第二章3-單自由度系統(tǒng)強迫振動-最新

1、 單自由度系統(tǒng)的 強迫振動 強迫振動：系統(tǒng)在持續(xù)的外界激勵作用下 產(chǎn)生的振動 非周期激勵 簡諧激勵 周期激勵 外界激勵)()( sin)( 0 tfTtf tFtf 強迫振動的形式 v本章討論單自由度線性系統(tǒng)在周期激擾（激 勵或擾動）作用下的強迫振動，通常稱為振 動系統(tǒng)對周期激擾的響應。周期激擾可以是 作用于振動系統(tǒng)的周期擾力，也可以是振動 系統(tǒng)支座的周期運動。 M m e x c 2 k 2 k O t 2 sinMxcxkxmet m x c 2 k 2 k c x y k x y y t m O 正弦激勵法的作用 v對于實際的振動系統(tǒng)的參數(shù)測量，實際上通 常加一系列的正弦信號，通過測量系

2、統(tǒng)的響 應，來獲得振動系統(tǒng)的參數(shù)，即所謂正弦激 勵法，例如正弦掃頻等。 討論簡諧輸入意義 v這種情形比較簡單，而所得的結(jié)論卻有很重 要的工程應用 ； v任意的周期激擾，都可以通過Fourier級數(shù)， 分解成若干個正弦型激擾的和； v利用線性系統(tǒng)的疊加性，可得到全響應。 例子 v如右圖所示，物體沿垂直方 向振動，取物體無擾力下的 靜平衡位置為坐標原點，鉛 直向下為x軸正向，建立如 圖所示的坐標系。 v受力情況如圖，其擾動力為： O 0l s x x m k k x ()Ft 變量說明 v擾力： v 稱為擾力的力幅 ，為常值 v擾力的頻率 ，簡稱擾頻，為常值 0 F 0 cosFFt 系統(tǒng)運動微分

3、方程 v由牛頓第二定律： v 整理得 v這就是無阻尼振動系統(tǒng)在簡諧擾力作用下的 運動微分方程。 0 cosmxkxFt 0 cosmxkxFt 定義輔助變量 v令： v表示在靜力條件下，系統(tǒng)受到一個大小為 的力作用時的位移。 n k m 0 F A k 0 F 方程和通解的標準形式 v這是一個非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù) 微分方程理論，它的解由兩部分組成： 22 cos nn xxAt 12 xxx 齊次解 v 代表齊次微分方程 的解，簡 稱齊次解，由前面的單自由度無阻尼自由振 動可得： 1 x 2 0 n xx 112 cossincos() nnn xBtBtBt 特解 v 代表方程 的

4、一個特解， v由激擾力的形式可知方程的特解可以表示成 v為： 2 x 22 cos nn xxAt 2 cosxXt 積分常數(shù)的確定 v將 代入微分方程，可得： v并令： ，稱為頻率比，可得： 2 cosxXt 222 coscos nn XtAt n 2 222 1 1 n n A XA 微分方程的通解 12 2 cossincos 1 nn A xBtBtt 齊次解積分常數(shù)的確定 v對通解求導可得 12 2 12 2 cossincos 1 sincossin 1 nn nnnn A xBtBtt A xBtBtt 應用初始條件 v由初始條件，初始位移和初始速度分別為： 00 , x x

5、10 2 01 2 0 2 02 1 1 n n A BxA xB x BxB 通解表達形式 v將得到的 代入方程的通解表達式： v方程解可以寫成： 12 ,B B 0 0 22 cossincos 11 nn n AxA xxttt 0 0 2 cossincoscos 1 nnn n xA xxtttt 解的討論 v從上式可以清楚地看到，前兩項是由初始條件引起 的自由振動，頻率為系統(tǒng)的無阻尼自由振動的固有 頻率 。 表示系統(tǒng)在簡諧激勵下的強迫振動，與 激擾力的頻率相同，振幅和初始條件無關(guān)。 v v 表示激擾力引起的自由振動。 n 2 cos 1 A t 2 cos 1 n A t 對擾力引

6、起自由振動的討論 v令初始條件： ，微分方程的解簡化為： v可見，激擾力不但引起強迫振動，同時還要引起自 由振動，二者都是簡諧振動，但頻率不相等的兩個 簡諧振動之和已經(jīng)不再是簡諧振動。 00 0,0 xx 2 coscos 1 n A xtt 頻率比對振幅的影響 v對于周期擾動作用下的運動，我們關(guān)心的主 v要是強迫振動， 為激擾力引起的強 迫振動， v在 時 ，強迫振動的振幅隨著的增大無 限增大，直到 時，即激擾力的頻率和系 統(tǒng)的固有頻率相等的時候，理論上的振幅趨 于無窮大，這種現(xiàn)象稱為共振。 2 cos 1 A t 1 1 頻率比對振幅的影響 v在 時，我們將 v寫成 ，從而保證振幅為正 值

7、。 v從中可以看出，質(zhì)量 的位移與擾力正好反 向，振幅隨著 的增大而無限減小。 1 2 cos 1 A t 2 cos 1 A t m 放大率 v在靜力作用下，系統(tǒng)的靜撓度為 ，可見： v 體現(xiàn)了擾力的動力作用，這個量的 v絕對值記為放大率： A 2 1 1 2 1 1 放大率-頻率比曲線 v放大率和 頻率比之 間的關(guān)系， 即為 v 曲線 123 1 2 3 n 的意義 v 曲線只表示振動系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運動的情 形，亦即激擾固定在某一頻率時，系統(tǒng)振幅 達到定值后的情形。 共振的討論 v在共振時，系統(tǒng)的振幅將達到無窮大，事實上，這 是不可能的： v首先，系統(tǒng)存在阻尼，在下節(jié)大家將會看到，微小 的阻尼就

8、會限制振幅的無限增大。 v另一方面，在振幅無限增大的過程中，線性彈簧的 假設(shè)也不再成立。 共振時微分方程的特解 v在 的時候，方程的特解也不再為 v而應該表示為如下形式：， n 2 cosxXt 2 cos n xBtt 特解的導數(shù) 2 cossin nnn xBtBtt 2 2 2sincos nnnn xBtBtt 2 22 22 2sincoscos 2sin2sincoscossin n nnnnnn nnnnn xx BtBttBtt BtBtt 積分常數(shù)的確定 v代入微分方程： ， v從而： 22 cos nnn xxAt 2 2sincoscossincos nnnnn BttA

9、t cos0 2 2 cos 2cos2 nnn nn AtA B t 共振特解的討論 v方程的特解可以寫成： v可見，共振的時候，強迫振動的振幅隨著時間的增大 而按比例的增大。見圖2-17 v對于許多機器，在正常運轉(zhuǎn)時，其擾頻都遠遠超過系 統(tǒng)的固有頻率，所以在啟動和停止的過程中，都要通 過共振區(qū)， v由于共振的振幅隨時間線性增大，只要縮短通過共振 區(qū)的時間，就可以順利通過共振區(qū)。 2 cos 2 n n A xtt 阻尼強迫振動 v實際的振動系統(tǒng)都是有阻尼的。 v下面來討論有粘性阻尼的系統(tǒng)，在 簡諧擾力作用下的強迫振動。 運動簡圖和坐標建立 v如右圖所示，物體沿水平方向 振動，取物體無擾力下

10、的靜平 衡位置為坐標原點，水平向右 為x軸正向，建立如圖所示的 坐標系。受力情況如圖，其擾 動力為： v其中 稱為擾力的力幅，為常 值； v 為擾力的頻率，簡稱擾頻， 也為常值。 0 cosFFt 0 F kx cx c k x m m x O 0cos Ft 建立微分方程 v根據(jù)牛頓第二定律： v令： v方程變形為： 0 cosmxFtkxcx n k m ， 0 F A k ， 22 cn ckmm ， 22 cn ccc cmkm 22 2cos nnn xxxAt 解的組成 v這是一個非齊次二階常系數(shù)微分方程，根據(jù) 微分方程理論，它的解由兩部分組成 ： v其中 ，代表齊次微分方程 的解

11、，簡稱齊次解， v 為 的一個特解， 又稱穩(wěn)態(tài)解 12 xxx 1 x 2 20 nn xxx 2 x 22 2cos nnn xxxAt 齊次解的討論 v當 時，由前面的單自由度阻尼自由振 動可得： v其中： ，稱為衰減振動的圓頻率。 1 112 cossin nt dd xeBtBt 2 1 dn ， 特解的討論 v由于激勵為簡諧的，根據(jù)微分方程的理論， 上述微分方程有如下形式的特解： v將 ， ， v代入 可得： 2 cosxXt 2 cosxXt 2 sinxXt 2 2 cosxXt 22 2cos nnn xxxAt 2 2 2 12 A X 1 2 2 tan 1 系統(tǒng)的全響應

12、12 2 2 2 00 0 2 2 2 cos cossin 12 sincos coscossin cos 12 n n t dd tn dd d At xeBtBt xXxX exXtt At ， 解的討論 v右端第一項是齊次解，代表衰減的自由振動； 第二項是特解，代表與擾力同頻率的簡諧運 動。 v自由振動，在運動開始后很短的時間內(nèi)迅速 消失，通常可以不加考慮。強迫振動卻不因 阻尼而衰減，它的振幅與相角也與運動的初 始條件無關(guān) 。 復頻率分析的原理 0 0 cossin sin() nn n n x xxtt At 0 0 sin cos n Ax x A v一個物體的振動可以看作一個旋轉(zhuǎn)

13、矢量的投影。 cossin it zxiy AtiAt Ae v一個矢量可以用一個復數(shù)來表示，實部和虛 部就相當于將一個矢量在實軸和虛軸上投影。 v用復數(shù)描述矢量，復數(shù)的模相當于矢量的長 度，而輻角相當于矢量的方向。 復頻率響應 0 cosFFt 單自由度系統(tǒng)在 作用下的穩(wěn)態(tài)響應為 在 作用下的穩(wěn)態(tài)響應為 ， 則 22 22 2cos 1 2sin 2 nnn nnn xxxAt yyyAt ( )x t y t 0 sin FFt 在式（2）兩邊乘i,然后與式（1）對應相加，得 22 2cossin 3 nnn xiyxiyxiyAtit 令 ，根據(jù)歐拉公式，有zxy 22 2 4 i t

14、nnn zzzAe 復頻率響應 顯然，若系統(tǒng)所受激勵為 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為 22 Recos i t nn f tAeAt Rexz 若系統(tǒng)所受激勵為 則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應為 22 Imsin i t nn g tAeAt Imxz 復頻率微分方程和穩(wěn)態(tài)解 v復頻率微分方程： v特解（穩(wěn)態(tài)解）為 v代入微分方程（4）可得： it zZe 2 222 212 i n nn AA Ze ii 22 2 4 i t nnn zzzAe 2 2 2 12 A Z 2 2 sin2 cos1 2 1 Z A Z A tg 系統(tǒng)的實際響應 v簡諧激勵下系統(tǒng)的響應就是方程 v的響應在實軸上的投影 22 2 j

15、t nnn zzzAe ReRecos it xzZeZt 2 2 2 12 A Z 其中 2 2 arctan 1 頻響函數(shù) vf(t)在 上絕對可積： v系統(tǒng)的初始條件是靜止的，即初始條件為零 , ( )f t dt 工程應用 v可見，利用Fourier變換在頻域中求解，免去 了在 時域中求解微分方程的困難，但要得到 系統(tǒng)在時域的響應要用到Fourier逆變換，而 用解析法求Fourier逆變換也比較麻煩。由于 快速Fourier變換（FFT，數(shù)值解法）方法的 廣泛應用，因此，求Fourier變換一般用FFT 而不用積分。 高壓渦輪某節(jié)點位移時域信號及其頻譜圖 50 n fHz 1 245

16、Hzf 2 148Hzf 2 2 t A )(tf 2 2 A )(F 矩形脈沖 單位沖激信號(t) 單位沖激信號及其頻譜 dtetdtetftF tjtj )()()( 1 0 t )(t ) 1 ( 0 1 )(F 例1 v求支座激勵 中響應 對激 勵 的頻響函數(shù) 00,00 mxcxkxcyky xx x t y t 例1解 v對 兩邊進行Fourier變換得： mxcxkxcyky 2 mick Xick Y 2 Xick H Ymick Laplace變換求解 vLaplace變換是常用的求解微分方程的方法， 可以方便的求系統(tǒng)在任意載荷下的響應，而 且可以計入初始條件。 求解微分方程

17、 v單自由度系統(tǒng)的微分方程： v由Laplace變換的常用性質(zhì)： 00 0,0 mxcxkxf t xxxx 0 x tsx tx LL 2 00 x tsx tsxx LL 方程的解 v兩邊取Laplace變換， v響應的Laplace變換為： 2 00 mscsk X smxmsc xF s 00 2 F smxmsc x X s mscsk 例1 v例：用Laplace變換求解方程 0 sin 00,00 mxkxFt xx 做變換 v由書后附錄： v方程兩邊做Laplace變換 22 sin t s L 2 0 22 F msk X s s 0 222 1F X s smsk 非共振時 v當 v查表可得Laplace逆變換 n 00 2222222 0 222222 11 11 n nn FF X s ssmskm s F ssm 0 22 0 2 11 sinsin sinsin 1 n nn n F x ttt m F tt k 共振時 v當 時 v由： v時域解： n 0 2 22 1 n F X s m s