2.17空間曲線(xiàn)及其方程ppt課件

1、1.7 1.7 空間曲線(xiàn)及其方程空間曲線(xiàn)及其方程 0),( 0),( zyxG zyxF 空間曲線(xiàn)的一般方程空間曲線(xiàn)的一般方程 曲線(xiàn)上的點(diǎn)都滿(mǎn)足曲線(xiàn)上的點(diǎn)都滿(mǎn)足 方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在方程，滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在 曲線(xiàn)上，不在曲線(xiàn)上的點(diǎn)曲線(xiàn)上，不在曲線(xiàn)上的點(diǎn) 不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程. x o z y 1 S 2 S C 一?？臻g曲線(xiàn)一?？臻g曲線(xiàn)C可看作空間兩曲面的交線(xiàn)可看作空間兩曲面的交線(xiàn). 特點(diǎn)：特點(diǎn)： 1.7.1空間曲線(xiàn)的一般方程空間曲線(xiàn)的一般方程 例例1 1 方程組方程組 表示怎樣的曲線(xiàn)？表示怎樣的曲線(xiàn)？ 6332 1 22 zyx yx 解解 1 22 yx 表示圓柱面，表

2、示圓柱面， 6332 zyx表示平面，表示平面， 6332 1 22 zyx yx 交線(xiàn)為橢圓交線(xiàn)為橢圓. 例例2 2 方程組方程組 表示怎樣的曲線(xiàn)？表示怎樣的曲線(xiàn)？ 4 ) 2 ( 2 22 222 a y a x yxaz 解解 222 yxaz 上半球面上半球面, 4 ) 2 ( 2 22 a y a x 圓柱面圓柱面, 交線(xiàn)如圖交線(xiàn)如圖. )( )( )( tzz tyy txx 當(dāng)當(dāng)給給定定 1 tt 時(shí)時(shí)，就就得得到到曲曲線(xiàn)線(xiàn)上上的的一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn) ),( 111 zyx，隨隨著著參參數(shù)數(shù)的的變變化化可可得得到到曲曲線(xiàn)線(xiàn)上上的的全全 部部點(diǎn)點(diǎn). 空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程

3、1.7.2 空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程空間曲線(xiàn)的參數(shù)方程 動(dòng)點(diǎn)從動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出點(diǎn)出 發(fā)，經(jīng)過(guò)發(fā)，經(jīng)過(guò)t時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到時(shí)間，運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)點(diǎn) 例例 3 3 如如果果空空間間一一點(diǎn)點(diǎn)M在在圓圓柱柱面面 222 ayx 上上以以 角角速速度度 繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)，同同時(shí)時(shí)又又以以線(xiàn)線(xiàn)速速度度v沿沿平平行行于于z 軸軸的的正正方方向向上上升升（其其中中 、v都都是是常常數(shù)數(shù)），那那么么點(diǎn)點(diǎn) M構(gòu)構(gòu)成成的的圖圖形形叫叫做做螺螺旋旋線(xiàn)線(xiàn)試試建建立立其其參參數(shù)數(shù)方方程程 A M M M在在xoy面的投影面的投影)0 ,(yx M tax cos tay sin vtz t 螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程 取時(shí)間取時(shí)間t為

4、參數(shù)，為參數(shù)， 解解 x y z o 螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為螺旋線(xiàn)的參數(shù)方程還可以寫(xiě)為 bz ay ax sin cos ),( v bt 螺旋線(xiàn)的重要性質(zhì)：螺旋線(xiàn)的重要性質(zhì)： ,: 00 ,: 00 bbbz 上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比上升的高度與轉(zhuǎn)過(guò)的角度成正比 即即 上升的高度上升的高度 bh2 螺距螺距 ,2 0),( 0),( zyxG zyxF 消去變量消去變量z后得：后得： 0),( yxH 曲線(xiàn)關(guān)于曲線(xiàn)關(guān)于 的投影柱面的投影柱面xoy 設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程：設(shè)空間曲線(xiàn)的一般方程： 以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面以此空間曲線(xiàn)為準(zhǔn)線(xiàn)，垂直于所投影的坐標(biāo)面. 投影柱面

5、的特征：投影柱面的特征： 1.7.3空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影 如圖如圖:投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程投影曲線(xiàn)的研究過(guò)程. 空間曲線(xiàn)空間曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)投影曲線(xiàn)投影柱面投影柱面 類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在其他坐標(biāo)面上的投影類(lèi)似地：可定義空間曲線(xiàn)在其他坐標(biāo)面上的投影 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 面上的投影曲線(xiàn)面上的投影曲線(xiàn),yoz面上的投影曲線(xiàn)面上的投影曲線(xiàn),xoz 0 0),( z yxH 空間曲線(xiàn)在空間曲線(xiàn)在 面上的投影曲線(xiàn)面上的投影曲線(xiàn)xoy 例例4 4 求曲線(xiàn)求曲線(xiàn) 在坐標(biāo)面上的投影在坐標(biāo)面上的投影. . 2 1 1 222 z zyx 解解 （1消去變量消

6、去變量z后得后得 , 4 3 22 yx , 0 4 3 22 z yx 在在 面上的投影為面上的投影為 xoy 所以在所以在 面上的投影為線(xiàn)段面上的投影為線(xiàn)段.xoz ; 2 3 |, 0 2 1 x y z （3同理在同理在 面上的投影也為線(xiàn)段面上的投影也為線(xiàn)段.yoz . 2 3 |, 0 2 1 y x z （2因?yàn)榍€(xiàn)在平面因?yàn)榍€(xiàn)在平面 上，上， 2 1 z 例例5 5 求拋物面求拋物面xzy 22 與平面與平面 02 zyx 的截線(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程的截線(xiàn)在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影曲線(xiàn)方程. 截線(xiàn)方程為截線(xiàn)方程為 02 22 zyx xzy 解解 如圖如圖, （2）消消去去y

7、得得投投影影, 0 0425 22 y xxzzx （3）消消去去x得得投投影影. 0 02 22 x zyzy （1）消消去去z得得投投影影, 0 045 22 z xxyyx 補(bǔ)充補(bǔ)充: : 空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影空間立體或曲面在坐標(biāo)面上的投影. . 空間立體空間立體 曲面曲面 例例6 . ,)(3 4, 22 22 面上的投影面上的投影 求它在求它在錐面所圍成錐面所圍成和和 由上半球面由上半球面設(shè)一個(gè)立體設(shè)一個(gè)立體 xoyyxz yxz 解解 半球面和錐面的交線(xiàn)為半球面和錐面的交線(xiàn)為 , )(3 ,4 : 22 22 yxz yxz C , 1 22 yxz 得投影柱面得投影柱面

8、消去消去 面面上上的的投投影影為為在在則則交交線(xiàn)線(xiàn)xoyC . 0 , 1 22 z yx 一個(gè)圓一個(gè)圓, 面上的投影為面上的投影為所求立體在所求立體在 xoy . 1 22 yx 空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程空間曲線(xiàn)的一般方程、參數(shù)方程 四、小結(jié)四、小結(jié) 空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影空間曲線(xiàn)在坐標(biāo)面上的投影 0),( 0),( zyxG zyxF )( )( )( tzz tyy txx 0 0),( x zyR 0 0),( y zxT 0 0),( z yxH 思考題思考題 求求橢橢圓圓拋拋物物面面zxy 22 2與與拋拋物物柱柱面面 zx 2 2的的交交線(xiàn)線(xiàn)關(guān)關(guān)于于xoy面面的的投投影影柱柱面面和