2.1二重積分的變量變換ppt課件

1、4 4 二重積分的變量變換二重積分的變量變換 一、二重積分的變量變換公式：一、二重積分的變量變換公式： 1 1、定積分的換元法：、定積分的換元法： b a df xx( ) ( ), ( )xtt 單單調(diào)調(diào) :.x abttftt d ( )( ), 二重積分換元法二重積分換元法: :xx u vyy u v( , ),( , ) D f x u vy u v ( , ), ( , ) D dxdyf x y( , ) dudv? D怎怎么么表表示示？ 2.2.引理：引理： :( , ),( , )Txx u vyy u v設(shè)設(shè)變變換換 uvDxoyD 將將平平面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域變變?yōu)闉?/p>

2、平平面面上上的的， 且且滿滿足足 (1)( , ), ( , )x u vy u v D 在在上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)； ( , ) (2)( , )0; ( , ) x y DJ u v u v 在在上上雅雅可可比比式式 (3):TDD 變變換換是是一一對對一一的的. . D DJ u v dudDv ()( , ). 區(qū)區(qū)域域 的的面面積積為為 233 235 .P 證證略略，祥祥見見教教材材 則則有有 3.3.二重積分換元法公式定理二重積分換元法公式定理21.1321.13 ( , )f x yD設(shè)設(shè)在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域上上可可積積， :( , ),( , )Txx

3、u vyy u v變變換換 uvDxoyD 將將平平面面上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域變變?yōu)闉槠狡矫婷嫔仙系牡模?且且滿滿足足 (1)( , ), ( , )x u vy u v D 在在上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)； ( , ) (2)( , )0; ( , ) x y DJ u v u v 在在上上雅雅可可比比式式 (3):TDD 變變換換是是一一對對一一的的. . DD dxdyJ u v dudvf x yf x u vy u v ( , ) ( , ), (), ), 則則有有 DD f x yf x udxdyJ u v dyuvvvdu ( , ) ( , ), ( , ),

4、) 的的簡簡要要證證明明 0 1 ( , )lim(,) (). D n iii T i D f x y dxdyfD 11 ( ,) ()( (,), (,)(,)( ). nn iiiiiiiiii ii fDf x u vy u vJ u vD 00. DD TT時時， ( , ), ( , )( , ) D f x u vy u vJ u v dudv y x y x D edxdyDxy, 例例1 1 計計算算其其中中由由軸軸、 軸軸和和直直線線 xy2 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 D x y o 2 yx解解,xyvxyu 令令 vuvu xy,. 22 則則D? 0 x uv;

5、 0y uv; 2xy2.v D u v o vu vu 2 v ),( ),( vu yx J , 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 D v u D xy xy dudvedxdye 2 1 故故 v v v u duedv 2 0 2 1 2 0 1 )( 2 1 vdvee . 1 ee , 22 vuvu xy D u v o vu vu 2 v x y ymxynxyax ybx 22 2,例例計計算算由由和和直直線線 mnabD( 0, 0). 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 的的面面積積 yyyy abmn xxxx 22 4,.注注意意到到 條條曲曲線線方方程程為為： yy

6、 uv xx 2 ,. 作作變變換換： v u D D DdxdyJdudv(). v u ymxynxyax ybx 22 2,例例計計算算由由和和直直線線 mnabD( 0, 0). 所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域 的的面面積積 dd . D DSxy 解解： 的的面面積積 2 , yy uv xx 令令: mun avb 2 , uu xy vv ( , ) ( , ) x y J u v 23 2 12 1 u vv u vv 4 0, u v d d D Sxy d dJu v 4 dd nb ma u uv v 2233 1 ()(). 6 nmab x D y D.所所圍圍成成的的

7、閉閉區(qū)區(qū)域域 的的面面積積 ypxyq x xa y xby 2222 3, 例例求求由由 pqab( 0, 0) 解解: : yx uv xy 22 ,令令 D : puq avb u v a q p b ( , )1 ( , )3 x y J u v d d D Sxy d dJu v 1 dd 3 qb pa uv 1 ()(). 3 qp ba D xy xy 22 22 d . I,D:1. 1 計計算算其其中中 為為圓圓域域例例4 4 xy 22 在在和和中中都都被被積積函函數(shù)數(shù)積積分分了了域域出出現(xiàn)現(xiàn)區(qū)區(qū)的的項項， 直直接接用用直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系計計算算比比較較麻麻煩煩，如如果

8、果通通過過變變量量 代代換換， xy 22 . 把把化化為為一一個個變變量量就就容容易易了了 xryrcos ,.sin 因因此此，可可以以利利用用變變換換： 二、用極坐標(biāo)計算二重積分二、用極坐標(biāo)計算二重積分 1 1、極坐標(biāo)變換公式、極坐標(biāo)變換公式 D f x yf x u vy udxdyJ u v dudvv( , ) ( , ), ( , )( , ) xrcos , yrsin D f x yx yf rrrr( , )d d( cos , sin ) d d . ( , ) ( , ) x y J r cossin sincos r r r 定定理理21.1421.14 2 2、用極

9、坐標(biāo)計算二重積分的方法、用極坐標(biāo)計算二重積分的方法 化為累次化為累次( (二次二次) )定積分定積分 rr( ) 在在極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系下下，曲曲線線方方程程一一般般都都是是用用的的形形式式 來來表表示示的的. .因因此此把把二二重重積積分分化化為為累累次次積積分分時時，通通常常是是 r ，先先確確定定 的的范范圍圍先先對對 積積分分，D不不妨妨把把積積分分區(qū)區(qū)域域 稱稱作作 “型型”的的. . D一一般般地地，典典型型積積分分區(qū)區(qū)域域 可可以以表表示示為為： r 12 . ( )( ) 2( ) 1( ) ox D 2 2、用極坐標(biāo)計算二重積分的方法、用極坐標(biāo)計算二重積分的方法 化為累次化為累

10、次( (二次二次) )定積分定積分 2( ) 1( ) ox D 12 ( )( ) :, r D 設(shè)設(shè) D If rrrr( cos , sin ) d d 則則 f rrrr 2 1 ( ) ( ) d( cos , sin ) d r D 0( ) :, 02 如如果果 If rrrr 2( ) 00 d( cos , sin ) d )(r o D x D xy xy 22 22 d . I,D:1. 1 計計算算其其中中 為為圓圓域域例例4 4 x y o 1 r1 D xy 22 d 1 解解： rdrd r 2 1 2 0 d 2 21 0 0 1rd 2 0 d 2 . 1 2

11、0 1 rdr r xy D ex yD xya 22 222 5d d ,:. 例例計計算算其其中中 解解: : 在極坐標(biāo)系下在極坐標(biāo)系下 0 :, 02 ra D 2 d d r D err 原原式式 22 00 dd a r rer 2 0 1 2 2 a r e 2 (1). a e x e 2 由由于于的的原原函函數(shù)數(shù)不不是是初初等等函函數(shù)數(shù)，所所以以本本題題注注意意： .無無法法利利用用直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系來來解解 xoa xyzaxyax 222222 642 例例求求球球體體被被圓圓柱柱面面 所截得的所截得的( (含在柱面內(nèi)的含在柱面內(nèi)的) )立體的體積立體的體積. . a(0

12、) x z y VVV 11 ,4. 由由對對稱稱性性，考考慮慮第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的體體積積 zaxy 222 4頂頂：； xyax xy 22 2,0,0. 底底： x z y D Vaxyx y 222 44d d 解解：D xyax xy 22 2,0,0. ： rarr 22 44d d ra:0,02 cos . 2 2 0 4d 2 cos 22 0 4d a ar rr 233 0 32 (1sin)d 3 a 3 322 (). 323 a xyzaxyax 222222 642 例例求求球球體體被被圓圓柱柱面面 所截得的所截得的( (含在柱面內(nèi)的含在柱面內(nèi)的) )立體的體積立體的體積. . a(0) xyz V abc 222 222 71. 例例計計算算橢橢球球體體的的體體積積 x o z y VVV 11 ,8. 由由對對稱稱性性，考考慮慮第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)的的體體積積 xy zc ab 22 22 1;頂頂： xy xy ab 22 22 :1,0,0. 底底 o z y xyz V abc 222 222 71.