空間幾何第二章 2-1 平面的方程

1、第二章第二章 平面與直線平面與直線 平面與直線是空間中最簡單的曲面與曲線， 這一章我們將向量法和坐標(biāo)法結(jié)合使用，一方 面導(dǎo)出平面與空間直線在直角坐標(biāo)系下的方程； 另一方面研究點(diǎn)、直線、平面之間的相互位置 關(guān)系與有關(guān)的度量關(guān)系。 1.1 平面的點(diǎn)法式方程 如果一非零向量垂直于如果一非零向量垂直于 一平面，這向量就叫做該平一平面，這向量就叫做該平 面的面的法向量（法矢）法向量（法矢） 1 平面的方程平面的方程 x y z o 0 M M 法向量的法向量的特征特征：垂直于平面內(nèi)的任一垂直于平面內(nèi)的任一非零非零向量向量 已知已知,CBAn ),( 0000 zyxM平面上一點(diǎn) 設(shè)平面上的任一點(diǎn)為設(shè)平面

2、上的任一點(diǎn)為 ),(zyxM nMM 0 必有必有 0 0 nMM n , 0000 zzyyxxMM 0)()()( 000 zzCyyBxxA 其中法向量其中法向量,CBAn 已知點(diǎn)已知點(diǎn) 0000 (,).Mxyz 平面的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程 平面上的點(diǎn)都滿足此方程，不在平面上的點(diǎn)都平面上的點(diǎn)都滿足此方程，不在平面上的點(diǎn)都 不滿足此方程，此方程稱為平面的方程，平面不滿足此方程，此方程稱為平面的方程，平面 稱為方程的圖形稱為方程的圖形 12 112 2, 1,26, 3,4 . PP PPP 已知兩點(diǎn) ()和 (),求通 過點(diǎn) 且與直線垂直的平面 的方程 1 12 2, 1,2 62

3、,3 1, 42 P PP 分析:平面的方程 1)一個(gè)點(diǎn): () 2)法向量: 例例1 (62)(2)( 3 1)(1)(42)(2)0 xyz 平面 的方程為 0 0 , , Pab Pa b ab 若給定空間一點(diǎn) 與不共線的向量 和則通 過點(diǎn) 且與向量平行的平面 也唯一確定. 與平面 平行的任意一對不共線的向量 與 稱為平面 的一對方位向量. 1.2 平面的點(diǎn)位式方程 n在空間，確定一個(gè)平面的幾何條件多種多樣。 x y z o b 0 P a 下面推導(dǎo)由這一組幾何條件所確定的平面下面推導(dǎo)由這一組幾何條件所確定的平面的方程的方程: P (x, y, z) 是是平面平面上任意一上任意一 點(diǎn)（右

4、圖）點(diǎn)點(diǎn)（右圖）點(diǎn) P0與與P 的向徑的向徑 分別為分別為 , ), 222111 0000 ZYXZYX zyxP ba為 的一對方位向量平面通過點(diǎn)設(shè)平面( 點(diǎn)點(diǎn)P在平面在平面上上的充要條件就是三個(gè)向量的充要條件就是三個(gè)向量 n方程(2.1-3)與(2.1-4)都稱為平面的點(diǎn)位式方程點(diǎn)位式方程. 000 111 222 0(2.1 4) xxyyzz XYZ XYZ ，barr, 0 共面，也就是混合積 (2.13) 0, 0 ）（barr 式可表示成三向量的坐標(biāo)表示，上用barr, 0 12 . 1, 1, 52,3, 1 . PP zOx 例2 求通過點(diǎn) ()和 ()且垂直 坐標(biāo)平面的平

5、面 的方程 111122 223333 . , , . M x y zMx yzM xy z 例3 已知不共線的三點(diǎn)(),( ),(),求通過這三點(diǎn)的平面 的方程 例 n設(shè)所求平面上的任意一點(diǎn)為M(x, y, z),由對應(yīng) 的四面體體積為0，即得所求平面的方程. 即即 111 212121 313131 0. xxyyzz xxyyzz xxyyzz 平面的三平面的三 點(diǎn)式方程點(diǎn)式方程. o y P x z Q R . 0 0 0 ca ba zyax abcabzcaybcx有 0,abc 當(dāng)時(shí) 有1 c z b y a x 平面的平面的截距式截距式方程方程 x軸上截距軸上截距 y軸上截距軸

6、上截距 z軸上截距軸上截距 平面的截距式方程平面的截距式方程 n作為三點(diǎn)式的特例，若已知平面與x, y, z軸的交點(diǎn) 依次為P(a, 0, 0), Q(0, b, 0), R(0, 0, c)三點(diǎn)，則平面 的方程為 6,0,1, : :3:2:1 . Mxyz a b c 求通過點(diǎn)()且在 軸軸 軸上 的截距之比為()的平面 的方程 例4 0)()()( 000 zzCyyBxxA 0)( 000 CzByAxCzByAx D 0 DCzByAx 平面的一般方程平面的一般方程 法向量法向量.,CBAn 1.3 平面的一般式方程 由平面的點(diǎn)法式方程由平面的點(diǎn)法式方程 ？ 即即 任一平面任一平面

7、表示表示 0 DCzByAx （A,B,C不同時(shí)為零）不同時(shí)為零） 不妨設(shè)不妨設(shè) 0 A ，則，則 000 zCyB A D xA，為一平面，為一平面. 平面過點(diǎn)平面過點(diǎn) (,0,0) D A , ,; , , x y z x y z 空間中任一平面的方程都可表 示成一個(gè)關(guān)于變數(shù)的一次方程 反過 來,每一個(gè)關(guān)于變數(shù)的一次方程都表 示一個(gè)平面. 定理2.1.1 Ax+By+Cz+D=0 平面的一般方程平面的一般方程 , 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過坐標(biāo)原點(diǎn)； o x y z Ax+By+Cz+D=0 平面的一般方程平面的一般方程 n平面一般式方程的幾種特殊情況：平面一般式方程的幾種特殊

8、情況： , 0 , 0 D D平面通過平面通過 軸；軸；x 平面平行于平面平行于 軸；軸；x o x y z (2) A = 0， n這時(shí)法向量為這時(shí)法向量為0, B, C, 它垂直它垂直x軸而平行軸而平行 于于yoz坐標(biāo)面坐標(biāo)面. 平面垂直于平面垂直于yoz坐標(biāo)面坐標(biāo)面. o x y z o x y z 類似地可討論類似地可討論B = 0，C = 0情形情形 o x y z o x y z 平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy ., 0面面即即有有xoyz 0, 0, D D 與與z軸垂直軸垂直 （2）A = B = 0 o x y z o x y z 類似地可討論類似地可討論A =

9、 C = 0， B = C = 0情形情形 (1)過原點(diǎn)的平面方程是A x + B y + C z = 0 (2)平行于x 軸的平面方程是 By + Cz + D = 0; 平行于y 軸的平面方程是 Ax + Cz + D = 0; 平行于z 軸的平面方程是 Ax + By + D = 0. 特別： D = 0時(shí), 平面過坐標(biāo)軸。 (3)平行于xOy 面的平面方程是 Cz + D = 0; 平行于xOz 面的平面方程是 By + D = 0; 平行于yOz 面的平面方程是 Ax + D = 0. (即z = k) (即y = k) (即x = k) 特別： D = 0時(shí), 平面就是坐標(biāo)面。 其

10、他的特殊平面方程其他的特殊平面方程 12 2, 1,23, 2,1 . PP z 求通過兩點(diǎn) ()和 ()且平行 于 軸的平面 的方程 例5 小結(jié) 1 1平面的方程平面的方程 1.平面的點(diǎn)法式方程 2.平面的點(diǎn)位式方程 3.平面的三點(diǎn)式方程 4.平面的截距式方程 5.平面的一般式方程 6.平面一般式方程的幾種特殊情況 練習(xí) P70 4，2(2)(4) 作業(yè) P70 2(1)(3) ， 5 例例 2 2 求求過過點(diǎn)點(diǎn))1 , 1 , 1(，且且垂垂直直于于平平面面7 zyx和和 051223 zyx的的平平面面方方程程. ,1, 1, 1 1 n 12, 2, 3 2 n 取法向量取法向量 21

11、 nnn ,5,15,10 , 0)1(5)1(15)1(10 zyx 化簡得化簡得. 0632 zyx 所求平面方程為所求平面方程為 解解 補(bǔ)例 例例 7 7 設(shè)設(shè)平平面面過過原原點(diǎn)點(diǎn)及及點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( ，且且與與平平面面 824 zyx垂垂直直，求求此此平平面面方方程程. 設(shè)平面為設(shè)平面為, 0 DCzByAx 由平面過原點(diǎn)知由平面過原點(diǎn)知, 0 D 由由平平面面過過點(diǎn)點(diǎn))2, 3, 6( 知知0236 CBA ,2 , 1, 4 n 024 CBA , 3 2 CBA . 0322 zyx 所求平面方程為所求平面方程為 解解 例例 8 8 求求平平行行于于平平面面0566 zyx而而與與三三個(gè)個(gè)坐坐 標(biāo)標(biāo)面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積為為一一個(gè)個(gè)單單位位的的平平面面方方程程. 設(shè)平面為設(shè)平面為 , 1 c z b y a x x y z o , 1 V , 1 2 1 3 1 abc 由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得 , 6 1 1 1 6 1 cba