第六章曲線與曲面的投影

1、第 六 章 曲線與曲面的投影 6-16-1曲線概述曲線概述 6-26-2圓與橢圓圓與橢圓 6-36-3曲面概述曲面概述 6-46-4一般回轉(zhuǎn)體一般回轉(zhuǎn)體 6-56-5螺旋線與螺旋面螺旋線與螺旋面 一、一、曲線的形成曲線的形成 工程上常用的曲線大都可認(rèn)為是：工程上常用的曲線大都可認(rèn)為是： 點(diǎn)運(yùn)動時(shí)的點(diǎn)運(yùn)動時(shí)的軌跡軌跡； 平面與曲面或曲面與曲面的平面與曲面或曲面與曲面的交線交線； 曲線或直線在平面內(nèi)運(yùn)動時(shí)所得線族的曲線或直線在平面內(nèi)運(yùn)動時(shí)所得線族的包絡(luò)線包絡(luò)線。 平面曲線平面曲線 空間曲線空間曲線 曲線曲線 二、曲線的分類二、曲線的分類 曲線一般可分為：曲線一般可分為： 規(guī)則曲線規(guī)則曲線-如圓、橢

2、圓、雙曲線、如圓、橢圓、雙曲線、 拋物線等。拋物線等。 不規(guī)則曲線不規(guī)則曲線-任意平面曲線。任意平面曲線。 規(guī)則曲線規(guī)則曲線- -如螺旋線。如螺旋線。 不規(guī)則曲線。不規(guī)則曲線。 三、曲三、曲 線線 投投 影影 的的 一一 般般 性性 質(zhì)質(zhì) 曲線投影時(shí)有如下的性質(zhì)：曲線投影時(shí)有如下的性質(zhì)： 1、曲線的投影一般仍為曲線。、曲線的投影一般仍為曲線。 2、二次曲線的投影一般仍為二次曲線。、二次曲線的投影一般仍為二次曲線。 平面二次曲線一般方程：平面二次曲線一般方程：Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0 3、曲線的切線，它的投影一般仍與曲線的同面投影相切。、曲線的切線，它的投影一般仍與曲線的同面投

3、影相切。 4、曲線的二重點(diǎn)（自身的交點(diǎn)）投影后的性質(zhì)不變。、曲線的二重點(diǎn)（自身的交點(diǎn)）投影后的性質(zhì)不變。 圓與橢圓圓與橢圓 一、圓與橢一、圓與橢 圓投影的一圓投影的一 般性質(zhì)般性質(zhì) 1、圓或橢圓的、圓或橢圓的 中心投射后仍為中心投射后仍為 中心，且中心等中心，且中心等 分所有的直徑分所有的直徑 （指過圓或橢圓（指過圓或橢圓 中心的弦）。中心的弦）。 圖圖6-3 6-3 圓的投影圓的投影 X a b c d O H PH P V A B C D O 2、圓的投影一般為橢圓。當(dāng)圓所在的平面為投、圓的投影一般為橢圓。當(dāng)圓所在的平面為投 影面平行面時(shí)，它在該投影面的投影仍為圓。影面平行面時(shí)，它在該投影

4、面的投影仍為圓。 O O X 另外的投影為平行投影軸的另外的投影為平行投影軸的 直線，長度等于圓的直徑。直線，長度等于圓的直徑。 O O X 當(dāng)圓垂直投影面時(shí)，它在該面的投影為傾斜于投影軸的直線，當(dāng)圓垂直投影面時(shí)，它在該面的投影為傾斜于投影軸的直線， 長度等于圓的直徑長度等于圓的直徑。另外的投影為橢圓，橢圓由它的長短軸決定，。另外的投影為橢圓，橢圓由它的長短軸決定， 長軸是投影面垂直線，短軸是投影面平行線，均過圓心長軸是投影面垂直線，短軸是投影面平行線，均過圓心。 d 3、圓與橢圓的一對共軛直徑投影后仍為共軛直徑。、圓與橢圓的一對共軛直徑投影后仍為共軛直徑。 a b c O H PH P V

5、A B C D 4 4、圓的投影為橢圓圓的投影為橢圓 時(shí)，對于某一投影來時(shí)，對于某一投影來 說，圓上只有一對相說，圓上只有一對相 互垂直的直徑投射后互垂直的直徑投射后 為橢圓的一對相互垂為橢圓的一對相互垂 直的共軛直徑：長、直的共軛直徑：長、 短軸。短軸。 長軸平行投影面，長軸平行投影面， 反映實(shí)長（等于圓的反映實(shí)長（等于圓的 直徑），短軸與長軸直徑），短軸與長軸 垂直（為最大斜度垂直（為最大斜度 線），實(shí)長等于圓的線），實(shí)長等于圓的 直徑，投影長由作圖直徑，投影長由作圖 來決定。來決定。 5 5、橢圓的投影一般還是橢圓，空間橢圓的長短軸在投射、橢圓的投影一般還是橢圓，空間橢圓的長短軸在投射

6、后一般為投影橢圓的一對共軛軸。后一般為投影橢圓的一對共軛軸。 圖圖6-46-4 二、圓或橢圓投射時(shí)的作圖二、圓或橢圓投射時(shí)的作圖 作圓的投影時(shí)，一般是根據(jù)圓的一對共軛直徑求橢圓的長作圓的投影時(shí)，一般是根據(jù)圓的一對共軛直徑求橢圓的長 短軸，然后按照已知長短軸作橢圓的方法畫出橢圓。短軸，然后按照已知長短軸作橢圓的方法畫出橢圓。 1、求出橢圓的長短軸后畫橢圓、求出橢圓的長短軸后畫橢圓 a b d c o X a b c d o 圓半徑圓半徑 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 o o 3 3 3 3 4 4 44 4 4 例：知平面例：知平面 內(nèi)圓的半徑，內(nèi)圓的半徑， 求它的兩面求它的兩面 投影

7、投影 短半短半 軸長軸長 短半短半 軸長軸長 2、根據(jù)共軛軸求長短軸、根據(jù)共軛軸求長短軸 A B C D O D1 M K L OK2=ok K2 K1 L1 OL1=oL L2 M為為D1B中點(diǎn)中點(diǎn) MK=ML=MB 短軸平行短軸平行BL 長軸平行長軸平行KB 曲面可認(rèn)為是動線運(yùn)動時(shí)的軌跡，動線也叫曲面可認(rèn)為是動線運(yùn)動時(shí)的軌跡，動線也叫 母線母線。母線為。母線為直線直線時(shí)所形成的曲面叫做時(shí)所形成的曲面叫做直紋面直紋面， 為曲線時(shí)所形成的曲面叫做為曲線時(shí)所形成的曲面叫做曲紋面曲紋面。 母線作母線作規(guī)則運(yùn)動規(guī)則運(yùn)動時(shí)所形成的曲面叫做時(shí)所形成的曲面叫做規(guī)則曲規(guī)則曲 面面?？刂颇妇€運(yùn)動的點(diǎn)、線、面叫

8、做?？刂颇妇€運(yùn)動的點(diǎn)、線、面叫做定點(diǎn)定點(diǎn)、導(dǎo)線導(dǎo)線 和和導(dǎo)面導(dǎo)面。 一、曲面的形成一、曲面的形成 a b c a1 b1 c1 H m M N n A B C A1 B1 C1 素線：素線：母線在某母線在某 一時(shí)刻的位置。一時(shí)刻的位置。 導(dǎo)線導(dǎo)線 母線母線 素線素線 例例1 1、圓柱面的幾種形成方法。、圓柱面的幾種形成方法。 動畫演示 動畫演示 曲面的形成可以是多種多樣的曲面的形成可以是多種多樣的 例例2 2、圓錐面的形成，如圖、圓錐面的形成，如圖6-96-9。 圓錐面可看作由 直母線繞和它相交 的軸線回轉(zhuǎn)而成。 動畫演示 圓錐面可看 作由變徑圓母 線沿過圓心的 軸線平移而成。 二、曲二、曲

9、面面 的的 分分 類類 根據(jù)母線的性質(zhì)，形成方法等，曲面可分為：根據(jù)母線的性質(zhì)，形成方法等，曲面可分為： 可展可展- -如圓柱、圓錐。如圓柱、圓錐。 不可展不可展- -如單葉雙曲回轉(zhuǎn)面。如單葉雙曲回轉(zhuǎn)面。 可展可展-如橢圓錐、橢圓柱、盤旋面。如橢圓錐、橢圓柱、盤旋面。 不可展不可展- - -如雙拋物面、正螺旋面、如雙拋物面、正螺旋面、 柱狀面、錐狀面。柱狀面、錐狀面。 回轉(zhuǎn)面回轉(zhuǎn)面 非回轉(zhuǎn)面非回轉(zhuǎn)面 直紋面直紋面 回轉(zhuǎn)面回轉(zhuǎn)面-如圓球面、圓環(huán)面、拋物回轉(zhuǎn)面等。如圓球面、圓環(huán)面、拋物回轉(zhuǎn)面等。 定母線定母線 變母線變母線-三軸橢球面。三軸橢球面。 非回轉(zhuǎn)面非回轉(zhuǎn)面 曲紋面曲紋面 其它曲面（自由曲

10、面）其它曲面（自由曲面） 曲面曲面 三、曲三、曲 面面 的的 表表 示示 方方 法法 用投影表示曲面時(shí)，一般應(yīng)畫出形成曲面的用投影表示曲面時(shí)，一般應(yīng)畫出形成曲面的導(dǎo)線導(dǎo)線、導(dǎo)面導(dǎo)面、 定點(diǎn)定點(diǎn)和和母線母線等幾何元素以及等幾何元素以及曲面輪廓線曲面輪廓線的投影。的投影。 圖圖6-10 6-10 曲面投影的表示法曲面投影的表示法 m n m n X a b c a1 b1 c1 a1 b1 c1 a b c 6-4 6-4 一般回轉(zhuǎn)面一般回轉(zhuǎn)面 一、形成和特點(diǎn)一、形成和特點(diǎn) 母線繞軸線旋轉(zhuǎn)所形母線繞軸線旋轉(zhuǎn)所形 成的曲面，叫做成的曲面，叫做回轉(zhuǎn)面回轉(zhuǎn)面。 母線上任意點(diǎn)回轉(zhuǎn)時(shí)的母線上任意點(diǎn)回轉(zhuǎn)時(shí)的

11、軌跡是個(gè)圓周，這個(gè)圓軌跡是個(gè)圓周，這個(gè)圓 叫做叫做緯圓緯圓（垂直旋轉(zhuǎn)（垂直旋轉(zhuǎn) 軸）軸）。 二、投影畫法二、投影畫法 回轉(zhuǎn)面必須回轉(zhuǎn)面必須用點(diǎn)劃線畫出軸線用點(diǎn)劃線畫出軸線 的投影，然后畫出投影的輪廓線或某的投影，然后畫出投影的輪廓線或某 些些極限位置素線極限位置素線的投影和的投影和緯圓緯圓的投影。的投影。 對單個(gè)的回轉(zhuǎn)面一般使軸線為投對單個(gè)的回轉(zhuǎn)面一般使軸線為投 影面垂直線，這樣在平行于軸線的投影面垂直線，這樣在平行于軸線的投 影面上的投影，即為左右、前后中上影面上的投影，即為左右、前后中上 下極限位置素線的投影；在垂直于軸下極限位置素線的投影；在垂直于軸 線投影面上的投影為一個(gè)或多個(gè)同心線投

12、影面上的投影為一個(gè)或多個(gè)同心 圓，其中最大的一個(gè)圓叫圓，其中最大的一個(gè)圓叫赤道圓赤道圓，最，最 小的一個(gè)圓叫小的一個(gè)圓叫喉圓喉圓。 三、回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)三、回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn) 作輔助線求回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)。作輔助線求回轉(zhuǎn)面上的點(diǎn)。 a (a1 ) a a1 6-5 6-5 螺旋線與螺旋面螺旋線與螺旋面 螺旋線是空間曲線。以圓柱為導(dǎo)面時(shí)形成螺旋線是空間曲線。以圓柱為導(dǎo)面時(shí)形成圓柱螺圓柱螺 旋線旋線，以圓錐面或圓弧面為導(dǎo)面時(shí)形成，以圓錐面或圓弧面為導(dǎo)面時(shí)形成圓錐螺旋線圓錐螺旋線或或 圓弧面螺線圓弧面螺線。 一、螺旋線一、螺旋線 （一）圓柱螺旋線（一）圓柱螺旋線 1 1、形成、形成：一動點(diǎn)在圓柱一動點(diǎn)在圓柱 表面上

13、繞其軸線作表面上繞其軸線作等角速等角速 度回轉(zhuǎn)運(yùn)動度回轉(zhuǎn)運(yùn)動，同時(shí)沿圓柱，同時(shí)沿圓柱 的軸線方向作的軸線方向作勻速直線運(yùn)勻速直線運(yùn) 動動，則動點(diǎn)在圓柱表面上，則動點(diǎn)在圓柱表面上 的運(yùn)動軌跡為的運(yùn)動軌跡為圓柱螺旋線。圓柱螺旋線。 動點(diǎn)在柱面回轉(zhuǎn)一周動點(diǎn)在柱面回轉(zhuǎn)一周 時(shí)，沿圓柱軸線走過的距時(shí)，沿圓柱軸線走過的距 離稱為離稱為導(dǎo)程導(dǎo)程S S。螺旋線分。螺旋線分左左、 右右旋。圓柱螺旋線形成的旋。圓柱螺旋線形成的 三個(gè)基本要素：三個(gè)基本要素：導(dǎo)圓柱面導(dǎo)圓柱面 的直徑的直徑、導(dǎo)程導(dǎo)程和和旋向旋向。 S 2、投影畫法、投影畫法 例：圓柱螺旋線投影的畫法和螺旋線的展開。例：圓柱螺旋線投影的畫法和螺旋線的展

14、開。 按螺線的形按螺線的形 成原理作圖成原理作圖 二、螺二、螺 旋旋 面面 螺旋面是螺旋面是直母線直母線 作螺旋運(yùn)動作螺旋運(yùn)動時(shí)的軌跡。時(shí)的軌跡。 螺旋面有螺旋面有正螺旋面正螺旋面、 斜螺旋面斜螺旋面和和可展螺旋可展螺旋 面面等。等。 （一）、正螺旋面（一）、正螺旋面 以圓柱螺旋線及其以圓柱螺旋線及其 軸線為導(dǎo)線，直母線沿軸線為導(dǎo)線，直母線沿 此兩條導(dǎo)線滑動時(shí)始終此兩條導(dǎo)線滑動時(shí)始終 垂直于軸線所得的軌跡，垂直于軸線所得的軌跡， 即為即為正螺旋面正螺旋面。 按照正螺旋面的形成規(guī)律，可以得到如下兩個(gè)結(jié)論：按照正螺旋面的形成規(guī)律，可以得到如下兩個(gè)結(jié)論： 1 1、以垂直于軸線的平、以垂直于軸線的平 面截正螺旋面，截交線面截正螺旋面，截交線 是直線是直線。 2 2、過軸線的平面與正、過軸線的平面與正 螺旋面的截交線也是直螺旋面的截交線也是直 素線。素線。 例如：例如： 1 1）水平面）水平面P P與正螺旋與正螺旋 面的截交線是直素線面的截交線是直素線 ABAB。 2 2）正平面）正平面Q Q與正螺旋與正螺旋 面交于