高中數(shù)學 第一章 統(tǒng)計案例 1.1 回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用創(chuàng)新應(yīng)用學案

1、學必求其心得，業(yè)必貴于專精1。1預(yù)習課本p28，思考并完成以下問題1什么是回歸分析?2什么是線性回歸模型？3求線性回歸方程的步驟是什么？1回歸分析(1）回歸分析回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進行統(tǒng)計分析的一種常用方法(2）回歸方程的相關(guān)計算對于兩個具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1）,（x2，y2),(xn，yn）設(shè)其回歸直線方程為x，其中,是待定參數(shù),由最小二乘法得，(3)線性回歸模型線性回歸模型，其中a，b為模型的未知參數(shù)，通常e為隨機變量，稱為隨機誤差x稱為解釋變量，y稱為預(yù)報變量點睛對線性回歸模型的三點說明（1）非確定性關(guān)系：線性回歸模型ybxae與確定性函數(shù)yabx相比

2、,它表示y與x之間是統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系(非確定性關(guān)系)，其中的隨機誤差e提供了選擇模型的準則以及在模型合理的情況下探求最佳估計值a，b的工具（2）線性回歸方程x中,的意義是：以為基數(shù)，x每增加1個單位，y相應(yīng)地平均增加個單位2線性回歸分析（1）殘差:對于樣本點（xi，yi）（i1,2，n)的隨機誤差的估計值 iyii稱為相應(yīng)于點（xi,yi)的殘差，(yii）2稱為殘差平方和（2)殘差圖:利用圖形來分析殘差特性,作圖時縱坐標為殘差， 橫坐標可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù),或體重的估計值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖（3)r21越接近1，表示回歸的效果越好1判斷下列命題是否正確(正確的打“，錯誤的打“”）

3、(1)殘差平方和越小， 線性回歸方程的擬合效果越好（）(2）在畫兩個變量的散點圖時， 預(yù)報變量在x軸上，解釋變量在y軸上()(3）r2越小, 線性回歸方程的擬合效果越好(）答案：（1）（2）(3）2從散點圖上看，點散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi)， 兩個變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為_答案：正相關(guān)3在殘差分析中， 殘差圖的縱坐標為_答案：殘差4如果發(fā)現(xiàn)散點圖中所有的樣本點都在一條直線上, 則殘差平方和等于_， 解釋變量和預(yù)報變量之間的相關(guān)系數(shù)等于_答案：01或1求線性回歸方程典例某研究機構(gòu)對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析,得下表數(shù)據(jù)x681012y2356（1）請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2）請

4、根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程 x；（3)試根據(jù)求出的線性回歸方程，預(yù)測記憶力為9的同學的判斷力解（1)散點圖如圖：（2）iyi6283105126158,9，4，628210212234407,407923，故線性回歸方程為07x23(3）由(2）中線性回歸方程知,當x9時，079234，故預(yù)測記憶力為9的同學的判斷力約為4求線性回歸方程的三個步驟(1)畫散點圖：由樣本點是否呈條狀分布來判斷兩個量是否具有線性相關(guān)關(guān)系(2)求回歸系數(shù)：若存在線性相關(guān)關(guān)系，則求回歸系數(shù)（3）寫方程:寫出線性回歸方程,并利用線性回歸方程進行預(yù)測說明活學活用某工廠18月份某種產(chǎn)品的產(chǎn)量與

5、成本的統(tǒng)計數(shù)據(jù)見下表:月份12345678產(chǎn)量（噸）5660616470758082成本(萬元）130136143149157172183188以產(chǎn)量為x，成本為y（1）畫出散點圖;(2）y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系?若有,求出其回歸方程解：（1）由表畫出散點圖，如圖所示（2）從上圖可看出，這些點基本上散布在一條直線附近，可以認為x和y線性相關(guān)關(guān)系顯著，下面求其回歸方程,首先列出下表xiyixxiyi1561303136728026013636008160361143372187234641494096953657015749001 099067517256251 290078018364001

6、 464088218867241 54165481 258382028 7645計算得685，157252217，157252217685539，故線性回歸方程為2217x539回歸分析題點一：線性回歸分析1在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x元和需求量y件之間的一組數(shù)據(jù)為：x1416182022y1210753求出y對x的回歸直線方程，并說明擬合效果的程度解：（1416182022）18，(1210753）741421621822022221 660,iyi14121610187205223620，可得回歸系數(shù)115所以7411518281所以回歸直線方程：115x281列出殘差表：yii0030

7、40102yi4626042444則（yii）203,（yi)2532r210994所以回歸模型的擬合效果很好題點二：非線性回歸分析2為了研究某種細菌隨時間x變化繁殖個數(shù)y的變化，收集數(shù)據(jù)如下時間x/天123456繁殖個數(shù)y612254995190（1)用時間作解釋變量，繁殖個數(shù)作預(yù)報變量作出這些數(shù)據(jù)的散點圖;(2)求y與x之間的回歸方程解：（1)散點圖如圖所示：（2）由散點圖看出樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)y1c1ec2x的周圍，于是令zln y,則x123456z179248322389455525由計算器算得,069x1112,則有e069x1112(1)當兩個變量已明顯呈線性相關(guān)關(guān)系時，則

8、無需作散點圖，就可直接求回歸直線方程，否則要先判定相關(guān)性再求回歸方程判斷擬合效果的好壞需要利用r2確定，r2越接近1，說明擬合效果越好(2)非線性回歸方程的求法根據(jù)原始數(shù)據(jù)（x，y）作出散點圖；根據(jù)散點圖，選擇恰當?shù)臄M合函數(shù)；作恰當?shù)淖儞Q,將其轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求線性回歸方程；在的基礎(chǔ)上通過相應(yīng)的變換，即可得非線性回歸方程 層級一學業(yè)水平達標1在對兩個變量x,y進行線性回歸分析時，有下列步驟：對所求出的回歸直線方程作出解釋;收集數(shù)據(jù)(xi，yi），i1，2，n；求線性回歸方程；求相關(guān)系數(shù)；根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖如果根據(jù)可行性要求能夠作出變量x，y具有線性相關(guān)的結(jié)論，則在下列操作順序中正確的是

9、(）abc d解析：選d對兩個變量進行回歸分析時，首先收集數(shù)據(jù)(xi，yi），i1,2，,n；根據(jù)所搜集的數(shù)據(jù)繪制散點圖觀察散點圖的形狀，判斷線性相關(guān)關(guān)系的強弱，求相關(guān)系數(shù)，寫出線性回歸方程，最后依據(jù)所求出的回歸直線方程作出解釋；故正確順序是， 故選d2有下列說法：在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適；r2來刻畫回歸的效果，r2值越大，說明模型的擬合效果越好；比較兩個模型的擬合效果， 可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型，擬合效果越好其中正確命題的個數(shù)是(）a0 b1c2 d3解析：選d選用的模型是否合適與殘差點的分布有關(guān); 對于， r2的值越大,

10、 說明殘差平方和越小, 隨機誤差越小，則模型的擬合效果越好3下圖是根據(jù)變量x，y的觀測數(shù)據(jù)（xi,yi)（i1，2,10）得到的散點圖，由這些散點圖可以判斷變量x，y具有相關(guān)關(guān)系的圖是（)a bc d解析：選d根據(jù)散點圖中點的分布情況，可判斷中的變量x，y具有相關(guān)的關(guān)系4(重慶高考)已知變量x與y正相關(guān),且由觀測數(shù)據(jù)算得樣本平均數(shù)3，35，則由該觀測數(shù)據(jù)算得的線性回歸方程可能為(）a04x23 b2x24c2x95 d03x44解析:選a依題意知，相應(yīng)的回歸直線的斜率應(yīng)為正，排除c，d且直線必過點（3，35）代入a,b得a正確5為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機調(diào)查了該社區(qū)5戶家

11、庭，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù)表：收入x（萬元)8286100113119支出y(萬元）6275808598根據(jù)上表可得回歸直線方程x,其中076，據(jù)此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()a114萬元 b118萬元c120萬元 d122萬元解析：選b由題意知，10,8，80761004，當x15時，0761504118(萬元）6以下是某地區(qū)的降雨量與年平均氣溫的一組數(shù)據(jù)：年平均氣溫()1251128412841369133312741305年降雨量(mm)542507813574701432464根據(jù)這組數(shù)據(jù)可以推斷,該地區(qū)的降雨量與年平均氣溫_相關(guān)關(guān)系(填“具有”或“不具有)解析：畫出散

12、點圖，觀察可知,降雨量與年平均氣溫沒有相關(guān)關(guān)系答案：不具有7在一組樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2）,，（xn,yn)(n2，x1,x2,，xn不全相等)的散點圖中,若所有樣本點（xi,yi）(i1，2，n）都在直線yx1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為_解析：根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的定義可知， 當所有樣本點都在直線上時, 相關(guān)系數(shù)為1答案：18下列說法正確的命題是_(填序號）回歸直線過樣本點的中心(，)；線性回歸方程對應(yīng)的直線x至少經(jīng)過其樣本數(shù)據(jù)點(x1,y1)，(x2，y2)，,(xn，yn）中的一個點；在殘差圖中，殘差點分布的帶狀區(qū)域的寬度越寬，其模型擬合的精度越高；在回歸分析中，r2為

13、098的模型比r2為080的模型擬合的效果好解析：由回歸分析的概念知正確，錯誤答案：9某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進行合理定價,將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進行試銷,得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)8828486889銷量y（件)908483807568（1）求回歸直線方程x，其中20，；（2）預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系,且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤,該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元?（利潤銷售收入成本)解：(1）(8828486889）85,（908483807568)80，從而20802085250, 故20x250(2)由題意知， 工廠獲得利潤z(x4)y20x

14、2330x1 00020236125，所以當x825時，zmax36125（元)即當該產(chǎn)品的單價定為825元時,工廠獲得最大利潤10關(guān)于x與y有以下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070已知x與y線性相關(guān)，由最小二乘法得65，(1)求y與x的線性回歸方程；（2）現(xiàn)有第二個線性模型：7x17,且r2082若與（1）的線性模型比較，哪一個線性模型擬合效果比較好,請說明理由解:（1)依題意設(shè)y與x的線性回歸方程為65x5，50，65x經(jīng)過(，),50655，175,y與x的線性回歸方程為65x175(2)由(1)的線性模型得yii與yi的關(guān)系如下表：yii0535106505yi201010020

15、所以(yii)2（05）2(35)2102（65）2052155(yi）2（20)2(10）2102022021 000所以r110845由于r0845,r2082知rr2，所以(1)的線性模型擬合效果比較好層級二應(yīng)試能力達標1在建立兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇4個不同模型，求出它們相對應(yīng)的r2如表，則其中擬合效果最好的模型是（）模型1234r2067085049023a模型1b模型2c模型3 d模型4解析：選b線性回歸分析中,相關(guān)系數(shù)為r，|r|越接近于1, 相關(guān)程度越大； r越小， 相關(guān)程度越小，故其擬合效果最好 故選b2如果某地的財政收入x與支出y滿足線性回歸方程ybxae（單位

16、：億元），其中b08,a2，|e05,如果今年該地區(qū)財政收入為10億元，則年支出預(yù)計不會超過（）a10億 b9億c105億 d95億解析:選cx10時,y08102e10e，又e05，y1053某咖啡廳為了了解熱飲的銷售量y(個)與氣溫x（)之間的關(guān)系,隨機統(tǒng)計了某4天的銷售量與氣溫，并制作了對照表:氣溫（）1813101銷售量（個）24343864由表中數(shù)據(jù),得線性回歸方程2xa當氣溫為4 時，預(yù)測銷售量約為（)a68 b66c72 d70解析：選a(1813101）10，(24343864)40，40210a，a60，當x4時，y2（4)60684甲、乙、丙、丁4位同學各自對a，b兩變量進

17、行回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和(yii)2如下表：甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103哪位同學的試驗結(jié)果體現(xiàn)擬合a，b兩變量關(guān)系的模型擬合精度高（)a甲 b乙c丙 d丁解析：選d根據(jù)線性相關(guān)的知識，散點圖中各樣本點條狀分布越均勻,同時保持殘差平方和越小(對于已經(jīng)獲取的樣本數(shù)據(jù)，r2的表達式中(yi）2為確定的數(shù)，則殘差平方和越小，r2越大)，由回歸分析建立的線性回歸模型的擬合效果越好，由試驗結(jié)果知丁要好些故選d5在研究兩個變量的相關(guān)關(guān)系時，觀察散點圖發(fā)現(xiàn)樣本點集中于某一條指數(shù)曲線yebxa的周圍，令ln y,求得回歸直線方程為025x258，則該模型的回歸方程為_解析：因為

18、025x258，ln y，所以ye025x258答案：ye025x2586調(diào)查了某地若干戶家庭的年收入x（單位：萬元）和年飲食支出y（單位：萬元)，調(diào)查顯示年收入x與年飲食支出y具有線性相關(guān)關(guān)系，并由調(diào)查數(shù)據(jù)得到y(tǒng)對x的回歸直線方程：0254x0321由回歸直線方程可知,家庭年收入每增加1萬元，年飲食支出平均增加_萬元解析：以x1代x,得0254(x1）0321，與0254x0321相減可得，年飲食支出平均增加0254萬元答案：02547下表是某年美國舊轎車價格的調(diào)查資料使用年數(shù)12345678910平均價格(美元)2 6511 9431 4941 087765538484290226204觀察表中的數(shù)據(jù)，試問平均價格與使用年數(shù)間存在什么樣的關(guān)系？解:設(shè)x表示轎車的使用年數(shù)，y表示相應(yīng)的平均價格，作出散點圖由散點圖可以看出y與x具有指數(shù)關(guān)系，令zln y，變換得x12345678910z7883757273096991664062886182567054215318作出散點圖：由圖可知各點基本上處于一直線，由表中數(shù)據(jù)可求出線性回歸方程：81660298x因為舊車的平均價格與使用年數(shù)具有指數(shù)關(guān)系，其非線性回歸方程為e81660298x8某公司利潤y（單位：千萬元)與銷售總額x（單位：千萬元)之間有如下對應(yīng)數(shù)據(jù)：x101517202