IIR和FIR數(shù)字濾波器的設計及其結構研究

1、目錄目錄 一.數(shù)字濾波器設計的意義.1 二.iir 數(shù)字濾波器.1 2.1 iir 數(shù)字濾波器的設計與方法.1 2.2iir 數(shù)字濾波器的兩種設計方法.3 2.2.1 脈沖響應不變法.3 2.2.2 雙線性變換法簡介.4 2.2.3 脈沖響應不變法與雙線性變換法的優(yōu)缺點比較.6 三.線性相位 fir 數(shù)字濾波器.6 3.1 線性相位 fir 數(shù)字濾波器的基本特性.7 3.2 利用窗函數(shù)法設計線性相位 fir 數(shù)字濾波器.7 3.3 利用頻率取樣法設計線性相位 fir 數(shù)字濾波器.9 3.4 窗函數(shù)法與頻率取樣法的比較.10 四.iir 和 fir 數(shù)字濾波器的基本結構.10 4.1iir 數(shù)字

2、濾波器基本結構.10 4.1.2iir 系統(tǒng)的直接實現(xiàn)形式.11 4.1.2iir 系統(tǒng)的級聯(lián)實現(xiàn)形式.11 4.1.3iir 系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn)形式.12 4.2fir 數(shù)字濾波器基本結構.12 4.2.1fir 系統(tǒng)的直接實現(xiàn)形式.12 4.2.2fir 系統(tǒng)的級聯(lián)實現(xiàn)形式.12 五.iir 和 fir 數(shù)字濾波器的比較.13 5.1iir 數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點.13 5.2iir 數(shù)字濾波器的主要缺點.13 5.3fir 數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點.13 5.4fir 數(shù)字濾波器的主要缺點.13 六.數(shù)字濾波器比較概括性總結.14 參考文獻.14 摘要 數(shù)字濾波器是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過數(shù)

3、值運算處理改變輸入信 號所含頻率成分的相對比例，或者濾除某些頻率成分的數(shù)字器件和程序。經(jīng)典 數(shù)字濾波器從濾波特性上分類，可以分成低通、高通、帶通和帶阻等濾波器。 根據(jù)數(shù)字濾波器沖激響應的時域特性，可以分成無限脈沖響應數(shù)字濾波器(簡稱 iir)和有限脈沖響應數(shù)字濾波器(簡稱 fir)，iir 和 fir 數(shù)字濾波器的設計方法 及其結構各不相同。 關鍵字：數(shù)字濾波器，iir，fir 一數(shù)字濾波器設計的意義 在數(shù)字信號處理中,fir 數(shù)字濾波器是最常用的單元之一。它用于將輸入信 號 xn的頻率特性進行特定的修改,轉換成另外的輸出序列 yn，與 iir 濾波 器相比較，在設計和實現(xiàn)上 fir 濾波器具

4、有如下優(yōu)越性: 1、相位響應可為嚴格的線性，因此它不存在延遲失真，只有固定的時間延遲。 2、由于不存在穩(wěn)定性問題，所以設計相對簡單。 3、只包含實數(shù)算法，不涉及復數(shù)算法，不需要遞推運算。 另外，也應看到，iir 濾波器雖然設計簡單，但主要是用于設計具有分段 常數(shù)特性的濾波器，如低通、高通、帶通和帶阻等，往往脫離不了模擬濾波器 的格局。而 fir 濾波器則要靈活的多，尤其是他易于適應某些特殊應用，如構 成數(shù)字微分器或希爾伯特變換器等，因而有更大的適應性和廣闊的應用領域。 二iir 數(shù)字濾波器 2.1 iir 數(shù)字濾波器的設計與方法 數(shù)字濾波器是對數(shù)字信號實現(xiàn)濾波的線性時不變系統(tǒng)。數(shù)字濾波實質上是

5、一 種運算過程，實現(xiàn)對信號的運算處理。輸入數(shù)字信號（數(shù)字序列）通過特定的 運算轉變?yōu)檩敵龅臄?shù)字序列，因此，數(shù)字濾波器本質上是一個完成特定運算的 數(shù)字計算過程，也可以理解為是一臺計算機。描述離散系統(tǒng)輸出與輸入關系的 卷積和差分方程只是給數(shù)字信號濾波器提供運算規(guī)則，使其按照這個規(guī)則完成 對輸入數(shù)據(jù)的處理。時域離散系統(tǒng)的頻域特性為: （2-1）)()()( jejwjw ehexey 其中、分別是數(shù)字濾波器的輸出序列和輸入序列的頻域特性)( jw ey)( jw ex （或稱為頻譜特性）, 是數(shù)字濾波器的單位取樣響應的頻譜，又稱為數(shù))( je eh 字濾波器的頻域響應。輸入序列的頻譜經(jīng)過濾波后,因此

6、，)( jw ex)()( jejw ehex 只要按照輸入信號頻譜的特點和處理信號的目的， 適當選擇，使得濾波)( je eh 后的滿足設計的要求，這就是數(shù)字濾波器的濾波原理。)()( jejw ehex 數(shù)字濾波器根據(jù)其沖激響應函數(shù)的時域特性，可分為兩種，即無限長沖激 響應(iir)數(shù)字濾波器和有限長沖激響應(fir)數(shù)字濾波器。iir 數(shù)字濾波器的 特征是，具有無限持續(xù)時間沖激響應，需要用遞歸模型 來實現(xiàn)，其差分方程 為： ， （2-2）) 1() 1()( 10 nybnxany n i i n i i 系統(tǒng)函數(shù)為：， （2-3） n k k k m r r r za zb zh 1

7、0 1 )( 設計iir濾波器的任務就是尋求一個物理上可實現(xiàn)的系統(tǒng)函數(shù)，使其頻)(zh 率響應滿足所希望得到的頻域指標，即符合給定的通帶截止頻率、阻帶截)(zh 止頻率、通帶衰減系數(shù)和阻帶衰減系數(shù)。 iir數(shù)字濾波器是一種離散時間系統(tǒng)，其系統(tǒng)函數(shù)為 ， （2-4） )( )( 1 )( 1 0 zx zy zh n k k k m k k k za zb 假設mn，當mn時,系統(tǒng)函數(shù)可以看作一個iir的子系統(tǒng)和一個(m-n)的fir 子系統(tǒng)的級聯(lián)。iir數(shù)字濾波器的設計實際上是求解濾波器的系數(shù)和 ， akbk 它是數(shù)學上的一種逼近問題，即在規(guī)定意義上（通常采用最小均方誤差準則） 去逼近系統(tǒng)的特

8、性。如果在s平面上去逼近，就得到模擬濾波器；如果在z平面 上去逼近，就得到數(shù)字濾波器。 2.2iir 數(shù)字濾波器的兩種設計方法 2.2.1 脈沖響應不變法 利用模擬濾波器來設計數(shù)字濾波器，也就是使數(shù)字濾波器能模仿模擬濾波器 的特性，這種模仿可以從不同的角度出發(fā)。脈沖響應不變法是從濾波器的脈沖 響應出發(fā)，使數(shù)字濾波器的單位脈沖響應序列模仿模擬濾波器的沖激響應)(nh ，即將進行等間隔采樣，使正好等于ha(t)的采樣值，滿足： )(ths)(ths)(nh )()(nthnh s 如果令是的拉普拉斯變換，為的z變換，利用采樣序)(sha)(tha)(zh)(zh 列的z變換與模擬信號的拉普拉斯變換

9、的關系得 (2-5) 2 ( 1 )(x 1 | )( -k -k a ez st k t jsx t jks t zx as 可看出，脈沖響應不變法將模擬濾波器的 s 平面變換成數(shù)字濾波器的 z 平面， 這個從s到z的變換是從 s 平面變換到 z 平面的標準變換關系式。脈沖 st ez 響應不變法的映射關系如圖 1-1 所示： 圖 1-1 脈沖響應不變法的映射關系 由（2-5）式，數(shù)字濾波器的頻率響應和模擬濾波器的頻率響應間的關系為 ， (2-6) 2 (h 1 )( a t kw j t eh k jw 這就是說，數(shù)字濾波器的頻率響應是模擬濾波器頻率響應的周期延拓。正如 采樣定理所討論的，

10、只有當模擬濾波器的頻率響應是限帶的，且?guī)抻谡郫B頻 率以內時，即 j 3/ t / t -3/ t -/ t o o-11 jimz rez z s ， (2-7) 0)(jha 2t | s 才能使數(shù)字濾波器的頻率響應在折疊頻率以內重現(xiàn)模擬濾波器的頻率響應， 而不產(chǎn)生混疊失真，即 , (2-8)( 1 )( t w jh t eh a jw |w| 但是，任何一個實際的模擬濾波器頻率響應都不是嚴格限帶的，變換后就會 產(chǎn)生周期延拓分量的頻譜交疊，即產(chǎn)生頻率響應的混疊失真，這時數(shù)字濾波器 的頻響就不同于原模擬濾波器的頻響，而帶有一定的失真。當模擬濾波器的頻 率響應在折疊頻率以上處衰減越大、越快時

11、，變換后頻率響應混疊失真就越小。 這時，采用脈沖響應不變法設計的數(shù)字濾波器才能得到良好的效果。脈沖響應 不變法中的頻響混疊現(xiàn)象如圖 1-2 所示： 圖 1-2 脈沖響應不變法中的頻響混疊現(xiàn)象 對某一模擬濾波器的單位沖激響應ha(t)進行采樣，采樣頻率為fs，若使fs 增加，即令采樣時間間隔（t=1/fs）減小，則系統(tǒng)頻率響應各周期延拓分量之 間相距更遠，因而可減小頻率響應的混疊效應。 2.2.2 雙線性變換法簡介 脈沖響應不變法的主要缺點是產(chǎn)生頻率響應的混疊失真。這是因為從 s 平面 到平面是多值的映射關系所造成的。為了克服這一缺點，可以采用非線性頻 率壓縮方法，將整個頻率軸上的頻率范圍壓縮到

12、-/t/t之間，再用z=est 轉換到 z 平面上。也就是說，第一步先將整個 s 平面壓縮映射到 s1平面的- /t/t一條橫帶里；第二步再通過標準變換關系z=es1t將此橫帶變換到整 -3-2 - )j( a h o o -23t )(ejh t 2 t t t 2 - 個z平面上去。這樣就使 s 平面與z平面建立了一一對應的單值關系，消除了 多值變換性，也就消除了頻譜混疊現(xiàn)象，映射關系如圖 1-3 所示。 圖 1-3 雙線性變換的映射關系 為了將 s 平面的整個虛軸 j壓縮到 s1 平面 j1 軸上的到段t/t/ 上，可以通過以下的正切變換實現(xiàn) ， （2-) 2 tan( 2 1t t 9

13、） 當1 由經(jīng)過 0 變化到時，由-經(jīng)過 0 變化到+，也即映t/t/ 射了整個 j軸。將式（2-9）寫成 ， 2 2 1 1 1 1 2 2 . 2 t j j t j j e t e e t e t j 將此關系解析延拓到整個 s 平面和 s1 平面，令，則得sj1sj ， （2-10） ts e e e t s st 1 1 12 1 再將 s1 平面通過以下標準變換關系映射到 z 平面 1 ts e z 從而得到 s 平面和 z 平面的單值映射關系為： （2-11） 1 1 1 12 z z t s o -11 z jimz rez / t j1 1 -/ t s1s j oo （2-

14、12） s t s t z 2 1 2 1 式（2-11）與式（2-12）是 s 平面與 z 平面之間的單值映射關系，這種變換 都是兩個線性函數(shù)之比，因此稱為雙線性變換 式（2-9）與式（2-10）的雙線性變換符合映射變換應滿足的兩點要求。 首先,把，可得 jw ez （2-13） js 即 s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓。 其次，將代入式（2-13） ，得js j t j t z 2 2 因此 （2-14） 22 22 ) 2 ( ) t 2 ( |z| t 由此看出，當0 時，|z|0 時，|z|1。也就是說，s 平面的左 半平面映射到 z 平面的單位圓內，s 平面的右半平面映射到

15、 z 平面的單位圓外， s 平面的虛軸映射到 z 平面的單位圓上。因此，穩(wěn)定的模擬濾波器經(jīng)雙線性變 換后所得的數(shù)字濾波器也一定是穩(wěn)定的。 2.2.3 脈沖響應不變法與雙線性變換法的優(yōu)缺點比較 從以上討論可以看出，脈沖響應不變法使得數(shù)字濾波器的單位脈沖響應完全 模仿模擬濾波器的單位沖激響應，也就是時域逼近良好，而且模擬頻率 和數(shù) 字頻率 之間呈線性關系=t；最大缺點是有頻率響應的混疊效應。 雙線性變換法與脈沖響應不變法相比，其主要的優(yōu)點是避免了頻率響應的混疊 現(xiàn)象。這是因為 s 平面與 z 平面是單值的一一對應關系。s 平面整個 j軸單 值地對應于 z 平面單位圓一周，即頻率軸是單值變換關系。

16、但是雙線性變換的這個特點是靠頻率的嚴重非線性關系而得到的，由于這種 頻率之間的非線性變換關系，導致一個線性相位的模擬濾波器經(jīng)雙線性變換后 得到非線性相位的數(shù)字濾波器，不再保持原有的線性相位了；而且這種非線性 關系要求模擬濾波器的幅頻響應必須是分段常數(shù)型的，即某一頻率段的幅頻響 應近似等于某一常數(shù)。 三線性相位 fir 數(shù)字濾波器 3.1 線性相位 fir 數(shù)字濾波器的基本特性 單位抽樣響應 h(n)是有限長的，因此 fir 數(shù)字濾波器一定是穩(wěn)定的。經(jīng)延 時，h(n)總可變成因果序列，所以 fir 數(shù)字濾波器總可以由因果系統(tǒng)實現(xiàn)。h(n)為 有限長，可以用 fft 實現(xiàn) fir 數(shù)字濾波器。fi

17、r 的系統(tǒng)函數(shù)是 z-1 的多項式， 故 iir 的方法不適用。fir 的相位特性可以是線性的，因此，它有更廣泛的應 用。 3.2 利用窗函數(shù)法設計線性相位 fir 數(shù)字濾波器 用窗函數(shù)設計濾波器首先要對濾波器提出性能指標。一般是給定一個理想的 頻率響應，使所設計的 fir 濾波器的頻率響應去逼近所要求的 () () 理想的濾波器的相應。窗函數(shù)法設計的任務在于尋找一個可實現(xiàn)(有 () 限長單位脈沖響應)的傳遞函數(shù)。 （3- ()= 1 = 0 () - 1） 去逼近。我們知道，一個理想的頻率響應的傅理葉變換 ()() （3-2） () = 1 2 2 0 () 所得到的理想單位脈沖響應往往是一

18、個無限長序列。對經(jīng)過適 ()() 當?shù)募訖唷⒔財嗵幚聿诺玫揭粋€所需要的有限長脈沖響應序列。對應不同的加 權、截斷，就有不同的窗函數(shù)。所要尋找的濾波器脈沖響應就等于理想脈沖響 應和窗函數(shù)的乘積。即，由此可見，窗函數(shù)的性質就決定 () = ()() 了濾波器的品質。 以下是幾種常用的窗函數(shù)： 1.矩形窗： () = () 2.hanning 窗： () = 0.51 cos( 2 1)() 3.hamming 窗： () = 0.54 0.46( 2 1)() 4.blackman 窗： () = 0.42 0.5cos( 2 1) + 0.08( 4 1)() 5.kaiser 窗： () =

19、0( 1 ( 2 1) - 1 2) 0() 窗函數(shù)法設計線性相位 fir 濾波器可以按如下步驟進行： 1確定數(shù)字濾波器的性能要求。確定各臨界頻率和濾波器單位脈沖響應 長度 n。 2.根據(jù)性能要求和 n 值，合理地選擇單位脈沖響應 h(n)有奇偶對稱性，從而 確定理想頻率響應的幅頻特性和相位特性。 () 3.用傅里葉反變換公式，求得理想單位脈沖響應。 () 4.選擇適當?shù)拇昂瘮?shù) w(n)根據(jù)式求得所設計的 fir 濾波 () = ()() 器單位脈沖響應。 5.用傅理葉變換求得其頻率響應，分析它的幅頻特性，若不滿足要求， () 可適當改變窗函數(shù)形式或長度 n，重復上述過程，直至得到結果如 3-

20、1,3-2,3- 3 所示： 3-1 濾波器的增益響應 3-2濾波前后的頻域圖 3-3信號濾波前后時域圖 3.3 利用頻率取樣法設計線性相位 fir 數(shù)字濾波器 頻率取樣法是從頻域出發(fā) ，對理想的頻響 )( jw d eh進行等間隔取樣，以有 限個頻響采樣去近似理想頻響應)( jw eh。在實際使用時，為了設計線性相位的 fir 濾波器，采樣值 h(k)要滿足一定的約束條件，具有線性相位 fir 濾波器， 其單位采樣響應函數(shù) h(n)是實序列，且滿足 h(n)=(h-1-n)，由此得到幅頻和 相頻特性就是對 h(k)的約束。頻率采樣法就是根據(jù)頻域采樣理論，由濾波特性 指標構造希望逼近的濾波器頻

21、響函數(shù) hd(ej)，對其在0,2上采樣得到: （3-3） 1, 1 , 0 2 nkehkh k n j dd 然后，就可求出單位脈沖響應 h(n)，或是系統(tǒng)函數(shù) h(z)。這樣， h(n)或是 h(z)就是濾波器的設計結果。 （3-4） 把給出的理想頻率響應進行取樣，通過 i 濾波器 t 從頻譜樣點直接求得有限脈 沖響應。其設計過程如下 1, 1 , 0 1 1 1, 1 , 0 1 0 1 nk zw kh n z zh nnkhidftnh n k k n n l l )()()()(h 2 jdtftidtft n k j d ehnhkhe k 頻率取樣法的關鍵是正確確定數(shù)字頻域系

22、統(tǒng)函數(shù) h(k)在 0，2 內的 n 個樣點，其約束條件為 h(k)=h(n-k) （m）=- (n-m) 0kn-1 3.4 窗函數(shù)法與頻率取樣法的比較 窗函數(shù)法是從時域進行設計，而頻率采樣法是從頻域進行設計。窗函數(shù)法由 于簡單、物理意義清晰，因而得到了較為廣泛的應用，其設計的基本思想是： 首先根據(jù)技術指標要求，選取合適的階數(shù) n 和窗函數(shù)的類型 w(n)，使其幅頻 特性逼近理想濾波器幅頻特性。其次，因為理想濾波器的 hd(n)是無限長的， 所以需要對 hd(n) 進行截斷，數(shù)學上稱這種方法為窗函數(shù)法。 頻率采樣法的優(yōu)點是可以在頻域直接設計，并且適合最優(yōu)化設計；缺點是采 樣頻率只能等于 的整

23、數(shù)倍，因而不能確保截止頻率 的自由取值，要想實現(xiàn)自 由地選擇截止頻率，必須增加采樣點數(shù) n，但是這又使計算量加大。 四iir 和 fir 數(shù)字濾波器的基本結構 4.1iir 數(shù)字濾波器基本結構 iir 濾波器的單位脈沖響應 h(n)為無限長序列，系統(tǒng)函數(shù) h(z)在有限 z 平 面上存在極點，其運算結構的特點是含有反饋環(huán)路，即在結構上是遞歸型的。 在給定濾波特性的情況下，iir 濾波器所用的項更少，此外，iir 濾波器還能實 現(xiàn)窄帶頻響。iir 濾波器的實現(xiàn)結構并不唯一，同一系統(tǒng)函數(shù)(或差分方程)可 以有各種不同的結構形式?；窘Y構主要有三種，即直接型、級聯(lián)型和并聯(lián)型。 4.1.24.1.2i

24、ir 系統(tǒng)的直接實現(xiàn)形式 對于 iir 系統(tǒng) ， (4-1) m or n k rnxrbknykany)()()()()( 1 1)0(b 相應的 z 變換可寫成 (4-2) m r r n k k m r r z z z rbzw ka rbzx zy 0 1 0 )()( )(1 ( )()( )( 信號流圖如圖 4.1 所示。 圖 4.1 iir 系統(tǒng)的直接實現(xiàn) 4.1.2iir 系統(tǒng)的級聯(lián)實現(xiàn)形式 將 h(z)的分子分母多項式分成一階或二階多項式的連乘。若 nm，n 為偶 數(shù)，則可將 h(z)分成 n/2 個二階多項式的連乘，若 n 為奇數(shù)，則子系統(tǒng)的數(shù)目 應為(n+1)/2，其中包

25、含一個一階子系統(tǒng)。級聯(lián)型結構中每一個一階網(wǎng)絡決定一 個零點、一個極點，每一個二階網(wǎng)絡決定一對零點、一對極點。二階子系統(tǒng)信 號流圖如圖 4.2 所示。 圖 4.2 二階子系統(tǒng)信號流圖 4.1.3iir 系統(tǒng)的并聯(lián)實現(xiàn)形式 將 h(z)分解為各因式之和，則每個子系統(tǒng)有著共同的輸入 x(n)，而其輸出 (n)yi 之和便是系統(tǒng)的總輸出 y(n)。并聯(lián)型結構中，每一個一階網(wǎng)絡決定一個實 數(shù)極點，每一個二階網(wǎng)絡決定一對共軛極點。由于并聯(lián)結構的每一個子系統(tǒng)都 是獨立的，不受其它子系統(tǒng)系數(shù)量化誤差及乘法舍入誤差的影響，因此是所述 三種結構中誤差最不敏感的結構形式。 4.2fir 數(shù)字濾波器基本結構 有限脈沖

26、響應系統(tǒng)的單位脈沖響應 h(n)為有限長序列，系統(tǒng)函數(shù) h(z)在有 限 z 平面上不存在極點，其運算結構中沒有反饋支路。fir 濾波器的實現(xiàn)形式 通常有以下幾種：直接型，級聯(lián)型，多相實現(xiàn)和線性相位 fir 濾波器結構。 4.2.1fir 系統(tǒng)的直接實現(xiàn)形式 直接型結構的輸入輸出關系如下： (4-3) 通常在這種結構中需要 n+1 個乘法器和 n 個兩輸入加法器來實現(xiàn)。其結構圖如 4-3 所示： 圖 4.3 直接型結構 4.2.2fir 系統(tǒng)的級聯(lián)實現(xiàn)形式 級聯(lián)型結構的輸入輸出關系如下： (4-4) 高階 fir 傳輸函數(shù)可以由一階或二階傳輸函數(shù)級聯(lián)實現(xiàn)，它是通過對式(4-5)進 行因式分解得

27、到的。 (4-5) 其中，當 n 為偶數(shù)時，k=n/2；當 n 是奇數(shù)時，k=(n+1)/2 且 =0。由于級聯(lián)形 式是規(guī)范型結構，所以需要用 n 個兩輸入的加法器和 n+1 個乘法器來實現(xiàn) n 階 有限脈沖響應傳遞函數(shù)。其結構圖如 4-4 所示： 圖 4.4 級聯(lián)型結構 五、iir 和 fir 數(shù)字濾波器的比較 5.1iir 數(shù)字濾波器的主要優(yōu)點是： (1)設計方法簡單。通常只要將技術指標代入設計方程組就可以設計出原型 濾波器，然后再利用相應的變換公式求得所需要的濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。 (2)在滿足一定技術要求和幅頻響應的情況下，iir 數(shù)字濾波器設計成為具 有遞歸運算的環(huán)節(jié)。所以它的階次一般比 fir 數(shù)字濾波器低，所用的存儲單元 少，濾波器體積也小。 5.2iir 數(shù)字濾波器的主要缺點是： (1)只能設計出有限頻段的低、高、帶通和帶阻等選頻濾波器。除幅頻特性 可以滿足技術要求外，它們的相頻特性往往是非線性的，這就會使信號產(chǎn)生失 真。 (2)由于 iir 數(shù)字濾波器采用了遞歸型結構，系統(tǒng)存在極點，因此設計系統(tǒng) 函數(shù)時，必須把所有的極點放在單位圓內，否則系統(tǒng)不穩(wěn)定。而且有限字長效 應所帶來的運算誤差，可能會使得系統(tǒng)