現(xiàn)代控制理論魯棒控制

1、魯棒控制理論初步魯棒控制理論初步 一、反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu)一、反饋控制系統(tǒng)的基本結(jié)構(gòu) 做如下變換做如下變換 () () dss dclscl Hy eR Hru HyRu Hr Hr Hy ue DRu Hr D Hr 結(jié)構(gòu)圖化成 若不考慮傳感器動(dòng)態(tài)時(shí)，則 為常數(shù)，可選 擇 ，上結(jié)構(gòu)圖就變成單位負(fù)反饋的結(jié)構(gòu)。 Hy HrHy 定義： R：參考輸入 W：外擾動(dòng)輸入（常值或隨機(jī)信號(hào)，對(duì)飛行器 為高斯白噪聲或有色噪聲） V：噪聲輸入（隨機(jī)信號(hào)、有色噪聲） Y: 系統(tǒng)輸出 二、控制系統(tǒng)的性能指標(biāo)描述 (1)系統(tǒng)對(duì)常值擾動(dòng)信號(hào)所允許的穩(wěn)態(tài)誤差，或 對(duì)隨機(jī)擾動(dòng)信號(hào)的濾波能力或誤差 (2)對(duì)多項(xiàng)式參考輸入

2、信號(hào)，如斜坡和階躍信號(hào) 所允許的穩(wěn)態(tài)跟蹤誤差 (3)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能對(duì)模型參數(shù)變化的靈敏度 (4)系統(tǒng)在階躍參考輸入或擾動(dòng)輸入時(shí)的動(dòng)態(tài) 性能，如上升時(shí)間、超調(diào)量、調(diào)節(jié)時(shí)間等 (5)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性 重點(diǎn)要研究的是（1）和（3） 三、例子：滾轉(zhuǎn)速度控制系統(tǒng) 飛機(jī)理想滾轉(zhuǎn)時(shí)，則微分方程模型為： 其中， 為滾轉(zhuǎn)角速度， 是副翼偏角， 外 擾動(dòng)（外擾動(dòng)一般等效為滾轉(zhuǎn)力矩，在此方程中 ， 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）。 a a =L pD pLpL p a D L x = J D L 外擾力矩 x J 飛機(jī)滾轉(zhuǎn)模型為： aa a aa 11 ( )( )( )( )( ) DD ppp LL p ssLssLs sLsLs

3、LL 開(kāi)環(huán)控制系統(tǒng)為 設(shè)Hr=1，并且選擇比例控制， 則 olol DK aa a 11 ( )() () ol olDD ppp LKL p sKRLRL LsLsLsL 設(shè)：R和 的穩(wěn)態(tài)值分別為R=a， =b 則： 的穩(wěn)態(tài)解為 定義： 從R到 的傳遞函數(shù)為 開(kāi)環(huán)增益 設(shè)： 則 D L D L p a 0 1 | sssol pp L ppKab LL p aa ( ) ololol pp LL TsHr DK sLsL a olol p L TK L a p L A L olol TKA 閉環(huán)控制系統(tǒng) a a a a ( ) 1 cl clp cl pcly cly p L D DLsL

4、p TsHrHr L RsLDLH DH sL 其中 為開(kāi)環(huán)傳函或稱回路傳函 設(shè)：Hr =Hy =1， ，則 回路增益為 a cl p DL Hy sL DK clcl a a ( ) () cl pcl KL p sR sLKL a cl p KL L ， 而在W的作用下（設(shè)R=0，V=0） 而在V的作用下（設(shè)R=0，W=0） a a ( ) () cl pcl KL p sV sLKL a 1 ( ) () pcl p sW sLKL 用迭加原理，可得 設(shè)V的穩(wěn)態(tài)值為c 穩(wěn)態(tài)解為 aa aaa 1 ( ) ()()() clcl pclpclpcl KLKL p sRWV sLKLsLKL

5、sLKL aa aaa aa aaa 1 1 111 clcl ss pclpclpcl clcl ppp clclcl ppp KLKL pabc LKLLKLLKL LL KK LLL ab LLL KKK LLL c 1. 結(jié)論 a.若在常值擾動(dòng)作用下，閉環(huán)系統(tǒng)的誤差比 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)小 倍，其中 是s=0時(shí)的回路增益 b.若在常值噪聲作用下，閉環(huán)系統(tǒng)是無(wú)法克服 的，并且常值噪聲幾乎對(duì)輸出的影響與輸入 的影響是相當(dāng)?shù)?a 1(/) clp KLL a (/) clp KLL 因此： （1）對(duì)傳感器來(lái)說(shuō)必須增加信噪比 （2）Hy應(yīng)設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)來(lái)抑制噪聲 計(jì)算實(shí)例 若設(shè) 、 、a=1 、b=0.1

6、7 、 開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 無(wú)擾動(dòng)時(shí) 有擾動(dòng)時(shí) 誤差 或 a 27.276L1.7 p L 0.06 ol K 27.276 0.0610.96 1.7 a ssol p L pKa L a 10.17 0.961.06 1.7 ssol pp L pKab LL | 0.1 olssss pp 0.1 100%10.42% 0.96 ol ss P 閉環(huán)系統(tǒng) 無(wú)擾動(dòng)時(shí) 有擾動(dòng)時(shí) 誤差 或 故閉環(huán)系統(tǒng)比開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的抗干擾能力提高了100 倍以上。 a a (/) 160 10.99 1(/)1 160 p sscl clp LL pKa KLL a (1/) (1/1.7) 0.990.170.9906

7、1(/)1 160 p ssss clp L ppb KLL | 0.0006 clssss pp 0.0006 100%0.06% 0.99 cl ss P 四、系統(tǒng)增益對(duì)參數(shù)不確定性的靈敏度 1. 開(kāi)環(huán)系統(tǒng)： 系統(tǒng)增益即開(kāi)環(huán)增益 （s=0 的值） 參數(shù)的不確定性可表達(dá)為：飛機(jī)飛行時(shí)由初 始狀態(tài)A變化為 ,這樣開(kāi)環(huán)增益則從 變化 為 a ( ) ololol p L TsKKA L AA ol T olol TT 則 考慮開(kāi)環(huán)增益的相對(duì)變化誤差定義為 () ololololololol TTKAAKAKATKA olol TKA olol olol TKAA TKAA 且定義 為關(guān)于參數(shù)A從

8、輸 入R到輸出 的系統(tǒng)增益的靈敏度函數(shù)，開(kāi)環(huán)系 統(tǒng)的系統(tǒng)增益靈敏度為： 2. 閉環(huán)系統(tǒng)：系統(tǒng)的增益為 (/)/(/) ol olol T A STTA A p 1 ol T A S 0 (/) | 1(/)1 a a clp cl cls clpcl KLL KAp T RKLLKA 當(dāng) 時(shí)， 為求 則考慮到 ： （ ） 故 ： （一個(gè)好的系統(tǒng)的靈敏度應(yīng)足夠的?。?AAA clclcl TTT () 1 () clcl cl cl AAK TT AAK cl cl T T cl cl dT TA dA ( ) clcl TTA () clcl clcl T dTAA TTdAA 從而閉環(huán)系統(tǒng)的

9、系統(tǒng)增益的靈敏度的定義為 與開(kāi)環(huán)系統(tǒng)相比：在反饋?zhàn)酉到y(tǒng)中，系統(tǒng)傳 函的增益（s=0）對(duì)受控對(duì)象參數(shù)的靈敏度是開(kāi) 環(huán)系統(tǒng)的 倍。 2 (1)(1)()1 (1)1 ol T clclclclclcl A clclclcl dTKAKKAKA KA S TdAKKAKA 1/(1) cl KA 計(jì)算實(shí)例：閉環(huán)系統(tǒng) 表明若 變換10%，即 則系統(tǒng)增益 此時(shí) 僅取為10 而開(kāi)環(huán)系統(tǒng) 因此 ： 則 a 11 0.0062 1(/)1 10 16 ol T A clp S KLL a (/) p LL 10% A A 0.062% cl cl T T cl K 1 cl T A S 10% A A 10%

10、 ol ol T T 所以閉環(huán)系統(tǒng)的靈敏度僅為開(kāi)環(huán)系統(tǒng)的 0.0062倍，能極大地抑制參數(shù)的不確定性。 五、抗噪聲問(wèn)題 建立誤差方程 則 仿照靈敏度的定義 EpR aa aaa a 1 () 111 cl pp clclcl ppp LL K sLsL W ERV LLL L KKK sLsLsL 定義靈敏度函數(shù) 補(bǔ)充靈敏度函數(shù) 則誤差方程 ( )( ) 1 1( )( ) D sG s T D sG s a W ERTVG WW L a 11 1( )( ) 1 cl p L D sG s K sL 若設(shè)計(jì)D(s)，使 ，意味著 （1） （2） （1）可以做到 （2）不可能，如何解決 0E

11、0 0T 假定： （1）R和W并不是在所有頻率范圍內(nèi)都有很大的 值，即R和W的變化是不一致的，變化的范 圍也不同 （2）可以設(shè)計(jì)Hy，使得V經(jīng)過(guò)Hy后在低頻段保持 有較小的值，即傳感器只在對(duì)象變化時(shí)有 輸出，類似高通濾波器。 （3）設(shè)計(jì)D，使得 在R和W主頻范圍內(nèi)很小， 也可以使得T在高頻范圍內(nèi)的分量很小，這 樣就可以獲得。 六、根據(jù)靈敏度函數(shù)定義的性能指數(shù) 1.到目前為止，還是通過(guò)系統(tǒng)對(duì)簡(jiǎn)單的階躍或斜 坡輸入信號(hào)的瞬態(tài)響應(yīng)來(lái)描述系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能 （如二階系統(tǒng)）。 2.對(duì)于實(shí)際的輸入信號(hào)，更為精確的描述是將信 號(hào)看成是有一定功率譜密度的隨機(jī)過(guò)程。 3.設(shè)u(t)是單變量隨機(jī)過(guò)程。一般而言，隨機(jī)過(guò)

12、 程的統(tǒng)計(jì)特性（平均值、均方差、相關(guān)函數(shù)和 頻譜函數(shù)等）也是隨時(shí)間變化的，這種過(guò)程稱 為非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，但非平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的處理 方法還沒(méi)有成熟的方法。目前的應(yīng)用中，往往 限于研究平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，即該過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性 不隨時(shí)間變化，因此功率譜密度只研究平穩(wěn)隨 機(jī)過(guò)程的特性。 4.平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程u(t)的統(tǒng)計(jì)特性 平均值定義為 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程 u(t)的平均值 或稱高斯 隨機(jī)過(guò)程 0 1 lim( ) 2 T u Tt u t dt T 0 u u(t)的均方差定義為 U(t)的相關(guān)函數(shù) 在物理意義上， 反映了隨機(jī)過(guò)程u(t)在 時(shí)間坐標(biāo)軸上的先后相關(guān)程度。 22 0 1 lim( ) 2 T u Tt

13、u t dt T 0 1 ( )lim( )() 2 T u Tt Ru tu tdt T ( ) u R （1）若 則 （2） 為偶函數(shù) （3） 表明若間隔 無(wú)限增大，u(t) 失去了先后相關(guān)性 （4） 為u(t)的特征時(shí)間 0 2 (0) uu R ()( )RR lim( )0R 2 0 1 ( ) t u TRd 相關(guān)函數(shù) 的Fourier變換即是相關(guān)函數(shù)的頻 譜函數(shù) 其中： 是時(shí)間頻率， 由于 ，則 ( ) u R 1 ( )( ) 2 j uu Red ()( ) uu RR ()( ) uu 相關(guān)函數(shù)是頻譜函數(shù)的Fourie逆變換 因此 可見(jiàn)頻譜曲線 與 軸范圍的面積分就 等于u

14、(t)的方差 。 ( )( ) j uu Red 2 0 (0)2( )( ) uuuu Rdd ( ) u 2 u 而均方差 則表征了隨機(jī)過(guò)程的功率或能量 的大小。因此頻譜函數(shù) 表征了隨機(jī)過(guò)程的功 率按頻率 的分布。（頻率 （ ）內(nèi)功率 的大?。史Q 為功率譜密度。 u ( ) u 0 ( ) u 在飛行環(huán)境中，一般大氣紊流均采用功率譜 密度的形式來(lái)表示，只是采用空間頻率作為自變 量，空間頻率 和時(shí)間頻率 之間的變換如下 （ 為飛行器的速度） x V x V 兩種大氣紊流模型 GJB185-86 (1)德萊頓模型，解析函數(shù)，適合數(shù)學(xué)仿真 (2)馮卡門(mén)模型，適合設(shè)計(jì) 兩種模型在高頻段略有差異

15、 為了簡(jiǎn)化分析，但又不失一般性，可以認(rèn)為 這些信號(hào)是由某特定范圍內(nèi)的正弦信號(hào)合成的。 比如經(jīng)常描述的參考輸入信號(hào)，它是一組具 有不同頻率的正弦信號(hào)的和，而各種頻率的正弦 信號(hào)的幅值|R|可由下圖描述 從圖中可以看出： (1)由正弦信號(hào)分量組成的信號(hào)，一直到大于 后，幅值才極小可忽略。于是可以這樣描 述性能指標(biāo)： 對(duì)于任何驅(qū)動(dòng)頻率 ， 幅值為 的正弦信號(hào),系統(tǒng)誤差的幅值應(yīng)小于 。 1 0 01 0 0 |()|R j b e 考慮單位反饋系統(tǒng)，則誤差的頻率響應(yīng)為 （1） 1 ()() 1 E jRs jR DG 其中，s為靈敏度函數(shù) （2） 靈敏度函數(shù)也正是 的乃奎斯特圖上的 曲線 到（-1，0

16、）點(diǎn)距離的倒數(shù)，因此 越大，表示 曲線到（-1，0）點(diǎn)的 距離越小，曲線 越接近（-1，0）點(diǎn)。 11 () 11() S j DGDG j ( )DG s ()DG j |()|S j ()DG j ()DG j 根據(jù)式（1），頻域內(nèi)的誤差指標(biāo)可表示為 （3） b E js jR js jR je 為了使問(wèn)題規(guī)范化，以及不必每次定義幅值R和 誤差限度 。定義頻率的實(shí)數(shù)方程： 則此（3）式可以寫(xiě)為 （4） b e 1( ) b R W e 1 |1SW 若 ，則 ，帶入(4） 得到 （5） |() |1DGj 1 () () Sj DGj 1 |() |DGjW 這個(gè)約束條件可以看作是穩(wěn)態(tài)誤差

17、指標(biāo)的延 伸，只不過(guò)信號(hào)頻率由 的一點(diǎn)變成了 上述性能指數(shù)是動(dòng)態(tài)性能指數(shù)的延伸而已。 0 01 0 七、魯棒性指標(biāo) 除了保證系統(tǒng)有良好的動(dòng)態(tài)性能，還應(yīng)考慮 系統(tǒng)的魯棒性，即在可預(yù)期的不確定性因素的影 響下，受控對(duì)象的傳函發(fā)生變化時(shí)，針對(duì)各個(gè)傳 函所做的設(shè)計(jì)仍是穩(wěn)定的。為了描述這種不確 定性，需首先定義不確定性。 不確定性：主要是指對(duì)象的不確定性。 理由：沒(méi)有任何一個(gè)物理系統(tǒng)可以用準(zhǔn)確的 數(shù)學(xué)模型代表。由于這一原因，我們 必須了解建模誤差對(duì)控制系統(tǒng)性能的 影響。 1.對(duì)象的不確定性 不確定對(duì)象的建模的基本方法是用一個(gè) 集合來(lái)代表對(duì)象模型，這個(gè)集合可以是結(jié) 構(gòu)化的或者非結(jié)構(gòu)化的。 結(jié)構(gòu)化：系統(tǒng)中存

18、在有限個(gè)不確定參數(shù) minmax 2 1 : 1 Maaa sas 非結(jié)構(gòu)化：系統(tǒng)在每個(gè)頻率下其頻率響應(yīng)位于復(fù) 平面的一個(gè)集合內(nèi) 一般來(lái)說(shuō)，非結(jié)構(gòu)化更為重要，因?yàn)樗梢?導(dǎo)出簡(jiǎn)單而實(shí)用的設(shè)計(jì)理論。 () () ii ii G j M P j 具體來(lái)說(shuō)，考慮這樣的不確定問(wèn)題，即 其中： 是標(biāo)稱對(duì)象的傳遞函數(shù)的頻率響應(yīng) 是由于參數(shù)的不確定性或攝動(dòng)造成 的實(shí)際對(duì)象模型 是一固定的、穩(wěn)定的傳遞函數(shù) 是一可變的、穩(wěn)定的傳遞函數(shù)，且 02 02 ()()(1) ()()(1) G jGjW P jP jW 0( )P j 2 W ()P j |1 其中： ，稱為 的 范數(shù)。也代 表了 在Bode圖上的峰值

19、，也寫(xiě)為 ，稱為 的上確界或 者最小上界。 進(jìn)一步假定在構(gòu)成 中沒(méi)有消掉 的任何不 穩(wěn)定的極點(diǎn)，即 和 有相同的不穩(wěn)定極點(diǎn)。這 樣的攝動(dòng) 稱為可容許的。 |max |()|j |()|j |sup|()|j |()|j P P P P 由 及 得 與 則： 的模型的含義是 是偏離1的標(biāo)準(zhǔn)化的 對(duì)象攝動(dòng)，或不確定性只能引起偏離1的標(biāo) 準(zhǔn)化的對(duì)象攝動(dòng)。 從而：因 ，則 2 (1)GW G 2 (1)PW P 2 1 P W P 2 1 G W G P 2 W |1 可見(jiàn) 給出了不確定的范圍。這個(gè)不 等式在復(fù)平面描繪了一個(gè)圓，在每一個(gè)頻率 ， 都位于以1為圓心，以 為半徑的圓內(nèi)。這 種不確定性也稱為

20、圓不確定性（或乘積圓狀不確 定性），是一種非結(jié)構(gòu)性攝動(dòng)的集合。 2 22 2 () 1() () ()()()() () P j Wj P j jWjjWj Wj 2( )Wj /P P 2 W 一般情況下， 是 的增函數(shù)，不確定 性隨頻率的增加而增加。 的主要目的是為了考慮相位不確定性，同 時(shí)也可作為攝動(dòng)幅值的尺度因子， 在（0，1） 內(nèi)變化。 2 |()|Wj | 例題：尋找 設(shè)標(biāo)準(zhǔn)對(duì)象 ，實(shí)際傳函 通過(guò)將 代到集合 中 并使用延遲因子 作為乘積攝動(dòng)的表征 這樣對(duì) 帶入各式后得 2 W 2 1 ( )P s s 2 1 ( ) s P se s 00.1 P 2 1:1WP s e 2 (

21、) |1| |()| () P j Wj P j 2 |1| |()| j eWj 在Bode幅頻特性上，就可以找到 幅頻 特性的上確界 ，滿足 （1） 是穩(wěn)定的 （2）在 內(nèi)， 是最小上確界 （顯然只要 ，即 具有最 大的幅值），所以 可由 時(shí)確定， 1 j e 2( )Wj 2( )Wj 00.1 2( )Wj 0.1|1| j e 2( )Wj0.1 2 0.21 ( ) 0.11 s W s s 乘積攝動(dòng)模型，并不適合所有情況，作為圓 的不確定性集合，有時(shí)是一種太粗糙的近似，在 這種情況下，依據(jù)乘積不確定性模型設(shè)計(jì)的控制 器相對(duì)原有的不確定性模型（非圓）有可能太保 守。 其它一些不確定性模型的形式， ， 在采用每一種模型時(shí)都要對(duì) 和 作適 當(dāng)?shù)募僭O(shè)。 2 /(1)PWP 2 PW 2 /(1)PW 2 W 八、魯棒穩(wěn)定性 1.引入 范數(shù)后的性能指標(biāo)表達(dá) 動(dòng)態(tài)性能指標(biāo) ， 顯然對(duì)于 而言，要滿足 則上述動(dòng)態(tài)性能指標(biāo)可寫(xiě)為 |:| 1 | ()()| 1s jWj 1 | ()()| 1s jWj 1 ()()1s jWj 2.魯棒穩(wěn)定性 魯棒概念可做如下描述： 假定對(duì)象傳遞函數(shù)屬于一個(gè)集合M，考察反 饋系統(tǒng)的某