關于積分對稱性論文

1、2014屆畢業(yè)生畢業(yè)論文題 目： 積分區(qū)域對稱性相關問題的研究 院系名稱： 理學院 專業(yè)班級： 基礎數(shù)學F1002學生姓名： 劉鵬 學 號： 201046800106指導教師： 張應奇 教師職稱： 副教授 2014年 5 月 08 日摘 要積分是高等數(shù)學中的重點也是難點部分，構成了數(shù)學的基礎。由于積分的應用十分廣泛，在物理，工程，化學等方面都有體現(xiàn)，所以積分的計算顯得尤為重要。大自然的美麗有很多是因為對稱性而體現(xiàn)出來的，數(shù)學把對稱性賦予了靈魂，積分區(qū)域對稱性的應用使得相關數(shù)學問題的解決有了更加靈活的方法和技巧，并且結合被積函數(shù)的奇偶性對積分的運算起到了事半功倍的效果。本文總結了對稱區(qū)間在定積分

2、、多重積分、曲線與曲面積分中的一些定理,并且通過經典例題對定理進行鞏固。我們運用這些定理可以很大程度地簡化積分的運算，對于解決實際中遇到的問題也是有很大的幫助。關鍵詞： 對稱區(qū)間 積分 特殊函數(shù).Title Research on the issues related to the symmetry of integral areaAbstract Integration is the key and difficult part in higher mathematics, constitutes a mathematical foundation. Because the integral

3、 is widely used in physics, chemistry, engineering, and other aspects, so the integral calculation is very important. The beauty of nature is a lot because of symmetry and reflected the mathematical symmetry, to give the soul, application of symmetry of regions that solve mathematical problems with

4、the methods and skills of more flexible, and the combination of parity of the integrand of integral calculation has played a multiplier effect.This paper summarizes the symmetric interval in the definite integral, multiple integral, curvilinear integral and surface integral of some theorem, and the

5、classic example of theorem to consolidate. We use these theorems can greatly simplify the integral operation, also has the very big help to solve the problems in practice.Key words: Symmetric interval Integral Special function目錄1 引言42 定積分的對稱性42.1 對稱區(qū)間、定積分的定義42.2 對稱區(qū)間的推廣73 重積分的對稱性73.1 二重積分的對稱性73.2 三重

6、積分的對稱性124 曲線積分的對稱性134.1 第一型曲線積分的對稱性134.2第二型曲線積分的對稱性155 曲面積分的對稱性175.1 第一型曲面積分的對稱性175.2 第二型曲面積分的對稱性19總結21參考文獻22致謝231 引言對稱性的引入對數(shù)學產生了很大的影響，我們在數(shù)學中會把對稱性所隱藏的美給完全展現(xiàn)出來。如譽為最美方程的心形曲線；以及扇葉形的三葉形曲線，四葉玫瑰線，以及關于對稱的笛卡爾曲線等，當然還有曲面和空間圖形如雙葉雙曲面，馬鞍面麥克斯韋方程，笛沙格定理等則是把對稱性用于積分中，進行了美妙的融合，所以我們要把對稱的方便直觀的特點融入積分計算中。積分是數(shù)學分析的重要基礎，因此，對

7、學生來講要想學好積分學，就要從根本上理解其定義和幾何意義。但由于積分的內容豐富，結構嚴密，無懈可擊，作為進入大學階段學習微積分的基礎，會感到抽象難以理解，在解題時就會造成缺乏思路，無從下手。為了使大家更好的掌握積分的概念，能夠運用各種解題技巧和方法來處理遇到的問題，提高分析問題解決問題的能力，本文介紹了對稱性在定積分，重積分，曲線積分及曲面積分計算過程中的幾個結論及其應用，并通過實例討論了利用積分區(qū)域的對稱性在被積函數(shù)的奇偶性情況下來如何簡化計算的。2 定積分的對稱性2.1 對稱區(qū)間、定積分的定義定義2.1.1（對稱區(qū)間的定義） 設在平面中有區(qū)域為,如果存在點 ,那么我們稱區(qū)域是關于直線對稱，

8、對稱點與是關于直線的對稱點.如果存在點 ，那么我們稱區(qū)域是關于直線對稱，稱點與是關于的對稱（如果取,那么對于區(qū)域關于,軸對稱） 定義2.1.2（奇偶函數(shù)的定義) 設對于任意 如果 定義2.1.3（定積分的定義) 一般地，設閉區(qū)間有個點我們把閉區(qū)間平均分成個小區(qū)間，我們設每個小區(qū)間的長度為（），然后在個小區(qū)間上任取一點，再求和：如果無限接近于（亦即）時，上述和式無限趨近于常數(shù)，那么稱該常數(shù)為函數(shù)在區(qū)間上的定積分。記為：定理1 對于積分區(qū)間在上的定積分，有：證明：設為奇函數(shù)，則=，故： 在中令，則，所以：原式如果為偶函數(shù)，則=，故： 在中令，則，所以：原式例題1 設，。 則有_ 解：對于積分，由于

9、函數(shù)是滿足奇函數(shù)定義且積分區(qū)域為，那么由定理1可知 。對于，由于被積分函數(shù)是偶函數(shù)，為奇函數(shù)，且積分區(qū)域為 所以分開來求： 對于，由于為奇函數(shù)，而為偶函數(shù)，用上個方法：2.2 對稱區(qū)間的推廣 如果連續(xù)函數(shù)的積分區(qū)域并不是一般的關于原點對稱而是關于直線對稱，或者說被積函數(shù)關于對稱時，為了簡便運算，我們歸納如下： (1) 若的關于直線對稱，即，則 (2) 若的關于對稱，即，則，若滿足，則(3) 若函數(shù)與的關于直線對稱，即，則.同樣若是關于點對稱，即，則例題2 求（）解 設，因為， 由以上總結可知3 重積分的對稱性3.1 二重積分的對稱性 3.1.1 二重積分的定義 定義3.1 設是在有界閉區(qū)域D上

10、的有界函數(shù). 那么我們將閉區(qū)域D任意分成n個小閉區(qū)域 其中表示第i個小閉區(qū)域，也表示它的面積，在每個上任取一點, 作乘積并做和如果當各小閉區(qū)域的直徑中的最大值趨近于零時, 這和式的極限存在, 則稱此極限為函數(shù)在閉區(qū)域D上的二重積分, 記為 即 定理 2 設積分區(qū)域是關于坐標軸軸對稱，那么： 其中為軸右側區(qū)域： 設積分區(qū)域是關于坐標軸軸對稱，那么： 其中是軸上側區(qū)域： 設積分區(qū)域區(qū)域是關于坐標軸軸和軸均對稱，且被積函數(shù)關于變量和均為偶函數(shù)，那么： 其中為在第一象限內的部分： 設積分區(qū)域是關于坐標原點對稱，那么： 其中積分區(qū)域，設積分區(qū)域關于直線是對稱的, 那么 證明：由于函數(shù)是積分區(qū)域上的關于的

11、奇函數(shù)，所以有，又因為積分區(qū)域關于對稱，可以假設為。 則有： 同理，被積函數(shù)是積分區(qū)域上的關于的偶函數(shù)有， 則有 ：證明方式與相同，只是換成了關于的函數(shù)。 ：被積函數(shù)關于變量和均為偶函數(shù)，且積分區(qū)域區(qū)域關于軸和軸均對稱，故設為 ：證明可以用立體幾何的知識來證明，由于二重積分的幾何意義是被積函數(shù)相當于高被積區(qū)域相當于底圍成的體積，但函數(shù)有正負而體積沒有正負，所以要注意怎么抵消。同樣，以上幾個也可以用這種方法幫助理解。例題3區(qū)域由直線所圍成的區(qū)域。解：如圖所示，關于軸對稱，并且，被積分函數(shù)是關于軸的偶函數(shù)，由上述定理2中結論可知： 例題4設：；：； 則下列四個選項中錯誤的是_ 解：對于選項具備定理

12、2中 積分區(qū)域區(qū)域關于軸和軸均對稱，且被積函數(shù)關于變量和均為偶函數(shù)的條件，則有：故成立。對于中被積分函數(shù)對或是奇函，數(shù)積分區(qū)域區(qū)域關于軸和軸均對稱，由定理2中的故。 對于因為關于變量為奇函數(shù)，故。而在中，由定理2中積分區(qū)域關于=是對稱的，則=。故本題選。 例題5設在區(qū)間上連續(xù)，且，試證明證： 設積分區(qū)域，顯然區(qū)域是關于直線對稱，由于滿足定理2中的條件，所以， 3.1.2 對稱區(qū)域的擴展 與定積分相同的是，積分區(qū)域并不會像我們想象的那么簡單，積分區(qū)域有可能沒有關于原點對稱，所以，我們要用平移思想，把積分區(qū)域平移到坐標原點。這里，我們再引進一種特殊的方法，用物理上重心這里稱之為質心的方法，其實究其

13、之根本仍是對稱區(qū)間愛的應用。定理3 設積分區(qū)域為，為積分區(qū)域的質心，則 例題6 求，其中積分區(qū)域D由構成的。解：由于區(qū)域的D是圓，所以其質心是圓心 則3.2 三重積分的對稱性 3.2.1 三重積分的定義定義3.2.1設函數(shù)是空間閉區(qū)域上的有界函數(shù),將任意地分劃成個小區(qū)域 其中表示第個小區(qū)域,也表示它的體積.在每個小區(qū)域上任取一點, 作乘積 ，作和式 以記這個小區(qū)域直徑的最大者,若極限 存在,則稱此極限值為函數(shù)在區(qū)域上的三重積分,記作,即 其中叫體積元素定理4 設空間有界閉區(qū)域，與關于坐標面對稱，函數(shù)在上連續(xù)，那么：如果與關于坐標面對稱，函數(shù)在上連續(xù)，那么 如果與關于坐標面對稱，函數(shù)在上連續(xù)，那

14、么如果空間區(qū)域具有空間輪換例題7計算三重積分，其中積分區(qū)域為。解 ,利用定理4中如果與關于坐標面對稱，函數(shù)在上連續(xù)，那么是相應于的奇函數(shù)，于是,利用定理4中如果空間區(qū)域具有空間輪換所以，從而有4 曲線積分的對稱性4.1 第一型曲線積分的對稱性 定義4.1.1 （對弧長的積分）設函數(shù)在面內的一條光滑曲線弧上有界，通過分割、近似、求和、取極限得到和的極限就是對弧長的曲線積分，即 定義4.1.2 （對坐標曲線的積分）設為面上從點到點的一條有向光滑曲線弧，函數(shù)在上有界，通過分割、近似、求和、取極限得到和的極限就是對坐標的曲線積分，即 定理5：設平面內光滑曲線,且與關于坐標軸軸是對稱的，函數(shù)在上連續(xù)，設

15、為位于軸右側的弧段，則 設平面內光滑曲線,且與關于坐標軸軸對稱，函數(shù)在上連續(xù)，設為位于軸右側的弧段，則 設平面內光滑曲線,且與關于直線對稱，函數(shù)在上連續(xù)，設為位于直線上半部分弧段，則 定理6 若平面積分曲線關于具有輪換對稱性，則： 若空間積分曲線關于具有輪換對稱性，則： 若關于直線對稱令曲線位于直線的上半部分區(qū)域則：例題8 設為橢圓4.2第二型曲線積分的對稱性 定義4.2 若存在矢量函數(shù)與曲線上一點(x,y,z)處切線的單位矢量(且的方向指定的方向一致)的點乘積在上的第一類曲線積分存在，那么我們把該積分值稱為沿曲線從A到B的第二型曲線積分。（只給出矢量定義，普通定義與第一型一樣只是小分段有正負

16、，即有方向）定理7 如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲線是關于坐標軸軸對稱，且在軸的上半部分與在下半部分的方向相反，則 如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲線關于坐標軸軸對稱，且在的區(qū)域與在的區(qū)域的矢量方向是相反的，那么如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲線是平面上關于直線對稱的，任意,有，且，在軸投影方向相反，則（）若=-,則（）若=,則=如果存在光滑（可以是分段的）的平面曲線是平面上關于對稱的，任意,有，且，在軸投影方向相同，則（）若=-,則 （）若=,則=例題9 計算，其中是以為頂點的光滑線段正向邊界線.解 利用定理7，將其展開對于前一個積分，由于曲線關于軸對稱，且方向是相反，被積函數(shù)

17、是關于的偶函數(shù)，所以積分為0；對于后一個積分，由于曲線關于軸對稱，且方向相反，被積函數(shù)是關于的偶函數(shù)，所以積分也為0.因此例題10 求=,其中是曲線上從到的一段光滑的弧。解：= 因為弧AB關于對稱，且投影方向相同，所以利用定理7中如果若=-,則，若=,則= 所以有= 所以=0，即5 曲面積分的對稱性5.1 第一型曲面積分的對稱性 定義5.1 設函數(shù)是定義在光滑曲面上的有界函數(shù)將曲面分為若干個小塊()，其面積分別記為，在小塊曲面上任意取一點，如果極限存在，那么我們稱極限值為函數(shù)在曲面上對面積的曲面積分(或稱第一類曲面積分)記為即 = 定理8 i如果積分曲面關于坐標平面對稱，為上的連續(xù)函數(shù)，可以分

18、成對稱的兩部分，為位于上部的曲面，則ii如果積分曲面關于坐標平面對稱，被積函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)，可以分成對稱的兩部分，為位于上部的曲面，則iii如果積分曲面關于坐標平面對稱，被積函數(shù)為上的連續(xù)函數(shù)，可以分成對稱的兩部分，為位于上部的曲面，則如果積分曲面可以分成對稱的兩部分，且關于原點對稱，則 如果積分曲面關于自變量具有輪換對稱性，即滿足 例題11計算曲面積分，是閉曲面.解 自變量具有輪換對稱性，那么依據(jù)定理8中可知例題12.計算曲面積分,積分曲面解： 令， 則 由于關于原點對稱，滿足定理8中并且=為關于自變量的偶函數(shù)= =5.2 第二型曲面積分的對稱性 定義5.2設為空間中光滑的有向曲面, 其上

19、任一點處的單位法向量為 又設其中函數(shù)在上有界, 。 則上的第一類曲面積分稱為函數(shù)在有向曲面上的第二類曲面積分.（只給出矢量定義，普通定義與第一型一樣只是曲面有方向）定理9 設光滑曲面是關于平面對稱，設在部分曲面取定為上側，在部分曲面取定下側，則設光滑曲面關于坐標平面對稱，設在部分曲面取定為上側，在部分曲面取定下側，則設光滑曲面關于坐標平面對稱，設在部分曲面取定為上側，在部分曲面取定下側，則若積分曲面關于具有輪換對稱性，則 .例題13計算，其中為曲面平面和所圍成空間圖形的表面外側。解：設，如右圖 ：，取定下側 ：，取定上側由于被積函數(shù)是的偶函數(shù)，關于平面對稱，又在平面上的投影域面積為零，由定理9

20、所以有： 形同方法，因是的偶函數(shù)，關于平面對稱，又在平面上的投影域面積為零，所以有： 設 1，2在坐標平面上的投影區(qū)域為，所以有： 從而。例題14計算，積分曲面為球面所成的外側。解： 由于積分曲面關于具有輪換對稱性關于,具有輪換對稱性根據(jù)定理9 所以光滑的曲面關于坐標平面對稱，在部分曲面取定為上側，在部分曲面取定下側，的方程為，它在平面上的投影域為圓域，因此，若用表示前半球面的外側則有： =對于在后半球面上的曲面積分，由于的方程為：而外側即后外側，故關于后半球面外側（記為）的曲面積分為：=因此 總結 對稱性的引入給我們學習定積分有很大的幫助，特別是理解幾何意義。由于水平有限時間倉促，沒有對廣義

21、積分進行分析，廣義積分也有類似的定理，需要的同學可以下面再行再研究。有些定理沒有給證明，但證明的方法在一些課本中都有，在此不做累述，還請見諒。 定積分的學習光有這些還是不夠的，所以同學們應該夯實基礎后，再結合被積函數(shù)奇偶性和被積區(qū)間的對稱性對所學知識加以鞏固。參考文獻1 華東師范大學數(shù)學系編. 數(shù)學分析（上、下冊）M.第四版. 北京： 高等教育出版社，2010.72 郝勇、李學志、陶有德.數(shù)學分析選講M. 北京：國防工業(yè)出版社，2010.73 徐利治、王興華. 數(shù)學分析的方法及例題選解 M（修訂版）. 北京高等教育出版社，19884 李慶春、高述春. 數(shù)學分析的內容與方法M. 青島：青島海洋大學出版社，19975 美Finney、Weir、Stewart. T