回歸分析在數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用實(shí)例論文

1、福建農(nóng)林大學(xué)計算機(jī)與信息學(xué)院（數(shù)學(xué)類課程）課程論文報告課程名稱：概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程實(shí)習(xí)題目：回歸分析在數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用實(shí)例姓 名： 系：應(yīng)用數(shù)學(xué)專 業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年 級：2009級學(xué) 號：指導(dǎo)教師：職 稱：副教授2011 年 6 月 25 日福建農(nóng)林大學(xué)計算機(jī)與信息學(xué)院數(shù)學(xué)類課程論文報告結(jié)果評定評語：成績：指導(dǎo)教師簽字：評定日期： 目錄摘要 .21、 問題的提出.32、問題的分析33、問題的解決33.1 問題重述33.2 建立模型33.3 模型求解43.4 模型檢驗(yàn)64、小結(jié)8參考文獻(xiàn)8附錄9回歸分析在數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用實(shí)例摘要：回歸分析是數(shù)理統(tǒng)計中重要的一種數(shù)據(jù)統(tǒng)計分析的思想。它是研究一

2、個隨機(jī)變量與一個或多個普通變量之間的相互關(guān)系的統(tǒng)計方法。主要是解決從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，確立變量間是否存在相關(guān)的關(guān)系，如果存在相關(guān)關(guān)系，確定他們之間合適的數(shù)學(xué)表達(dá)式即經(jīng)驗(yàn)公式或回歸方程，并對它的可信度作統(tǒng)計檢驗(yàn)；還可以針對從共同影響一個變量的許多變量中，判斷哪些變量的影響是顯著的，哪些變量是不顯著的，并利用所確定的回歸方程進(jìn)行預(yù)測和控制。本文就是針對實(shí)際問題運(yùn)用回歸分析中一元線性回歸分析的統(tǒng)計方法，來確定自變量與另一個變量的相關(guān)關(guān)系，并確立出較為合理的回歸方程，再對其的可信度進(jìn)行統(tǒng)計檢驗(yàn)。關(guān)鍵詞：回歸分析；回歸方程；檢驗(yàn)法回歸分析在數(shù)理統(tǒng)計中的應(yīng)用實(shí)例1、 問題的提出 根據(jù)以下9組關(guān)于營業(yè)稅稅收總額

3、和社會商品零售總額的數(shù)據(jù)1，確定出兩者的關(guān)系。 表1 社會商品零售總額和營業(yè)稅稅收總額序號社會商品零售總額營業(yè)稅稅收總額1142.083.932177.305.963204.687.854242.689.825316.2412.506341.9915.557332.6915.798389.2916.399453.4018.452、 問題的分析 營業(yè)稅稅收總額是受很多的因素所決定，但是題目中已經(jīng)將主要的因素確定為社會商品零售總額，這就大大的減少了在對于自變量的多因素進(jìn)行分析的過程，從而減少了在計算以及統(tǒng)計上的困難，但是這也在很大的程度上減少了結(jié)果的實(shí)際意義。在針對本題所給的兩個變量之間的關(guān)系，作

4、出回歸分析以及運(yùn)用重要的數(shù)學(xué)軟件的實(shí)現(xiàn)，從而來確定這兩個變量之間的關(guān)系，并計算出兩者之間的回歸方程，再對方程的可信度進(jìn)行檢驗(yàn)。3、 問題的解決 3.1 問題重述 在本題目中已經(jīng)明確地給出只有兩個變量之間的關(guān)系，所有可以忽略影響營業(yè)稅稅收總額除社會商品零售總額之外的其他因素，這對于解決問題減少了難度。只要在運(yùn)用回歸分析的統(tǒng)計方法來比較二者之間的關(guān)系以及它們之間的相關(guān)性，并運(yùn)用經(jīng)驗(yàn)的回歸公式，計算出二者之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式。3.2 建立模型根據(jù)表中所給的數(shù)據(jù)初步作出營業(yè)稅稅收總額和社會商品零售總額之間的數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖，并在散點(diǎn)圖中找出關(guān)于二者之間的初步關(guān)系。運(yùn)用數(shù)學(xué)軟件來作出二者的散點(diǎn)圖如下：（matla

5、b程序代碼如附錄一）從散點(diǎn)圖中可以看出，這9個點(diǎn)分布在一條直線的附近，從而可以初步認(rèn)為和的關(guān)系基本上是線性的，而這些點(diǎn)與直線的偏離是由其他一切隨機(jī)因素影響而成的。因此可以假設(shè)表1中的數(shù)據(jù)有以下的關(guān)系式： （3-1）其中表示隨的變化而線性變化的部分，是一切隨機(jī)因素影響的總和，有時也稱隨機(jī)誤差，它是不可觀測其值的隨機(jī)變量，并假定其數(shù)學(xué)期望,方差，并且服從正態(tài)分布?？梢允请S機(jī)變量也可以是一般變量。而在以下的討論中，都假定社會商品零售總額是一般變量，即它是可以精確測量或嚴(yán)格控制的。由式子（3-1）可知營業(yè)稅稅收總額是一個隨機(jī)變量，但其值是可以觀測的，其數(shù)學(xué)期望是社會商品零售總額的線性函數(shù) （3-2）這

6、即是營業(yè)稅稅收總額與社會商品零售總額的相關(guān)關(guān)系形式。 對表1的幾組數(shù)據(jù)觀測值，由式子（3-1）可得 （3-3）各是相互獨(dú)立；，并且將式子（3-3）稱為一元線性回歸模型。3.3 模型求解建立一元線性模型（3-3）后的首要任務(wù)就是根據(jù)所給數(shù)據(jù)求出從而確立二個變量之間的關(guān)系。而通常采用最小二乘估計求模型（3-3）中的的值。令 （3-4）應(yīng)滿足 （3-5）稱這樣得到的稱為的最小二乘估計2。 由于，且對的導(dǎo)數(shù)存在，因此最小二乘法估計可以通過求偏導(dǎo)數(shù)并令其為零而得到： （3-6）這組方程稱為正規(guī)方程組，經(jīng)過整理可得 （3-7）記則有式子（3-7）得 （3-8）這就是求模型（3-3）的最小二乘估計方法。則可

7、以運(yùn)用以上的模型將表1的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計計算，利用數(shù)學(xué)軟件算出可得關(guān)系如下：（程序代碼見附錄二） （3-9）將這個回歸方程的圖像圖與散點(diǎn)圖進(jìn)行比較，并進(jìn)行分析。畫出二者的圖如下：（程序代見附錄三）可以從圖中看出表中的9個數(shù)據(jù)都比較穩(wěn)定在落在直線的附近，從而可以初步的認(rèn)為模型（3-3）所確立而得到的回歸方程是有意義的，但是還是要通過科學(xué)的檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)它的可信度。3.4 模型檢驗(yàn) 建立經(jīng)驗(yàn)回歸方程的目的在于揭示兩個相關(guān)變量與之間的內(nèi)在的關(guān)系，然而對于任意樣本的觀測值作出的散點(diǎn)圖，即使一眼可以看出與之間根本不存在線性關(guān)系，也可以通過式子（3-8）求出回歸方程，但此時的回歸方程是毫無意義的。所以必須有一

8、種方法去檢驗(yàn)回歸方程的可信度，在統(tǒng)計中稱為回歸顯著檢驗(yàn)3，如果，當(dāng)越大，隨著的變化明顯；當(dāng)越小，隨著的變化趨勢不明顯；特別當(dāng)=0,，就意味著與沒有線性關(guān)系。實(shí)質(zhì)上就是要對假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。為了尋找合適的統(tǒng)計量，對關(guān)系式進(jìn)行分解，并稱為總的偏差平方和，它反映的離散程度，由于= （3-10）記 （3-11） （3-12）從而得 （3-13）所以若回歸方程有意義，即引起波動主要是由變化而引起的，其他因素是次要的。即要求盡可能大，盡可能小。為此，在此基礎(chǔ)上建立檢驗(yàn)，其主要思想如下：在為真時，有 （3-14）當(dāng)不為真時，有變大的趨勢，因而也有變大的趨勢，故應(yīng)當(dāng)取單向拒絕域。對給定的顯著水平，當(dāng)時，認(rèn)為不真，

9、我們稱方程是顯著的，反之方程是不顯著的，這種用檢驗(yàn)對回歸方程作顯著性檢驗(yàn)的方法也稱為方差分析。其檢驗(yàn)過程可以由一張“方差分析表”來進(jìn)行。見表2.表2 方差分析表方差來源偏差平方和自由度方差值顯著性回歸1剩余總和所以運(yùn)用以上的檢驗(yàn)方法來檢驗(yàn)回歸方程（3-9）的可信度，具體可以運(yùn)用回歸分析中的方差分析程序來實(shí)現(xiàn)方差分析表的確立。實(shí)現(xiàn)的結(jié)果如下：建立回歸數(shù)據(jù)分析變量之間的.txt文件，在利用回歸分析程序包來作出如下的回歸分析的方差分析表。經(jīng)過回歸分析的方差分析表的結(jié)果，可以看出這個回歸方程所確定營業(yè)稅稅收總額和社會商品零售總額的關(guān)系是符合線性關(guān)系的。4、 小結(jié)本文主要針對實(shí)際問題運(yùn)用了數(shù)理統(tǒng)計中的回

10、歸分析的知識去解決。對于營業(yè)稅稅收總額和社會商品零售總額的關(guān)系能較為準(zhǔn)確的表達(dá)式，這對實(shí)際有很大的應(yīng)用，此外還對于預(yù)測營業(yè)稅稅收總額有很大的作用。另一方面，在實(shí)驗(yàn)的過程中，對于我的理論的實(shí)踐運(yùn)用有很大的作用，同時也會給自身帶來在實(shí)踐中的經(jīng)驗(yàn)。但是在實(shí)驗(yàn)的過程中，還是存在著一些問題，如回歸方法的確定等。經(jīng)過這次課程論文的研究中，讓我更加明白了數(shù)理統(tǒng)計中回歸分析對于實(shí)際問題的應(yīng)用于解決，同時也讓我明白自己在某些方面還存在著不足，還需要在以后的學(xué)習(xí)中強(qiáng)化自己的理論知識以及實(shí)踐能力。參考文獻(xiàn)1：茆詩松，程依明，濮曉龍著概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程北京：高等教育出版社，2010第413頁2：茆詩松，程依明，濮曉

11、龍著概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程北京：高等教育出版社，2010第397至398頁3：王巖，隋思蓮，王愛青著數(shù)理統(tǒng)計與matlab工程數(shù)據(jù)分析北京：清華大學(xué)出版社，2007.7附錄附錄一%給出向量x和y，利用下面的程序代碼可以繪制散點(diǎn)圖x=142.08 177.30 204.68 242.68 316.24 341.99 332.69 389.29 453.40;y=3.93 5.96 7.85 9.82 12.50 15.55 15.79 16.39 18.45;plot(x,y,*)xlabel(社會商品零售總額x)ylabel(營業(yè)稅稅收總額y)附錄二%給出向量x和y，利用下面的程序代碼可以求出回歸系數(shù)x=142.08 177.30 204.68 242.68 316.24 341.99 332.69 389.29 453.40;y=3.93 5.96 7.85 9.82 12.50 15.55 15.79 16.39 18.45;xp=sum(x,2)/9;yp=sum(y,2)/9;lxy=sum(x.*y,2)-9*xp*yp;lxx=sum(x.*x,2)-9*xp*xp;beta1=lxy/lxxbeta0=yp-beta1*xp附錄三%作出散點(diǎn)圖與回歸方程直線的圖像比較x=142.08 177.30 204.