北科自動(dòng)化控制工程基礎(chǔ)-第四章1

1、2021-6-181 第四章第四章 穩(wěn)定性穩(wěn)定性 4.1 4.1 線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡(jiǎn)介線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡(jiǎn)介 4.2 4.2 傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定 4.3 4.3 狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定 本章小結(jié)本章小結(jié) 2021-6-182 控制系統(tǒng)的三性：控制系統(tǒng)的三性：穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性、動(dòng)態(tài)特性穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)特性、動(dòng)態(tài)特性 穩(wěn)定性穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)正常工作的前提，穩(wěn)態(tài)誤差是反映是控制系統(tǒng)正常工作的前提，穩(wěn)態(tài)誤差是反映 其其控制精度控制精度的一種度量，通常又稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)性能。的一種度量，通常又稱(chēng)為穩(wěn)態(tài)性能。 在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的

2、技術(shù)指標(biāo)。在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中，穩(wěn)態(tài)誤差是一項(xiàng)重要的技術(shù)指標(biāo)。 穩(wěn)定性?xún)H與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)相關(guān)，穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng)穩(wěn)定性?xún)H與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)相關(guān)，穩(wěn)態(tài)誤差與系統(tǒng) 的結(jié)構(gòu)、輸入信號(hào)的形式有很大關(guān)系。的結(jié)構(gòu)、輸入信號(hào)的形式有很大關(guān)系。 控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一就是要保證系統(tǒng)在控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)之一就是要保證系統(tǒng)在穩(wěn)定穩(wěn)定的前的前 提下，盡量地減小乃至消除提下，盡量地減小乃至消除穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差。 ( )r t t ss e ( )c t 0 ( )r t t ss e ( )c t 0 ( )r t t ss e ( )c t 0 控制系統(tǒng)的三性分析控制系統(tǒng)的三性分析 2021-6-183 穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能

3、夠正常運(yùn)行的首要條件穩(wěn)定是控制系統(tǒng)能夠正常運(yùn)行的首要條件 對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各類(lèi)品質(zhì)指標(biāo)的分析必須在系統(tǒng)對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行各類(lèi)品質(zhì)指標(biāo)的分析必須在系統(tǒng) 穩(wěn)定的穩(wěn)定的 前提下進(jìn)行。前提下進(jìn)行。 自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)( (之一之一) ) 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題 提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施 一、穩(wěn)定性分析的重要性一、穩(wěn)定性分析的重要性 4.14.1線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡(jiǎn)介線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的簡(jiǎn)介 2021-6-184 二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架二、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的理論框架 第一第一 方法方法 第二第二 方法方法 穩(wěn)定性分析穩(wěn)定性分析 18921892年俄

4、國(guó)數(shù)學(xué)年俄國(guó)數(shù)學(xué) 家李雅普諾夫家李雅普諾夫 SISOSISO的代數(shù)的代數(shù) 分析方法分析方法 解析解析 方法方法 RouthRouth判據(jù)判據(jù)HouwitzHouwitz判據(jù)判據(jù) 根據(jù)根據(jù)SISOSISO閉環(huán)特閉環(huán)特 征方程的系數(shù)判征方程的系數(shù)判 定定系統(tǒng)的系統(tǒng)的穩(wěn)定性穩(wěn)定性 根據(jù)狀態(tài)方程根據(jù)狀態(tài)方程A A陣陣 判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2021-6-185 A.Lyapunov(1857-1918)A.Lyapunov(1857-1918)， 俄國(guó)數(shù)學(xué)家（俄國(guó)數(shù)學(xué)家（Chebyshev Chebyshev 的學(xué)生，的學(xué)生，MarkovMarkov的同學(xué)），的同學(xué)）， 在他的博士論文中，

5、在他的博士論文中， LyapunovLyapunov系統(tǒng)地研究了由系統(tǒng)地研究了由 微分方程描述的一般運(yùn)動(dòng)微分方程描述的一般運(yùn)動(dòng) 的穩(wěn)定性問(wèn)題，建立了著的穩(wěn)定性問(wèn)題，建立了著 名的名的LaypunovLaypunov方法，他的方法，他的 工作為現(xiàn)代控制及非線性工作為現(xiàn)代控制及非線性 控制奠定了基礎(chǔ)?？刂频於嘶A(chǔ)。 三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的劃時(shí)代人物三、線性系統(tǒng)穩(wěn)定性分析的劃時(shí)代人物 2021-6-186 4.2 4.2 傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定傳遞函數(shù)表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定 本小節(jié)是本章的重點(diǎn)，主要介紹以下內(nèi)容：本小節(jié)是本章的重點(diǎn)，主要介紹以下內(nèi)容： 4.2.1 SISO4.2.1 SISO

6、線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性問(wèn)題 4.2.2 Routh4.2.2 Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù) 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據(jù)的兩種特殊情況判據(jù)的兩種特殊情況 4.2.4 Routh4.2.4 Routh判據(jù)的推廣判據(jù)的推廣 4.2.5 Routh4.2.5 Routh判據(jù)的應(yīng)用判據(jù)的應(yīng)用 2021-6-187 一、穩(wěn)定性基本概念一、穩(wěn)定性基本概念 1 1、穩(wěn)定性穩(wěn)定性 任何系統(tǒng)在擾動(dòng)的作用下都會(huì)偏離原平衡狀態(tài)，任何系統(tǒng)在擾動(dòng)的作用下都會(huì)偏離原平衡狀態(tài)， 產(chǎn)生初始偏差。產(chǎn)生初始偏差。 所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，由初始偏所謂穩(wěn)定性，是指系統(tǒng)在擾動(dòng)消失后，

7、由初始偏 差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。差狀態(tài)恢復(fù)到原平衡狀態(tài)的性能。 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2 2、平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 系統(tǒng)不受外界作用自己運(yùn)動(dòng)達(dá)到使系統(tǒng)不受外界作用自己運(yùn)動(dòng)達(dá)到使 系統(tǒng)處于穩(wěn)定（不運(yùn)動(dòng)）的狀態(tài)。系統(tǒng)處于穩(wěn)定（不運(yùn)動(dòng)）的狀態(tài)。 稱(chēng)為平衡狀態(tài)。稱(chēng)為平衡狀態(tài)。 a b 2021-6-188 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 系統(tǒng)的平衡狀態(tài)有：系統(tǒng)的平衡狀態(tài)有：穩(wěn)定穩(wěn)定、不穩(wěn)定不穩(wěn)定、大范圍穩(wěn)定大范圍穩(wěn)定、局局 部穩(wěn)定部穩(wěn)定、漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定等概念。等概念。 在本課程中，我們只

8、討論漸進(jìn)穩(wěn)定的問(wèn)題！在本課程中，我們只討論漸進(jìn)穩(wěn)定的問(wèn)題！ c b f d e g a 2021-6-189 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 李雅普諾夫（漸進(jìn)）穩(wěn)定性定義：李雅普諾夫（漸進(jìn)）穩(wěn)定性定義： 若線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)若線性系統(tǒng)在初始擾動(dòng)的影響下，其動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí) 間的推移逐漸衰減并趨于零或原平衡工作點(diǎn)，則稱(chēng)間的推移逐漸衰減并趨于零或原平衡工作點(diǎn)，則稱(chēng) 系統(tǒng)系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定漸進(jìn)穩(wěn)定，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定。反之，若初始擾動(dòng)的影，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定。反之，若初始擾動(dòng)的影 響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移而發(fā)散，則稱(chēng)響下，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)程隨時(shí)間的推移

9、而發(fā)散，則稱(chēng) 系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)不穩(wěn)定。 在古典控制理論中的穩(wěn)定均指漸進(jìn)穩(wěn)定！在古典控制理論中的穩(wěn)定均指漸進(jìn)穩(wěn)定！ 2021-6-1810 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 由穩(wěn)定性定義可知：由穩(wěn)定性定義可知： 1 1）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)自身的固有特征（結(jié)）線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性取決于系統(tǒng)自身的固有特征（結(jié) 構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。構(gòu)、參數(shù)），與系統(tǒng)的輸入信號(hào)無(wú)關(guān)。 2 2）若處于平衡狀態(tài)的線性定常系統(tǒng)在脈沖信號(hào)的作若處于平衡狀態(tài)的線性定常系統(tǒng)在脈沖信號(hào)的作 用下，系統(tǒng)的響應(yīng)最終能夠回到平衡狀態(tài)，則該線用下，系統(tǒng)的響應(yīng)最終能夠回到平衡狀

10、態(tài)，則該線 性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。 2021-6-1811 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 11 ( )( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Y sC sG s U sG s c tLC sLG s 對(duì)于脈沖響應(yīng)，我們有：對(duì)于脈沖響應(yīng)，我們有： () 1Lt 顯然，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于顯然，系統(tǒng)是否穩(wěn)定取決于G(s)G(s)極點(diǎn)在極點(diǎn)在S S平面中的位置。平面中的位置。 結(jié)論結(jié)論1 1：如果當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，線性定常系統(tǒng)的如果當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，線性定常系統(tǒng)的脈沖脈沖 響應(yīng)函數(shù)趨于零響應(yīng)函數(shù)趨于零，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。，則

11、該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。 系統(tǒng)是穩(wěn)定的。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 lim ( )0 t c t 系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài)系統(tǒng)仍能回到原有的平衡狀態(tài) 簡(jiǎn)證：簡(jiǎn)證： 所以所以 2021-6-1812 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 若系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)全部若系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)全部 位于位于S S左左 半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。半平面，則系統(tǒng)穩(wěn)定。 則脈沖響應(yīng)為：則脈沖響應(yīng)為： 令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有令系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)含有q q個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)和r r對(duì)復(fù)數(shù)對(duì)復(fù)數(shù) 極點(diǎn)：極點(diǎn)： )2()( )( )()( 2 2 11 1 +P+P +P n

12、knkk r k j q j i m i SSPS ZSK ssG wwx f + r k r k knk t kknk t k q j tp j teCteBeAt g nkknkk j 11 22 1 1cos1sin)(xwxw wxwx 顯然只有當(dāng)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)全部位于顯然只有當(dāng)系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)的所有極點(diǎn)全部位于S S左左 半平面時(shí)，半平面時(shí)，g(t)|g(t)|t t 0 0 成立，即系統(tǒng)才穩(wěn)定。成立，即系統(tǒng)才穩(wěn)定。 2021-6-1813 j 0 j 0 j 0 j 0 j 0 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 2021-

13、6-1814 4.2.1 SISO4.2.1 SISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性 如果當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，線性定常系統(tǒng)的如果當(dāng)時(shí)間趨于無(wú)窮時(shí)，線性定常系統(tǒng)的階階 躍響應(yīng)函數(shù)趨于某一個(gè)常數(shù)躍響應(yīng)函數(shù)趨于某一個(gè)常數(shù)，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。，則該線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定。 這個(gè)推論的證明請(qǐng)同學(xué)們自行完成。這個(gè)推論的證明請(qǐng)同學(xué)們自行完成。 臨界穩(wěn)定臨界穩(wěn)定：當(dāng)系統(tǒng)的極點(diǎn)有在虛軸上時(shí)，系統(tǒng)的輸出：當(dāng)系統(tǒng)的極點(diǎn)有在虛軸上時(shí)，系統(tǒng)的輸出 將會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩的狀態(tài)，稱(chēng)之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。將會(huì)出現(xiàn)等幅振蕩的狀態(tài)，稱(chēng)之為臨界穩(wěn)定狀態(tài)。 穩(wěn)定裕度穩(wěn)定裕度的概念：的概念： S S平面平面 2021-6-1815 三、

14、三、SISOSISO線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法：線性定常系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法： 求脈沖響應(yīng)求脈沖響應(yīng) 求階躍響應(yīng)求階躍響應(yīng) 求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根求系統(tǒng)的閉環(huán)特征根 不易求不易求 其它簡(jiǎn)單的判定方法其它簡(jiǎn)單的判定方法? ? 2021-6-1816 4.2.2 Routh4.2.2 Routh穩(wěn)定判據(jù)穩(wěn)定判據(jù)(Routh(Rouths stability criterion) s stability criterion) Routh Routh表表 將閉環(huán)特征方程將閉環(huán)特征方程 的各項(xiàng)系數(shù)，按的各項(xiàng)系數(shù)，按 右面的格式排成右面的格式排成 RouthRouth表。表。 1 0 21 1 321 2

15、321 3 4321 2 7531 1 6420 fS eeS dddS cccS abbbS aaaaS aaaaS n n n n 00 0 1 2 2 1 10 + + + + + + + aaSaSaSaSa nn nnn 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程系統(tǒng)閉環(huán)特征方程 1 3021 1 a aaaa b 1 5041 2 a aaaa b 1321 1 1 bab a c b 1531 2 1 bab a c b 2021-6-1817 系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的必要條件是系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的必要條件是特征方程的系數(shù)特征方程的系數(shù)均大于零均大于零。 如果勞斯表中如果勞斯表中第一列的系數(shù)第一列的系數(shù)均為均為正值正值，

16、則其特征方程式，則其特征方程式 的根都在的根都在S S的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。的左半平面，相應(yīng)的系統(tǒng)是穩(wěn)定的。 如果勞斯表中如果勞斯表中第一列系數(shù)的符號(hào)有變化第一列系數(shù)的符號(hào)有變化，則符號(hào)的變化，則符號(hào)的變化 次數(shù)等于該特征方程式的根在次數(shù)等于該特征方程式的根在S S的右半平面上的個(gè)數(shù)，相的右半平面上的個(gè)數(shù)，相 應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。應(yīng)的系統(tǒng)為不穩(wěn)定。 勞勞 斯斯 穩(wěn)穩(wěn) 定定 判判 據(jù)據(jù) 表中表中 這樣可求得這樣可求得 n+1n+1行系數(shù)行系數(shù) 1 2121 1 1 4171 3 1 3151 2 1 2131 1 1 7061 3 1 5041 2 1 3021 1 , , e edde

17、 f b baab c b baab c b baab c a aaaa b a aaaa b a aaaa b 2021-6-1818 0103 . 25175 .41 423 +SSS 例例4.2-14.2-1 試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性試用勞斯判據(jù)判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 列勞斯表列勞斯表 40 1 42 3 103 . 2 5 .38 0103 . 25 .41 05171 S S S S 由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有由于該表第一列系數(shù)的符號(hào)變化了兩次，所以該方程中有 二個(gè)根在二個(gè)根在S S的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。的右半平面，因而系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 已知某一調(diào)速

18、系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為：已知某一調(diào)速系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為： 2021-6-1819 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據(jù)的兩種特殊情況判據(jù)的兩種特殊情況 勞斯表某一行中的第一項(xiàng)元素等于勞斯表某一行中的第一項(xiàng)元素等于0 0，而該行的其余各項(xiàng)，而該行的其余各項(xiàng) 不等于不等于0 0或沒(méi)有其余項(xiàng)。或沒(méi)有其余項(xiàng)。 以一個(gè)很小的正數(shù)以一個(gè)很小的正數(shù) 來(lái)代替為來(lái)代替為0 0的這項(xiàng)，據(jù)此算出其的這項(xiàng)，據(jù)此算出其 余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。余的各項(xiàng)，完成勞斯表的排列。 解決的辦法解決的辦法 若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù) 就等于該方程

19、在就等于該方程在S S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的 如果第一列如果第一列 上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則上面的系數(shù)與下面的系數(shù)符號(hào)相同，則 表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為表示該方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為 結(jié)結(jié) 論論 2021-6-1820 已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為 022 23 +SSS 試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 2 )(0 22 11 0 1 2 3 S S S S 由于表中第一列由于表中第一列 上面元素的符號(hào)與其下面元素的符號(hào)相同，上面元素的符號(hào)與其下面元素的符號(hào)相同， 所以該閉環(huán)特征

20、方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為所以該閉環(huán)特征方程中有一對(duì)共軛虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為 臨界穩(wěn)定系統(tǒng)臨界穩(wěn)定系統(tǒng)( (這在工業(yè)上屬于不穩(wěn)定的系統(tǒng)這在工業(yè)上屬于不穩(wěn)定的系統(tǒng)) )。 例4.2-2 列勞斯表列勞斯表 2021-6-1821 勞斯表某一行元素全為勞斯表某一行元素全為0 0。這表示相應(yīng)方程中含有一些大。這表示相應(yīng)方程中含有一些大 小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根小相等符號(hào)相反的實(shí)根或共軛虛根( (關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根) )。 利用系數(shù)全為利用系數(shù)全為0 0行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng)行的上一行系數(shù)構(gòu)造一個(gè)輔助多項(xiàng) 式，并以這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為式，并以

21、這個(gè)輔助多項(xiàng)式導(dǎo)數(shù)的系數(shù)來(lái)代替表中系數(shù)為 全全0 0的行。從而完成勞斯表的排列。的行。從而完成勞斯表的排列。 解決解決 辦法辦法 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到，而關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的根可以通過(guò)求解這個(gè)輔助方程式得到，而 且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。且其根的數(shù)目總是偶數(shù)的。 若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等若勞斯表第一列中系數(shù)的符號(hào)有變化，其變化的次數(shù)就等 于該方程在于該方程在S S右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的右半平面上根的數(shù)目，相應(yīng)的 如果第一列如果第一列上的元素沒(méi)有符號(hào)變化，則表示該方程中有共上的元素沒(méi)有符號(hào)變化，則表示該方程中有共 軛純虛根存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為軛純虛根

22、存在，相應(yīng)的系統(tǒng)為 結(jié)結(jié) 論論 4.2.3 Routh4.2.3 Routh判據(jù)的兩種特殊情況判據(jù)的兩種特殊情況 2021-6-1822 16 0 3 8 166 248 000 16122 016122 162081 0 1 2 3 4 5 6 S S S S S S S 01616201282 23456 +SSSSSS 由于第一列的系數(shù)均由于第一列的系數(shù)均 為正值，表明該方程為正值，表明該方程 在在S S右半平面上沒(méi)有右半平面上沒(méi)有 特征根。特征根。 該系統(tǒng)處于臨界該系統(tǒng)處于臨界 穩(wěn)定狀態(tài)穩(wěn)定狀態(tài)。 已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為已知系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程式為 試判別相應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判別相應(yīng)

23、系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 例4.2-3 列勞斯表列勞斯表 ss ds sdF 248 )( 3 + 2,2jj 令令F(s)=0F(s)=0，求得：，求得： sssF16122)( 24 += 2021-6-1823 4.2.4 Routh4.2.4 Routh判據(jù)的推廣判據(jù)的推廣 實(shí)際系統(tǒng)希望實(shí)際系統(tǒng)希望S S左半平面上的根距離左半平面上的根距離 虛軸有一定的距離。這種系統(tǒng)在系統(tǒng)虛軸有一定的距離。這種系統(tǒng)在系統(tǒng) 參數(shù)發(fā)生一定變化時(shí)仍能保持穩(wěn)定。參數(shù)發(fā)生一定變化時(shí)仍能保持穩(wěn)定。 此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根中此法可以估計(jì)一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根中 最靠近虛軸的根離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)

24、穩(wěn)定最靠近虛軸的根離虛軸有多遠(yuǎn)，從而了解系統(tǒng)穩(wěn)定 的的“程度程度”穩(wěn)定裕度。穩(wěn)定裕度。 令令s=ss=s1 1-a-a，代入原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程中，得到，代入原系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程中，得到 以以s s1 1 為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該為變量的特征方程式，然后用勞斯判據(jù)去判別該 方程中是否有根位于垂線方程中是否有根位于垂線s s1 1=-a=-a右側(cè)。右側(cè)。 1 s a 0 2021-6-1824 用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程用勞斯判據(jù)檢驗(yàn)下列特征方程例例4.2-44.2-4 列勞斯表列勞斯表 0413102 23 +SSS 是否有根在是否有根在S S的右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在的

25、右半平面上，并檢驗(yàn)有幾個(gè)根在 的右方。的右方。 1S 4 2 .12 10 8130 410 132 0 1 2 3 S S S S 第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。第一列全為正，所有的根均位于左半平面，系統(tǒng)穩(wěn)定。 s s 1 1 s s -1 -10 0 j j 2021-6-1825 令令S=Z-1S=Z-1代入特征方程：代入特征方程： 04) 1( 3) 1(10) 1(2 23 +ZZZ 0142 23 +ZZZ 式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在式中有負(fù)號(hào)，顯然有根在1S的右方的右方。 。 列勞斯表列勞斯表 1 2 1 14 12 0 1 2 3 S S S S 第一列的系數(shù)符號(hào)

26、變第一列的系數(shù)符號(hào)變 化了一次，表示原方化了一次，表示原方 程有一個(gè)根在垂直直程有一個(gè)根在垂直直 線線 的右方。的右方。 1S 0413102 23 +SSS 2021-6-1826 4.2.5 Routh4.2.5 Routh判據(jù)的應(yīng)用判據(jù)的應(yīng)用 例例4.2-54.2-5 1 1 系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定范圍的確定系統(tǒng)參數(shù)穩(wěn)定范圍的確定 已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為已知某調(diào)速系統(tǒng)的特征方程式為 0)1 (16705175 .41 23 +KSSS 求該系統(tǒng)穩(wěn)定的求該系統(tǒng)穩(wěn)定的K K值范圍。值范圍。 )1 (1670 0 5 .41 )1 (16705175 .41 0)1 (16705 .41 0517

27、1 0 1 2 3 KS K S KS S + + + 由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù)由勞斯判據(jù)可知，若系統(tǒng)穩(wěn)定，則勞斯表中第一列的系數(shù) 必須全為正值：必須全為正值： + + 0)1 (1670 0)1 ( 2 .40517 K K 9 .111K 列勞斯表列勞斯表 2021-6-1827 第一列均為正值，第一列均為正值，S S全部位全部位 于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。于左半平面，故系統(tǒng)穩(wěn)定。 已知一單位反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試回答：已知一單位反饋控制系統(tǒng)如下圖所示，試回答： )(sR)(sC sKt ）（10)5( 20 +sss )(sGc 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)是否穩(wěn)定？時(shí)，閉環(huán)

28、系統(tǒng)是否穩(wěn)定？ s sK sG p c ) 1( )( + 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定條件是什么？ 1)(sGc 例4.2-6 1)(sGc 20 15 20750 2015 501 0 1 2 3 S S S S 時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)時(shí)，閉環(huán)系統(tǒng)的的特征方程為特征方程為: : 0205015 23 =+ SSS 2021-6-1828 閉環(huán)特征方程為：閉環(huán)特征方程為： 020205015 234 + pp KSKSSS s sK sG p c ) 1( )( + 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)：開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)： )10)(5( ) 1(20 )()( 2 + + SSS SK sGsG p c 列

29、列 勞勞 斯斯 表表 4 3 2 1 0 15020 15200 75020 20 15 75020 2015 20 15 (75020)/15 20 p p p p p pP p p sK sK K sK K KK s K sK 2021-6-1829 因此，利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一因此，利用勞斯穩(wěn)定判據(jù)可確定系統(tǒng)一 個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。個(gè)或兩個(gè)可調(diào)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響。 欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值欲使系統(tǒng)穩(wěn)定第一列的系數(shù)必須全為正值 0 p K 5 .37020750 pp KK 020525015 15 20750 0 15 20750 )15 15 20

30、750 (20 p p p p p K K K K K 5 .26 p K 5 .260 p K 2021-6-1830 + )sT)(sT( s k 11 21 + 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為：系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為： 0 2 21 3 21 +kss )TT(sTT 0 2121 + k TkTTT 0 11 21 +k TT 為穩(wěn)定條件為穩(wěn)定條件 例4.2-7 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示，確定系統(tǒng)參數(shù)使系統(tǒng)穩(wěn)定。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下所示，確定系統(tǒng)參數(shù)使系統(tǒng)穩(wěn)定。 S3 T1T2 1 S2 T1+T2 k S1 0 S0 k 0 1212 12 (T +T )-kTT T +T 2021-6-1831 當(dāng)當(dāng)K=2K

31、=2時(shí)，時(shí)， RouthRouth表的第三、表的第三、 五行元素全為五行元素全為0 0。 系統(tǒng)將有對(duì)稱(chēng)于系統(tǒng)將有對(duì)稱(chēng)于 原點(diǎn)的閉環(huán)特征原點(diǎn)的閉環(huán)特征 根。根。 2 2 求特殊情況下系統(tǒng)的閉環(huán)特征根求特殊情況下系統(tǒng)的閉環(huán)特征根 例例4.2-84.2-8 已知某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為：已知某系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為： 5432 SSKS2S +S+1=0+ 試確定使系統(tǒng)有對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的閉環(huán)特征根的試確定使系統(tǒng)有對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)的閉環(huán)特征根的K K值，并求出此時(shí)值，并求出此時(shí) 系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根系統(tǒng)的所有閉環(huán)特征根。 5 4 3 2 1 0 S1K1 S121 SK-20 S21 K-2 S 3 S1 42 S

32、2S10+ ，進(jìn)而得，進(jìn)而得 列勞斯表列勞斯表 2021-6-1832 4.3 4.3 狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定狀態(tài)空間表示的系統(tǒng)穩(wěn)定性判定 定理定理4.1:4.1: 線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) xAxbu ycxdu + + 平衡狀態(tài)平衡狀態(tài) 漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣漸近穩(wěn)定的充要條件是矩陣 A A的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部的所有特征值均具有負(fù)實(shí)部. . 0 e x 證明：證明：，由其齊次解，由其齊次解 可知：若可知：若A A的特征的特征 0 ( )( ) At x te x t 則當(dāng)則當(dāng) 有界，有界， 0(t)0(t)。 0 x( )x t值均具有負(fù)實(shí)部。值均具有負(fù)實(shí)部。 系統(tǒng)輸出穩(wěn)定：系

33、統(tǒng)輸出穩(wěn)定：如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入如果系統(tǒng)對(duì)于有界輸入u u 所引起的輸出所引起的輸出y y是有是有 界的界的. .則稱(chēng)系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定則稱(chēng)系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定. . 定理定理4.24.2：線性定常系統(tǒng)線性定常系統(tǒng) 輸出穩(wěn)定的充要條件是傳輸出穩(wěn)定的充要條件是傳 函函 的極點(diǎn)全部位于的極點(diǎn)全部位于s s的左半平面的左半平面. . ( , , )A b c 1 ( )()G Sc SIAb 2021-6-1833 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為: : 101 1,0 011 xxuyx + 試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性試分析系統(tǒng)的狀態(tài)穩(wěn)定性與輸出穩(wěn)定性. . 1) 1)有有A A的特

34、征方程的特征方程: : det(1)(1)0IA+ 可知系統(tǒng)的狀態(tài)是不穩(wěn)定的可知系統(tǒng)的狀態(tài)是不穩(wěn)定的. . 2)2)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù)由系統(tǒng)的傳遞函數(shù): : 1 11 ( )c() (1)(1)1 s W SSIAb sss + 故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定故系統(tǒng)輸出穩(wěn)定. .這是因?yàn)榫哂姓龑?shí)部的特征值這是因?yàn)榫哂姓龑?shí)部的特征值 2 1 + 被系統(tǒng)的零點(diǎn)被系統(tǒng)的零點(diǎn)s=+1 s=+1 對(duì)消了，不穩(wěn)定部分被掩蓋。對(duì)消了，不穩(wěn)定部分被掩蓋。 例4.3-1 2021-6-1834 說(shuō)明說(shuō)明: :1) 1)這種系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)是極不可靠的。若系統(tǒng)這種系統(tǒng)在實(shí)際應(yīng)用時(shí)是極不可靠的。若系統(tǒng) 參數(shù)發(fā)生變化參數(shù)發(fā)生變化, ,

35、則零、極點(diǎn)就無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)消。則零、極點(diǎn)就無(wú)法實(shí)現(xiàn)對(duì)消。 這樣輸出就能表現(xiàn)出不穩(wěn)定特性。這樣輸出就能表現(xiàn)出不穩(wěn)定特性。 2)2)只有當(dāng)只有當(dāng) 不出現(xiàn)不穩(wěn)定的零、極點(diǎn)對(duì)消不出現(xiàn)不穩(wěn)定的零、極點(diǎn)對(duì)消( (可以可以 有穩(wěn)定的零、極點(diǎn)對(duì)消有穩(wěn)定的零、極點(diǎn)對(duì)消) )， 的穩(wěn)定性才與的穩(wěn)定性才與 ( )G S ( )W S ( , , )Ab c 的穩(wěn)定性是一致的的穩(wěn)定性是一致的. . 2021-6-1835 G(s) ( ) ( ) xAxBu ycx xf x yg x + U(s) u(t) Y(s) y(t) 平衡點(diǎn)：平衡點(diǎn)：0 x BIBOBIBO穩(wěn)定：穩(wěn)定：如果系統(tǒng)對(duì)于有如果系統(tǒng)對(duì)于有 界輸入界輸

36、入u u 所引起的輸出所引起的輸出y y 是是 有界的有界的. .則稱(chēng)系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定則稱(chēng)系統(tǒng)為輸出穩(wěn)定. . 李氏穩(wěn)定：李氏穩(wěn)定：對(duì)于自治系統(tǒng)對(duì)于自治系統(tǒng) ( , )xf x t, ,如果對(duì)任意實(shí)數(shù)如果對(duì)任意實(shí)數(shù) 0 存在實(shí)數(shù)存在實(shí)數(shù) 0 ( , )0t , ,使得滿(mǎn)足不等式使得滿(mǎn)足不等式 00 ( )( , ) e x txt 初態(tài)初態(tài) 00) (xtx出發(fā)的解出發(fā)的解, , 在在 時(shí)均有時(shí)均有 成立。成立。 0 tt e xtx )( 0 ( )( , )x tt x t , ,都對(duì)應(yīng)都對(duì)應(yīng) 的任意的任意 傳遞函數(shù)的極傳遞函數(shù)的極 點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部；點(diǎn)具有負(fù)實(shí)部； 勞斯判據(jù)勞斯判據(jù) 漸進(jìn)穩(wěn)定：

37、漸進(jìn)穩(wěn)定：lim x(t)=xe,系統(tǒng)在系統(tǒng)在xe處漸進(jìn)穩(wěn)定處漸進(jìn)穩(wěn)定 A矩陣的特征根矩陣的特征根 具有負(fù)實(shí)部；具有負(fù)實(shí)部； 大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定：大范圍漸進(jìn)穩(wěn)定：對(duì)任給的初始狀態(tài)都有在對(duì)任給的初始狀態(tài)都有在xe處漸進(jìn)穩(wěn)定處漸進(jìn)穩(wěn)定 外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的區(qū)別外部穩(wěn)定與內(nèi)部穩(wěn)定的區(qū)別 2021-6-1836 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 1 1）誤差的定義）誤差的定義輸入端定義法輸入端定義法 輸出端定義法輸出端定義法 (1)(1)輸入端定義法輸入端定義法 設(shè)控制系統(tǒng)的典型動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，設(shè)控制系統(tǒng)的典型動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示， 稱(chēng)稱(chēng)E(s)E(s)為誤差信號(hào)為誤差信號(hào)。

38、 1 1 ( )( )( )( )( ) 1( )( ) E sUsHs YsUs Gs Hs + + 2021-6-1837 (2)(2)輸出端定義法輸出端定義法 ( ) ( )( )( ) ( ) E s EsUsY s H s 輸入端定義法可測(cè)量實(shí)現(xiàn)，輸出端定義法常無(wú)法測(cè)輸入端定義法可測(cè)量實(shí)現(xiàn)，輸出端定義法常無(wú)法測(cè) 量，因此只有數(shù)學(xué)意義，以后在不做特別說(shuō)明時(shí)，量，因此只有數(shù)學(xué)意義，以后在不做特別說(shuō)明時(shí)， 系統(tǒng)誤差總是指輸入端定義誤差系統(tǒng)誤差總是指輸入端定義誤差。 誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為：誤差本身是時(shí)間的函數(shù)，其時(shí)域表達(dá)式為： 1 ( )( )( )( ) tsss e tL

39、E setet + + 動(dòng)態(tài)分量動(dòng)態(tài)分量 穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1838 2)2)穩(wěn)態(tài)誤差穩(wěn)態(tài)誤差 誤差信號(hào)誤差信號(hào) 的穩(wěn)態(tài)分量的穩(wěn)態(tài)分量 。 對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，隨著時(shí)間趨于無(wú)窮，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò)對(duì)穩(wěn)定系統(tǒng)而言，隨著時(shí)間趨于無(wú)窮，系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)過(guò) 程結(jié)束，程結(jié)束， 將趨于零。根據(jù)拉氏變換將趨于零。根據(jù)拉氏變換終值定理終值定理，穩(wěn)定，穩(wěn)定 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為 由上式可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的形式和由上式可知，控制系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差與輸入信號(hào)的形式和 開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的結(jié)構(gòu)有關(guān)。當(dāng)輸入信號(hào)輸入信號(hào)形

40、式確定后，系形式確定后，系 統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就取決于以統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差就取決于以開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。描述的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。 )( ss e ss e )(tets 00 ( ) lim( )lim( )lim 1( ) ss tss U s ee tsE ss G s + + 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1839 例例: : 一系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)一系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù) 求：求：u(t)=1(t)u(t)=1(t)及及t t時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差 解解: : 1 20 ( )( ) (0.51)(0.041) G s H s ss + 00 1(

41、0.51)(0.041) lim( )lim( ) 1( )(0.51)(0.041)20 ss ss ss esU ssU s G sss + + 0 (0.51)(0.041)11 lim0.05 (0.51)(0.041)2021 ss s ss es sss + + u(t) = 1(t) 時(shí)時(shí), U(s)=1/s u(t) = t 時(shí)時(shí), U(s)=1/s2 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1840 3）系統(tǒng)的分類(lèi)）系統(tǒng)的分類(lèi) sv v表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在表示開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)在s平面原點(diǎn)處的平面原點(diǎn)處的v重極點(diǎn)。重極點(diǎn)。 系統(tǒng)按系統(tǒng)按v v的不同取值

42、可以分為不同類(lèi)型。的不同取值可以分為不同類(lèi)型。 v v=0=0，1 1，2 2時(shí)，系統(tǒng)分別稱(chēng)為時(shí)，系統(tǒng)分別稱(chēng)為0 0型，型，型和型和型型 系統(tǒng)。系統(tǒng)。 系統(tǒng)的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)可表示為：可表示為： 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1841 0 0 1 1 lim 1( )1lim( ) ss s s s s e G sG s + + + 4）給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差）給定作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 （1）單位階躍函數(shù)輸入）單位階躍函數(shù)輸入 根據(jù)定義，有：根據(jù)定義，有： 0 lim( )(0) p s KG sG 定義定義 為系統(tǒng)的位置誤差系數(shù)，為系統(tǒng)的位置

43、誤差系數(shù)， 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1842 對(duì)對(duì)0型系統(tǒng)型系統(tǒng) 對(duì)對(duì)型系統(tǒng)及型系統(tǒng)及型以上的系統(tǒng)型以上的系統(tǒng) 由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，對(duì)于單位階躍輸入，只有對(duì)于單位階躍輸入，只有0型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài)型系統(tǒng)有穩(wěn)態(tài) 誤差，其大小與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益成反比；而誤差，其大小與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益成反比；而型和型和 型以上的系統(tǒng)位置誤差系數(shù)均為無(wú)窮大，穩(wěn)態(tài)誤型以上的系統(tǒng)位置誤差系數(shù)均為無(wú)窮大，穩(wěn)態(tài)誤 差均為零。差均為零。 為了降低穩(wěn)態(tài)誤差為了降低穩(wěn)態(tài)誤差ess，在穩(wěn)定條件允許的前提下，在穩(wěn)定條件允許的前提下， 可增大開(kāi)環(huán)放大系數(shù)可增大開(kāi)環(huán)放大系數(shù)K。 4.4 4.4 線性系

44、統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1843 （2）單位斜坡函數(shù)輸入）單位斜坡函數(shù)輸入 定義定義 為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)。為系統(tǒng)的速度誤差系數(shù)。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1844 對(duì)對(duì)0型系統(tǒng)型系統(tǒng) 對(duì)對(duì)型系統(tǒng)型系統(tǒng) 對(duì)對(duì)型或高于型或高于型系統(tǒng)型系統(tǒng) 由此可見(jiàn)，由此可見(jiàn)，對(duì)于單位斜坡輸入，對(duì)于單位斜坡輸入，0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差 為無(wú)窮大；為無(wú)窮大；型系統(tǒng)可以跟蹤輸入信號(hào)，但有穩(wěn)態(tài)誤型系統(tǒng)可以跟蹤輸入信號(hào)，但有穩(wěn)態(tài)誤 差，該誤差與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益成反比；差，該誤差與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益成反比；型或高于型或高于 型系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。型

45、系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)誤差為零。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1845 （3）單位拋物線函數(shù)輸入）單位拋物線函數(shù)輸入 定義定義 為系統(tǒng)的加速度誤差系數(shù)。為系統(tǒng)的加速度誤差系數(shù)。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1846 對(duì)對(duì)型或高于型或高于型系統(tǒng)型系統(tǒng) 對(duì)對(duì)0型系統(tǒng)型系統(tǒng) 對(duì)對(duì)型系統(tǒng)型系統(tǒng) 對(duì)對(duì)型系統(tǒng)型系統(tǒng) 由此可知，由此可知，0型及型及型系統(tǒng)都不能跟蹤拋物線輸入；型系統(tǒng)都不能跟蹤拋物線輸入； 型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入，但存在一定的誤差，型系統(tǒng)可以跟蹤拋物線輸入，但存在一定的誤差， 該誤差與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益成反比；只有該誤差

46、與系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)增益成反比；只有型或高于型或高于 型的系統(tǒng)，才能準(zhǔn)確跟蹤拋物線輸入信號(hào)。型的系統(tǒng)，才能準(zhǔn)確跟蹤拋物線輸入信號(hào)。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1847 下表列出了不同類(lèi)型的系統(tǒng)在不同參考輸入下的穩(wěn)下表列出了不同類(lèi)型的系統(tǒng)在不同參考輸入下的穩(wěn) 態(tài)誤差。態(tài)誤差。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1848 例例: : 如下系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)分別為如下系統(tǒng)，當(dāng)輸入信號(hào)分別為I I（t t）、）、t t和和t t2 2/2/2 時(shí)，試分別求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。時(shí)，試分別求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。 解：此系統(tǒng)為解：此系統(tǒng)為

47、I I型系統(tǒng)型系統(tǒng) 輸入為階躍、斜坡、拋物線輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差分別輸入為階躍、斜坡、拋物線輸入時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差分別 為：為： p K2 v K0 a K + ( )R s( )C s 10 (5)s s + 11 2 ssv v e K 1 0 1 ssP P e K + + 1 ssa a e K 輸入為：輸入為：1+2t，穩(wěn)態(tài)誤差，穩(wěn)態(tài)誤差ess=？ 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1849 5 5）擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差）擾動(dòng)輸入作用下的穩(wěn)態(tài)誤差 控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 (1)

48、輸出端定義法輸出端定義法 2 12 ( ) ( )0( )( ) 1( )( )( ) G s EsY sN s G s G s H s + + 2021-6-1850 (2)輸入端定義法輸入端定義法 擾動(dòng)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為擾動(dòng)作用下系統(tǒng)的誤差傳遞函數(shù)為 根據(jù)拉氏變換終值定理，求得擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為根據(jù)拉氏變換終值定理，求得擾動(dòng)作用下的穩(wěn)態(tài)誤差為 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1851 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，設(shè)被控對(duì)象的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，設(shè)被控對(duì)象的 傳遞函數(shù)為：傳遞函數(shù)為： 求當(dāng)采用比例調(diào)節(jié)器和比例積分調(diào)節(jié)器時(shí)，系統(tǒng)對(duì)階求當(dāng)采用比例調(diào)

49、節(jié)器和比例積分調(diào)節(jié)器時(shí)，系統(tǒng)對(duì)階 躍作用信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。躍作用信號(hào)的穩(wěn)態(tài)誤差。 例例4.4.14.4.1 ( ) c G s( ) p Gs + ( )U s ( )Y s ( )N s + + ( )E s 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1852 若令若令U U( (s s)=0)=0，NN( (s s)= )= NN/ /s s，則系統(tǒng)對(duì)階躍擾動(dòng)輸入的，則系統(tǒng)對(duì)階躍擾動(dòng)輸入的 穩(wěn)態(tài)誤差為：穩(wěn)態(tài)誤差為： 可見(jiàn)，階躍擾動(dòng)輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為常值，它可見(jiàn)，階躍擾動(dòng)輸入下系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為常值，它 與階躍信號(hào)的幅值成正比，與控制器比例系數(shù)與階躍信號(hào)的幅值成

50、正比，與控制器比例系數(shù)K KP P成反比。成反比。 解解若采用比例調(diào)節(jié)器，即若采用比例調(diào)節(jié)器，即 由圖可以看出，系統(tǒng)對(duì)給定輸入為由圖可以看出，系統(tǒng)對(duì)給定輸入為型系統(tǒng)，令擾動(dòng)型系統(tǒng)，令擾動(dòng) NN( (s s)=0)=0，給定輸入，給定輸入U(xiǎn) U( (s s)=)=U U/ /s s，則系統(tǒng)對(duì)階躍給定輸入，則系統(tǒng)對(duì)階躍給定輸入 的穩(wěn)定誤差為零。的穩(wěn)定誤差為零。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1853 若采用比例積分調(diào)節(jié)器，即：若采用比例積分調(diào)節(jié)器，即： 這時(shí)控制系統(tǒng)對(duì)給定輸入來(lái)說(shuō)是這時(shí)控制系統(tǒng)對(duì)給定輸入來(lái)說(shuō)是型系統(tǒng)，因此給定輸型系統(tǒng)，因此給定輸 入為階躍信

51、號(hào)、斜坡信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為零。入為階躍信號(hào)、斜坡信號(hào)時(shí)，系統(tǒng)的穩(wěn)定誤差為零。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1854 結(jié)論結(jié)論： （1）采用比例積分調(diào)節(jié)器能夠消除階躍擾動(dòng)作用下的）采用比例積分調(diào)節(jié)器能夠消除階躍擾動(dòng)作用下的 穩(wěn)態(tài)誤差。其物理意義在于：因?yàn)檎{(diào)節(jié)器中包含積分穩(wěn)態(tài)誤差。其物理意義在于：因?yàn)檎{(diào)節(jié)器中包含積分 環(huán)節(jié)，只要穩(wěn)態(tài)誤差不為零，調(diào)節(jié)器的輸出必然繼續(xù)環(huán)節(jié)，只要穩(wěn)態(tài)誤差不為零，調(diào)節(jié)器的輸出必然繼續(xù) 增加，并力圖減小這個(gè)誤差。只有當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為零時(shí)，增加，并力圖減小這個(gè)誤差。只有當(dāng)穩(wěn)態(tài)誤差為零時(shí)， 才能使調(diào)節(jié)器的輸出與擾動(dòng)信號(hào)大小相等而方向

52、相反。才能使調(diào)節(jié)器的輸出與擾動(dòng)信號(hào)大小相等而方向相反。 這時(shí)，系統(tǒng)才進(jìn)入新的平衡狀態(tài)。這時(shí)，系統(tǒng)才進(jìn)入新的平衡狀態(tài)。 （2）對(duì)干擾輸入而言，只有在輸入與干擾之間存在積）對(duì)干擾輸入而言，只有在輸入與干擾之間存在積 分環(huán)節(jié)時(shí)，誤差才會(huì)為分環(huán)節(jié)時(shí)，誤差才會(huì)為0，此時(shí)與系統(tǒng)類(lèi)型無(wú)關(guān)。，此時(shí)與系統(tǒng)類(lèi)型無(wú)關(guān)。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1855 6 6）減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法）減小穩(wěn)態(tài)誤差的方法 （1 1）保證系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)（或元件），特別是反保證系統(tǒng)中各個(gè)環(huán)節(jié)（或元件），特別是反 饋回路中元件的參數(shù)具有一定的精度和恒定性；饋回路中元件的參數(shù)具有一定的精度和恒定性

53、； （2 2）對(duì)）對(duì)輸入信號(hào)輸入信號(hào)而言，而言，增大開(kāi)環(huán)放大系數(shù)，以提高增大開(kāi)環(huán)放大系數(shù)，以提高 系統(tǒng)對(duì)給定輸入的跟蹤能力；系統(tǒng)對(duì)給定輸入的跟蹤能力； （3 3）對(duì)）對(duì)干擾信號(hào)干擾信號(hào)而言，而言，增大輸入和干擾作用點(diǎn)之間增大輸入和干擾作用點(diǎn)之間 環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，有利于減小穩(wěn)態(tài)誤差；環(huán)節(jié)的放大系數(shù)，有利于減小穩(wěn)態(tài)誤差； （4 4）增加系統(tǒng)前向通道中增加系統(tǒng)前向通道中積分環(huán)節(jié)積分環(huán)節(jié)數(shù)目，使系統(tǒng)類(lèi)數(shù)目，使系統(tǒng)類(lèi) 型提高，可以消除不同輸入信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。型提高，可以消除不同輸入信號(hào)時(shí)的穩(wěn)態(tài)誤差。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1856 （5 5）采用前饋控

54、制（復(fù)合控制）采用前饋控制（復(fù)合控制） 對(duì)干擾補(bǔ)償對(duì)干擾補(bǔ)償 0)( )( 1 )( 1 sY sG sGn時(shí)：( )0E s 但但 此此 時(shí)時(shí) ： 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1857 對(duì)給定輸入進(jìn)行補(bǔ)償對(duì)給定輸入進(jìn)行補(bǔ)償 1 ( ),( )0 ( ) r G sE s G s ： 則則 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1858 )1(+sTs k m m 1 1 1 +sT1 k )(sGn - R(s)=0R(s)=0 N(s)N(s) C(s)C(s) 補(bǔ)償裝置補(bǔ)償裝置 放大器放大器 濾波器濾波器 )(

55、 ) 1)(1( 1 1 )(1 ) 1( )( 1 1 1 1 sN sTsTs kk sT k sG sTs k sC m m n m m n + + + + + 系統(tǒng)輸出系統(tǒng)輸出: :解解 例例4.4.24.4.2 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1859 0 1 11 0 1 1 lim( )()lim( ) 1 1() (1)1 lim( )0 1 (1)(1) nnn ts m m s m m ctcs Cs kk s T skT s sN s k k s T sT s + + + + + + + + + + ),1( 1 )( 1 1 +s

56、T k sG n 若選若選 響響,但不容易物理實(shí)現(xiàn)。因?yàn)橐话阄锢硐到y(tǒng)的傳遞函但不容易物理實(shí)現(xiàn)。因?yàn)橐话阄锢硐到y(tǒng)的傳遞函 數(shù)都是分母的階次高于或等于分子的階次。數(shù)都是分母的階次高于或等于分子的階次。 則系統(tǒng)的輸出不受擾動(dòng)的影則系統(tǒng)的輸出不受擾動(dòng)的影 1 1 ( ), n G s k 如果選如果選則在穩(wěn)態(tài)情況下則在穩(wěn)態(tài)情況下, 這就是穩(wěn)態(tài)全補(bǔ)償這就是穩(wěn)態(tài)全補(bǔ)償, 實(shí)現(xiàn)很方便。實(shí)現(xiàn)很方便。 4.4 4.4 線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算線性系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差計(jì)算 2021-6-1860 1 1s + + 例：設(shè)計(jì)最簡(jiǎn)單的例：設(shè)計(jì)最簡(jiǎn)單的Gr(S),使系統(tǒng)具有使系統(tǒng)具有I型系統(tǒng)性能。型系統(tǒng)性能。 系統(tǒng)具有系統(tǒng)具有I I型系統(tǒng)性能，即系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)作型系統(tǒng)性能，即系統(tǒng)對(duì)單位階躍信號(hào)作 用時(shí)用時(shí)e e