備戰(zhàn)2018高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)1.5 立體幾何與向量方法教學(xué)案

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題1.5 立體幾何與向量方法【考情動態(tài)】考 點最新考綱5年統(tǒng)計1?？臻g幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1了解多面體和旋轉(zhuǎn)體的概念，理解柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征。2理解簡單空間圖形 (柱、錐、臺、球的簡易組合) 的含義，了解中心投影的含義，掌握平行投影的含義。3理解三視圖和直觀圖間的關(guān)系，掌握三視圖所表示的空間幾何體。會用斜二測法畫出它們的直觀圖。2013浙江文5,20;理10，12，20;2014浙江文3，20；理3，20;2015浙江文2，18；理2，13,17； 2016浙江文9，18;理11,17;2017浙江3,9,19.2.空間幾何體的表面積與體積會計算柱、

2、錐、臺、球的表面積和體積。2013浙江文5；理12；2014浙江文3；理3;2015浙江文2 ;理2;； 2016浙江文9；理11，14；2017浙江3。3?？臻g點、線、面的位置關(guān)系了解平面的含義，理解空間點、直線、平面位置關(guān)系的定義，掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理；了解兩點間距離、點到平面的距離的含義.理解兩條異面直線所成角、直線與平面所成角、二面角的概念。2013浙江文20;理10； 2014浙江文6；理20；2015浙江文4,7；理8,13; 2016浙江文2,14；理2；2017浙江9,19。4.直線、平面平行的判定與性質(zhì)掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理。2013浙江理10,20；2015浙

3、江文4； 2016浙江文2；理2；2017浙江19。5.直線、平面垂直的判定與性質(zhì)掌握公理、判定定理和性質(zhì)定理.2013浙江文20;理10；2014浙江文6,20；理20；2015浙江文4，18；理17； 2016浙江文2。18；理2，17；2017浙江19.6。空間直角坐標(biāo)系、空間向量及其運算1。了解空間直角坐標(biāo)系，會用空間直角坐標(biāo)表示點的位置2。了解空間向量的概念，了解空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向量的正交分解及其坐標(biāo)表示。3掌握空間向量的加、減、數(shù)乘、數(shù)量積的定義、坐標(biāo)表示的運算.4掌握空間兩點間的距離公式，會求向量的長度、兩向量夾角,并會解決簡單的立體幾何問題。2015浙江文1

4、8；理17. 7.立體幾何中的向量方法(1)理解直線的方向向量與平面的法向量.（2)能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直、平行關(guān)系.(3）能用向量方法證明有關(guān)直線和平面位置關(guān)系的一些定理(包括三垂線定理)。2015浙江文18；理17;2016浙江理17;【熱點重溫】熱點一空間幾何體的三視圖及表面積體積【典例1】【2017浙江,3】某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是ab c d【答案】a【對點訓(xùn)練】【2017課標(biāo)ii，文6】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分所得，則該幾何

5、體的體積為（ )a b c d【答案】b【解析】【典例2】【2017課標(biāo)3，理8】已知圓柱的高為1,它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上,則該圓柱的體積為abcd【答案】b【解析】 【對點訓(xùn)練】【2018屆河南省洛陽市高三期中】在三棱錐中,底面是直角三角形，其斜邊, 平面，且，則三棱錐的外接球的表面積為（ ）a。 b。 c。 d。 【答案】a【解析】根據(jù)已知，可將三棱錐補成一個長方體,如下圖：則三棱錐的外接球就是這個長方體的外接球,由于，且是直角三角形， 平面， 長方體的對角線長為, 三棱錐的外接球的半徑， 三棱錐的外接球的表面積為,故選a. 【典例3】【2017天津，理10】已知一

6、個正方體的所有頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為 ?！敬鸢浮?【對點訓(xùn)練】【2017課標(biāo)1，理16】如圖，圓形紙片的圓心為o，半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形abc的中心為o.d、e、f為圓o上的點,dbc，eca，fab分別是以bc，ca，ab為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以bc，ca,ab為折痕折起dbc，eca，fab，使得d、e、f重合，得到三棱錐。當(dāng)abc的邊長變化時，所得三棱錐體積（單位：cm3）的最大值為_。【答案】【解析】【考點】簡單幾何體的體積【考向預(yù)測】通過對近幾年高考試題的分析可看出,空間幾何體的命題形式比較穩(wěn)定，多為選擇題或填空題

7、,有時也出現(xiàn)在解答題的某一問中,題目難度常為中低檔題。考查的重點是直觀圖、三視圖、面積與體積等知識,此類問題多為考查三視圖的還原問題，且常與空間幾何體的表面積、體積等問題交匯，是每年必考的內(nèi)容。對空間幾何體的三視圖的考查目標(biāo)是考查考生的空間想象能力;對表面積和體積的考查,常見形式為蘊涵在兩個幾何體的“切”或“接形態(tài)中，或以三視圖為載體進行綜合考查，此內(nèi)容還要注意強化幾何體的核心截面以及補形、切割等數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練.熱點二 空間平行、垂直等位置關(guān)系【典例4】【2017江蘇，15】 如圖，在三棱錐abcd中，abad， bcbd， 平面abd平面bcd, 點e，f(e與a，d不重合）分別在棱ad

8、，bd上,且efad。 求證：（1）ef平面abc; (2）adac.【答案】（1）見解析（2）見解析【對點訓(xùn)練】如圖，在直角梯形abcd中,abcd,adab,cd=2ab=4，ad=，e為cd的中點，將bce沿be折起，使得code,其中點o在線段de內(nèi)。（1）求證:co平面abed；（2)求ceo（記為）多大時，三棱錐caoe的體積最大?最大值為多少？【答案】（1）見解析； （2）的最大值為。 （2)解：由（1)知co平面abed，知三棱錐caoe的體積v=saoeoc=oeadoc。由直角梯形abcd中，cd=2ab=4,ad=,ce=2,得三棱錐c-aoe中,oe=cecos =2c

9、os ,oc=cesin =2sin ，v=sin 2,當(dāng)且僅當(dāng)sin 2=1，,即=時取等號(此時oe=de,o落在線段de內(nèi)).故當(dāng)=時,三棱錐c-aoe的體積最大，最大值為.【典例5】【2018屆云南省師范大學(xué)附屬中學(xué)高三月考二】如圖,四棱錐的底面是平行四邊形，底面，,，.（1）求證：平面平面；（2）若點分別為上的點，且，在線段上是否存在一點，使得平面;若存在,求出三棱錐的體積；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）線段上存在一點，使得平面 （）線段上存在一點,使得平面證明：在線段上取一點,使，連接 ，且，又，且，且，四邊形是平行四邊形,又平面，平面，平面 【對點訓(xùn)練】【201

10、8屆南寧市高三摸底】如圖，在正方形中,分別是的中點，是的中點.現(xiàn)在沿及把這個正方形折成一個空間圖形,使三點重合,重合后的點記為.下列說法錯誤的是_(將符合題意的選項序號填到橫線上）.所在平面；所在平面；所在平面；所在平面.【答案】【考向預(yù)測】近年來，高考題由考查知識向考查能力方向轉(zhuǎn)變,題目新穎多變,靈活性強空間中的平行關(guān)系在高考命題中，主要與平面問題中的平行、簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征等問題相結(jié)合,綜合直線和平面，以及簡單幾何體的內(nèi)容于一體，經(jīng)常是以簡單幾何體作為載體，以解答題形式呈現(xiàn)是主要命題方式， 通過對圖形或幾何體的認識，考查線面平行、面面平行的判定與性質(zhì),考查轉(zhuǎn)化思想、空間想象能力、邏輯思維

11、能力及運算能力。 空間中的垂直關(guān)系是高考命題的重點，客觀題、大題都有可能考查,以客觀題形式考查命題的真假判斷，在解答題中以分層設(shè)問或條件形式呈現(xiàn)，以證明問題為主，主要考查線面垂直的判定及性質(zhì)、面面垂直的判定及性質(zhì)，以及運用其進一步研究體積、距離、角的問題,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想、運算求解能力及空間想象能力浙江卷對垂直關(guān)系的考查多于對平行關(guān)系的考查。熱點三 空間角的計算【典例6】【2017課標(biāo)3，理16】a,b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形abc的直角邊ac所在直線與a，b都垂直,斜邊ab以直線ac為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論:當(dāng)直線ab與a成60角時，ab與b成30角;當(dāng)直線ab與a成60

12、角時，ab與b成60角；直線ab與a所成角的最小值為45；直線ab與a所成角的最小值為60.其中正確的是_。（填寫所有正確結(jié)論的編號)【答案】【解析】【對點訓(xùn)練】【2017浙江,9】如圖,已知正四面體dabc（所有棱長均相等的三棱錐），p，q，r分別為ab，bc，ca上的點，ap=pb，,分別記二面角dprq,dpqr,dqrp的平面角為，,，則abcd【答案】b【解析】【典例7】【2017浙江,19】如圖，已知四棱錐pabcd,pad是以ad為斜邊的等腰直角三角形，,cdad，pc=ad=2dc=2cb，e為pd的中點(）證明：平面pab；（）求直線ce與平面pbc所成角的正弦值【答案】（)

13、見解析；（）【解析】試題解析: mh是mq在平面pbc上的射影,所以qmh是直線ce與平面pbc所成的角設(shè)cd=1在pcd中，由pc=2，cd=1，pd=得ce=，在pbn中，由pn=bn=1,pb=得qh=，在rtmqh中，qh=,mq=，所以sinqmh=， 所以直線ce與平面pbc所成角的正弦值是【對點訓(xùn)練】【2017課標(biāo)ii，理10】已知直三棱柱中,，,，則異面直線與所成角的余弦值為（ )a b c d【答案】c 【典例8】【2017山東，理17】如圖，幾何體是圓柱的一部分，它是由矩形（及其內(nèi)部）以邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的,是的中點。(）設(shè)是上的一點,且，求的大??；（）當(dāng)，求二面角

14、的大小.【答案】（)。（).思路二：以為坐標(biāo)原點，分別以，所在的直線為,軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，求平面的一個法向量，平面的一個法向量計算即得.（）解法一：取的中點，連接，.因為,所以四邊形為菱形,所以。取中點,連接，,.則，所以為所求二面角的平面角.又，所以.在中,由于，由余弦定理得，所以，因此為等邊三角形,故所求的角為.解法二:以為坐標(biāo)原點，分別以，,所在的直線為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系。因此所求的角為.【名師點睛】此類題目是立體幾何中的常見問題.解答本題，關(guān)鍵在于能利用直線與直線、直線與平面、平面與平面關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化,通過嚴密推理，明確角的構(gòu)成.立體幾

15、何中角的計算問題，往往可以利用幾何法、空間向量方法求解，應(yīng)根據(jù)題目條件，靈活選擇方法。本題能較好的考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力轉(zhuǎn)化與化歸思想及基本運算能力等.【對點訓(xùn)練】?！?017天津，文17】如圖，在四棱錐中,平面，,，。（i)求異面直線與所成角的余弦值；（ii）求證:平面;（）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（)； () 。 【考向預(yù)測】從近幾年的高考試題來看，所考的主要內(nèi)容是：(1)有關(guān)線面位置關(guān)系的組合判斷，試題通常以選擇題的形式出現(xiàn)，主要是考查空間線線、線面、面面位置關(guān)系的判定與性質(zhì)；(2)有關(guān)線線、線面和面面的平行與垂直的證明，試題以解答題為主，常以多面體為載體，突出

16、考查學(xué)生的空間想象能力及推理論證能力；(3)線線角、線面角和二面角是高考的熱點，尤其是線面角和二面角,幾乎每年必考,題型多為解答題,一般為中低檔題,主要考查空間想象能力、邏輯思維能力和轉(zhuǎn)化與化歸的應(yīng)用能力.對于求線線角、線面角和二面角的問題,常用方法有兩種：幾何法和空間向量法，幾何法要理清求角的三部曲,即“一作、二證、三求”,是解答此類問題的關(guān)鍵。熱點四 立體幾何中的“動態(tài)問題”【典例9】如圖,在直二面角a-bd-c中，abd，cbd均是以bd為斜邊的等腰直角三角形,取ad中點e，將abe沿be翻折到a1be，在abe的翻折過程中，下列不可能成立的是(）a。bc與平面a1be內(nèi)某直線平行 b.

17、cd平面a1bec.bc與平面a1be內(nèi)某直線垂直 d。bca1b【答案】d【對點訓(xùn)練】如圖，已知三棱錐a-bcd的所有棱長均相等，點e滿足=3，點p在棱ac上運動,設(shè)ep與平面bcd所成角為，則sin 的最大值為.【答案】【考向預(yù)測】立體幾何中的動態(tài)問題,由于具有較強的靈活性，而且不易整理出通法，一直都是高考的熱點和難點,2013年，2015年選擇題最后一題、2016年填空題第14題浙江高考卷都出現(xiàn)了此類問題，2015年、2016年均考查了翻折問題,2013年是立體幾何的材料閱讀題。將問題進行等價轉(zhuǎn)化是解決這類問題的根本出發(fā)點,常見的轉(zhuǎn)化有將立體轉(zhuǎn)化為平面，將立體幾何中的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)最

18、值問題，要注意在動態(tài)問題中尋找靜態(tài)的量,化動為靜。熱點五 空間向量方法的應(yīng)用【典例8】【2017天津，理17】如圖，在三棱錐pabc中，pa底面abc,。點d，e，n分別為棱pa，pc,bc的中點，m是線段ad的中點，pa=ac=4，ab=2。 (）求證：mn平面bde；(）求二面角c-em-n的正弦值；(）已知點h在棱pa上，且直線nh與直線be所成角的余弦值為，求線段ah的長.【答案】 （1）證明見解析（2） (3） 或 （)證明：=（0，2,0),=(2，0,).設(shè)，為平面bde的法向量,則，即.不妨設(shè)，可得.又=（1，2，)，可得.因為平面bde，所以mn/平面bde。 【對點訓(xùn)練】【2017北京,理16】如圖,在四棱錐pabcd中，底面abcd為正方形，平面pad平面abcd,點m在線段pb上，pd/平面mac,pa=pd=,ab=4（i）求證：m為pb的中點；（ii)求二面角b-pd-a的大小;（iii）求直線mc與平面bdp所成角的正弦值【答案】（）詳見解析：（） ；（) 【解析】 (iii）由題意知，.設(shè)直線與平面所成角為,則.所以直線與平面所成角的正弦值為?！究枷蝾A(yù)測】用空間向量解決的主要解決立體幾何中平行、垂直、求角、求距離等。縱觀近幾