大學數(shù)學論文范文

1、濟南大學畢業(yè)論文畢業(yè)論文題 目 三重積分的計算與應用 學 院 數(shù)學科學學院 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 班 級 數(shù)學0802 學 生 xxxx 學 號 20000903042 指導教師 二一二年五月二十五日- 1 -濟南大學畢業(yè)論文摘 要三重積分在現(xiàn)實中有著廣泛的應用.利用三重積分求解不規(guī)則物體的體積，不僅僅是當代大學生要學習的基礎知識，在很多的大型橋梁，建筑工程中，三重積分也有著不可替代的作用.然而，很多學生不能熟練掌握三重積分的相關知識，因而也不會去應用該知識.為了讓學生更好地掌握三重積分的相關知識，以便以后能夠熟練巧妙運用，本文系統(tǒng)的總結(jié)了三重積分的求解方法.求解三重積分最根本的就是將三重積

2、分化為累次積分.但是化為累次積分時可以有不同的選擇，既可以“先二后一”（坐標面投影法），也可以“先一后二”（坐標軸投影法），有的題目還可以巧妙地運用對稱性求解，復雜的題目可以選擇換元法來求解.不同的方法在不同的情況下適用，對于一個題目來說，具體應該選擇哪種方法來求解，則應該進一步分析.三重積分有著廣泛的應用，主要是在大型橋梁工程建設中用來計算不規(guī)則物體的體積.無論在哪兒應用，都要先抽象成數(shù)學模型，再計算.因此本文的應用只是采用了一些簡單的例題，關鍵是讓學生去體會不同方法解三重積分的過程.關鍵詞：三重積分；先一后二；先二后一；換元法；分析應用；abstracttriple integral in

3、 the reality in a wide range of applications. using triple integral solving the volume of irregular objects, is not only the foundation of contemporary college students to learn knowledge, in many large bridges, building engineering, triple integral also having the effect that cannot replace. howeve

4、r, many students cant master triple integral related information, and thus wont go with the application of the knowledge. in order to let the student to grasp the triple integral of relevant knowledge, so that later skilled to clever apply, this paper summarized the system triple integral solution.

5、solving the most fundamental triple integral is will triple integral into leici points. but into leici integral will have different options, already can after the first one (coordinate surface projection method), also can first after a second (a projection method), some questions can also smart use

6、of symmetry solution, complex title can choose for yuan method to solve. different methods in different situations, applicable, for a topic for, specific should choose which kind of method to solve, it should be further analysis. triple integral in a wide range of applications, mainly in the large b

7、ridge engineering construction is used to calculate the volume of irregular objects. no matter where application, first into abstract mathematical model, then calculation. so this paper is the application of the simple examples, the key is to let students to experience different ways to solve triple

8、 integral process. key words： triple integral；after the first one；first after a second；for yuan method； 目 錄摘 要iabstractii目 錄iii1 前 言12 三重積分的定義與性質(zhì)22.1 三重積分的定義22.2 三重積分的性質(zhì)23 三重積分的計算43.1 利用直角坐標計算三重積分43.3.1 坐標面投影法43.3.2 坐標軸投影法73.3.3 利用對稱性化簡三重積分計算83.2 利用換元法計算三重積分93.2.1 柱坐標變換103.2.2 球坐標變換114 三重積分的應用144.1

9、利用三重積分求重心144.2 利用三重積分求轉(zhuǎn)動慣量164.3 利用三重積分求引力175 結(jié) 論20參 考 文 獻21致 謝22- - 21 - -1 前 言三重積分在現(xiàn)實中有著廣泛的應用.利用三重積分求解不規(guī)則物體的體積，不僅僅是當代大學生要學習的基礎知識，在很多的大型橋梁，建筑工程中，三重積分也有著不可替代的作用.在國內(nèi)，三重積分的實際應用遠遠比不上國外應用廣泛，因此，國內(nèi)的學生很多情況下只限于對三重積分的書面認識，意識不到它在現(xiàn)實中的廣泛應用.很多學生在學習三重積分時，不了解三重積分的幾何意義，因而不能熟練掌握求解三重積分的方法.當面臨求解三重積分問題時，往往不知如何下手.即便是知道將三

10、重積分化為累次積分，也不知道該選用哪種方法求解，求解過程中更是會出現(xiàn)各種各樣的錯誤.為了讓學生更好地掌握三重積分的相關知識，本文系統(tǒng)的總結(jié)了三重積分的求解方法，以便學生盡快掌握相關內(nèi)容.本文主要是將三重積分所有的求解方法系統(tǒng)的進行歸納總結(jié)，詳盡介紹運用三重積分求重心，轉(zhuǎn)動慣量，及引力的方法，同時給出求解上述問題的公式，并列舉了部分例題，以便學生更好地掌握三重積分相關知識.要想熟練地掌握三重積分，首先要了解三重積分的定義，理解三重積分的定義及意義，熟練掌握三重積分的性質(zhì)，為后面的求解方法打下堅實基礎.（1）在直角坐標系下計算三重積分時，可以選用“先一后二”的坐標面投影法和“先二后一”的坐標軸投影

11、法，甚至可以利用對稱性進行計算.但是，對于不同的問題，應該選擇哪種方法，責應當具體問題具體分析.（2）利用換元法求解三重積分時，要注意把空間中的閉區(qū)域一對一地映成空間中的一般常用的是柱坐標變換和球坐標變換.當選擇用換元法求解三重積分時，還應該注意積分限的確定.三重積分有著廣泛的應用，主要是在大型橋梁工程建設中用來計算不規(guī)則物體的體積，重心，在物理學上求解轉(zhuǎn)動慣量，及求質(zhì)點對其他點的引力.不管什么問題，只要遇到三重積分問題，先看清題意，將實際問題抽象成數(shù)學問題，再套用公式，進行計算.2 三重積分的定義與性質(zhì)2.1 三重積分的定義設密度函數(shù)是定義在三維空間可求質(zhì)量的有界區(qū)域上的有界函數(shù),現(xiàn)用若干光

12、滑曲面所組成的曲面網(wǎng)來分割,他把分割成個小區(qū)域.記的體積為,.在每個中任取一點，作積分和定義 設為定義在三維空間可求體積的有界閉區(qū)域上的函數(shù)，是一個確定的常數(shù).若對任給的正數(shù),總存在某一正數(shù),使得對于任的意分割,只要,屬于分割的所有積分和都有則稱在上可積，數(shù)j稱為函數(shù)在上的三重積分，記作其中稱為被積函數(shù)，稱為積分變量，稱為積分區(qū)域.當時，在幾何上表示的體積.2.2 三重積分的性質(zhì)性質(zhì)1 若在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且性質(zhì)2 若在上可積，且無公共內(nèi)點，則在上也可積，且性質(zhì)3 若上可積，且，則性質(zhì)4 若在上可積，則在上也可積，且3 三重積分的計算3.1 利用直角坐標計算三重積分在直角坐標系下

13、求解三重積分時，一般是先將三重積分化為累次積分.但是，將三重積分化為累次積分時，可以“先一后二”也可以“先二后一”.不同的題目，適合化為哪一種累次積分，還得具體問題具體分析.3.3.1 坐標面投影法如圖2.5，在面上閉區(qū)域的投影為閉區(qū)域,， 過作一條與軸平行且穿過閉區(qū)域的直線，這時，該直線和閉區(qū)域的邊界曲面分別相交于兩點首先，我們將看作定值，則就可以看成只關于的函數(shù).令在面上，我們可知因此，在上的二重積分有 圖2.5所以三重積分可以化為 這種方法稱為坐標面投影法，即先一后二法.閉區(qū)域稱為型空間區(qū)域.同理，我們可以得到型空間區(qū)域.例1 若使由曲面和平面所圍成的立體，將三重積分化為三次累次積分.圖

14、2.2從圖2.2中可知， .例2 求，其中是由曲面，與平面和所圍成的閉區(qū)域.解 由題意可知 .例3 一立體是由曲面圍成，求該立體的體積.解 由題意可知因此3.3.2 坐標軸投影法 圖2.3如圖2.2，把積分區(qū)域向軸投影，得投影區(qū)間用過且平行于面的平面截，得截面.在截面上，可以計算二重積分.此時是關于的函數(shù)，只需計算單積分的值就可以得到三重積分的值.由分析可知，三重積分可以化為.這種方法被稱為坐標軸投影法，即先二后一法.閉區(qū)域.這樣的閉區(qū)域被稱為-型空間區(qū)域.同理，可以得到-型，-型空間區(qū)域.例4 計算三重積分，其中為三個坐標面及平面所圍成的閉區(qū)域.解 由題意可知. .例5 計算，其中是曲面，以

15、及拋物柱面所圍成的閉區(qū)域.解 由題意可知 .3.3.3 利用對稱性化簡三重積分計算若是三維空間中關于面對稱的有界閉區(qū)域，為v上的連續(xù)函數(shù)，則有當關于為奇函數(shù)時，.當關于為偶函數(shù)時，.其中為在面上方的部分.3.2 利用換元法計算三重積分是三維空間中的有界閉區(qū)域，函數(shù)在上連續(xù).設變換,.把空間中的閉區(qū)域一對一地映成空間中的，并設，及它們的一階偏導數(shù)在內(nèi)連續(xù)且行列式則.例6 利用適當?shù)淖鴺俗儞Q，計算以下曲面所圍成的體積.，.解 令, 即.且滿足因此.3.2.1 柱坐標變換設為空間中的一點，在面上的投影為圖2.4由圖2.4可知，因此在面上的的極坐標為，我們稱為的柱坐標.因此，我們得到柱坐標變換而相對應

16、的雅克比行列式所以.例7 計算其中由與所圍的立體.解 .例8 求，其中是錐面與平面所圍成的立體.解 柱坐標變化 .3.2.2 球坐標變換圖2.5如圖2.4，在面內(nèi)的投影為，軸正半軸與的夾角為，軸正半軸與的夾角為，則為的球坐標.因此，我們得到球坐標變換而對應的雅克比行列式所以，三重積分的球坐標變換公式為.例9 計算，其中是由錐面和球面圍成.解 ， . .4 三重積分的應用4.1 利用三重積分求重心設物體占有空間閉區(qū)域，該區(qū)域在點處的密度函數(shù)為，假定在上連續(xù)，則該物體的重心為.例10 已知橢球體的方程為求橢球體的體積.解 做變換其中,.因此 例11 求其中是由與所圍成的區(qū)域.解 做變換使映射到由題

17、意可知.雅克比行列式所以 .例12 求密度均勻的上半橢球體的重心.解 設橢球體由不等式表示，由對稱性可知 密度均勻，所以為常數(shù).因此由例10和例11可知4.2 利用三重積分求轉(zhuǎn)動慣量設物體占有空間閉區(qū)域，在點處的密度為，假定在上連續(xù)，則該物體對坐標面轉(zhuǎn)動慣量為該物體對坐標軸的慣量為例13 設某球體的密度與球心的距離成正比，求它對于切平面的轉(zhuǎn)動慣量.解 設球體由不等式表示，密度函數(shù)為其中是比例系數(shù).切平面方程為則球體相對于平面的轉(zhuǎn)動慣量為 .例14 求邊長為密度均勻的立方體關于其任一棱邊的轉(zhuǎn)動慣量.圖2.6解 如圖2.6所示,正方體的棱長為，我們求正方體關于在軸上的那一棱邊的轉(zhuǎn)動慣量，有公式 4

18、.3 利用三重積分求引力設物體的密度函數(shù)為該物體對立體外質(zhì)量為的質(zhì)點的引力在三個坐標軸上的投影為其中為引力系數(shù)，.例15 設球體有均勻的密度，求對球外一點（質(zhì)量為）的引力（引力系數(shù)為）.解 設球體為球外一點的坐標為有對稱性顯然可知因此我們只需計算，而其中所以 .令.對做柱坐標變換得到，由此可知.因此 .所以因此，該球體對的引力為：.例16 密度均勻柱體：，單位質(zhì)量的點，求該柱體對質(zhì)點的引力.解 由例題15可知 .所以，該柱體對質(zhì)點的引力為：.5 結(jié) 論經(jīng)過分析，我們總結(jié)出了面對不同問題，選擇合適的方法來計算三重積分，并給出了三重積分在計算重心，轉(zhuǎn)動慣量及引力中的應用.在直角坐標系分一下三種情況

19、給出了計算（1）當平行于軸切穿過閉域內(nèi)部的直線與閉域的邊界曲面相交不多于兩點的時候，應該選用“先一后二”化為累次積分的方法，即選用坐標面投影法.（2）當積分區(qū)域是型，恰好是-型或-型，-型的；被積函數(shù)與無關，且的面積容易表達為的函數(shù)時，易于計算；應當選用“先二后一”化為累次積分的方法，即坐標軸投影法. （3）積分區(qū)域關于坐標面具有對稱性；被積函數(shù)在積分區(qū)域上關于坐標軸有奇偶性時應選擇利用對稱性求解三重積分.然后又給出了用換元法計算三重積分，主要用（1）柱坐標變換若的投影區(qū)域是圓或為圓域的一部分；被積函數(shù)是或的形式；的邊界曲面為圓柱面或旋轉(zhuǎn)拋物面.（2）球坐標變換法積分區(qū)域由球面或圓錐面圍成的立

20、體；被積函數(shù)是的形式.最后給出了三重積分在計算重心，轉(zhuǎn)動慣量，引力等方面的應用.參 考 文 獻1華東師范大學數(shù)學系.數(shù)學分析m.北京:高等教育出版社, 2001(8):152-1532林謙,在直角坐標系下三重積分計算法的探討j.云南師范大學學報(自然科學版),1999, (5) :86-883王浚嶺.三重積分先一后二求圍定頂?shù)挠嬎惴椒╦.高等數(shù)學研究,2006,(5):32-34董培建.“截面法”在三重積分計算中的應用j.高等數(shù)學研究,1994,(1):112-1135董艷梅,林謙.在柱坐標系下三重積分計算法的探討j.云南師范大學學報(自然科學版),2009,(2):12-156隋英,孫常春.

21、利用球坐標計算一個三重積分j.赤峰學院學報,2010,(8):82-857潘正義.對三重積分f(x,y,z)dxdy方法的一些看法j.高等數(shù)學研究,1997,(1):11-158徐建新.關于三重積分的積分限的簡捷確定j.江西科技師范學院學報,1994,(4):102-1139武家華.關于一類三重積分的簡便求法j.工科數(shù)學,1994,(2):44-4810魏貴珍,喻德生.曲面積分在三重積分中的應用j.南昌航空工業(yè)學院學報(自然科學版),2001,(4):42-4611顧慶鳳.關于三重積分的積分限的簡捷確定j.科技資訊,2010,(2):142-14512賈小勇.三重積分化三次積分時確定積分限的一種方法j.甘肅高師學報,1999, (5):182-18313李昆,趙剛.三重積分中兩種計算方法的比較j.孝感學院學報,2010,(6):72-7514鮑紅梅,吳延東,蔣國民,華洪波.淺談三重積分積分限的確定j.牡丹江大學學報,2011, (8):74-7815賈建文.三重積分的計算方法j.高等數(shù)學研究,2010, (2) :12-1