沈恒范_第四版_概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教材第2章習(xí)題答案

1、1 2.2 2.2 離離 散散 型型 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 2.1 2.1 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 的的 概概 念念 2.3 2.3 超幾何分布超幾何分布二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布泊松分布泊松分布 2,1)()( ixpxXP ii 1. “0-1”分布分布(兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布) 3. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 ),(pnBX)(xPn xnxx n qpC 4. Poisson分布分布 )( PX)(xP e x x ! 2. 超幾何分布超幾何分布 ),(NMnHX n N xn MN x M C CC xXP )( ),(pnB)( P np n ， ),(NMnH ).,(pnB N， , N M p 0

2、)()1( i xp. 1)()2( 1 i i xp (x = 0, 1, 2, , n) (x =0,1,2, ,) ),min(2, 1, 0nMx 第二章第二章 隨隨 機(jī)機(jī) 變變 量量 及及 其其 分分 布布 2 一一. .定義定義 )()(xXPxF 二二. .分布函數(shù)分布函數(shù) 的性質(zhì)：的性質(zhì)： )(, 1)(0)1(xxF .),()()2( 2121 xxxFxF當(dāng) 1)(lim, 0)(lim)3( FxFFxF xx 一一. .概念概念 x xFxxF xf x 0 lim x F xXPxF x dxxf 二、概率密度二、概率密度 的性質(zhì)：的性質(zhì)： ; 0 xf 1 dxx

3、f 2 1 21 x x dxxfxXxP 對對離離散散隨隨機(jī)機(jī)變變量量，)4(右連續(xù)的階梯曲線右連續(xù)的階梯曲線. (5) 對連續(xù)隨機(jī)變量，是單調(diào)上升的連續(xù)曲線對連續(xù)隨機(jī)變量，是單調(diào)上升的連續(xù)曲線 . 0)( xXP 3 一、均勻分布一、均勻分布 . , 0 ;, 1 bxax bxa abxf 或或當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 二、指數(shù)分布二、指數(shù)分布 . 0 , 0 ;0, x xe xf x 當(dāng)當(dāng) 當(dāng)當(dāng) 一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布二、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布 ;)()(1yXgPyYPyFY ).(2yFyf YY 特別地，若特別地，若 xgy

4、為單調(diào)函數(shù)，則為單調(diào)函數(shù)，則 ygygfyf XY 11 4 1. 1. 二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布二維離散隨機(jī)變量的聯(lián)合概率分布 , 3 , 2 , 1,),( jipyYxXP ijji 2. 2. 二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的聯(lián)合分布函數(shù) ),(),(yYxXPyxF 3. 3. 二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度二維連續(xù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度 yxFyxf xy , yxyxf,0),( 1),(dxdyyxf R dxdyyxfRYXP, yx dxdyyxfyYxXPyxF, ij ijij p,p1 0 5 一一. . 二維離散隨機(jī)變量的邊緣分布二維離散隨機(jī)變量的邊緣

5、分布 iX xp j ji yxp,)( i xXP j ji yYxXP),( jY yp i ji yxp,)( j yYP i ji yYxYP),( 二二. . 二維連續(xù)隨機(jī)變量的邊緣分布二維連續(xù)隨機(jī)變量的邊緣分布 x X dyyxfdxxFxF, xF dx d xf XX y Y dxyxfdyyFyF, yF dy d yf YY dyyxf, dxyxf, 一一. . 離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性 jYiXji ypxpyxp , 二二. . 連續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性連續(xù)隨機(jī)變量的獨(dú)立性 yxF, yFxF YX yxf, yfxf YX 6 1. 1. 和的分布和

6、的分布 dyyxfdx xz , 2. 2. 平方和的分布平方和的分布 3.3.（獨(dú)立的隨機(jī)變量）獨(dú)立的隨機(jī)變量）最大值與最小值的分布最大值與最小值的分布 ),()( 22 zyx Z dxdyyxfzF ),()( 1 max zFzF n i i )(1 1)( 1 min zFzF n i i zf Z 離散型離散型 zYXPzZPzFZ ij ji ij jikkZ yxpyYxXPzZPzp, 對于一切的對于一切的 kji zyx 連續(xù)型連續(xù)型 或或 j jik i ikikZ yxzpxzxpzp, 若若X、Y 獨(dú)立獨(dú)立 jy j ikXikY i iXkZ ypxzpxzpxpz

7、p 若若X、Y 獨(dú)立獨(dú)立 zf Z dyyfyzfdxxzfxf YXYX dyyyzfdxxzxf , 7 （二）課后習(xí)題略解（二）課后習(xí)題略解 2 一批零件中有一批零件中有9個(gè)合格品與個(gè)合格品與3個(gè)廢品。安裝機(jī)器時(shí)從中任取個(gè)廢品。安裝機(jī)器時(shí)從中任取 1個(gè)。如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以個(gè)。如果每次取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以 前已取出的廢品數(shù)的概率分布。前已取出的廢品數(shù)的概率分布。 解解 設(shè)在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)為設(shè)在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)為X，則則X的所有可的所有可 ,3210、 4 3 0 XP 44 9 11 9 4 1 1 XP 220 9

8、10 9 11 2 4 1 2 XP 220 1 1 10 1 11 2 4 1 3 XP X )( i xP 10 4 3 44 9 220 1 32 220 9 能取的值為：能取的值為： 8 3. 對一目標(biāo)射擊，直至擊中為止。如果每次射擊命中率為對一目標(biāo)射擊，直至擊中為止。如果每次射擊命中率為 p， 求射擊次數(shù)的概率分布及其分布函數(shù)。求射擊次數(shù)的概率分布及其分布函數(shù)。 X )(mXP 1n pq n 21 ppq 3 2 pq 解解 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X表示射擊次數(shù)，表示射擊次數(shù)，則則X 服從幾何分布。服從幾何分布。 2,1)1()( 1 mppmXP m X的概率分布表如下：的概率分布

9、表如下： 顯然，當(dāng)顯然，當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)，; 0)()( xXPxF當(dāng)當(dāng)1 x時(shí)，時(shí)， )()(xXPxF 1 1 x m m pq q qp x 1 1 1 x q )1(1 x p )1(qp 其中，其中，x為為 x 的整數(shù)部分。的整數(shù)部分。 9 4 自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為自動生產(chǎn)線在調(diào)整以后出現(xiàn)廢品的概率為 p (0p 0, y 0 ,2x+3y 6 內(nèi)的概率內(nèi)的概率. ()1f x, y dxdy 解解: -(2 +3 ) 1 xy Aedxdy 2-3 00 1 - xy edxedy 1) 1 1 1,= 6 2 3 A x y 46 2) x y 0 0 xy 或或

10、0 0 xy且且 () xy f x,y dxdy -(2 +3 ) 00 6 xy xy edxdy -2-3 = (1-)(1-). xy ee () = 0,F x, y ()F x, y () =F x, y -2-3 (1-)(1-), xy ee 0 0 ,0 xy 0 0 xy 或或 3) x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ( ) = 0, X fx ( ) =() X fxf x, y dy 0 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , -(2 +3 )2 0 = 62 xy- x edye 47 x y 2+ 3= 6xy 3 2 3) ( ) = X fx , 2 2 - x e0 x x 0. ( ) =

11、Y fy , 3 3 - y e 0 y y 0. -(2 +3 ) ()6 xy R P X,YRedxdy 1 3(6-2 ) 23-6 3 00 61-70.983. x - x- y edxedye 48 4242 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 與與 Y 獨(dú)立，獨(dú)立，X 在在 0,2 服從均勻分布服從均勻分布, Y 服從指數(shù)分布服從指數(shù)分布 e(2) , 求求:1) 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 (X ,Y)的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度; 2)P(XY). 解解:則其概率密度則其概率密度: ; 1 ,0 ( )2 0, X x fx 其其它它. . 因因 X U (0,2), Y e(2),

12、; 2 2,0 ( ) 0,0. - y Y ey fy y 又又X 與與 Y 獨(dú)立，獨(dú)立， 所以所以(X,Y)的聯(lián)合概率密度的聯(lián)合概率密度; ,; , 2 020 0 - y exy fx, y 其其它它。 y x2 2)P(XY) = 2 2 0 + - y x dxedy -4 1 (1-). 4 e y = x 49 4343 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X 與與 Y 獨(dú)立，并且都服從二項(xiàng)分布：獨(dú)立，并且都服從二項(xiàng)分布： ; 1 1 1 0,1,2, n -iii Xn pi = Cp q,i =n 試證明它們的和試證明它們的和 Z = X + Y 也服從二項(xiàng)也服從二項(xiàng)分布。分布。 . 2

13、2 2 0,1,2, n - jjj Yn pj = Cp q, j =n 解解 因隨機(jī)變量因隨機(jī)變量 X 與與 Y 獨(dú)立，獨(dú)立， X 0 ( )() k ZY i= pk =pi pk - i 隨機(jī)變量隨機(jī)變量Z 的所有可能取值的所有可能取值:k = 0,1, 2, 3, ,. 12 +nn 0 k i= = 1 1 n -iii n Cp q 2 2 ()n - k-ik-ik-i n Cpq 1 ( i n C 0 k i= = 12 n +n -kk p q 2 ) k-i n C 0 k i= 1 ( i n C 2 ) k-i n C 12 k n +n = C 0 k i= =

14、12 k n +n C 12 n +n -kk p q Z pk 0 k i= = 12 k n +n C 12 n +n -kk p q 50 44設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量 X,Y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,其概率密度分別為其概率密度分別為: ; 1,01 ( ) 0,其其它它. . X x fx 和和 ; ,0 ( ) 0,0. -y Y ey fy y 求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 Z=X+Y 的概率密度的概率密度 .zf Z , () ZXY fzfxfz - x dx 解解 ; 0zf Z 當(dāng)當(dāng) 0 z時(shí)，時(shí)， () 0 11-; z - z x-z Z fzedxe 當(dāng)當(dāng) 0z 時(shí)，時(shí)， 當(dāng)當(dāng) 1z

15、時(shí)，時(shí)， 1 () 0 ( -1). - z x-z Z fzedxee 1-; -z e ( -1). -z ee Z fz 0 0 z 0 z z 1 x z O 1 z = x 51 45: 設(shè)隨機(jī)變量 設(shè)隨機(jī)變量 X 與與Y 獨(dú)立，并且獨(dú)立，并且 X 在區(qū)間在區(qū)間 上服從上服從 求求:隨機(jī)變量隨機(jī)變量 Z=X+Y 的概率密度。的概率密度。 0,1 均勻分布均勻分布: ; 1,01 ( ) 0,其其它它. . X x fx 01 ( )212 0. Y yy fy- yy 其其它它 Y 在區(qū)間在區(qū)間 上服從辛普森分布上服從辛普森分布: 0,2 解解 , () ZXY fzfxfz - x

16、 dx z x o z = x 1z = x + 2z = x + 3 2 1 1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),03或或zz ; 0 Z fz 52 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 z z x o z = x 1z = x + 2z = x + 3 2 1 1 0 () z Z fzz - x dx, 2 2 z = 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),1 z 1 0 2 - () z- Z fzz - x dx 1 1 () z- z - x dx ; 2 3 3 - 2 = -zz 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),23z 1 2 2-() Z z- fzz - x dx ; 2 19 - 3 22 =zz + , 2 2 z ; 2 3 3 - 2 -zz ; 2

17、 19 -3 + 22 zz 0 z 23 z 1 z 03或或 zz 0. Z fz 53 46: 在電子儀器中在電子儀器中,為某個(gè)電子元件配置一個(gè)備用電子元件為某個(gè)電子元件配置一個(gè)備用電子元件, 設(shè)這兩個(gè)電子元件的使用壽命設(shè)這兩個(gè)電子元件的使用壽命X及及Y分別服從指數(shù)分布分別服從指數(shù)分布: 當(dāng)原有的元件損壞時(shí)當(dāng)原有的元件損壞時(shí),備用的即可接替使用備用的即可接替使用. 求它們的使用壽命總和求它們的使用壽命總和X+Y的概率密度的概率密度. ( 考慮考慮 兩種情形兩種情形 ) ( )( ),ee 及及 解解設(shè)設(shè):Z = X + Y, 由已知由已知: ,; .; 0 ( ) 00 x X ex f

18、x x ,; .; 0 ( ) 00 y Y ey fy y , () ZXY fzfxfz - x dx x z = x z 54 x z = x z , () ZXY fzfxfz - x dx , 0 z -x-(z-x) Z fzeedx () 0 z -z- x eedx 0z 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), 0z 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) , 2-z ze. 2 0 z -z edx 0; Z fz Z fz 0. , 2-z ze 0z 0z , 0 z -x-(z-x) Z fzeedx () -z-z e- e. - (), -z-z e- e - Z fz 0z 0z 0. 55 47: (=1) =(0

19、,1)+(1,0)+(1,1) = 0.04,P Uppp ,(= 0) =(0,0) = 0P Up 0,1,2,3,4,5.U的的所所有有可可能能取取值值 : :1):(),U = max X,Y (= 5) =(0,5)+(1,5)+(2,5)+(3,5) = 0.28;P Upppp U012345 00.040.160.280.240.28 U p (u) 2):(),V = min X,Y0,1,2,3.V的的所所有有可可能能取取值值 : : , (= 0) =(0,0)+(0,1)+(0,2)+(0,3)+(0,4)+(0,5) +(1,0)+(2,0)+(3,0) = 0.28 P Vpppppp ppp 56 (=1) =(1,1)+(1,2)+(1,3)+(1,4)+(1,5) +(2,1)+(3,1) = 0.30, P Vppppp pp (= 3) =(3,3)+(3,4)+(3,5) = 0.17, P Vppp V0123 0.280.300.250.17V p (v) 3):W = X +Y0,1,2,3,4,5,6,7,8.W的的所所有有可可