1112三角形的高、中線、角平分線

1、新人教版-八年級(jí)（上）數(shù)學(xué)-第十一 章 11.1.2 三角形的高、中線與角平分線 1.理解三角形的高、中線和角平分線的含義,并 會(huì)作出這三種重要的線段。 2.了解三角形的高、中線、和角平分線的性質(zhì), 并能應(yīng)用它解決一些問題。 3.感受數(shù)學(xué)知識(shí)的廣泛用途和科學(xué)探究精神。 重點(diǎn)：三角形的高、中線和角平分線的定義。 難點(diǎn)：掌握各種線在三角形中分得的角和線段 之間的倍分關(guān)系。 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 你還記得你還記得 “過一點(diǎn)畫已知直線的垂線過一點(diǎn)畫已知直線的垂線” 嗎嗎? 畫法 過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)， 你能畫出它到對(duì)邊的垂 線段嗎? B A C 回顧與思考 A 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn) BC 向它的對(duì)邊所在直線作垂線

2、頂點(diǎn)和垂足 D 之間的線段 叫做三角形這邊上的高， 簡(jiǎn)稱三角形的高。 如圖, 線段AD是BC邊上的高. 任意畫一個(gè)銳角ABC, 垂直的記號(hào) 和垂足的字母 請(qǐng)你畫出BC邊上的高. 標(biāo)明標(biāo)明 D 三角形的高 從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線，從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在的直線作垂線， 頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高三角形的高。 A A B BC C D D ADBC，則AD是ABC的BC邊上的高 AD是ABC的BC邊上的高,則ADBC,ADB=900 三角形的高的理解 銳角三角形的三條高 (1) 你能畫出這個(gè)三角形的三條高嗎? (2) 這三條高之間有怎樣

3、的位置關(guān)系？ 銳角三角形的三條高交于同一點(diǎn). O (3)銳角三角形的三條高是在三角形的內(nèi)部還是 外部? 銳角三角形的三條高都在三角形的內(nèi)部。 A B C D E F 直角三角形的三條高 (1) 畫出直角三角形的三條高, 直角邊BC邊上的高是 直角邊AB邊上的高是 它們有怎樣的位置關(guān)系？ 斜邊AC邊上的高是 鈍角三角形的三條高 A B C D E F 鈍角三角形的三條高交于 一點(diǎn)嗎？ 鈍角三角形的三條高不相交 于一點(diǎn) 它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？ 小結(jié):三角形的高 從三角形中的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線， 頂點(diǎn)和垂足之間的線段 叫做三角形這邊的高。 三角形的三條高的特性： 高所在的直線是否相

4、交高所在的直線是否相交 高之間是否相交高之間是否相交 高在三角形內(nèi)部的數(shù)量高在三角形內(nèi)部的數(shù)量 鈍角三角形鈍角三角形直角三角形直角三角形銳角三角形銳角三角形 31 相交不相交 相交相交 相交 三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn)三角形的三條高所在直線交于一點(diǎn) 三條高所在直線的交 點(diǎn)的位置 三角形 內(nèi)部 直角頂點(diǎn) 三角形 外部 如果一個(gè)三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形 的一個(gè)頂點(diǎn)，那么這個(gè)三角形是（ ） A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.不能確定 下列各組圖形中 哪一組圖形中AD是ABC 的 高( ) B D 拓展與練習(xí) 在三角形中,連接一個(gè)頂點(diǎn)與它對(duì)邊中點(diǎn)的線段, 叫做這個(gè)三角形這邊

5、的中線. A BC D AD是是 ABC的中線的中線 BD=CD= 1 2BC 任意畫一個(gè)三角形,然后利用刻度尺畫出這個(gè)三角形 三條邊的中線,你發(fā)現(xiàn)了什么? 三角形的三條中線相交于一三角形的三條中線相交于一 點(diǎn)點(diǎn),交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部. 三角形中線的理解三角形中線的理解 E F O 三角形的中線 也就是說：三角形的任意一條中線把這個(gè)三角形三角形的任意一條中線把這個(gè)三角形 分成了兩個(gè)面積相等的三角形。分成了兩個(gè)面積相等的三角形。 E A B C D 如右圖 D是BC的中點(diǎn) BD=DC 而ABD的面積= BDAE ADC的面積= DCAE 故ABD的面積= ADC的面積 2 1 2

6、 1 例1：如圖,在ABC中,AD,AE分別是BC邊上的中 線和高.試判斷ABD和ADC的面積有何關(guān)系？ 中線的性質(zhì) 三角形的中線是一條線段線段。 任何三角形有三條中線，并且都在三角 形的內(nèi)部，交與一點(diǎn)。 三角形的任意一條中線把這個(gè)三角形分 成了兩個(gè)面積相等的三角形。 三角形中線的特點(diǎn) 叫做三角形的角平分線。 A BC D AD是 ABC的角平分線 BAD = CAD = BAC 任意畫一個(gè)三角形,然后利用量角器畫出這個(gè)三角 形三個(gè)角的角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么? 在三角形中,一個(gè)內(nèi)角的角平分線與它的對(duì)邊相交， 這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段, 三角形的三條角平分線相交于 一點(diǎn),交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部

7、12 三角形的角平分線 BE是ABC的角平分線 _=_= _ 2 1 ACB=2_=2_ ABE CBEABC ACF CF是ABC的角平分線 BCF 思思 考考 三角形的角平分線是一條線段三角形的角平分線是一條線段 , 角的平分線是一條射線。角的平分線是一條射線。 三角形的角平分線與角的平分線有什么區(qū)別？ 角平分線的理解 例2:如圖,已知:ABC中,BD、CE分別是ABC的兩條角 平分線,相交于點(diǎn)O. (1)當(dāng)ABC=60,ACB=80時(shí),求BOC的度數(shù) A A B B C C E E D D O O 例題講解 解: BD、CE分別是ABC的角平分線 3060 2 1 2 1 ABCDBC

8、4080 2 1 2 1 ACBECB )(180ECBDBCBOC )4030(180 110 例2:如圖,已知:ABC中,BD、CE分別是ABC的兩條角 平分線,相交于點(diǎn)O. A A B B C C E E D D O O （2）當(dāng)A=40時(shí)，求BOC的度數(shù) 例題講解 解:BD、CE分別是ABC的角平分線 ABCDBC 2 1 ACBECB 2 1 )( 2 1 180ACBABCBOC )180( 2 1 180A A 2 1 90 110 例2:如圖,已知:ABC中,BD、CE分別是ABC的兩條角 平分線,相交于點(diǎn)O. A A B B C C E E D D O O （3）當(dāng)A= x時(shí)

9、，求BOC的度數(shù)(用含x代數(shù)式表示） 例題講解 解:BD、CE分別是ABC的角平分線 ABCDBC 2 1 ACBECB 2 1 )( 2 1 180ACBABCBOC )180( 2 1 180A A 2 1 90 x 2 1 90 名稱名稱基本圖形基本圖形畫法畫法性質(zhì)性質(zhì) 高高用邊的垂線用邊的垂線 三角板畫頂三角板畫頂 點(diǎn)到對(duì)段點(diǎn)到對(duì)段 三條高線相交于三條高線相交于 三角形內(nèi)部、外三角形內(nèi)部、外 部或邊上一點(diǎn)部或邊上一點(diǎn) 中線中線用直尺畫兩用直尺畫兩 點(diǎn)之間的線點(diǎn)之間的線 段段 三條中線相交于三條中線相交于 三角形內(nèi)一點(diǎn)，三角形內(nèi)一點(diǎn)， 且把三角形分成且把三角形分成 面積相等的兩部面積相等的兩部 分分 角平角平 分線分線 利用量角器利用量角器 畫角的平分畫角的平分 線的一部分線的一部分 三條角平分線相三條角平分線相 交于三角形內(nèi)一交于三角形內(nèi)一 點(diǎn)點(diǎn) D A CB D A CB D A CB 高、中線與角平分線的比較 如圖,在ABC中, 1=2,G為AD中點(diǎn),延長(zhǎng) BG交AC于E,F為AB上一點(diǎn),CFAD于H,判斷 下列說法那些是正確的,哪些是錯(cuò)誤的. A BC D E 1 2 F G H AD是ABE的角平分線 ( ) BE是ABD邊AD上的中線 ( ) BE是ABC邊AC上的中線 ( ) CH是ACD邊AD上的高 ( ) 三角形的高、中線