復(fù)數(shù)的幾何意義

1、3.3 3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義 教學(xué)目標(biāo)： 1 理解復(fù)平面，實(shí)軸，虛軸等概念。 2 理解并掌握復(fù)數(shù)兩種幾何意義，并能適當(dāng) 應(yīng)用。 3 掌握復(fù)數(shù)模的幾何定義及其幾何意義，弄 清復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)絕對值的區(qū)別與聯(lián)系。 能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生觀察，分析，歸納，總 結(jié)的的能力。 教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的幾何意義的掌握及應(yīng)用。 教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用。 一、復(fù)習(xí)回顧：一、復(fù)習(xí)回顧： 1.1.虛數(shù)單位虛數(shù)單位i的引入；的引入； 2.2.復(fù)數(shù)有關(guān)概念：復(fù)數(shù)有關(guān)概念： ),( RbRabiaz dicbia db ca ab ;0Rab ;0Rab 0 0 b a 特別地，特別地，a+bia+bi=0=0

2、 . .a=b=0a=b=0 a=0a=0是是z=a+bi(az=a+bi(a、b b R)R)為為 純虛數(shù)的純虛數(shù)的 條件條件 必要不充分必要不充分 問題問題1： 問題問題2:2:一般地一般地, ,兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相兩個(gè)復(fù)數(shù)只能說相等或不相 等等, ,而不能比較大小而不能比較大小. . 思考思考: :對于任意的兩個(gè)復(fù)數(shù)到底能否比較大小對于任意的兩個(gè)復(fù)數(shù)到底能否比較大小? ? 答案答案: : 當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù) 時(shí)時(shí), ,才能比較大小才能比較大小. . 虛數(shù)不可以比較大小！虛數(shù)不可以比較大小！ 復(fù)數(shù)的幾何意義復(fù)數(shù)的幾何意義繼續(xù)繼續(xù) (1) (1) 實(shí)數(shù)集原有

3、的有關(guān)性質(zhì)和特點(diǎn)實(shí)數(shù)集原有的有關(guān)性質(zhì)和特點(diǎn)能否推廣能否推廣到復(fù)數(shù)集？到復(fù)數(shù)集？ (2)(2)從復(fù)數(shù)的特點(diǎn)出發(fā)，從復(fù)數(shù)的特點(diǎn)出發(fā)，尋找復(fù)數(shù)集新的尋找復(fù)數(shù)集新的( (實(shí)數(shù)集所不具實(shí)數(shù)集所不具 有有) )性質(zhì)和特點(diǎn)？性質(zhì)和特點(diǎn)？ 探索探索復(fù)數(shù)集的性質(zhì)和特點(diǎn)復(fù)數(shù)集的性質(zhì)和特點(diǎn) 探索途徑探索途徑： 想一想想一想, ,實(shí)數(shù)集有些什么性質(zhì)和特點(diǎn)實(shí)數(shù)集有些什么性質(zhì)和特點(diǎn)? ? (1)(1)實(shí)數(shù)可以判定相等或不相等；實(shí)數(shù)可以判定相等或不相等； (2)(2)不相等的實(shí)數(shù)可以比較大小；不相等的實(shí)數(shù)可以比較大??； (3)(3)實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示；實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示； (4)(4)實(shí)數(shù)可以進(jìn)行四則運(yùn)算；實(shí)數(shù)

4、可以進(jìn)行四則運(yùn)算； (5)(5)負(fù)實(shí)數(shù)不能進(jìn)行開偶次方根運(yùn)算；負(fù)實(shí)數(shù)不能進(jìn)行開偶次方根運(yùn)算； 能否找到用來表示復(fù)數(shù)的幾何模型呢？能否找到用來表示復(fù)數(shù)的幾何模型呢？ 我們知道實(shí)數(shù)可以用我們知道實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸數(shù)軸上的點(diǎn)來表示。上的點(diǎn)來表示。 x 0 01 1 一一對應(yīng)一一對應(yīng) 注注: :規(guī)定了正方向，原點(diǎn)，單位長度的直線叫做規(guī)定了正方向，原點(diǎn)，單位長度的直線叫做數(shù)軸數(shù)軸. 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù) 數(shù)軸數(shù)軸上的點(diǎn)上的點(diǎn) ( (形形) )( (數(shù)數(shù)) ) 實(shí)數(shù)的幾何模型實(shí)數(shù)的幾何模型: : 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z= =a+ +bi 有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對( (a, ,b) ) 直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z( (a, ,b)

5、 ) x y 0 Z( (a, ,b) ) 建立了平面直角坐標(biāo)系來建立了平面直角坐標(biāo)系來 表示復(fù)數(shù)的平面表示復(fù)數(shù)的平面復(fù)平面復(fù)平面 x軸軸實(shí)軸實(shí)軸 y軸軸虛軸虛軸 a b （數(shù)）（數(shù)）（形）（形） 一一對應(yīng)一一對應(yīng) z=a+bi 一一對應(yīng)一一對應(yīng) 一一對應(yīng)一一對應(yīng) y x A B C O 例例1:用復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)用復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)表示復(fù)數(shù)(每個(gè)小方格的每個(gè)小方格的 邊長是邊長是1)：3-2i, 3i, -3, 0. y x A B C D E O 例例2:說出說出 圖中復(fù)平圖中復(fù)平 面內(nèi)點(diǎn)所面內(nèi)點(diǎn)所 表示的復(fù)表示的復(fù) 數(shù)數(shù)(每個(gè)小每個(gè)小 方格的邊方格的邊 長是長是1) 6+7i -6 -8+6i

6、 -3i 2-7i 模與絕對值模與絕對值 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z= =a+ +bi 有序?qū)崝?shù)對有序?qū)崝?shù)對( (a, ,b) ) 直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z( (a, ,b) ) （數(shù)）（數(shù)）（形）（形） 一一對應(yīng)一一對應(yīng) 一一對應(yīng)一一對應(yīng) 一一對應(yīng)一一對應(yīng) x y 0 Z( (a, ,b) ) a b z=a+bi 一一對應(yīng)一一對應(yīng) 實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義實(shí)數(shù)絕對值的幾何意義: : 復(fù)數(shù)的模其實(shí)是實(shí)數(shù)絕對值概念的推廣復(fù)數(shù)的模其實(shí)是實(shí)數(shù)絕對值概念的推廣 x OA a | |a| = | = |OA| | 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上所在數(shù)軸上所 對應(yīng)的點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)A到原點(diǎn)到原點(diǎn)O的的 距離距離. . a a a

7、a (0) (0) x O z= =a+ +bi y | |z|=|=|OZ| | 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)的模 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) z= =a+ +bi在復(fù)平在復(fù)平 面上對應(yīng)的點(diǎn)面上對應(yīng)的點(diǎn)Z(Z(a, ,b) )到到 原點(diǎn)的距離原點(diǎn)的距離. 的幾何意義的幾何意義: : Z(a,b) ab 22 例例5:5:求下列復(fù)數(shù)的模：求下列復(fù)數(shù)的模： (1)z(1)z1 1=-5i =-5i (2)z(2)z2 2=5-5i=5-5i (3)z(3)z3 3=4a-3ai(a0)=4a-3ai(a0) ( 5 )( 5 ) )25( ( (5a )5a ) 思考：思考： (1)(1)滿足滿足|z|=5(zR)|z|=5(z

8、R)的的z z值有幾個(gè)？值有幾個(gè)？ (2) (2)這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的這些復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)點(diǎn)在復(fù)平面上構(gòu)在復(fù)平面上構(gòu) 成怎樣的成怎樣的圖形圖形？ x y O 設(shè)設(shè)z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR) 滿足滿足|z|=5(z|z|=5(zC)C) 的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)z z對應(yīng)的點(diǎn)在對應(yīng)的點(diǎn)在 復(fù)平面上將構(gòu)成怎復(fù)平面上將構(gòu)成怎 樣的圖形？樣的圖形？ 5 5 5 5 5| 22 yxz 25 22 yx 圖形圖形: : 以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心,5,5為半徑的為半徑的圓上圓上 5 x y O 設(shè)設(shè)z=x+yi(x,yR)z=x+yi(x,yR) 滿足滿足3|z|5(zC)3|z|5(zC) 的復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)

9、z z對應(yīng)的點(diǎn)在對應(yīng)的點(diǎn)在 復(fù)平面上將構(gòu)成怎樣復(fù)平面上將構(gòu)成怎樣 的圖形？的圖形？ 5 5 5 5 3 3 3 3 53 22 yx 259 22 yx 圖形圖形: : 以原點(diǎn)為圓心以原點(diǎn)為圓心, , 半徑半徑3 3至至5 5的的圓環(huán)內(nèi)圓環(huán)內(nèi) 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn) 復(fù)數(shù)集復(fù)數(shù)集C C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的 集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 這是因?yàn)?，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟這是因?yàn)?，每一個(gè)復(fù)數(shù)有復(fù)平面內(nèi)惟 一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平一的一個(gè)點(diǎn)和它對應(yīng)；反過來，復(fù)平 面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù)面內(nèi)的每一個(gè)點(diǎn)，有惟一的一個(gè)復(fù)數(shù) 和它對應(yīng)

10、和它對應(yīng). . 這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義這就是復(fù)數(shù)的一種幾何意義. .也就是復(fù)也就是復(fù) 數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方數(shù)的另一種表示方法，即幾何表示方 法法. . 小結(jié)：小結(jié)： 3變式變式 (A)(A)在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi), ,對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上；對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上； (B)(B)在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi), ,對應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上；對應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上； (C)(C)在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi), ,實(shí)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)實(shí)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù); ; (D)(D)在復(fù)平面內(nèi)在復(fù)平面內(nèi), ,虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù). . 練習(xí)

11、：練習(xí)： 1.1.下列命題中的假命題是（下列命題中的假命題是（ ） D 2.“2.“a= =0”是是“復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)a+ +bi( (a, ,bR) )所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上所對應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上” 的的( )( ) (A) (A)必要不充分條件必要不充分條件 (B)(B)充分不必要條件充分不必要條件 (C)(C)充要條件充要條件 (D)(D)不充分不必要條件不充分不必要條件 C 3.3.已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z=(=(m2 2+m-6)+(-6)+(m2 2+ +m-2)-2)i在復(fù)平面內(nèi)所在復(fù)平面內(nèi)所 對應(yīng)的點(diǎn)位于第二、四象限，求實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二、四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范的取值范 圍圍. . mmm321

12、2 或或 求證求證: :對一切實(shí)數(shù)對一切實(shí)數(shù)m，此復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)不可，此復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)不可 能位于第四象限能位于第四象限. . 解題思考：解題思考： 表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)所表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)所 在象限的問題在象限的問題 復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部所滿復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部所滿 足的不等式組的問題足的不等式組的問題 轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化 ( (幾何問題幾何問題) )( (代數(shù)問題代數(shù)問題) ) 變式題變式題: :已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z=(=(m2 2+m-6)+(-6)+(m2 2+ +m-2)-2)i 例例2 實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)x分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù)分別取什么值時(shí)，復(fù)數(shù) 對對 應(yīng)的點(diǎn)應(yīng)的點(diǎn)Z在（在（1）第三象限？（）第三象限？（2）第四象限？（）第

13、四象限？（3）直線）直線 上？上？ ixxxxz)152(6 22 03 yx 解：（解：（1）當(dāng)實(shí)數(shù)）當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足滿足 . 0152 , 06 2 2 xx xx 即即 時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Z在第三象限在第三象限 23 x 即即 時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Z在第四象限在第四象限 52 x . 0152 , 06 2 2 xx xx （2）當(dāng)實(shí)數(shù)）當(dāng)實(shí)數(shù)x滿足滿足 （3）當(dāng)實(shí)數(shù)）當(dāng)實(shí)數(shù)x 滿足滿足 03)152()6( 22 xxxx 即即 時(shí)，點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)Z在直線在直線 上上 .2 x03 yx 例例3 3: :已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i 在復(fù)

14、平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限， 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m m的取值范圍。的取值范圍。 一種重要的數(shù)學(xué)思想：一種重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想數(shù)形結(jié)合思想 02 06 2 2 mm mm 解：由 12 23 mm m 或 得 )2 , 1 ()2, 3(m 變式一：變式一：已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)z=(mz=(m2 2+m-6)+(m+m-6)+(m2 2+m-2)i+m-2)i 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在直線直線x-2y+4=0 x-2y+4=0上，上， 求實(shí)數(shù)求實(shí)數(shù)m m的值的值. . 解：復(fù)數(shù)復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面在復(fù)平面 內(nèi)所

15、對應(yīng)的點(diǎn)是（內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)是（m2+m-6，m2+m-2），）， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或或m=-2. (A)(A)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都 在實(shí)軸上；在實(shí)軸上； (B)(B)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)，對應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn) 都在虛軸上；都在虛軸上； (C)(C)在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對應(yīng) 的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)；的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)； (D)(D)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對應(yīng) 的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)。的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)。 練習(xí)練習(xí). . 下列命題中的假命題是（下列命題中的假命題是（ ）D

16、 D x O z=a+bi y 復(fù)數(shù)的復(fù)數(shù)的模模 Z (a,b) | z | = 22 ba a+bi a bi向 量 OZ 的 模 叫 作 復(fù) 數(shù) z=a+bi 的 模 , 記z或 uuu r 復(fù)數(shù)模的幾何意義： 表示復(fù)平面內(nèi)該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù) 當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí)虛部互為相反數(shù)時(shí), 我們稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù)我們稱這兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù). 舉例舉例: 共軛復(fù)數(shù)的表示共軛復(fù)數(shù)的表示: 例例4:已知復(fù)數(shù)已知復(fù)數(shù)(2x-1)+i與復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)y+(3-y)i互為互為 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù),其中其中x,y,求求x與與y. 練：復(fù)數(shù)練：復(fù)數(shù)z z與與 所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi) ( )( ) (A)(A)關(guān)于關(guān)于x x軸對稱軸對稱 (B)(B)關(guān)于關(guān)于y y軸對稱軸對稱 (C)(C)關(guān)于原點(diǎn)對稱關(guān)于原點(diǎn)對稱(D)(D)關(guān)于直