diǎn)移動(dòng)到N*N頻率方陣的中心，這樣才能看到整個(gè) 譜圖。另外，對(duì)f(x,y)的平移不影響其傅里葉變換的

17、幅值。 此外，與連續(xù)二維傅里葉變換一樣，二維離散傅里葉變 換也具有周期性、共軛對(duì)稱性、線性、旋轉(zhuǎn)性、相關(guān)定理、 卷積定理、比例性等性質(zhì)。這些性質(zhì)在分析及處理圖像時(shí)有 重要意義。 22 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 3.DFT 3.DFT應(yīng)用中的問(wèn)題應(yīng)用中的問(wèn)題 1 1）頻譜的圖像顯示）頻譜的圖像顯示 DFTDFT在計(jì)算機(jī)圖像處理中計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果要圖在計(jì)算機(jī)圖像處理中計(jì)算的中間過(guò)程和結(jié)果要圖 像化。對(duì)像化。對(duì)DFTDFT來(lái)講不但來(lái)講不但f(x,y)f(x,y)是圖像是圖像,F(u,v),F(u,v)也要用圖像來(lái)也要用圖像來(lái) 顯示其結(jié)果。顯示其結(jié)果。 譜圖像就是把譜圖像就是把|F(

18、u,v)|F(u,v)|作為亮度顯示在屏幕上。但在作為亮度顯示在屏幕上。但在 傅里葉變換中傅里葉變換中F(u,v)F(u,v)隨隨u,vu,v的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到的衰減太快，其高頻項(xiàng)只看到 一兩個(gè)峰，其余皆不清楚。一兩個(gè)峰，其余皆不清楚。 由于人的視覺(jué)可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示由于人的視覺(jué)可分辨灰度有限，為了得到清晰的顯示 效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號(hào)效果，即為了顯示這個(gè)頻譜，可用下式處理，設(shè)顯示信號(hào) 為為D(u,v), D(u,v), |D(u,v)log(1F(u,v) ) 23 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 即用顯示即用顯示D(u,v)D(u

19、,v)來(lái)代替只顯示來(lái)代替只顯示|F(u,v)|F(u,v)|不夠清楚的補(bǔ)救不夠清楚的補(bǔ)救 方法。方法。 譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺(jué)理解。如一幅遙感圖像譜的顯示加深了對(duì)圖像的視覺(jué)理解。如一幅遙感圖像 受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻受正弦網(wǎng)紋的干擾，從頻譜圖上立即可指出干擾的空間頻 率并可方便地從頻域去除。率并可方便地從頻域去除。 如圖如圖4.74.7為圖像的傅里葉頻譜圖像為圖像的傅里葉頻譜圖像 24 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 圖4.7 圖像的傅里葉頻譜圖像，原始圖像，(b) 頻譜直接顯示，(c)頻譜經(jīng)過(guò)變換后的結(jié)果 (b) (c) a. a. 25 2021-6

20、-20第4章離散傅里葉變換 2. 2.頻譜圖像的移中顯示頻譜圖像的移中顯示 常用的傅里葉正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式，常用的傅里葉正反變換公式都是以零點(diǎn)為中心的公式， 其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù)其結(jié)果中心最亮點(diǎn)卻在頻譜圖像的左上角，作為周期性函數(shù) 其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的其中心最亮點(diǎn)將分布在四角，為了觀察方便，將頻譜圖像的 零點(diǎn)移到顯示的中心。零點(diǎn)移到顯示的中心。 當(dāng)周期為當(dāng)周期為N N時(shí)，應(yīng)在頻域移動(dòng)時(shí)，應(yīng)在頻域移動(dòng)N/2N/2。利用。利用DFTDFT的平移性質(zhì)，的平移性質(zhì)， 先把原圖像先把原圖像f(x,y)f(x,y)乘以乘以(-

21、1)(-1)(x+y) (x+y)然后再進(jìn)行傅里葉變換，其 然后再進(jìn)行傅里葉變換，其 結(jié)果譜就是移結(jié)果譜就是移N/2N/2的的F(u,v)F(u,v)。圖。圖4-84-8所示。所示。 應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實(shí)際應(yīng)當(dāng)注意，顯示是為了觀看，而實(shí)際F(u,v)F(u,v)數(shù)據(jù)仍保留數(shù)據(jù)仍保留 為原來(lái)的值。為原來(lái)的值。 26 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 圖4.8 頻譜圖像的移中顯示 (a)未移至中心的 頻譜圖像，(b)移至中心后的頻譜圖像 (a)(b) 27 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 3. 3.旋轉(zhuǎn)性旋轉(zhuǎn)性 應(yīng)用中，對(duì)兩幅圖像進(jìn)行傅里葉變換后，為求兩幅圖應(yīng)用中，對(duì)兩幅圖像進(jìn)行傅里葉變換后，為求兩幅圖 像的相似性，常須對(duì)頻域圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)尋找匹配。此時(shí)像的相似性，常須對(duì)頻域圖進(jìn)行旋轉(zhuǎn)尋找匹配。此時(shí)FTFT公公 式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對(duì)。設(shè)式常用極坐標(biāo)表示為傅里葉變換對(duì)。設(shè)f(x,y)f(x,y)為原圖中任為原圖中任 一點(diǎn)的坐標(biāo)，一點(diǎn)的坐標(biāo)， ，為為(x,y)(x,y)點(diǎn)與點(diǎn)與x x軸的夾角，軸的夾角， 則傅里葉變換對(duì)為：則傅里葉變換對(duì)為： sincosyx ),(),(fRF 若空域 sin cos y x sin cos Rv Ru 頻域 28 2021-6-20第4章離散傅里葉變換 則旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為：則旋轉(zhuǎn)不變性質(zhì)為： ),(),( 00 fR