2018-2019學年2-21.3.2利用導數(shù)研究函數(shù)的極值學案

1、精品資源預習導航課程目標學習脈絡1 .理解極值、極值點的概念，明確極值存在的條件；2 .會求函數(shù)的極值；3 .會求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值；4 .能利用導數(shù)解決與函數(shù)極值、最值相關的 綜合問題.檻值的擷念極值與埴值一求函數(shù)的極值綜合問題求函數(shù)的最值1.函數(shù)的極值已知函數(shù)y= f(x),設xo是定義域(a, b)內任一點，如果對xo附近的所有點x,都有 儂 Vf(X0),則稱函數(shù)f(x)在點xo處取極大值，記作 y極大=f(x0),并把xo稱為函數(shù)f(x)的一個鼠 大值點.如果在xo附近都有f(x)f(x0),則稱函數(shù)f(x)在點xo處取極小值，記作y極小= f(xo), 并把xo稱為函數(shù)f(x)的

2、一個極小值點.(2)極大值與極小值統(tǒng)稱為極值大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點思考1 (1)極大值(極小值)是否就是函數(shù)在定義域內最大的值(最小的值)?(2)函數(shù)是否一定存在極值？若存在，是否是唯一的？(3)極大值是否一定比極小值大？(4)函數(shù)的極值點是否可以出現(xiàn)在區(qū)間的端點？提示：(1)極值是一個局部概念.由定義知，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內最大或最小.(2)在一個給定的區(qū)間上，函數(shù)可能存在若干個極值，也可能不存在極值；函數(shù)可以只有極大值，沒有極小值，或者只有極小值沒有極大值，也可能既有極大值，又有極小值.(3)極大值與極小值之間無確

3、定的大小關系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值.(4)不可以，函數(shù)在一個區(qū)間的端點處一定不可能取得極值，因為不符合極值點的定義.2 .求函數(shù)y=f(x)極值的步驟第1步：求導數(shù)f (x);第2步：求方程f (x)=。的所有實數(shù)根；第3步：考察在每個根 xo附近，從左到右，導函數(shù) f (x)的符號如何變化.如果 f (x) 的符號由正變負，則 f(xo)是極大值如果由負變正，則f(xo)是極小值一如果在f (x)=。的根x= xo的左、右側，f (x)的符號不變，則f(xo)不是極值.思考2 (1)導數(shù)為0的點一定是函數(shù)的極值點嗎？(2)函數(shù)在極值點處的導數(shù)一定等于0嗎？提示：(1)不一定，例如

4、對于函數(shù) f(x) = x3,雖有f (0)=0,但x=0并不是f(x) = x3的極值點，要使導數(shù)為 0的點成為極值點，還必須滿足其他條件.(2)不一定，例如函數(shù)f(x)=|x1,它在x=1處取得極小值，但它在x=1處不可導，就更談不上導數(shù)等于 0 了 .但對可導函數(shù)來說，極值點處的導數(shù)值一定等于0.3 .函數(shù)的最值函數(shù)f(x)的最大(小)值是函數(shù)在指定區(qū)間上的最大 (小)的值.點撥函數(shù)極值與最值的聯(lián)系與區(qū)別：(1)函數(shù)的極值是表示函數(shù)在某一點附近的變化情況，是在局部上對函數(shù)值的比較，具 有相對性；而函數(shù)的最值則是表示函數(shù)在整個定義區(qū)間上的情況，是對整個區(qū)間上的函數(shù)值的比較，具有絕對性.(2

5、)函數(shù)在一個閉區(qū)間上若存在最大值或最小值，則最大值或最小值最多只能各有一個， 具有唯一性；而極大值和極小值可能多于一個，也可能沒有，例如：常函數(shù)就沒有極大值， 也沒有極小值.(3)極值只能在函數(shù)的定義域內部取得，而最值可以在區(qū)間的端點處取得.有極值的不 一定有最值，有最值的不一定有極值，極值有可能成為最值，最值只要不是在端點處取到， 則一定是某個極值.4 .求函數(shù)y=f(x)在a, b上的最大(小)值的步驟第1步：求f(x)在開區(qū)間(a, b)內所有使f (x)=0的點.第2步：計算函數(shù)f(x)在區(qū)間(a, b)內使f (x)=0的所有點和端點的函數(shù)值，其中最大 的一個為最大值，最小的一個為最小值.思考3如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上是單調函數(shù)，如何求其最值？提示：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a, b上恰好是單調函數(shù)，那么函數(shù)的最值恰好在兩個端點處取到.當f(x)在閉區(qū)間a, b上遞增時，f(a)是最小值，f(b)是最大值；當f(x)在閉區(qū)間a,b上遞減時，f(a)是最大值，f(b)是最小值.點撥函數(shù)f(x)在開區(qū)間上最值的求法：如果要研究函數(shù)在開區(qū)間上的最值情況，那么就要與閉區(qū)間加以區(qū)別.由于是開區(qū)間，所以函數(shù)的最值不能在端點處取得，而只能在極值點處取得，當函數(shù)在開區(qū)間上只有一個極值時，這個極值