高中數學2_3_1232數學歸納法數學歸納法應用舉例學案新人教B版選修2-2

1、文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持2. 3.1 數學歸納法2. 3.2數學歸納法應用舉例1 . 了解數學歸納法的原理.(重點、易混點)2 .掌握數學歸納法的步驟.(難點)3 .能用數學歸納法證明一些簡單的數學命題.(難點)基礎初探教材整理數學歸納法閱讀教材p69p72,完成下列問題.數學歸納法的定義一個與 相關的命題，如果 (1) ；4 2)在假設當 時命題也成立的前提下，推出當 n = k+1時命 題也成立，那么可以斷定，這個命題對n取第一個值后面的所有正整數成立.5 答案】 自然數 (1)當n取第一個值no時命題成立6 2) n = k(kc n+,且 k no)

2、判斷(正確的打“，”，錯誤的打“x”)(1)與正整數n有關的數學命題的證明只能用數學歸納法.()(2)數學歸納法的第一步 no的初始值一定為1.()(3)數學歸納法的兩個步驟缺一不可.()【答案】(1) x (2) x (3) v質疑手記預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2:解惑：疑問3:解惑：小組合作型用數學歸納法證明等式卜例口 (1)用數學歸納法證明等式 1 + 2+3+ (n + 3) = n+3 2 n+4 (nc m)時，第一步驗證 n=1時，左邊應取的項是()a. 1b. 1 + 2c. 1+2+3d. 1 + 2+3 + 4文檔來源為：從網

3、絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.2k+ 12k+2k+ 12(2 k+1).f k+1fk-(2)用數學歸納法證明(n + 1) (n + 2)(n + n)=2nxix3x3x(2 n- 1)( n n+ ), “從k到k+ 1”左端增乘的代數式為 .【導學號：05410051】【自主解答】(1)當n=1時，左邊應為1+2+3 + 4,故選d.(2)令 f ( n) = ( n+ 1)( n + 2)(n+n),則 f (k) = (k+1) ( k+2)(k+k),f(k + 1) = (k + 2)( k + 3)(k + k)(2 k + 1)(2 k + 2),【答案】

4、(1)d (2)2(2 k+1)數學歸納法證題的三個關鍵點1 .驗證是基礎找準起點，奠基要穩(wěn)，有些問題中驗證的初始值不一定是1.2 .遞推是關鍵數學歸納法的實質在于遞推，所以從“ k”到“ k+1”的過程中，要正確分析式子項數的變化.關鍵是弄清等式兩邊的構成規(guī)律，弄清由n=k到n=k+1時，等式的兩邊會增加多少項、增加怎樣的項.3 .利用假設是核心在第二步證明n=k+1成立時，一定要利用歸納假設，即必須把歸納假設“n=k時命題成立”作為條件來導出“ n=k+1”，在書寫f (k+1)時，一定要把包含f(k)的式子寫出 來，尤其是f(k)中的最后一項，這是數學歸納法的核心，不用歸納假設的證明就不

5、是數學 歸納法.再練一題1.下面四個判斷中，正確的是 ()a.式子1+k+k2+ kn(ne n+)中，當n=1時，式子的值為1b.式子1+k+/ + + knt(nc n)中，當n=1時，式子的值為 1 + kc.式子1 +方+鼻+彳工7(ncn+)中，當n=1時，式子的值為1 + 3+4 2 32n i 12 3d殳f(n)=h a+看林比)，.111人 (+1)=( ) + 3k+2 + 3k+3 + 3k+4【解析】 a中，n=1時，式子=1+k；b中，n=1時，式子=1；c中，n=1 時，式子=1 + 1+1;2 3d中，f(k+ 1) = f(k) + 3k+2 +3k+ 3 +3

6、k+4 kt?.故正確的是c.用數學歸納法證明不等式卜例 （1）用數學歸納法證明不等式二7+ 二 十；13（n ncn+）的過程n+ 1 n+ 2 n+ n 24中，由n = k推導n=k+1時，不等式的左邊增加的式子是 （2）證明：不等式1 +.2.13【精彩點撥】（1）寫出當n=k時左邊的式子，和當n= k+1時左邊的式子，比較即可.（2）在由n= k到n= k+ 1推導過程中利用放縮法，在利用放縮時，注意放縮的度.【自主解答】（1）當n=k+1時左邊的代數式是 占+占 + 總，增k十2 k十32k十i 2k十2加了兩項2k+ 1 與 2k+2,但是少了一項1,一，。故不等式的左邊增加的式

7、子是2k+ 1 + 2k + 211kttn2k+12k+212k+12k+ 2（2）當n= 1時，左邊=1,右邊=2,左邊 右邊，不等式成立.假設當n=k（kl且kcn+）時，不等式成立，即1+ 3+木2粕則當n= k+ 1時，2且ke n+)時不等式成立，即占+占+耘,那么當n=k+1時，11i1k+2+ k+3 + 2kh711111111= iktl+ k+3 + + 2k+2k+ 1 + 2k+2 +k4h -ikt7=-,+ ! +，+1-k+1 k+2 k + 32k 2k+1 2k + 2 k+1、13 11113 1124 + 2k+ 1 + 2k+ 2 k+ 1 27+ 2

8、k+ 1 2k+ 21311324 + 2 2k+ 1k+ 1 24.這就是說，當n= k+1時，不等式也成立.由可知，原不等式對任意大于1的正整數都成立.歸納一一猜想證明sn1卜例 已知數列an的前n項和為sn,其中an=n 2n_1且a=3.(1)求 a2, a3；(2)猜想數列an的通項公式，并證明.【精彩點撥】 (1)令n=2,3可分別求a2, a3.(2)根據a, a2, a3的值，找出規(guī)律，猜想 an,再用數學歸納法證明.【自主解答】(1)a2=s2=a, a, 2 2x2 163 1則a2=類似地求得1 a3=35.設 an=nsn 2n-1得ak=k 2k-1sk+1，ak+1

9、=k+12k+1所以 &=k(2k1)ak15,1=k(2 k- 1)-2k12k 12k+1&+i = (k+1)(2 k+1)ak+1,ak+1 = sk+1 sk= ( k + 1)(2 k+1)ak+1k2k+1.因此，k(2k+3)ak+1 =k2k+ 11一，1所以 ak+1 =：2k+12k+31=2_kn12_kn+7.這就證明了當n= k + 1時命題成立.由可知命題對任何 n n+都成立.1 . “歸納一猜想一證明”的一般環(huán)節(jié)2 .“歸納一猜想一證明”的主要題型(1)已知數列的遞推公式，求通項或前n項和.(2)由一些恒等式、不等式改編的一些探究性問題，求使命題成立的參數值是

10、否存在.(3)給出一些簡單的命題(n= 1,2,3 ,)，猜想并證明對任意正整數n都成立的一般性命題.再練一題3 .已知函數 y=f(n)( nc n+),設 f(1)=2,且任意的 m, nzcm,有 f(m+n2) = f (n1) f (n2).(1)求 f(2) , f(3) , f(4)的值；(2)試猜想f(n)的解析式，并用數學歸納法給出證明.【解】(1)因為f (1)=2,f ( n1 + n2) = f ( m) f (n2),所以 f(2)=f(1+1)=f(1) f(1)=22=4, f(3) =f(2 + 1) = f(2) f(1) = 22 - 2 = 23 = 8.

11、f(4) =f(3 + 1) = f(3) f(1) =23 2=24=16.(2)猜想：f(n) = 2n(nc n+).用數學歸納法證明如下：當n=1時，f(1) =22,所以猜想正確.假設當n=k(k1, kcn+)時猜想正確，即f(k)=2k, 那么當 n=k+1 時，f(k+1) =f(k) - f(1) =2k - 2= 2k+1 所以，當n=k+1時，猜想正確.由知，x任意的nnk,都有f(n) = 2n.文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持探究共研型用數學歸納法證明整除性問題探究1數學歸納法的第一步 n的初始值是否一定為1?【提示】不一定，如證明n邊形的

12、內角和為(n 2) 180時，第一個值為 防=3.探究2數學歸納法兩個步驟之間有怎樣的聯系？【提示】第一步是驗證命題遞推的基礎，第二步是論證命題遞推的依據，這兩個步驟缺一不可，只完成步驟(1)而缺少步驟(2)就作出判斷，可能得出不正確的結論.因為單靠步驟(1),無法遞推下去，即 n取no以后的數列命題是否正確，我們無法判定，同樣只有步驟 (2)而缺少步驟(1)時，也可能得出不正確的結論，缺少步驟(1)這個基礎，假設就失去了成立的前提，步驟(2)也就沒有意義了.卜例口用數學歸納法證明：n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除(nc n+).【精彩點撥】在第二步時注意根據歸納假設進行拼湊.【自主

13、解答】(1)當n=1時，13 + 23 + 33 = 36能被9整除，所以結論成立；(2)假設當n=k(k ni+, k1)時結論成立，即 k3+(k+1)3+(k+2)3 能被 9 整除.則當n=k+ 1時，(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3= k3+(k+1)3+(k+2)3 + ( k+3)3 k3= k3+(k+ 1)3+(k+ 2)3 +9k2+27k+27= k3+(k+ 1)3+(k+ 2) 3 + 9( k2+ 3k+ 3).因為k3+(k+1)3+(k+2)3能被9整除，9(k2+3k+3)也能被9整除，所以(k+1)3+(k + 2)3+(k + 3)3也能被9整除，

14、即n=k+1時結論也成立.由(2)知命題對一切 n n+成立.與正整數有關的整除性問題常用數學歸納法證明，證明的關鍵在于第二步中，根據歸納假設，將n=k+ 1時的式子進行增減項、倍數調整等變形，使之能與歸納假設聯系起來.再練一題4 .用數學歸納法證明 n3+5n能被6整除”的過程中，當 n= k+1時，對式子(k+1) + 5(k+1)應變形為.【解析】 由n=k成立推證n=k+1成立時必須用上歸納假設，(k+1)3 + 5(k+ 1) = (k3+5k) +3k(k+1) + 6.【答案】(k3+ 5k) + 3k(k+ 1) + 6構建體系1 .用數學歸納法證明“凸n邊形的內角和等于(n2

15、)?！睍r，歸納奠基中 n0的取值應為()a. 1b. 2c. 3d. 4文檔來源為：從網絡收集整理.word版本可編輯.歡迎下載支持.【解析】邊數最少的凸n邊形為三角形，故 no =3.【答案】 c n+ 2 1 a2.用數學歸納法證明1 + a+ a+ a =1 _ a (ncn+, awl),在驗證 n= 1成立時，左邊所得的項為()2a. 1b. 1 + a+ac. 1 + ad 1 + a+ a+ a【解析】 當n= 1時，n+ 1 = 2,故左邊所得的項為1+a+a2.【答案】 b3 .用數學歸納法證明關于 n的恒等式時，當n=k時，表達式為1x4+2x7+ k(3 k + 1)=k

16、(k+ 1)2,則當n=k+1時，表達式為 .【導學號：05410052】【解析】 當n=k+1時，應將表達式 1x4+2x7+ k(3k+1) = k(k+1)2中的k 更換為k+1.【答案】1x4+2x7+ k(3k+1)+(k+1)(3 k+4)=(k+1)( k+ 2)24 .以下是用數學歸納法證明 ncm時，2nn2”的過程，證明：(1)當n= 1時，21 12,不等式顯然成立.(2)假設當n=k(kc n)時不等式成立，即 2kk2.那么，當 n=k+1 時，2k+1 = 2x2 k=2k+2kk2+k2k2+2k+ 1 = (k+ 1)2.即當n=k+ 1時不等式也成立.根據(1

17、)和(2),可知對任何n n+不等式都成立.其中錯誤的步驟為 (填序號). 【解析】 在 2k+1 = 2x2k= 2k+2kk2+k2k2+2k+1 中用了 k22k+1,這是一個不 確定的結論.如 k=2時，k22k+1.【答案】(2)5 .用數學歸納法證明：對于任意正整數n, (n21)+2(n222) + n( n2- n2)=n2 n 1 n+ 1 .4一,2. ,1x1 1x1+1【證明】 (1)當 n= 1 時，左邊= 1 1=0, 右邊=4=0,所以等式成立.(2)假設當 n=k(k n)時等式成立，即(k2-1)+2(k2-22)+-+ k( k2-k2)卜2 k 1k+1=

18、4.那么當 n=k+ 1 時，有(k+1)2-1 + 2( k+1)222 + k ( k+1)2-k2 +(k + 1)( k+1)2 (k+1)2=(k21)+ 2(k222) +k(k2k2)+ (2k+1)(1+2+k)k2 k-1 k+14, k+ (2k+1)-k+12= ；k(k+1) k(k-1) +2(2k+ 1)= 4k(k+ 1)( k2+3k+2)k+1 2 k+1-1 k+1 +1一4.所以當n=k+1時等式成立.由(1)(2)知，對任意ncnu等式成立.我還有這些不足：(2)我的課下提升方案：(2)學業(yè)分層測評(建議用時：45分鐘)學業(yè)達標一、選擇題1. (2016

19、 廣州高二檢測)用數學歸納法證明3nn3(n3, n c m),第一步驗證(a. n=1b. n=2c. n = 3d. n=4【解析】由題知，n的最小值為3,所以第一步驗證 n= 3是否成立.【答案】c2.已知 f ( n)+ + 二，則()n n+1 n 2 na. f(n)共有 n項，當 n=2 時，f(2) = + 2 3b. f(n)共有 n+1 項，當 n = 2 時，f (2) =1+1 2 3 4c. f(n)共有 n2n 項，當 n=2 時，f (2) =； ；2 3d. f (n)共有 n2n+1 項，當 n=2 時，f (2) =；+；+； 2 3 4【解析】 結合f(n

20、)中各項的特征可知，分子均為n2的連續(xù)自然數共有n2n+1個，且f(2) =1 + ；+1 2 3 4【答案】d423.用數學歸納法證明1 + 2+3+ n2=n2,則當n=k+1(nc n+)時，等式左邊應在n=k的基礎上加上()a. k2+1.2b. (k+ 1)c.k+1 4+2k+ 1d. (k2+1) + (k2+2) + (k2+3) + + (k+1)2【解析】當n=k時，等式左邊=1+2+ k?,當n=k+1時，等式左邊=1+2+ k2+(k2+1) +-+ (k+1)2,故選 d.【答案】d4 .設f(x)是定義在正整數集上的函數，且f(x)滿足：“當f(k)k2成立時，總可

21、推出f(k+1) ( k+1)2成立，那么，下列命題總成立的是()a.若f(3) 9成立，則當kl時，均有f(k)k2成立b.若f (5) 25成立，則當k4時，均有f (k) k2成立c.若f(7)8時，均有f(k)4時，均為f (k) k2成立【解析】 對于a,若f(3) 9成立，由題意只可得出當 k3時，均有f(k)k2成立， 故a錯；對于b,若f(5) 25成立，則當k5時均有f(k)k2成立，故b錯；對于c,應 改為“若f49成立，則當k7時，均有f(k)k2成立.”【答案】d5 .已知命題1 + 2+22+-葉21=2“一1及其證明：(1)當n= 1時，左邊=1,右邊=21 1 =

22、 1,所以等式成立.(2)假設n=k(k1, kcn+)時等式成立，即 1 + 2 + 22+ 2kt = 2k1成立，則當nk+1= k+1 時，1 + 2+22+ 2匕1+2=二一丁 =2k+11,所以 n=k+1 時等式也成立.1 2由(1)(2)知，對任意的正整數 n等式都成立.判斷以上評述 ()a.命題、推理都正確b.命題正確、推理不正確c.命題不正確、推理正確d.命題、推理都不正確【解析】推理不正確，錯在證明 n= k+ 1時，沒有用到假設 n= k的結論，命題由等比數列求和公式知正確，故選b.【答案】 b二、填空題6.若 f(n) = 12+ 22 + 32+ (2 n)2,則

23、f( k+1)與 f (k)的遞推關系式是 .【導學號：05410053】【解析】, f(k) = 12+22+ (2k)2,f(k+1) = 12+22+ (2 k)2 + (2k+1)2+(2k+2)2,.f(k+ 1) -f (k) = (2 k+1)2+(2k + 2)2,即 f (k+ 1) =f (k) + (2k+1)2+(2k + 2)2.【答案】f (k+ 1) = f(k) +(2k+1)2+ (2 k+2)27 .用數學歸納法證明：+21 六,假設n=k時，不等式成立，23n+12n+2則當n=k+1時，應推證的目標不等式是 .【解析】 當門=卜+1時，目標不等式為： i

24、+i+-+一匚二2+一匚二2- 2 3k十ik十22 k十3+ j 2 + 21-123k+1 k+22k+ 3o oo ooo o n 2n2+18 .用數學歸納法證明 1 +2 + (n1) +n +(n1) + 2 +1 =時,3由n=k的假設到證明n=k+1時，等式左邊應添加的式子是 .【解析】 當 n= k 時，左邊=12+22+ (k1)2+k2+(k1)2+ 22+ 12.當 n = k+1 時，左邊=12+22+ + k2+(k+1)2+k2+(k 1)2+ 22 + 12,所以左邊添加的式子為(k+ 1)2+ k2.【答案】(k+1)2+k2三、解答題9 .用數學歸納法證明：

25、1+3+ (2n1) = n2(nc n).【證明】(1)當n=1時，左邊=1,右邊=1,等式成立.(2)假設當n=k(k1)時，等式成立，即 1+3+ (2k1) =k2,那么，當 n=k+1 時，1 + 3+ + (2 k 1)+ 2( k+1)-1 = k2+2( k+1) 1 = k2+2k + 1 = (k+1)2.這就是說，當n= k+1時等式成立.根據(1)和(2)可知等式對任意正整數 n都成立.1 1110.用數學歸納法證明：1十2+3十一,+ 2門_ 1 1).【證明】(1)當n=2時，左邊=1 + g+j,右邊=2,左邊 右邊，不等式成立.2 3(2)假設當n=k時，不等式

26、成立，即11,1, 1 ,1,2+ 3 + += +2k+= + +1 ,1 , 1 , 2k+1_1 k+ / 2 +k11x22kt11 k+ -2-= k + 1, 所1111+2+丁+e*則當n=k+1時，有1 +以當n=k+ 1時不等式成立.由(1)和(2)對，對于任意大于1的正整數n,不等式均成立.能力提升1 .用數學歸納法證明當n為正奇數時，xn+yn能被x + y整除，第二步歸納假設應寫成()a.假設n=2k+1(kcm)時正確，再推 n=2k + 3時正確b.假設n=2k-1(k nk)時正確，再推 n=2k+1時正確c.假設n=k(kc n+ )時正確，再推 n = k+1

27、時正確d.假設n=k(kc n+ )時正確，再推 n = k+2時正確【解析】:n為正奇數，在證明時，歸納假設應寫成：假設n=2k1(kc n+)時正確，再推出 n=2k+1時正確.故選 b.【答案】b2.對于不等式 .n2+nn+ 1(ncn+),某學生的證明過程如下：(1)當n=1時，t+ 1 w 1+1,不等式成立；(2)假設當 n=k(kcn+ )時，不等式成立，即.k2+k wk+1,則當 n=k+1時，kj_k+ 1 2+ k+ 1 - = /k2+3k+2. k2 + 3k+2k+2 =7kt2_2= (k+1) + 1,所以當n=k+1時，不等式成立.上述證法()a.過程全都正確b. n= 1驗證不正確c.歸