動(dòng)能定理刪減

1、 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 力的功和物體動(dòng)能的計(jì)算。力的功和物體動(dòng)能的計(jì)算。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。 難點(diǎn)難點(diǎn) 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用。 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 力的功和物體動(dòng)能的計(jì)算。力的功和物體動(dòng)能的計(jì)算。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。 難點(diǎn)難點(diǎn) 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用。 本章重點(diǎn)、難點(diǎn)本章重點(diǎn)、難點(diǎn) 重點(diǎn)重點(diǎn) 力的功和物體動(dòng)能的計(jì)算。力的功和物體動(dòng)能的計(jì)算。 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)

2、用。質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒定律的應(yīng)用。 難點(diǎn)難點(diǎn) 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用。動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用。 121 力的功力的功 122 動(dòng)能動(dòng)能 123 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 124 功率功率 功率方程功率方程 125 勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng) 勢(shì)能勢(shì)能 機(jī)械能守恒定理機(jī)械能守恒定理 126 動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理的綜合應(yīng)用 第十二章第十二章 動(dòng)能定理動(dòng)能定理 與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理用 能量法研究動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重 要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能 定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量動(dòng)能和作用力的物理量功 之間的聯(lián)系，這是

3、一種能量傳遞的規(guī)律。 12-1力的功力的功 力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。 SF FSW cos 力的功是代數(shù)量。時(shí),正功； 時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功。 單位：焦耳（）； 2 2 2 m1N1J1 一常力的功一常力的功 力在曲線路程中作功力在曲線路程中作功 F 21M M 二變力的功二變力的功 dsF rdF ZdzYdyXdx kdzjdyidxrdkZjYiXF,( )ZdzYdyXdxrdF dsFWcos 力的元功力的元功 2 1 2 1 cos M M M M dsFdsFW （自然形式表達(dá)式） 三合力的功三合力的功 質(zhì)點(diǎn)M 受n個(gè)力 作用合力為則合力

4、的功 n FFF, 21 i FRR rdFFFrdRW n M M M M )( 2 1 2 1 21 rdFrdFrdF M M n M M M M 2 1 2 1 2 1 21n WWW 21 2 1 M M ZdzYdyXdx（直角坐標(biāo)表達(dá)式） 2 1 M M rdF （矢量式） 四常見(jiàn)力的功四常見(jiàn)力的功 1重力的功重力的功 2 1 )( 21 z z zzmgmgdzW 質(zhì)點(diǎn)系：)()( 2121CCiiii zzMgzzgmWW 質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重 心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。心的高度差的乘積

5、，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無(wú)關(guān)。 mgZYX , 0 , 0 質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影： 即 在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。 i WW 2彈性力的功彈性力的功 彈簧原長(zhǎng)，在彈性極限內(nèi) k彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位 變形時(shí)所需的力。N/m , N/cm。 0 l 00) (rlrkF rrr/ 0 2 1 2 1 00) ( m M M M rdrlrkrdFW drrd r rrd r rd r r rdr)( 2 1 )( 2 1 2 0 2 00 )( 2 )( 2 1 2 1 lrd k drlrkW r r r r 022011

6、 2 02 2 01 , )()( 2 lrlrlrlr k 令 )( 2 2 2 1 2 k W即 彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了 變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。 dFmrdFdsFW z )( )( 12 2 1 )( dFmW z 作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。 2 1 mdW 若m = 常量, 則 )( 12 mW 注意：功的符號(hào)的確定。注意：功的符號(hào)的確定。 3萬(wàn)有引力的功萬(wàn)有引力的功 ) 11 ( 12 0 rr GmmW 萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與

7、路徑無(wú)關(guān)。萬(wàn)有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無(wú)關(guān)。 如果作用力偶，m , 且力 偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸 4作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功 設(shè)在繞 z 軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過(guò) 一角度 時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。 F F bn FFFF 0dtvrd C0dtvFrdFW C 正壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移NF 圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功 滾動(dòng)摩擦阻力偶滾動(dòng)摩擦阻力偶m的功的功 5摩擦力的功摩擦力的功 動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功 2121 MMMM NdsfdsF

8、W N=常量時(shí), W= fN S, 與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。 R s mmW若m = 常量則 五質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功五質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功 可變質(zhì)點(diǎn)系可變質(zhì)點(diǎn)系 內(nèi)力元功之和不等于零內(nèi)力元功之和不等于零 不變質(zhì)點(diǎn)系不變質(zhì)點(diǎn)系 內(nèi)力元功之和等于零內(nèi)力元功之和等于零 只要只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零內(nèi)力的元功和就等于零。 剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長(zhǎng)的繩索內(nèi)力功之和等 于零。于零。 六理想約束反力的功六理想約束反力的功 約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為理想約束約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱(chēng)為理想約束。 1光

9、滑固定面約束光滑固定面約束 )( 0 )( rdNrdNW N 2活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承 3剛體沿固定面作純滾動(dòng)剛體沿固定面作純滾動(dòng) 4聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸） 5柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索）柔索約束（不可伸長(zhǎng)的繩索） 拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。 rdNrdNW N )( 0rdNrdN 12-2動(dòng)能動(dòng)能 物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng) 弱的又一種度量。 2 2 1 mvT 瞬時(shí)量,與速度方向無(wú)關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位 也是J。 2 2 1 iiv mT 二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能二質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)

10、能 一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能一質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能 質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)動(dòng)能的算術(shù)和稱(chēng)為該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)所有質(zhì)點(diǎn)在某瞬時(shí)動(dòng)能的算術(shù)和稱(chēng)為該瞬時(shí)質(zhì)點(diǎn) 系的動(dòng)能。即：系的動(dòng)能。即： 222 2 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 Ciii MvMvvmvmT 22 22 2 1 )( 2 1 2 1 ziiii IrmvmT 剛體的動(dòng)能剛體的動(dòng)能 平動(dòng)剛體的動(dòng)能平動(dòng)剛體的動(dòng)能 定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 2 2 1 P IT （P為速度瞬心） 2 MdII CP 22 222 2 1 2 1 )( 2 1 2 1 CC C IvM dMIT 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能 平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于

11、隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心的平面運(yùn)動(dòng)剛體的動(dòng)能等于隨同質(zhì)心平動(dòng)的動(dòng)能與繞質(zhì)心的 轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能之和。 12-3動(dòng)能定理動(dòng)能定理 一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理一、質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理 ) 2 1 ()( 2 )( 2 mvdvvd m dtvvm dt d 而 Wmvd) 2 1 ( 2 因此 微分形式的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理微分形式的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 兩邊點(diǎn)乘以，有 dtvrd rdFdtvvm dt d Fvm dt d Fam)( 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的微分形式 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元功。質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的微分等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力的元功。 將上式沿路徑積分， 21M M 2 1 2 1 )

12、 2 1 ( 2 M M v v Wmvd有 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理的積分形式 Wmvmv 2 1 2 2 2 1 2 1 積分形式的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理積分形式的質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理 得： 在該路程上所作的功。在該路程上所作的功。 二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理二、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式 對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn) ： i M iii Wvmd) 2 1 ( 2 在任一路程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力在任一路程中，質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的變化，等于作用于質(zhì)點(diǎn)上的力 將上式沿路徑 積分，可得 21M M WTT 12 積分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理積分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 iii

13、iii WvmdWvmd) 2 1 ( ) 2 1 ( 22 對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有 即 i WdT 微分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理微分形式的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有力的元功 之和。之和。 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式 質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程中始末位置動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程中始末位置動(dòng)能的改變量等于作用于 質(zhì)點(diǎn)系上所有的力在相應(yīng)路程中所作功的和。質(zhì)點(diǎn)系上所有的力在相應(yīng)路程中所作功的和。 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可寫(xiě)成以下的 形式 )( F WdT )( 12 F WTT 理想約束條

14、件下質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理理想約束條件下質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理 微分形式微分形式 積分形式積分形式 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的微分，等于作用于 質(zhì)點(diǎn)系上所有主動(dòng)力的元功之和。質(zhì)點(diǎn)系上所有主動(dòng)力的元功之和。 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程中始末位置在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系在某一段路程中始末位置 動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力在相應(yīng)路程動(dòng)能的改變量等于作用于質(zhì)點(diǎn)系上所有的主動(dòng)力在相應(yīng)路程 中所作功的和。中所作功的和。 例例1 圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處 于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k =3kN/m，為使桿能由鉛直

15、位置OA 轉(zhuǎn)到水平位置OA，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？ 解解： 研究OA桿； )( 2 1 2 . 1 2 2 2 1 )( kPW F )22 . 14 . 2(03000 2 1 2 . 18 . 930 22 ) J (4 .388 , 8 .284 . 230 3 1 2 1 2 0 2 0 2 1 T 0 2 T 由 , )( 12 F WTT. 0 3rad/s67 計(jì)算主動(dòng)力的功； 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能； ,4 .3888 .280 2 0 根據(jù)動(dòng)能定理求解： 例例2 圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤(pán)A、B各重P，半徑均為R, 兩盤(pán)中心 線為水平線, 盤(pán)A上作用矩為M(常量)的一力偶；重

16、物D重Q。問(wèn) 下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長(zhǎng)， 盤(pán)B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止) 解解： 取系統(tǒng)為研究對(duì)象； )/( )( RhQhmW F 計(jì)算主動(dòng)力的功； 0 1 T 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能； 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 BCAO Iv g Q IT )78( 16 2 3 2 1 2 1 22 1 2 2 22 2 2 PQ g v R g P v g Q R g P BA R v R v BA 2 , )( 12 F WTT由 根據(jù)動(dòng)能定理求解： PQ hgQRM vhQ R M PQ g v 78 )/( 4 )(0)78( 16 2 上式求導(dǎo)得：),(

17、)(2 16 78 dt dv a dt dh v dt dh Q R M dt dv v g PQ PQ gQRM a 78 )/(8 12-4功率功率 功率方程功率方程 一功率一功率 力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重 要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。 dt W N 作用力的功率：vFvF dt rdF dt W N 力矩的功率： 30 n MM dt d M dt W N zzz 功率的單位：瓦特（W），千瓦（kW），W=J/s 。 二功率方程二功率方程 由 的兩邊同除以dt 得

18、WdT 無(wú)用有用輸入 ：即有NNNN dt dT 起動(dòng)階段（加速）：即 制動(dòng)階段（減速）：即 穩(wěn)定階段（勻速）：即 0 dt dT 0 dt dT 0 dt dT 無(wú)用有用輸入 NNN 無(wú)用有用輸入 NNN 無(wú)用有用輸入 NNN dt W dt dT 功率方程功率方程 功率方程功率方程 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系所有質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點(diǎn)系所有 力的功率的代數(shù)和。力的功率的代數(shù)和。 討論討論 12-5勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律勢(shì)力場(chǎng)、勢(shì)能、機(jī)械能守恒定律 一勢(shì)力場(chǎng)一勢(shì)力場(chǎng) 1力場(chǎng)力場(chǎng) 若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全若質(zhì)點(diǎn)在某空間內(nèi)

19、的任何位置都受到一個(gè)大小和方向完全 由所在位置確定的力的作用，則此空間稱(chēng)為力場(chǎng)。由所在位置確定的力的作用，則此空間稱(chēng)為力場(chǎng)。 質(zhì)點(diǎn)在勢(shì)力場(chǎng)中受到的場(chǎng)力稱(chēng)為有勢(shì)力有勢(shì)力(保守力),如重力、 彈性力等。 2勢(shì)力場(chǎng)勢(shì)力場(chǎng) 在力場(chǎng)中在力場(chǎng)中, 如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始如果作用于質(zhì)點(diǎn)的場(chǎng)力作功只決定于質(zhì)點(diǎn)的始 末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)。末位置，與運(yùn)動(dòng)路徑無(wú)關(guān)，這種力場(chǎng)稱(chēng)為勢(shì)力場(chǎng)。重力場(chǎng)、 萬(wàn)有引力場(chǎng)、彈性力場(chǎng)都是勢(shì)力場(chǎng)。 二勢(shì)能二勢(shì)能 定義定義 在勢(shì)力場(chǎng)中在勢(shì)力場(chǎng)中, 質(zhì)點(diǎn)從位置質(zhì)點(diǎn)從位置M 運(yùn)動(dòng)到任選位置運(yùn)動(dòng)到任選位置M0, 有勢(shì)力所有勢(shì)力所 作的功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置作的

20、功稱(chēng)為質(zhì)點(diǎn)在位置M 相對(duì)于位置相對(duì)于位置M0的勢(shì)能，用的勢(shì)能，用V 表示。表示。 M M M M M M ZdzYdyXdxZdzYdyXdxrdFV 0 00 M0作為基準(zhǔn)位置，勢(shì)能為零，稱(chēng)為零勢(shì)能點(diǎn)零勢(shì)能點(diǎn)。勢(shì)能具有 相對(duì)性。 dVZdzYdyXdx ),(zyxVV 是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，稱(chēng)為勢(shì)能函數(shù)。是位置坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，稱(chēng)為勢(shì)能函數(shù)。 將上式求微分，則有： 1.重力場(chǎng)重力場(chǎng) 質(zhì)點(diǎn)： 質(zhì)點(diǎn)系： PhzzPV)( 0 hPzzPV CC )( 0 dz z V dy y V dx x V dV , , z V Z y V Y x V X 質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能： io i M M iiii

21、iinnn dzZdyYdxXzyxzyxV)(),( 111 即：有勢(shì)力在各坐標(biāo)軸上的投影等于勢(shì)能函數(shù)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo)即：有勢(shì)力在各坐標(biāo)軸上的投影等于勢(shì)能函數(shù)對(duì)于相應(yīng)坐標(biāo) 偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。偏導(dǎo)數(shù)的負(fù)值。 幾種勢(shì)能計(jì)算幾種勢(shì)能計(jì)算 等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢(shì)能都相等。等勢(shì)面：質(zhì)點(diǎn)位于該面上任何地方，勢(shì)能都相等。 ZdzYdyXdxdV 有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)中的始末位置的勢(shì)能之差。有勢(shì)力的功等于質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)中的始末位置的勢(shì)能之差。 三有勢(shì)力的功三有勢(shì)力的功 在M1位置：101 0 1 WrdFV M M 202 0 2 WrdFV M M M2位置： 21201012 VVWWWM1M2

22、： r mGm V 21 2. 彈性力場(chǎng)彈性力場(chǎng) 取彈簧的自然位置為零勢(shì)能點(diǎn) 3. 萬(wàn)有引力場(chǎng)萬(wàn)有引力場(chǎng) 取與引力中心相距無(wú)窮遠(yuǎn)處為零勢(shì)能位置 2 2 1 kV )( 0 r 設(shè)質(zhì)點(diǎn)系只受到有勢(shì)力(或同時(shí)受到不作功的非有勢(shì)力) 作 用，則 211212 VVWTT 對(duì)非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12 , 則有 121122 )()(WVTVT 四機(jī)械能守恒定律四機(jī)械能守恒定律 機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和機(jī)械能：系統(tǒng)的動(dòng)能與勢(shì)能的代數(shù)和。 質(zhì)點(diǎn)系只在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能保持不變。這質(zhì)點(diǎn)系只在有勢(shì)力作用下運(yùn)動(dòng)時(shí)，其機(jī)械能保持不變。這 樣的系統(tǒng)稱(chēng)為保守系統(tǒng)。樣的系統(tǒng)稱(chēng)為保守系統(tǒng)。 機(jī)

23、械能守恒定律機(jī)械能守恒定律常量 2211 VTVT有： mg l VT 2 ,0 11 初瞬時(shí)： ) 2 ( 2 y l mgV, 2 1 24 1 2 1 2 1 22222 2 ymmlymIT C 任一瞬時(shí)： 例例1 長(zhǎng)為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面 上。當(dāng)桿無(wú)初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角 和質(zhì)心的位置表達(dá)）。 解解：由于 ，故質(zhì)心C鉛垂下 降。而約束反力不作功, 主動(dòng)力為有 勢(shì)力，因此可用機(jī)械能守恒定律求解。 常量則且 CCx e i xvX0,0 0 )( sin 2 , sin 2 cos1 2 l yl y l y 即又 由機(jī)械能守恒定律： ) 2

24、( 2 1 24 1 2 0 222 y l mgymmlmg l 將 代入上式，化簡(jiǎn)后得： sin 2 l y 即為所求。y g y 2 2 sin31 sin6 常量 2211 VTVT 有： 12-6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用 動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和動(dòng)力學(xué)普遍定理包括質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理、動(dòng)量矩定理和 動(dòng)能定理。動(dòng)能定理。動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理是矢量形式，動(dòng)能定理是標(biāo)量形 式，他們都可應(yīng)用研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)，而動(dòng)能定理還可以研究其它形式 的運(yùn)動(dòng)能量轉(zhuǎn)化問(wèn)題。 動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力學(xué)問(wèn)題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普動(dòng)力學(xué)普遍定理提供了解決動(dòng)力

25、學(xué)問(wèn)題的一般方法。動(dòng)力學(xué)普 遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是遍定理的綜合應(yīng)用，大體上包括兩方面的含義：一是能根據(jù)問(wèn)題的 已知條件和待求量，選擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼膺x擇適當(dāng)?shù)亩ɡ砬蠼?，包括各種守恒情況的判 斷，相應(yīng)守恒定理的應(yīng)用。避開(kāi)那些無(wú)關(guān)的未知量，直接求得需求 的結(jié)果。二是二是對(duì)比較復(fù)雜的問(wèn)題，能根據(jù)需要選用選用兩、三個(gè)定理聯(lián)定理聯(lián) 合求解。合求解。 一動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用一動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用含義含義 求解過(guò)程中求解過(guò)程中,要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析要正確進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析, 列出正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。列出正確的運(yùn)動(dòng)學(xué)補(bǔ)充方程。 已知主動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)初始條件 約束反力 系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 約束反力

26、系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 動(dòng)能定理；質(zhì)心運(yùn) 動(dòng)定理；動(dòng)量定理 ；動(dòng)量矩定理；定 軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程； 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分 方程；各種守恒定 理。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；動(dòng) 量定理；動(dòng)量矩定 理；剛體平面運(yùn)動(dòng) 微分方程。 二普遍定理綜合應(yīng)用三方面的問(wèn)題二普遍定理綜合應(yīng)用三方面的問(wèn)題 動(dòng)能定理；質(zhì)心運(yùn) 動(dòng)定理；動(dòng)量定理 ；動(dòng)量矩定理；定 軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程； 剛體平面運(yùn)動(dòng)微分 方程；各種守恒定 理。 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理；動(dòng) 量定理；動(dòng)量矩定 理；剛體平面運(yùn)動(dòng) 微分方程。 已知主動(dòng)力和運(yùn)動(dòng)初始條件 三綜合應(yīng)用舉例三綜合應(yīng)用舉例 例例1 兩根均質(zhì)桿AC和BC各重為P，長(zhǎng)為l，在C處光滑鉸接，置 于光滑水平面上；設(shè)兩桿軸線始終在鉛垂面內(nèi)，初

27、始靜止，C點(diǎn) 高度為h，求鉸C到達(dá)地面時(shí)的速度。 解解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開(kāi)。 研究對(duì)象：整體； 分析受力如圖； Ph h PW F 2 2 )( 0 1 T , 3 1 2 3 1 2 1 2222 2 l g P l g P T 為速度瞬心）、平面運(yùn)動(dòng) 作、 BA BCAC l vC , ( 常量則且 1 0,0 0 )( CCx e i xvX 計(jì)算主動(dòng)力的功； 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能； 2 2 3 1 C v g P T 討論 動(dòng)量守恒定理動(dòng)能定理求解。 計(jì)算動(dòng)能時(shí)，利用平面運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系。 ghvPhv g P CC 3 0 3 1 2 得：即有： 根據(jù)動(dòng)能定理求解： )( 1

28、2 F WTT由 例例2 均質(zhì)圓盤(pán)A：m，r；滑塊B： m；桿AB：質(zhì)量不計(jì)，平行于斜 面。斜面傾角 ，摩擦系數(shù)f ，圓 盤(pán)作純滾動(dòng)，系統(tǒng)初始靜止。求： 滑塊的加速度。 解： 選系統(tǒng)為研究對(duì)象 2222 21 2 1 2 1 2 1 2 1 , 0mrmvmvTT 運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系： r v 2 2 4 5 mvT )cossin2(0 4 5 2 fmgSmv 計(jì)算主動(dòng)力的功； 運(yùn)動(dòng)分析計(jì)算動(dòng)能； )cossin2( cossin2 )( fmgS fmgSmgSW F 根據(jù)動(dòng)能定理求解： , )( 12 F WTT由 上式兩邊對(duì)求導(dǎo)，得： gfa)cos 5 2 sin 5 4 ( 例例3 重1

29、50N的均質(zhì)圓盤(pán)與重60N、長(zhǎng)24cm的均質(zhì)桿AB在B處用 鉸鏈連接。 系統(tǒng)由圖示位置無(wú)初速地釋放。求求系統(tǒng)經(jīng)過(guò)最低位 置B點(diǎn)時(shí)的速度及支座A的約束反力。 解：（解：（1）取圓盤(pán)為研究對(duì)象）取圓盤(pán)為研究對(duì)象 ; 0)( )( e B Fm 0 0)( )( B e BBB FmI 0 0 B圓盤(pán)平動(dòng)。 2 21 2 2 2 1 6 3 2 1 3 1 2 1 BBB v g GG v g G v g G 2 2 2 2 2 1 2 1 BA v g G IT )30sin)( 2 ()30sin()30sin 22 ( 2 1 21 )( llG G llG ll GW F )( 12 F W

30、TT )30sin)( 2 (0 6 3 2 1 2 21 llG G v g GG B 代入數(shù)據(jù)，得m/s 58. 1 B v 取系統(tǒng)研究。初始時(shí)T1=0 ， 最低位置時(shí)： （2）用動(dòng)能定理求速度）用動(dòng)能定理求速度。 （3）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度）用動(dòng)量矩定理求桿的角加速度 。 ) 3 1 ( 3 1 2 2 2 12 2 1 l g G l g G vl g G l g G LA 由于0)( )(e A A Fm dt dL 所以 0 。 桿質(zhì)心桿質(zhì)心 C的加速度：的加速度： 盤(pán)質(zhì)心加速度：盤(pán)質(zhì)心加速度： )0( 2 2 C n CC a l aa )0( 2 B n BB alaa rad/s 58. 6 24. 0 58. 1 l vB （4）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。）由質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理求支座反力。研究整個(gè)系統(tǒng)。 ; 0 21 ABcixi Xa g G a g G am 代入數(shù)據(jù)，得N401 , 0 AA YX 21 2 2 2 1 2 GGYl g G l g G am Aiyi 相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理相對(duì)質(zhì)心動(dòng)量矩守恒定理+動(dòng)能定理動(dòng)能定理+動(dòng)量矩定理動(dòng)量矩定理+質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理