軌跡方程的求法

1、 求曲線方程的步聚： 1、建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，并設動點坐標 2、列出動點滿足的條件等式 3、列方程 4、化簡 5、檢驗 1）已知給定長度的線段 2）已知兩條垂直的直線 3）對稱圖形 如何建立合適的直角坐標系？ 定義法定義法 若題設有動點到兩點的距離之和或差為定值等條件若題設有動點到兩點的距離之和或差為定值等條件 時，可以利用圓錐曲線的定義直接寫出所求動點的時，可以利用圓錐曲線的定義直接寫出所求動點的 軌跡方程。此類問題相對也非常簡單，因此單獨出軌跡方程。此類問題相對也非常簡單，因此單獨出 現(xiàn)的可能性也很小，可能作為一個中間步驟出現(xiàn)?，F(xiàn)的可能性也很小，可能作為一個中間步驟出現(xiàn)。 以下舉一個例子

2、說明：以下舉一個例子說明： 1. 1.定義法定義法 1 1ABCBC=aAsinC-sinB=sinA 2 A. 【例 】在中，已知，當動點 滿足條件時， 求動點 的軌跡方程 22 22 BCxBCy. 1AB AC1BC sinC-sinB=sinA-= 22R2R22R 1 AB-AC=a. 2 A2c=a. xya -=12m=AB-AC= mn2 解：以邊所在直線為 軸，以線段的垂直平分線為 軸建立直角坐標系 因為，由正弦定理得：， 所以（定值） 根據(jù)雙曲線定義， 點的軌跡方程是雙曲線的右支（除頂點），它的焦距是 設雙曲線方程為：，則，所 2 2 2222 2222 22 aa m=m

3、 = 416 aa3axy n =c -m =() -=A-=1(x0) a3a21616 1616 2R R 以， 又，故動點 的軌跡方成為： 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它對角的正弦的比相等且等于 （ 是三角形外接圓半徑） 直譯法直譯法 動點直接與已知條件聯(lián)系，直接列動點的關系式，即可求動點直接與已知條件聯(lián)系，直接列動點的關系式，即可求 得軌跡方程，此類問題非常容易，現(xiàn)在的高考已經(jīng)不可能得軌跡方程，此類問題非常容易，現(xiàn)在的高考已經(jīng)不可能 單獨考察此類問題，即使出現(xiàn)也將是某個題目的一個中間單獨考察此類問題，即使出現(xiàn)也將是某個題目的一個中間 步驟。步驟。 以下舉一個例子說明：以下舉一個例子

4、說明： 2. 2.直譯法直譯法 求與圓x2+y2-4x=0外切且與Y軸相切的動圓的圓心的軌跡 方程。 P A Bx y o 22 (2)2 |xyx 變式變式：外切改為相切呢？ 解解：設動圓圓心為P(x,y). 由題，得 222 (2)(2 |)xyx 即 -4x+y2=4|x| 得動圓圓心的軌跡方程為y=0(x0) 2【例 】 x 已知ABC底邊BC的長為2,又知tanBtanC=t(t0).(t為常數(shù)).求 頂點A的軌跡方程. B C A 所求的軌跡方程為 tx2+y2=t y o 變式變式：把tanBtanC=t(t0)改為C=2B呢？ tanC=tan2B 2 2tan 1tan B

5、B 解解：以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線 為y軸，建立如圖直角系。則B(-1,0),C(1,0). 設A(x,y). tan,tan ( 1)1 ABAC yy BKCK xx 又tanBtanC=t (x 1) 3【例 】 相關點法相關點法 如果動點如果動點P P（x,yx,y）依賴于已知曲線上另一動點）依賴于已知曲線上另一動點Q Q （u,vu,v）( (這種點叫相關動點這種點叫相關動點) )而運動，而而運動，而Q Q點的坐標點的坐標u u、 v v可以用動點可以用動點P P的坐標表示，則可利用點的坐標表示，則可利用點Q Q的軌跡方程，的軌跡方程， 間接地求得間接地求得P P點的軌

6、跡方程點的軌跡方程. .這種求軌跡方程的方法這種求軌跡方程的方法 叫做變量代換法或相關點法叫做變量代換法或相關點法. .此類問題的難度屬中檔此類問題的難度屬中檔 水平，可能在選擇題或填空題出現(xiàn)，也可能在解答水平，可能在選擇題或填空題出現(xiàn)，也可能在解答 題中出現(xiàn)，屬于小題中較難的題目但屬于大題中較題中出現(xiàn)，屬于小題中較難的題目但屬于大題中較 易的題目。易的題目。 以下舉一個例子說明：以下舉一個例子說明： 3.3.相關點法相關點法 過雙曲線過雙曲線x2-y2=1 上一點上一點Q引直線引直線x+y=2的垂線的垂線,垂足為垂足為N,求求 線段線段QN的中點的中點P的軌跡方程的軌跡方程. 4【例 】 解

7、:設點P,Q的坐標分別為P(x,y),Q(u,v),則N點坐標為(2x-u,2y-v). 點N在直線x+y=2上, 2x-u+2y-v=2 又PQ垂直于直線x+y=2, 所以 聯(lián)立 得: 又點Q在雙曲線上,即u2-v2=1,即得動點即得動點P的軌跡方程為的軌跡方程為: 2x2-2y2-2x+2y-1=0 1, yu xv 即x-y+v-u=0 31 1 22 13 1 22 uxy vxy 求圓求圓x2+y2-2x+4y=0關于直線關于直線x-y=0對稱的圓方程。對稱的圓方程。 練習練習 3 如圖如圖, ,過點過點A(-3,0)A(-3,0)的直線的直線l l與曲線與曲線 ：x x2 2+2y

8、+2y2 2=4=4交于交于C,BC,B兩兩 點點. .作平行四邊形作平行四邊形OBPCOBPC，求點，求點P P的軌跡。的軌跡。 A o x y B C P G 解法一：利用韋達定理解法一：利用韋達定理 解法二：點差法解法二：點差法 連連PO交交CB于于G. 設設P(x,y), G(x0,y0), C(x1,y1),B(x2,y2),則則 x x1 12 2+2y+2y1 12 2= 4= 4 x x2 22 2+2y+2y2 22 2=4=4 作差，得作差，得(x2-x1) (x2+x1)+ 2(y2-y1) (y2+y1)=0 即即x0+2y0k=0 又又k= 0 0 3 y x 解得，

9、解得， x0= 2 2 6 12 k k 2 3 12 k k y0= x= 2 2 12 12 k k 2 6 12 k k y= 因此因此 消去消去k,得得(x-3)2+2y2=9 故所求軌跡為故所求軌跡為(3,0)為中心，焦點在為中心，焦點在x軸的橢圓軸的橢圓. ? 4.4.參數(shù)法參數(shù)法 5【例 】 A B Q P x y o G 變式：已知圓：變式：已知圓：x2+y2=r2,定點定點A(a,0),其中其中a，r0.P,B是圓上兩是圓上兩 點，作矩形點，作矩形PABQ，求點，求點Q的軌跡。的軌跡。 設設P(xP(x1 1,y,y1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2),),則則

10、222 11 222 22 012 012 2 2 xyr xyr xaxxx yyyy 又又ABABPA,PA, 所以所以0AB AP x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2=a(x=a(x1 1+x+x2 2)-a)-a2 2=ax=ax即即(x1-a,y1) (x2-a,y2)=0, (x,y) (1) (2) (3) (4) (5) (3)(3)2 2+(4)+(4)2 2, , 得得:(x+a):(x+a)2 2+y+y2 2=2r=2r2 2+2(x+2(x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2) ) 結合結合(5),得點得點Q的坐標滿足方程的坐標滿足方程x2+y

11、2=2r2-a2 解：連解：連PB,AQPB,AQ交于點交于點G G。設。設Q(x,y),G(xQ(x,y),G(x0 0,y,y0 0),),則則 則則x+a=2xx+a=2x0 0,y=2y,y=2y0 0. 討論討論: (i) , 表示原點為圓心表示原點為圓心, 為半徑的圓為半徑的圓. (ii) , 表示原點表示原點. (iii) , 無軌跡無軌跡. 2ra 22 2ra 2ra 2ra A B Q P x y o G 又又ABABPA,PA, 所以所以0AB AP (x,y) (1) (2) (3) 另解：設另解：設Q(x,y),G(xQ(x,y),G(x0 0,y,y0 0),),則

12、則x+a=2xx+a=2x0 0,y=2y,y=2y0 0. . 設設B(rcos ,rsin ),P(rcos ,rsin ),B(rcos ,rsin ),P(rcos ,rsin ),則則 (coscos) (sinsin) xar yr 22 (coscossinsin)(coscos)0rara 22 cos()(coscos)0rara即 1 1、拋物線、拋物線 的頂點的軌跡方的頂點的軌跡方 程是程是 。 22 2coscos2cosy xx y=2x,11x 練習練習 4 交軌法交軌法 若動點是兩曲線的交點，可以通過這兩曲線若動點是兩曲線的交點，可以通過這兩曲線 的方程直接求出交

13、線的方程，即為所求動點的方程直接求出交線的方程，即為所求動點 的軌跡方程。這種求軌跡方程的方法叫做交的軌跡方程。這種求軌跡方程的方法叫做交 軌法。此類問題難度較大，曾經(jīng)在高考壓軸軌法。此類問題難度較大，曾經(jīng)在高考壓軸 題中出現(xiàn)過，但不論復雜程度如何，牢牢把題中出現(xiàn)過，但不論復雜程度如何，牢牢把 握曲線相交的性質(zhì)就把握了解題的關鍵。握曲線相交的性質(zhì)就把握了解題的關鍵。 以下舉兩個例子說明：以下舉兩個例子說明： 5.5.交軌法交軌法 (2010年廣東理數(shù)年廣東理數(shù),20) 已知雙曲線已知雙曲線 的左右頂點分別為的左右頂點分別為 ，點，點 ， 是雙曲線上不同的兩動點。是雙曲線上不同的兩動點。 (1)

14、 求直線求直線 與與 交點的軌跡交點的軌跡E的方程；的方程； (2) 若過若過H(0,h)(h1)的兩條直線的兩條直線 和和 與軌跡與軌跡E都只都只 有一個交點，且有一個交點，且 ,求求h的值。的值。 1 2 2 2 y x 12 ,A A 11 (,)P x y 11 (,)Q xy 1 A P 2 A Q 1 l 2 l 12 ll 121212 1 122 12 11 122122 1122 . ( , )( , )(,)( ,)( ,). AAPPA A APA P A AxO ORP m nAPA PP x yAR OA R OP mn APPAP 【例6】設 、是一個圓的一條直徑的

15、兩個端點，是垂直的弦， 求直線與交點的軌跡方程 解：以直線位 軸，圓心 為原點，建立平面直角坐標系，如圖. 設 的半徑為 ，與交點，則， 因為 、 、 三點共線， 、 222 222 P yn xRmR mnR yn xRRm xyR 、 三點共線， 所以，且 所以即為所求的軌跡方程. A1A2 P P2 P1 Ox y AB CD E F G P Ox y 04 4 . aABCDAB BCaOABEFGBCCDDA BECFDG PGEOF BCCDDA P 【例7】（2003年高考數(shù)學全國卷第22題）已知常數(shù)，在矩形中， ， 為的中點.點 、 、 分別在、上移動， 且為與的交點（如圖）.

16、 問：是否存在兩個定點，使 到這兩點的距離的和為定值？若存在， 求出這兩點的坐.標及此定值；若不存在，請說明理由 ( 2,0)(2,0)(2,4 )(, 2,4 ). (01).(2,4)(24 ,4 )( 2,44). 2(21)0 P PABCaDa BECFDC kkEakFkaGaak BCCDDA OFaxkyGE 解：根據(jù)題設條件，首先求出點 坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩點， 使得 到兩定點距離的和為定值.按題意有， 設，由此有， 直線的方程為：，直線 222 22 2 2 2 2 (21)20. ( , )220 () 1. 1 2 1 2 1 2 1 2 akxya k

17、P x ya xyay xya a aP aPP aP 的方程為： 從兩直線方程中消去參數(shù) ，得點坐標滿足方程， 整理得 當時，點 的軌跡為圓弧，所以不存在符合題意的兩點 當時，點 的軌跡為橢圓的一部分，點 到該橢圓焦點的距離的和為定長. 當時，點 22 222 11 (, )(, )2. 22 111 (0,)(0,)2 . 222 aaaa aPaaaaa 到橢圓兩個焦點和的距離之和為定值 當時，點 到橢圓兩個焦點和的距離之和為定值 依題意有依題意有A(-2,0),B(2,0),C(2,4a),D(-2,4a) 設設 =k(0k1),由此有由此有 E(2,4ak), F(2-4k,4a),

18、 G(-2,4a-4ak) DA DG CD CF BC BE x y 變式變式 (2003(2003年高考第年高考第2222題變式題變式) )已知常數(shù)已知常數(shù)a0,a0,在矩形在矩形ABCDABCD中，中， AB=4,BC=4a,OAB=4,BC=4a,O為為ABAB中點，點中點，點E,F,GE,F,G分別在分別在BCBC、CDCD、DADA上移動，上移動， 且且 ,P,P為為GEGE與與OFOF的交點的交點, ,求點求點P P軌跡方程。軌跡方程。 DA DG CD CF BC BE AB C D E F G o P 直線直線OF的方程為的方程為 2ax+(2k-1)y=0 直線直線GE的方

19、程為的方程為 -a(2k-1)x+y-2a=0 從從消去參數(shù)消去參數(shù)k，得點，得點P(x,y)坐標滿足方程坐標滿足方程 2a2x2+y2-2ay=0 (去掉（去掉（0，0） 解：解：以以ABAB所在直線為所在直線為x x軸軸, ,過過o o垂直垂直ABAB 直線為直線為y y軸軸, ,建立如圖直角坐標系建立如圖直角坐標系. . 幾何法幾何法 運用平面幾何的軌跡定理和有關平面幾何的運用平面幾何的軌跡定理和有關平面幾何的 知識，分析軌跡形成的條件，求出軌跡方程，知識，分析軌跡形成的條件，求出軌跡方程， 這種求軌跡方程的方法稱為幾何法。在解決這種求軌跡方程的方法稱為幾何法。在解決 某些復雜問題時，深入分析圖形性質(zhì)，利用某些復雜問題時，深入分析圖形性質(zhì)，利用 此種方法，可