兩直線的交點坐標和距離公式

1、解析幾何解析幾何 3.3.1兩條直線交點坐標兩條直線交點坐標 復(fù)習提問：復(fù)習提問： 1.1.設(shè)直線設(shè)直線l1 1、 l2 2的方程分別為的方程分別為 l1 1： A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0，在什，在什 么條件下有么條件下有l(wèi)1 1/l2 2？ 122112211221 0,0(0)ABABCACBCBC且A或 2.2.設(shè)直線設(shè)直線l1 1、 l2 2的方程分別為的方程分別為 l1 1： A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2

2、 2=0=0，在什，在什 么條件下有么條件下有l(wèi)1 1l2 2？ A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0 練習：課本練習：課本109頁頁 2，3 直線上的點直線上的點 x y 直線的方程就是直線上直線的方程就是直線上每一點坐標每一點坐標滿足滿足 的一個的一個關(guān)系式關(guān)系式 l P(x,y) 230 xy 1 5(1)點（ ，）在直線上嗎？ 2 7(2)點（ ，）在直線上嗎？ 3 8(3)點（ ， ）在直線上嗎？ ?, 0 : 0: 2222 1111 的坐標如何求這兩條直線交點相交 已知兩條直線 CyBxAl CyBxAl 111 222 0 0 AxB yC A xB yC

3、 利用求交點坐標的方法，能否判斷兩條利用求交點坐標的方法，能否判斷兩條 直線的位置關(guān)系？直線的位置關(guān)系？ 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 將兩條直線的方程聯(lián)立將兩條直線的方程聯(lián)立 方程組有唯一解方程組有唯一解 方程組無解方程組無解 兩條直線相交兩條直線相交 兩條直線平行兩條直線平行 方程組有無數(shù)解方程組有無數(shù)解 兩條直線重合兩條直線重合 例例1：判斷下列直線的位置關(guān)系。：判斷下列直線的位置關(guān)系。 如果相交，求出交點的坐標如果相交，求出交點的坐標 1 :0lxy 2 :33100lxy（1） 解：解方程組解：解方程組 0 33100 xy xy 5 3 5 3 x y 得

4、得 直線直線l1與與l2的交點是的交點是 5 5 ( , ) 3 3 M 12 kk 12 ll 和 相交 1 : 3440lxy 2 :6210lxy （2） 解：解： 3440 6210 xy xy 另一方面另一方面 無解無解 12 3 4 kk 12 bb 所以所以l1/l2 直線直線l1與與l2的無交點的無交點 所以所以l1/l2 1 : 3450lxy 2 :68100lxy （3） 2 : 3450lxy 直線直線l1與與l2重合重合 例2：求直線3x+4y2=0和2x+y+2=0的交點M的坐標， 并證明方程3x+4y2+（2x+y+2）=0（為任意 常數(shù)）表示過M點的所有直線（不

5、包括直線 2x+y+2=0）。 證明：聯(lián)立方程 3x+4y2=0 2x+y+2=0 解得： x=-2 y= 2 代入：3x+4y2+（2x+y+2）= 0 得 0+0=0M點在直線上 A1x+B1y+C1+（ A2x+B2y+C2）=0是過直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交點的直線系方程。 M（-2，2）即 o x y (-2, 2) M 直線系方程的定義直線系方程的定義 直線系：直線系： 具有某種共同性質(zhì)的所有具有某種共同性質(zhì)的所有 直線的集合直線的集合. . 它的方程叫它的方程叫直線系方程。直線系方程。 練習1：求經(jīng)過兩條直線x+2y1=0和2xy7=0的交點， 且

6、垂直于直線x+3y5=0的直線方程。 解法一：解方程組 x+2y1=0， 2xy7=0 得 x=3 y= 1 這兩條直線的交點坐標為（3，-1） 又直線x+2y5=0的斜率是1/3 所求直線的斜率是3 所求直線方程為y+1=3（x3）即 3xy10=0 解法二：所求直線在直線系2xy7+（x+2y1）=0中 經(jīng)整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =3 2+ 21 解得 = 1/7 因此，所求直線方程為3xy10=0 直線系方程的應(yīng)用直線系方程的應(yīng)用: : 直線系方程的應(yīng)用直線系方程的應(yīng)用: : 練習練習2. 求證：無論求證：無論m m取何實數(shù)時，直線取何實數(shù)時，直線 (m-1)x-(m+3

7、)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點，恒過定點， 并求出定點的坐標。并求出定點的坐標。 0) 1yx(m11y3x 解法解法1： 將方程變?yōu)椋簩⒎匠套優(yōu)椋?解得： 01yx 011y3x 2 5 y 2 7 x 即： 故直線恒過故直線恒過 2 5 , 2 7 練習練習2. 求證：無論求證：無論m m取何實數(shù)時，直線取何實數(shù)時，直線 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過定點，恒過定點， 并求出定點的坐標。并求出定點的坐標。 014x4 010y4 解法解法2：令 令m=1，m= -3代入方程，得：代入方

8、程，得： 2 5 y 2 7 x 解得：解得： 2 5 y 2 7 x 解得：解得： 所以直線恒過定點所以直線恒過定點 2 5 , 2 7 又因為又因為: 2.5( (m-1)- m-1)- 3.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0 若證明一條直線恒過定點或求一條直線必若證明一條直線恒過定點或求一條直線必 過定點，通常有兩種方法：過定點，通常有兩種方法： 方法小結(jié)：方法小結(jié)： 法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特 殊直線求出交點，再證明其余直線均過此殊直線求出交點，再證明其余直線均過此 交點。交點。 法一法一: :分離系數(shù)法，即將原方程

9、改變成：分離系數(shù)法，即將原方程改變成： f(x, y)+mg(x,yf(x, y)+mg(x,y)=0)=0的形式，此式的成立與的形式，此式的成立與 m m的取值無關(guān)，故從而解出定點。的取值無關(guān)，故從而解出定點。 兩點間距離公式兩點間距離公式 x y P1(x1,y1) P2(x2, y2) Q(x2,y1) O 221 | |PQyy 121 | |PQxx x2 y2 x1 y1 兩點間距離公式兩點間距離公式 x y P1(x1,y1) P2(x2,y2) Q(x2,y1) O 22 122121 |()()PPxxyy 221 | |PQyy 121 | |PQxx 兩點間距離公式兩點間

10、距離公式 x y P (x,y) O(0,0) 22 |OPxy |y| |x| 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 .|,| ,),7, 2(),2 , 1( 3 的值并求得 使軸上求一點在已知點例 PAPBPA PxBA 解：設(shè)所求點為解：設(shè)所求點為P(x,0)，于是有，于是有 11114x4xx x) )7 7(0(02)2)(x(x| |PBPB| | 5 52x2xx x2)2)(0(01)1)(x(x| |PAPA| | 2 22 22 2 2 22 22 2 11114x4xx x5 52x2xx x 得得| |PBPB| | |PAPA| |由由 2 22 2 解得解得x=1，所以所求點，所以所

11、求點P(1,0) 22 2 22 2 2)2)(0(01)1)(1(1| |PAPA| | 例例4.4.證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對 角線的平方和。角線的平方和。 證明：以證明：以A A為原點，為原點，ABAB為為x x軸軸 建立直角坐標系。建立直角坐標系。 x y AB CD (0,0)(a,0) (b,c)(a+b,c) 則四個頂點坐標分別為則四個頂點坐標分別為 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 22 |ABa 22 |CDa 222 |()ACabc 222 |

12、ADbc 222 |BCbc 222 |()BDbac 2222222 |2()ABCDADBCabc 22222 |2()ACBDabc 222222 |ABCDADBCACBD 因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線 的平方和。的平方和。 坐標法坐標法 第二步第二步: :進行有進行有 關(guān)代數(shù)運算關(guān)代數(shù)運算 第三步第三步: :把代數(shù)把代數(shù) 運算結(jié)果翻譯成運算結(jié)果翻譯成 幾何關(guān)系。幾何關(guān)系。 第一步第一步: :建立坐建立坐 標系，用坐標表標系，用坐標表 示有關(guān)的量示有關(guān)的量。 第一步：建立坐標系，用坐標表示有關(guān)的量；第一步：建立坐標系，用坐標表

13、示有關(guān)的量； 第二步：進行有關(guān)的代數(shù)運算；第二步：進行有關(guān)的代數(shù)運算； 第三步：把代數(shù)運算結(jié)果第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯翻譯”所幾何關(guān)系所幾何關(guān)系. . 作業(yè)作業(yè) nA：小結(jié)：小結(jié) nB：P106 練習練習2題題 兩條直線的交點兩條直線的交點 幾何元素及關(guān)系幾何元素及關(guān)系 代數(shù)表示代數(shù)表示 點點A 直線直線l 點點A在直線在直線l上上 直線直線l1與與l2的交點是的交點是A ( , )A a b :0lAxByC :0lAaBbC A A的坐標滿足方程的坐標滿足方程 A A的坐標是方程組的解的坐標是方程組的解 111 222 0 0 AxB yC A xB yC 已知平面上兩點已知平面上兩點

14、P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，如何求，如何求P P1 1 P P2 2的距離的距離| P| P1 1 P P2 2 | |呢呢? ? 兩點間的距離兩點間的距離 Q(x (x2 2,y,y1 1) ) 22 | :),(, yxOP yxPO 的距離與任一點原點特別地 2 12 2 1221 )()(|yyxxPP y x o P1 P2 (x(x1 1,y,y1 1) ) (x(x2 2,y,y2 2) ) 兩點間的距離兩點間的距離 y x o P1P2 y x o P2 P1 | 1221 xxPP| 1221 yyPP 例

15、例4、證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角、證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角 線的平方和。線的平方和。 y x o (b,c) (a+b,c) (a,0)(0,0) 解：如圖，以頂點解：如圖，以頂點A為坐標原為坐標原 點，點，AB所在直線為所在直線為x軸，建立軸，建立 直角坐標系，則有直角坐標系，則有A(0,0) 設(shè)設(shè)B(a,0),D(b,c),由平行四邊形由平行四邊形 的性質(zhì)可得的性質(zhì)可得C(a+b,c) 2 22 22 22 2 a a| |CDCD| | , ,a a| |ABAB| | 2 c 2 22 22 22 22 2 b b| |BCBC| | , ,c cb b| |ADAD| | 2 22 22 22 22 22 2 c ca)a)- -(b(b| |BDBD| | , ,c cb)b)(a(a| |ACAC| | 2 22 22 22 22 22 2 | |BDBD| | |ACAC| | |BCBC| | |ADAD| | |CDCD| | |ABAB| | 所