（通用版）高考數(shù)學(xué)考前3個月知識方法專題訓(xùn)練第一部分知識方法篇專題5數(shù)列、推理與證明第21練基本量法——破解等差、等比數(shù)列的法寶文

1、第21練基本量法破解等差、等比數(shù)列的法寶題型分析高考展望等差數(shù)列、等比數(shù)列是高考的必考點,經(jīng)常以一個選擇題或一個填空題，再加一個解答題的形式考查，題目難度可大可小，有時為中檔題,有時解答題難度較大解決這類問題的關(guān)鍵是熟練掌握基本量，即通項公式、前n項和公式及等差、等比數(shù)列的常用性質(zhì)體驗高考1(2016課標(biāo)全國乙）已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100等于（)a100 b99c98 d97答案c解析由等差數(shù)列性質(zhì),知s99a527，得a53，而a108，因此公差d1，a100a1090d98，故選c.2（2015福建）若a，b是函數(shù)f（x）x2pxq(p0,q0)的兩個不同的零點

2、,且a，b,2這三個數(shù)可適當(dāng)排序后成等差數(shù)列,也可適當(dāng)排序后成等比數(shù)列,則pq的值等于（）a6 b7c8 d9答案d解析由題意知：abp，abq，p0,q0，a0,b0.在a，b,2這三個數(shù)的6種排序中，成等差數(shù)列的情況有a，b，2;b，a，2；2，a，b；2，b，a；成等比數(shù)列的情況有a,2，b；b，2，a.或解得或p5，q4,pq9，故選d.3(2016北京)已知an為等差數(shù)列,sn為其前n項和若a16，a3a50，則s6_.答案6解析a3a52a40,a40。又a16,a4a13d0，d2.s666（2）6。4（2015安徽)已知數(shù)列an是遞增的等比數(shù)列，a1a49,a2a38，則數(shù)列a

3、n的前n項和等于_答案2n1解析由等比數(shù)列的性質(zhì)知a2a3a1a4,又a2a38，a1a49,聯(lián)立方程解得或又?jǐn)?shù)列an為遞增數(shù)列，a11，a48，從而a1q38,q2.數(shù)列an的前n項和為sn2n1。5(2016課標(biāo)全國乙)設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310，a2a45,則a1a2an的最大值為_答案64解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，即解得a1a2an(3)(2)(n4)n（n7），當(dāng)n3或4時，取到最小值6，此時取到最大值26,a1a2an的最大值為64.高考必會題型題型一等差、等比數(shù)列的基本運算例1已知等差數(shù)列an的前n項和為sn，且a311,s324。（1）求數(shù)列an的通項公式；(2)設(shè)bn

4、，求數(shù)列bn中的最小的項解(1）a3a12d，s33a1d3a13d，an5(n1）33n2。(2)bnn2 。當(dāng)且僅當(dāng)n，即n2時,bn取得最小值,數(shù)列bn中的最小的項為.點評等差（比）數(shù)列基本運算的關(guān)注點(1）基本量：在等差(比)數(shù)列中,首項a1和公差d(公比q)是兩個基本的元素(2)解題思路:設(shè)基本量a1和公差d（公比q）；列、解方程（組)：把條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于a1和d（q)的方程(組），然后求解，注意整體計算，以減少計算量變式訓(xùn)練1（1)等比數(shù)列an前n項和為sn,已知s1,2s2，3s3成等差數(shù)列，則數(shù)列an的公比為_（2）(2015課標(biāo)全國）已知等比數(shù)列an滿足a13,a1a3a521

5、,則a3a5a7等于（）a21 b42 c63 d84答案（1)(2）b解析(1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則當(dāng)q1時,s1a1，2s24a1，3s39a1,s1,2s2,3s3不成等差數(shù)列；當(dāng)q1時，s1，2s2,3s3成等差數(shù)列，4s2s13s3，即4a13，即3q24q10，q1(舍）或q.（2)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，則由a13，a1a3a521，得3（1q2q4)21,解得q23(舍去）或q22,于是a3a5a7q2（a1a3a5）22142，故選b。題型二等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用例2（1）（2015廣東)在等差數(shù)列an中，若a3a4a5a6a725,則a2a8_.（2)設(shè)等

6、比數(shù)列an的前n項和為sn,若27a3a60，則_。答案（1)10（2）28解析(1)因為an是等差數(shù)列，所以a3a7a4a6a2a82a5,a3a4a5a6a75a525，即a55，a2a82a510.(2)由題可知an為等比數(shù)列，設(shè)首項為a1，公比為q，所以a3a1q2,a6a1q5，所以27a1q2a1q5，所以q3，由sn,得s6，s3，所以28。點評等差(比）數(shù)列的性質(zhì)盤點類型等差數(shù)列等比數(shù)列項的性質(zhì)2akamal（m，k,ln,且m,k，l成等差數(shù)列)aamal(m,k，ln*，且m,k，l成等差數(shù)列）amanapaq（m，n，p，qn，且mnpq）amanapaq（m，n，p,q

7、n*，且mnpq)和的性質(zhì)當(dāng)n為奇數(shù)時：snna當(dāng)n為偶數(shù)時：q(公比)依次每k項的和：sk，s2ksk，s3ks2k，構(gòu)成等差數(shù)列依次每k項的和:sk，s2ksk，s3ks2k，構(gòu)成等比數(shù)列（k不為偶數(shù)且公比q1)變式訓(xùn)練2(1)an為等差數(shù)列，若1，且它的前n項和sn有最大值，那么當(dāng)sn取得最小正值時，n等于（）a11 b17 c19 d21（2）在正項等比數(shù)列an中，3a1，a3,2a2成等差數(shù)列，則等于(）a3或1 b9或1c1 d9答案（1）c(2)d解析（1)sn有最大值，d0，又1,a110a10，a10a110，s2010(a1a20)10（a10a11）0)，依題意，a33a

8、12a2，a1q23a12a1q，整理得：q22q30，解得q3或q1(舍），q29.題型三等差、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用例3已知等比數(shù)列an中，首項a13，公比q1，且3（an2an)10an10（nn*）(1)求數(shù)列an的通項公式;（2)設(shè)bnan是首項為1,公差為2的等差數(shù)列，求數(shù)列bn的通項公式和前n項和sn.解(1）3（an2an)10an10,3（anq2an)10anq0，即3q210q30，公比q1，q3.又首項a13，數(shù)列an的通項公式為an3n.(2)bnan是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，bnan12（n1),即數(shù)列bn的通項公式為bn2n13n1。前n項和sn(13323n1

9、）13（2n1）(3n1)n2.點評（1)對數(shù)列an,首先弄清是等差還是等比，然后利用相應(yīng)的公式列方程組求相關(guān)基本量,從而確定an、sn。(2)熟練掌握并能靈活應(yīng)用等差、等比數(shù)列的性質(zhì),也是解決此類題目的主要方法變式訓(xùn)練3（2015北京）已知等差數(shù)列an滿足a1a210，a4a32。（1）求an的通項公式;（2）設(shè)等比數(shù)列bn滿足b2a3,b3a7，問：b6與數(shù)列an的第幾項相等？解(1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因為a4a32,所以d2。又因為a1a210,所以2a1d10,故a14。所以an42(n1)2n2(n1，2，）(2)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q.因為b2a38，b3a716，所以q

10、2，b14。所以b64261128。由1282n2，得n63，所以b6與數(shù)列an的第63項相等高考題型精練1設(shè)an是首項為a1，公差為1的等差數(shù)列,sn為其前n項和若s1，s2，s4成等比數(shù)列，則a1等于（）a2 b2 c。 d答案d解析因為等差數(shù)列an的前n項和為snna1d，所以s1，s2，s4分別為a1，2a11,4a16.因為s1，s2，s4成等比數(shù)列，所以(2a11)2a1（4a16）解得a1.2已知無窮等差數(shù)列an，前n項和sn中，s6s8，則(）a在數(shù)列an中a7最大b在數(shù)列an中，a3或a4最大c前三項之和s3必與前10項之和s10相等d當(dāng)n8時，an0答案d解析由于s6s8,

11、所以s7s6a70，s8s7a80，所以數(shù)列an是遞減的等差數(shù)列，最大項為a1，所以a，b均錯，d正確s10s3a4a5a107a70，故c錯誤3已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項，sn為an的前n項和，nn*，則s10的值為（）a110 b90 c90 d110答案d解析a3a12da14，a7a16da112，a9a18da116，又a7是a3與a9的等比中項,(a112）2(a14）（a116），解得a120。s101020109（2)110。4(2016哈爾濱六中期中）已知sn是等差數(shù)列an的前n項和,且s6s7s5，給出下列五個命題：d0；使sn0的最大n值

12、為12;數(shù)列sn中的最大項為s11；a6a7，其中正確命題的個數(shù)是（)a5 b4 c3 d1答案b解析s6s7s5，a70,a60，a6a70,因此a6a7|；da7a60；s1111a60；s126（a6a7）0，而s1313a70，因此滿足sn0的最大n值為12；由于a70，a60，數(shù)列sn中的最大項為s6，錯，正確,故選b.5在正項等比數(shù)列an中，a11,前n項和為sn，且a3，a2,a4成等差數(shù)列，則s7的值為(）a125 b126 c127 d128答案c解析設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q（q0）,且a11，由a3，a2,a4成等差數(shù)列，得2a2a4a3，即2a1qa1q3a1q2。因

13、為q0，所以q2q20。解得q1(舍）或q2。則s7127。6已知兩個等差數(shù)列an和bn的前n項和分別為an和bn，且,則使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個數(shù)是(）a2 b3c4 d5答案d解析由等差數(shù)列的前n項和及等差中項,可得7 （nn*），故當(dāng)n1,2,3,5,11時，為整數(shù)即正整數(shù)n的個數(shù)是5。7(2016江蘇)已知an是等差數(shù)列，sn是其前n項和若a1a3，s510,則a9的值是_答案20解析設(shè)等差數(shù)列an公差為d,由題意可得:解得則a9a18d48320.8已知an為等差數(shù)列，a1a3a5105，a2a4a699，以sn表示an的前n項和，則使得sn達(dá)到最大值的n是_答案20解析等差數(shù)列an

14、的公差為d，則即sn39n(2)n240n（n20)2400,當(dāng)n20時，sn取得最大值9公差不為0的等差數(shù)列an的部分項構(gòu)成等比數(shù)列，且k11,k22，k36，則k4_.答案22解析根據(jù)題意可知等差數(shù)列的a1，a2,a6項成等比數(shù)列，設(shè)等差數(shù)列的公差為d，則有(a1d）2a1(a15d),解得d3a1，故a24a1，a616a1a1（n1）(3a1）64a1，解得n22,即k422。10若數(shù)列an對任意的正整數(shù)n和m等式aanan2m都成立，則稱數(shù)列an為m階梯等比數(shù)列若an是3階梯等比數(shù)列有a11,a42，則a10_。答案8解析由題意有，當(dāng)an是3階梯等比數(shù)列，aanan6，aa1a7，所

15、以a74,由aa4a10，有a108.11（2016北京）已知an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項公式;（2）設(shè)cnanbn,求數(shù)列cn的前n項和解（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，bn的公比為q，由得bn的通項公式bnb1qn13n1，又a1b11，a14b434127，1（141)d27，解得d2.an的通項公式ana1（n1)d1(n1)22n1（n1,2，3，)(2）設(shè)數(shù)列cn的前n項和為sanbn2n13n1，snc1c2c3cn2113022131231322n13n12(12n）n2nn2.即數(shù)列cn的前n項和為n2.12在

16、等差數(shù)列an中,a2a723，a3a829.(1）求數(shù)列an的通項公式；（2）設(shè)數(shù)列anbn是首項為1,公比為q的等比數(shù)列，求bn的前n項和sn.解（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差是d，a3a8(a2a7）2d6,d3。a2a72a17d23,解得a11.數(shù)列an的通項公式為an3n2.（2)數(shù)列anbn是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，anbnqn1，即3n2bnqn1，bn3n2qn1.sn147（3n2)（1qq2qn1)（1qq2qn1)，故當(dāng)q1時，snn；當(dāng)q1時，sn。尊敬的讀者：本文由我和我的同事在百忙中收集整編出來，本文稿在發(fā)布之前我們對內(nèi)容進(jìn)行仔細(xì)校對，但是難免會有不盡如人意之處，如有疏漏之處請指正，希望本文能為您解開疑惑,引發(fā)思考。文中部分文字受到網(wǎng)友的關(guān)懷和支持，在此表示感謝！在往后的日子希望與大家共同進(jìn)步，成長。this article is collected and compiled by my colleagues and i in our busy schedule. we proofread the content carefully before the release of this article, but it is inevitable that there wil