第十章無窮級(jí)數(shù)一

1、10.1 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì) 一、問題的提出 1. 1. 計(jì)算圓的內(nèi)接正多計(jì)算圓的內(nèi)接正多 邊面積之和邊面積之和 R 正六邊形的面積正六邊形的面積 正十二邊形的面積正十二邊形的面積 1 a 21 aa 正正 形的面積形的面積 n 23 n aaa 21 n aaa 21 則則 n 10 3 1000 3 100 3 10 3 . 2 =？ =？ 二、數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念 1. 1. 定義定義: : n n n uuuuu 321 1 稱為稱為無窮級(jí)數(shù)無窮級(jí)數(shù)（級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)）一般項(xiàng)一般項(xiàng) 部分和數(shù)列部分和數(shù)列 n i inn uuuus 1 21 級(jí)數(shù)的部分和級(jí)數(shù)的部分和 , 11

2、us , 212 uus , 3213 uuus , 21nn uuus 依依次次相相加加所所得得的的和和式式 它它的的各各項(xiàng)項(xiàng)是是一一個(gè)個(gè)給給定定的的數(shù)數(shù)列列，將將設(shè)設(shè), 21n uuu 2. 2. 級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散: : 當(dāng)當(dāng)n無限增大時(shí)無限增大時(shí), ,如果級(jí)數(shù)如果級(jí)數(shù) 1n n u的部分和的部分和 數(shù)列數(shù)列 n s有極限有極限s, , 即即 ssn n lim 則稱無窮級(jí)數(shù)則稱無窮級(jí)數(shù) 1n n u收斂收斂, ,這時(shí)極限這時(shí)極限s叫做級(jí)數(shù)叫做級(jí)數(shù) 1n n u的和的和. .并并 寫成寫成 n uuus 21 如果如果 n s沒有極限沒有極限, ,則稱無窮級(jí)數(shù)則稱無窮級(jí)數(shù)

3、1n n u發(fā)散發(fā)散. . 余項(xiàng)余項(xiàng) nn ssr 21nn uu 1i in u 即即 ssn 誤誤差差為為 n r)0lim( n n r 無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：KochKoch雪花雪花. . 做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì) 稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的稱的產(chǎn)生邊長(zhǎng)為原邊長(zhǎng)的1/31/3的小正三角形如此的小正三角形如此 類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到 了面積有限而周長(zhǎng)無限的圖形了面積有限而周長(zhǎng)無限的圖形“Koch“Koch雪花雪花” 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一

4、次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 播放播放 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)

5、為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 觀察雪花

6、分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 觀察雪花分形過程觀察雪花分形過程 第一次分叉：第一次分叉： ; 9 1 3 , 3 4 112 12 AAA PP 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 依次類推依次類推 ; 4 3 , 3 1 1 A P 面積為面積為 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 設(shè)三角形設(shè)三角形 , 2 , 1) 3 4 ( 1 1 nPP n n ) 9 1 (43 1 12 1 AAA nn nn 1 12 1

7、 2 11 ) 9 1 (43) 9 1 (43 9 1 3AAAA nn , 3 , 2 n 周長(zhǎng)為周長(zhǎng)為 面積為面積為 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 ) 9 4 ( 3 1 3 1 1 22 1 n A 第第 次分叉：次分叉：n 于是有于是有 n n Plim ) 9 4 1 3 1 1(lim 1 AAn n . 5 32 ) 5 3 1( 1 A 結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無界的，而面積有界結(jié)論：雪花的周長(zhǎng)是無界的，而面積有界 雪花的面積存在極限（收斂）雪花的面積存在極限（收斂） 例例 1 1 討討論論等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)( (幾幾何何級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)) ) n n n aqaqaqaa

8、q 2 0 )0( a 的的收收斂斂性性. . 解解 時(shí)時(shí)如如果果1 q 12 n n aqaqaqas q qa n 1 )1( ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q 0lim n n q q a sn n 1 lim 收斂收斂 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q n n qlim n n slim 發(fā)散發(fā)散 時(shí)時(shí)如如果果1 q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) q nasn 發(fā)散發(fā)散 aaaa級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)變變?yōu)闉?不不存存在在 n n s lim 發(fā)散發(fā)散 綜上綜上 發(fā)發(fā)散散時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 收收斂斂時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) ,1 ,1 0 q q aq n n 例例 2 2 判判別別無無窮窮級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 12 32 n nn 的的收收斂斂性性. . 解解

9、 nn n u 12 32 , 3 4 4 1 n 已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)，已知級(jí)數(shù)為等比級(jí)數(shù)， , 3 4 q公比公比 , 1| q .原級(jí)數(shù)發(fā)散原級(jí)數(shù)發(fā)散 例例 3 3 判別無窮級(jí)數(shù)判別無窮級(jí)數(shù) )12()12( 1 53 1 31 1 nn 的收斂性的收斂性. . 解解 )12)(12( 1 nn un), 12 1 12 1 ( 2 1 nn )12()12( 1 53 1 31 1 nn sn ) 12 1 12 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 1( 2 1 nn ) 12 1 1( 2 1 limlim n s n n n ), 12 1 1( 2 1 n

10、, 2 1 . 2 1 , 和和為為級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 三、基本性質(zhì) 結(jié)論結(jié)論: : 級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù)級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù), , 斂散性不變斂散性不變. . 結(jié)論結(jié)論: : 收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減. . 發(fā)散發(fā)散發(fā)散發(fā)散 例例 5 5 求求級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1 2 1 )1( 5 n n nn 的的和和. . 解解 1 2 1 )1( 5 n n nn 1 )1( 5 n nn 1 2 1 n n 11 1 11 5 )1( 5 nn nnnn n k n kk g 1 1 11 5令令), 1 1 1(5 n 0 00 )( n nn

11、n n n n vu vu 發(fā)發(fā)散散 發(fā)發(fā)散散，則則級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂，級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)推推論論 , 5) 1 1 1(lim5lim n g n n n , 2 1 1 是是等等比比級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) n n ，首首項(xiàng)項(xiàng)是是公公比比 2 1 , 1 2 1 q n n n n h lim 2 1 1 . 615 2 1 )1( 5 1 n n nn 故故 , 1 2 1 1 2 1 性性質(zhì)質(zhì) 3 3 若若級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 1n n u收收斂斂, ,則則 1kn n u也也收收斂斂 )1( k. .且且其其逆逆亦亦真真. . 證明證明 nkkk uuu 21 nkkkn uuu 21 , kkn ss k n

12、 kn n n n ss limlimlim 則則 . k ss 類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不 影響級(jí)數(shù)的斂散性影響級(jí)數(shù)的斂散性. 性性質(zhì)質(zhì) 4 4 收收斂斂級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)加加括括弧弧后后所所成成的的級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)仍仍然然收收斂斂 于于原原來來的的和和. . 證明證明 )()( 54321 uuuuu , 21 s .limlimssn n m m 則則 , 52 s , 93 s , nm s 注意注意 收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂. )11()11(例例如如 1111 推論推論 如果加括弧后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散如果加括弧

13、后所成的級(jí)數(shù)發(fā)散, ,則原來級(jí)則原來級(jí) 數(shù)也發(fā)散數(shù)也發(fā)散. . 收斂收斂 發(fā)散發(fā)散 四、收斂的必要條件 級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂. 0lim n n u 證明證明 1n n us, 1 nnn ssu則則 1 limlimlim n n n n n n ssu ss . 0 即即趨趨于于零零它它的的一一般般項(xiàng)項(xiàng)無無限限增增大大時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng), n un 級(jí)數(shù)收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件: : 注意注意 1.1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零, ,則級(jí)數(shù)發(fā)散則級(jí)數(shù)發(fā)散; ; 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例例如如 發(fā)散發(fā)散 2.2.必要條件不充分必要條件不充分. . ?, 0lim但級(jí)數(shù)是否收斂但級(jí)數(shù)是否收斂有有 n n u n 1 3 1 2 1 1例例如如調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù) 討論討論 nnn ss nn 2 1 2 1 1 1 2 , 2 1 2 n n .,s其其和和為為假假設(shè)設(shè)調(diào)調(diào)和和級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)收收斂斂 )lim( 2nn n ss 于于是是ss , 0 .