兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)和距離公式

1、解析幾何解析幾何 3.3.1兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo) 復(fù)習(xí)提問(wèn)：復(fù)習(xí)提問(wèn)： 1.1.設(shè)直線設(shè)直線l1 1、 l2 2的方程分別為的方程分別為 l1 1： A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2:A:A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2 2=0=0，在什，在什 么條件下有么條件下有l(wèi)1 1/l2 2？ 122112211221 0,0(0)ABABCACBCBC且A或 2.2.設(shè)直線設(shè)直線l1 1、 l2 2的方程分別為的方程分別為 l1 1： A A1 1x+Bx+B1 1y+Cy+C1 1=0=0，l2 2：A A2 2x+Bx+B2 2y+Cy+C2

2、 2=0=0，在什，在什 么條件下有么條件下有l(wèi)1 1l2 2？ A A1 1A A2 2+B+B1 1B B2 2=0=0 練習(xí)：課本練習(xí)：課本109頁(yè)頁(yè) 2，3 直線上的點(diǎn)直線上的點(diǎn) x y 直線的方程就是直線上直線的方程就是直線上每一點(diǎn)坐標(biāo)每一點(diǎn)坐標(biāo)滿足滿足 的一個(gè)的一個(gè)關(guān)系式關(guān)系式 l P(x,y) 230 xy 1 5(1)點(diǎn)（ ，）在直線上嗎？ 2 7(2)點(diǎn)（ ，）在直線上嗎？ 3 8(3)點(diǎn)（ ， ）在直線上嗎？ ?, 0 : 0: 2222 1111 的坐標(biāo)如何求這兩條直線交點(diǎn)相交 已知兩條直線 CyBxAl CyBxAl 111 222 0 0 AxB yC A xB yC

3、 利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，能否判斷兩條利用求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，能否判斷兩條 直線的位置關(guān)系？直線的位置關(guān)系？ 111 222 0 0 A xB yC A xB yC 將兩條直線的方程聯(lián)立將兩條直線的方程聯(lián)立 方程組有唯一解方程組有唯一解 方程組無(wú)解方程組無(wú)解 兩條直線相交兩條直線相交 兩條直線平行兩條直線平行 方程組有無(wú)數(shù)解方程組有無(wú)數(shù)解 兩條直線重合兩條直線重合 例例1：判斷下列直線的位置關(guān)系。：判斷下列直線的位置關(guān)系。 如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo) 1 :0lxy 2 :33100lxy（1） 解：解方程組解：解方程組 0 33100 xy xy 5 3 5 3 x y 得

4、得 直線直線l1與與l2的交點(diǎn)是的交點(diǎn)是 5 5 ( , ) 3 3 M 12 kk 12 ll 和 相交 1 : 3440lxy 2 :6210lxy （2） 解：解： 3440 6210 xy xy 另一方面另一方面 無(wú)解無(wú)解 12 3 4 kk 12 bb 所以所以l1/l2 直線直線l1與與l2的無(wú)交點(diǎn)的無(wú)交點(diǎn) 所以所以l1/l2 1 : 3450lxy 2 :68100lxy （3） 2 : 3450lxy 直線直線l1與與l2重合重合 例2：求直線3x+4y2=0和2x+y+2=0的交點(diǎn)M的坐標(biāo)， 并證明方程3x+4y2+（2x+y+2）=0（為任意 常數(shù)）表示過(guò)M點(diǎn)的所有直線（不

5、包括直線 2x+y+2=0）。 證明：聯(lián)立方程 3x+4y2=0 2x+y+2=0 解得： x=-2 y= 2 代入：3x+4y2+（2x+y+2）= 0 得 0+0=0M點(diǎn)在直線上 A1x+B1y+C1+（ A2x+B2y+C2）=0是過(guò)直A1x+B1y+C1=0 和A2x+B2y+C2=0的交點(diǎn)的直線系方程。 M（-2，2）即 o x y (-2, 2) M 直線系方程的定義直線系方程的定義 直線系：直線系： 具有某種共同性質(zhì)的所有具有某種共同性質(zhì)的所有 直線的集合直線的集合. . 它的方程叫它的方程叫直線系方程。直線系方程。 練習(xí)1：求經(jīng)過(guò)兩條直線x+2y1=0和2xy7=0的交點(diǎn)， 且

6、垂直于直線x+3y5=0的直線方程。 解法一：解方程組 x+2y1=0， 2xy7=0 得 x=3 y= 1 這兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，-1） 又直線x+2y5=0的斜率是1/3 所求直線的斜率是3 所求直線方程為y+1=3（x3）即 3xy10=0 解法二：所求直線在直線系2xy7+（x+2y1）=0中 經(jīng)整理，可得（2+）x+（21）y7=0 =3 2+ 21 解得 = 1/7 因此，所求直線方程為3xy10=0 直線系方程的應(yīng)用直線系方程的應(yīng)用: : 直線系方程的應(yīng)用直線系方程的應(yīng)用: : 練習(xí)練習(xí)2. 求證：無(wú)論求證：無(wú)論m m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線 (m-1)x-(m+3

7、)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)， 并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。 0) 1yx(m11y3x 解法解法1： 將方程變?yōu)椋簩⒎匠套優(yōu)椋?解得： 01yx 011y3x 2 5 y 2 7 x 即： 故直線恒過(guò)故直線恒過(guò) 2 5 , 2 7 練習(xí)練習(xí)2. 求證：無(wú)論求證：無(wú)論m m取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線取何實(shí)數(shù)時(shí)，直線 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0(m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒過(guò)定點(diǎn)，恒過(guò)定點(diǎn)， 并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)。 014x4 010y4 解法解法2：令 令m=1，m= -3代入方程，得：代入方

8、程，得： 2 5 y 2 7 x 解得：解得： 2 5 y 2 7 x 解得：解得： 所以直線恒過(guò)定點(diǎn)所以直線恒過(guò)定點(diǎn) 2 5 , 2 7 又因?yàn)橛忠驗(yàn)? 2.5( (m-1)- m-1)- 3.5(m+3)-(m-11)=0(m+3)-(m-11)=0 若證明一條直線恒過(guò)定點(diǎn)或求一條直線必若證明一條直線恒過(guò)定點(diǎn)或求一條直線必 過(guò)定點(diǎn)，通常有兩種方法：過(guò)定點(diǎn)，通常有兩種方法： 方法小結(jié)：方法小結(jié)： 法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特法二：從特殊到一般，先由其中的兩條特 殊直線求出交點(diǎn)，再證明其余直線均過(guò)此殊直線求出交點(diǎn)，再證明其余直線均過(guò)此 交點(diǎn)。交點(diǎn)。 法一法一: :分離系數(shù)法，即將原方程

9、改變成：分離系數(shù)法，即將原方程改變成： f(x, y)+mg(x,yf(x, y)+mg(x,y)=0)=0的形式，此式的成立與的形式，此式的成立與 m m的取值無(wú)關(guān)，故從而解出定點(diǎn)。的取值無(wú)關(guān)，故從而解出定點(diǎn)。 兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式 x y P1(x1,y1) P2(x2, y2) Q(x2,y1) O 221 | |PQyy 121 | |PQxx x2 y2 x1 y1 兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間距離公式 x y P1(x1,y1) P2(x2,y2) Q(x2,y1) O 22 122121 |()()PPxxyy 221 | |PQyy 121 | |PQxx 兩點(diǎn)間距離公式兩點(diǎn)間

10、距離公式 x y P (x,y) O(0,0) 22 |OPxy |y| |x| 數(shù)形結(jié)合數(shù)形結(jié)合 .|,| ,),7, 2(),2 , 1( 3 的值并求得 使軸上求一點(diǎn)在已知點(diǎn)例 PAPBPA PxBA 解：設(shè)所求點(diǎn)為解：設(shè)所求點(diǎn)為P(x,0)，于是有，于是有 11114x4xx x) )7 7(0(02)2)(x(x| |PBPB| | 5 52x2xx x2)2)(0(01)1)(x(x| |PAPA| | 2 22 22 2 2 22 22 2 11114x4xx x5 52x2xx x 得得| |PBPB| | |PAPA| |由由 2 22 2 解得解得x=1，所以所求點(diǎn)，所以所

11、求點(diǎn)P(1,0) 22 2 22 2 2)2)(0(01)1)(1(1| |PAPA| | 例例4.4.證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì) 角線的平方和。角線的平方和。 證明：以證明：以A A為原點(diǎn)，為原點(diǎn)，ABAB為為x x軸軸 建立直角坐標(biāo)系。建立直角坐標(biāo)系。 x y AB CD (0,0)(a,0) (b,c)(a+b,c) 則四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為則四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c) 22 |ABa 22 |CDa 222 |()ACabc 222 |

12、ADbc 222 |BCbc 222 |()BDbac 2222222 |2()ABCDADBCabc 22222 |2()ACBDabc 222222 |ABCDADBCACBD 因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線 的平方和。的平方和。 坐標(biāo)法坐標(biāo)法 第二步第二步: :進(jìn)行有進(jìn)行有 關(guān)代數(shù)運(yùn)算關(guān)代數(shù)運(yùn)算 第三步第三步: :把代數(shù)把代數(shù) 運(yùn)算結(jié)果翻譯成運(yùn)算結(jié)果翻譯成 幾何關(guān)系。幾何關(guān)系。 第一步第一步: :建立坐建立坐 標(biāo)系，用坐標(biāo)表標(biāo)系，用坐標(biāo)表 示有關(guān)的量示有關(guān)的量。 第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)的量；第一步：建立坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表

13、示有關(guān)的量； 第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算；第二步：進(jìn)行有關(guān)的代數(shù)運(yùn)算； 第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果第三步：把代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯翻譯”所幾何關(guān)系所幾何關(guān)系. . 作業(yè)作業(yè) nA：小結(jié)：小結(jié) nB：P106 練習(xí)練習(xí)2題題 兩條直線的交點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn) 幾何元素及關(guān)系幾何元素及關(guān)系 代數(shù)表示代數(shù)表示 點(diǎn)點(diǎn)A 直線直線l 點(diǎn)點(diǎn)A在直線在直線l上上 直線直線l1與與l2的交點(diǎn)是的交點(diǎn)是A ( , )A a b :0lAxByC :0lAaBbC A A的坐標(biāo)滿足方程的坐標(biāo)滿足方程 A A的坐標(biāo)是方程組的解的坐標(biāo)是方程組的解 111 222 0 0 AxB yC A xB yC 已知平面上兩點(diǎn)已知平面上兩點(diǎn)

14、P P1 1(x(x1 1,y,y1 1) )， P P2 2(x(x2 2,y,y2 2) )，如何求，如何求P P1 1 P P2 2的距離的距離| P| P1 1 P P2 2 | |呢呢? ? 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離 Q(x (x2 2,y,y1 1) ) 22 | :),(, yxOP yxPO 的距離與任一點(diǎn)原點(diǎn)特別地 2 12 2 1221 )()(|yyxxPP y x o P1 P2 (x(x1 1,y,y1 1) ) (x(x2 2,y,y2 2) ) 兩點(diǎn)間的距離兩點(diǎn)間的距離 y x o P1P2 y x o P2 P1 | 1221 xxPP| 1221 yyPP 例

15、例4、證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角、證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角 線的平方和。線的平方和。 y x o (b,c) (a+b,c) (a,0)(0,0) 解：如圖，以頂點(diǎn)解：如圖，以頂點(diǎn)A為坐標(biāo)原為坐標(biāo)原 點(diǎn)，點(diǎn)，AB所在直線為所在直線為x軸，建立軸，建立 直角坐標(biāo)系，則有直角坐標(biāo)系，則有A(0,0) 設(shè)設(shè)B(a,0),D(b,c),由平行四邊形由平行四邊形 的性質(zhì)可得的性質(zhì)可得C(a+b,c) 2 22 22 22 2 a a| |CDCD| | , ,a a| |ABAB| | 2 c 2 22 22 22 22 2 b b| |BCBC| | , ,c cb b| |ADAD| | 2 22 22 22 22 22 2 c ca)a)- -(b(b| |BDBD| | , ,c cb)b)(a(a| |ACAC| | 2 22 22 22 22 22 2 | |BDBD| | |ACAC| | |BCBC| | |ADAD| | |CDCD| | |ABAB| | 所