一致收斂性及應(yīng)用畢業(yè)論文

1、齊 齊 哈 爾 大 學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）題 目 一致收斂性及應(yīng)用學(xué) 院 理學(xué)院專業(yè)班級 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 數(shù)學(xué)092班學(xué)生姓名 黃曉杰指導(dǎo)教師 鄭大釗成 績 2013年 6月20日摘要 對函數(shù)列和函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的研究，是為了解決函數(shù)列的極限函數(shù)和函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)的分析性質(zhì)。本文利用定義來簡單的介紹一致收斂性，利用柯西一致收斂準(zhǔn)則，證明函數(shù)項級數(shù)一致收斂的判別法。通過研究定理當(dāng)中，函數(shù)列的一致收斂性、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性以及含參變量廣義積分的一致收斂性的一致收斂的充分必要條件、一般性質(zhì)和判別方法，對比出三者之間的聯(lián)系。通過例題，說明了一致收斂是和函數(shù)的充分分析性質(zhì)，而不是必要條件。由此

2、我們可以看出，在數(shù)學(xué)分析教學(xué)中，合理恰當(dāng)?shù)睦}會更好的展現(xiàn)出定理。關(guān)鍵詞：函數(shù)列；函數(shù)項級數(shù)；含參變量廣義積分；一致收斂abstractstudy the sequence of function and series of functions , is in order to solve the analysis of the nature about limiting function of sequence of functions, and function of the series of functions. using the definition of simple intro

3、duction to the uniform convergence. using the cauchy criterion of uniform convergence, prove discriminance of uniform convergence in series of functions. through the study of theorem, the necessary and sufficient condition for uniform convergence, general character and discriminant method in uniform

4、 convergence of function sequence, uniform convergence of function series and uniform convergence of generalized integral with parameters, contrast between the three contacts. through examples, instruction the uniform convergence is a full analysis of the nature in function, rather than a necessary

5、condition. from this we can see that, in the teaching of mathematics analysis, reasonable appropriate examples can show the theorem will be better.keyword: sequence of function；series of functions；generalized integral with parameters；uniform convergence目 錄摘要iabstractii緒論1第1章 函數(shù)列的一致收斂性2 1.1 函數(shù)列的一致收斂性

6、定義 1.2 函數(shù)列的一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì) 函數(shù)列一致收斂的判別法第2章 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性23 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定義25 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定理 一致收斂的充分必要條件 函數(shù)項級數(shù)一致收斂的性質(zhì) 一致收斂判別法 第3章 含參變量廣義積分的一致收斂性 含參變量廣義積分的一致收斂性定義 含參變量廣義積分的一致收斂性定理 一致收斂的性質(zhì) 一致收斂的判別法結(jié)論32參考文獻(xiàn)33致謝34緒論 本文從函數(shù)列、函數(shù)項級數(shù)、含參變量廣義積分三類的一致收斂性的定義出發(fā)，來研究一致收斂性的一系列定理及應(yīng)用。 函數(shù)列的極限來表示函數(shù)是函數(shù)表達(dá)的一種很重要的手段，

7、特別是表達(dá)非初等函數(shù)的重要的數(shù)學(xué)工具。所以，研究函數(shù)的解析性質(zhì)可以利用函數(shù)列的解析性質(zhì)，而函數(shù)列的一致收斂性是我們學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)中的一個比較精細(xì)的概念，對于初學(xué)者，本文給出了詳細(xì)的解析。一致收斂是保證和函數(shù)連續(xù)的重要條件，它也是保證和函數(shù)可積和可微的重要條件。函數(shù)項級數(shù)又是研究函數(shù)性質(zhì)的一個很重要的手段。因此，在自然科學(xué)、工程技術(shù)和數(shù)學(xué)本身，函數(shù)項級數(shù)都有很廣泛的應(yīng)用。同樣的，我們討論含參變量廣義積分的分析性質(zhì)，一致收斂也發(fā)揮著重要作用。在數(shù)學(xué)分析發(fā)展迅速的今天，越來越多的數(shù)學(xué)教育工作者開始研究一致收斂性，并且取得了豐碩的成果。2006年馬雪雅、齊曉波的函數(shù)列的收斂與一致收斂中，用函數(shù)列的收斂

8、與一致收斂關(guān)系討論數(shù)學(xué)分析中的收斂問題；2010年陳妙玲的函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法將數(shù)項級數(shù)收斂的一些判別法推廣到判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂上來；2003年王秀紅的含參變量廣義積分一致收斂heine定理當(dāng)中，從二元函數(shù)一致極限的角度出發(fā)，給出了含參變量廣義積分的一致收斂的heine定理的證明及應(yīng)用。對這些性質(zhì)的理解與歸納，主要通過與之相關(guān)的圖書、電子期刊以及所學(xué)知識歸納總結(jié)得到，本文的重點(diǎn)是一致收斂性的判別方法，并運(yùn)用這些方法解決常見的數(shù)學(xué)問題。第1章 函數(shù)列的一致收斂性 函數(shù)列的一致收斂性，表現(xiàn)了函數(shù)列在整個點(diǎn)集上的整體性質(zhì)。1.1 函數(shù)列的一致收斂性定義 定義 設(shè)函數(shù)列與函數(shù)均定義在點(diǎn)集x上

9、，若對0，都存在自然數(shù)n和xx，恒有成立，則稱函數(shù)列在點(diǎn)集x上一致收斂于。 從定義中可以知道，如果函數(shù)列在點(diǎn)集x上一致收斂于，那么在點(diǎn)集x上收斂于。定義 設(shè)函數(shù)序列的每個函數(shù)及函數(shù)定義在上，如果對任給的，存在自然數(shù)n，使得時，對一切成立 ，則稱在上一致收斂于。函數(shù)序列在上一致收斂于，從幾何上來講：對任給的，存在自然數(shù)n，使得nn時，曲線都落在以曲線與為邊（也就是以曲線為“中心線”，寬度為）的帶形區(qū)域內(nèi)。定義 設(shè)函數(shù)列在區(qū)間收斂于極限函數(shù)，若，有。則稱函數(shù)列在區(qū)間一致收斂于極限函數(shù)。1.2函數(shù)列的一致收斂性定理1.2.1一致收斂的充分必要條件定理 在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是。證明：充分性

10、，自然數(shù),當(dāng)時，恒有成立，故對于任何的，都有成立，根據(jù)定義，在上一致收斂于。必要性，由于在上一致收斂于，故存在自然數(shù),當(dāng) 時，都有成立，因此有成立，依據(jù)定義。定理 在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是對任意數(shù)列，都有。證明：必要性任取,則對任意自然數(shù)，都有成立，又由已知定理1，再依據(jù)數(shù)列極限的性質(zhì)，可知充分性（反證法）假設(shè)在上不一致收斂于，即存在，對任意自然數(shù),都存在和,使成立，對于，存在，和，使成立，對于存在和，使成立，對于，存在和，使成立，現(xiàn)在取，使得。于是，對任意自然數(shù)k，均有成立。由此可以知道，不收斂于0，而它是的子列，根據(jù)數(shù)列與其子列的關(guān)系定理，不收斂于0，這與已知相矛盾。定理 在點(diǎn)集

11、上一致收斂的充分必要條件是對任意，都存在自然數(shù)，當(dāng)時，恒有成立。證明：先證必要性 對任意，因為在上一致收斂，不妨設(shè)收斂于，于是，存在自然數(shù)，當(dāng)時，恒有成立。因此，當(dāng)和時，恒有成立，所以，恒有成立。再證充分性對于任意，由已知，存在自然數(shù)，當(dāng)時，恒有成立。于是，對于任一，當(dāng)時，恒有成立，根據(jù)柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列收斂，那么，函數(shù)列在上收斂，不妨設(shè)收斂于。因此，對任意自然數(shù)和，都有，根據(jù)數(shù)列極限的性質(zhì)，存在自然數(shù)，當(dāng)，和時，對任意自然數(shù)，都有成立。1.2.2 函數(shù)列一致收斂的性質(zhì)定理 設(shè)與在點(diǎn)集上分別一致收斂于與，則在上一致收斂于。定理 設(shè)與在點(diǎn)集上分別一致收斂于與，且與均在上有界，則在上一致收斂于，且

12、在上有界。定理設(shè)在點(diǎn)集上一致收斂于，又在有界，則在上一致收斂于。例如，在內(nèi)一致收斂于，而在內(nèi)有界，根據(jù)定理5，在內(nèi)一致收斂于。并且，本定理當(dāng)中的在上有界，也是不能缺少的。定理 設(shè)在點(diǎn)集上一致收斂于0，又在上往后一致有界，則函數(shù)列在上一致收斂于0.定理設(shè)與在上分別一致收斂于與，且在上有界，又存在，使對任意，都有成立，則在上一致收斂于，且在上有界。例3 試證在內(nèi)一致收斂于。證明：因為與在內(nèi)分別一致收斂于與，又有界，且，依據(jù)定理，在內(nèi)一致收斂于。在定理當(dāng)中的在上有界，以及存在，使對任意，都有成立，全都是不可缺少的。定理設(shè)存在，使在內(nèi)一致收斂于，又存在自然數(shù)，使對任意，都有，則，即，說明極限號與可以交

13、換次序。推論 設(shè)存在，使在內(nèi)一致收斂于，又存在自然數(shù)，使對任意，都有，則，即，說明極限號與可以交換次序。定理設(shè)在有限區(qū)間上一致收斂于，又存在自然數(shù)。當(dāng)，對任，均在上可積，那么，即說明積分號與極限號可以交換次序。定理設(shè)存在自然數(shù)。當(dāng)，函數(shù)均在有限區(qū)間上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)列在是那個收斂于，在上一致收斂于，則在上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，即，說明求導(dǎo)數(shù)號與極限號可以交換次序。又在上一致收斂于。 注（ 前面介紹的函數(shù)列的一致收斂性的充分必要條件、性質(zhì)，都能夠作為判定函數(shù)列的一致收斂性的方法，有的可以判定函數(shù)列的一致收斂性，有的可以判定函數(shù)列的非一致收斂性，有的兩種都可以判斷。）1.2.3一致收斂的判別法在本節(jié)當(dāng)中

14、，判別法只是對函數(shù)列的一致收斂性的補(bǔ)充。定理設(shè)函數(shù)列在上收斂于，且在上連續(xù)，又存在自然數(shù)，使時，對任意，都有（或）成立，且都在上連續(xù)，則在上一致收斂于。定理 若存在自然數(shù)n，當(dāng)時，都在左（或右）連續(xù)，又不存在，則對任意，在（或）內(nèi)都不一致收斂。定理（dini定理）設(shè)是一有界閉區(qū)間，連續(xù)函數(shù)且滿足下列條件：1）函數(shù)序列是單調(diào)的，即，；2）函數(shù)序列在上逐點(diǎn)收斂于一連續(xù)函數(shù)，那么，函數(shù)序列在是一致收斂于函數(shù)。在之后的函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性與含參變量廣義積分的一致收斂性的判別法當(dāng)中，它也是一個很重要的定理。第2章 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性2.1 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定義定義 設(shè)函數(shù)級數(shù)的部分和函數(shù)列在

15、點(diǎn)集上收斂于，即對任意和，都存在自然數(shù)，當(dāng)時，恒有成立，則稱函數(shù)級數(shù)在點(diǎn)集上收斂于，稱為函數(shù)級數(shù)在上的和函數(shù)。定義設(shè)函數(shù)級數(shù)的部分和函數(shù)列在點(diǎn)集上一致收斂于，即對任意，都存在自然數(shù)，當(dāng)和時，恒有成立，則稱函數(shù)級數(shù)在點(diǎn)集上一致收斂于。由定義我們可以知道，若函數(shù)級數(shù)在點(diǎn)集上一致收斂于，則在上收斂于。還有，若級數(shù)收斂于，則當(dāng)把它看作是函數(shù)級數(shù)時，在任意點(diǎn)集上都一致收斂于。定義 設(shè)函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間收斂于和函數(shù)。若，有。若和函數(shù)在區(qū)間的圖像是一條連續(xù)的曲線，那么函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂于和函數(shù)的幾何意義是，無論給定的以曲線與為邊界的帶形區(qū)域怎樣窄，總存在正整數(shù)，任意一個部分和的圖像都位于這個帶形區(qū)域之內(nèi)

16、。2.2 函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定理2.2.1 一致收斂的充分必要條件定理 在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是。例1 研究在上和內(nèi)的一致收斂性。解 顯然在內(nèi)收斂于。 = = =0，=1定理 在點(diǎn)集上一致收斂于的充分必要條件是對任意數(shù)列，都有。例2 試證在內(nèi)不一致收斂。證明：顯然在內(nèi)收斂于。 現(xiàn)在取，則 ， 依據(jù)定理2，在內(nèi)不一致收斂。定理 在點(diǎn)集上一致收斂的充分必要條件是對任意，都存在自然數(shù)，當(dāng)和是，對任意自然數(shù)，都有 = =成立。推論：設(shè)在點(diǎn)集上一直收斂，則在上一致收斂于0.例3 試讓在內(nèi)不一致收斂。證明：顯然在內(nèi)收斂于。取，則，根據(jù)定理2，在內(nèi)不一致收斂。再根據(jù)本推論，在內(nèi)不一致收斂。2.

17、2.2函數(shù)項級數(shù)一致收斂的性質(zhì)定理 設(shè)級數(shù)在的某個空心領(lǐng)域里一致收斂，則收斂，且。此定理也可以稱為逐項取極限定理。定理 假定函數(shù)在區(qū)間里單調(diào)增加，并且，又假定在里逐點(diǎn)收斂，并且有上界，那么在里一致收斂，并且。這是函數(shù)項級數(shù)一致收斂的一般性質(zhì)，下面本文給出和函數(shù)的分析性質(zhì)。a 和函數(shù)的連續(xù)性定理 若函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂于和函數(shù)，且，在區(qū)間連續(xù)，則和函數(shù)在區(qū)間也連續(xù)。 和函數(shù)的連續(xù)性定理還有三種敘述方式，在定理6中，可以得出，在函數(shù)級數(shù)一致收斂的條件下，極限運(yùn)算與和運(yùn)算可以交換順序。b 和函數(shù)的可微性與逐項求導(dǎo) 如果要證明在區(qū)間上可微，且可以逐項求導(dǎo)，即在上， ，只需要證明三條就可以了：1）

18、級數(shù)在上收斂；2） 在上有連續(xù)導(dǎo)數(shù)；3） 在上一致收斂。注：逐項求導(dǎo)的定理中的條件，只是充分條件，在條件不滿足時，也可以利用導(dǎo)數(shù)的定義證明和函數(shù)的可微性。c 逐項積分與積分號下取極限定理 若函數(shù)項級數(shù)在一致收斂于和函數(shù)，且，在連續(xù)，則和函數(shù)在可積，且。從上述當(dāng)中的三個定理，可以了解到收斂的和函數(shù)在一致收斂的條件下，若收斂的函數(shù)項級數(shù)每一項都有分析性質(zhì)，那么，和函數(shù)也有同樣的分析性質(zhì)，但是，一致收斂不是和函數(shù)保持同樣分析性質(zhì)的必要條件。定理 設(shè)與在點(diǎn)集上分別一致收斂于與，則在上一致收斂于。定理 設(shè)在點(diǎn)集上一致收斂于，在上有界，則在上一致收斂于。2.2.3一致收斂判別法判別函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性，

19、通常有以下幾種方法：利用定義；利用cauchy準(zhǔn)則；利用常用的幾種判別法；利用一致有界與等度連續(xù)等。定理 （cauchy一致收斂準(zhǔn)則）函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂,有。例4 證明函數(shù)項級數(shù)在上非一致收斂。證明：只需要證明它的通項 在上非一致收斂于0，即，有。 于是，函數(shù)項級數(shù)在上非一致收斂。定理（m判別法）（weierstrass判別法）有函數(shù)項級數(shù)，是區(qū)間。若存在收斂的正項級數(shù)，有，則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。定理（de lickley判別法） 若級數(shù)滿足下面的條件：1) 函數(shù)列對每個是單調(diào)的，且在區(qū)間一致收斂于；2) 函數(shù)項級數(shù)的部分和函數(shù)列在區(qū)間一致有界。則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。定理（a

20、bel判別法）若級數(shù)滿足下面兩個條件：1） 函數(shù)列對每個是單調(diào)的，且在區(qū)間一致有界；2） 函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。則函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂。定理（dini定理）設(shè)每個在有窮閉區(qū)間上連續(xù)而且非頁，若在處處收斂于連續(xù)函數(shù)，則在閉區(qū)間上一致收斂。 根據(jù)函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性定義和定理，我們總結(jié)出函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性與非一致收斂性的區(qū)別（表2-1）： 表2-1函數(shù)項級數(shù)在區(qū)間一致收斂于有非一致收斂于有第3章 含參變量廣義積分的一致收斂性3.1.含參變量廣義積分的一致收斂性定義定義 若當(dāng)時，對一致收斂，則稱積分對一致收斂。3.2含參變量廣義積分的一致收斂性定理3.2.1一致收斂的性質(zhì)定理（連續(xù)性定

21、理）設(shè)在，連續(xù)，積分對一致收斂，則。定理（積分順序交換定理）設(shè)在，連續(xù)，積分對一致連續(xù)，則。定理（積分號下求導(dǎo)數(shù)定理） 設(shè)，在，連續(xù)，存在，對一致收斂，則在有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且。例1 求。解1：令 ，則 = =于是令，得 ，。因此 。 運(yùn)用此方法需要滿足以下三個條件：1） 被積函數(shù)及其對的偏導(dǎo)數(shù)作為，的二元函數(shù)在，連續(xù)；2） 當(dāng)時收斂；3） 對于任給的，時一致收斂。解2 由于，所以 = = =運(yùn)用此方法需滿足兩個條件：1）對任意，連續(xù)；2），積分對一致收斂。3.2.2一致收斂的判別法定理（m判別法） 設(shè)任意，有，且收斂，則對一致收斂。定理 設(shè)（1）對一致收斂； （2）對任意固定的是的單調(diào)函數(shù)，存在常

22、數(shù)，對任意，有。則積分對一致收斂。定理 設(shè)（1）存在正常數(shù)，對任意，有；（2）對任意固定的，是的單調(diào)函數(shù)，時，對有，則積分對一致收斂。定理 對一致收斂的充分必要條件是：任給，存在，（與無關(guān)），只要，就有對任意成立。注：此定理不僅可以判別積分是否收斂，還是判別積分一致收斂的充要條件的定理。在判定含參變量廣義積分的一致收斂性當(dāng)中，還有wells dreas定理、heine定理等。定理8 含參變量廣義積分在區(qū)間上一致收斂和，都有。結(jié)論在數(shù)學(xué)分析當(dāng)中，我們把按照一定規(guī)律排成的一列函數(shù)，叫做函數(shù)列。那么，函數(shù)項級數(shù)也就是一列無限個函數(shù)的求和。它們之間的關(guān)系可以這樣敘述：對函數(shù)列的求和，就變成了函數(shù)項級數(shù)

23、；而把函數(shù)項級數(shù)的每一項都拿出來，而組成的一組函數(shù)，就是函數(shù)列。函數(shù)項級數(shù)與含參變量廣義積分之間的橋梁是heine定理，此外，在判別法上也有很多相同的判別法。比如：weierstrass判別法、abel判別法、m判別法、de lickley判別法等。本文主要從函數(shù)列的一致收斂性、函數(shù)項級數(shù)的一致收斂性、含參變量廣義積分的一致收斂性進(jìn)行研究，討論它們的定義、性質(zhì)、判別法等，進(jìn)而給出了證明和例題，最后討論了它們之間的聯(lián)系由于本人知識有限，在本文當(dāng)中仍有許多不足和遺漏之處，例如，三者之間的區(qū)別等或其它方面仍有待進(jìn)一步發(fā)掘。參考文獻(xiàn)呂通慶. 一致連續(xù)與一致收斂（第一版）.北京:人民教育出版社.廖可人,

24、李正元.數(shù)學(xué)分析.(第三冊)(第一版).北京:高等教育出版社.裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法.北京：高等教育出版社,宋國柱，任國賢.數(shù)學(xué)分析教程下冊(第一版) .南京: 南京大學(xué)出版社,劉玉璉，林玎.數(shù)學(xué)分析講義(第五版) .北京:高等教育出版社歐陽光中.簡明數(shù)學(xué)分析(第一版) .上海:復(fù)旦大學(xué)出版郭大鈞，陳玉妹，裘卓明.數(shù)學(xué)分析.濟(jì)南:山東科學(xué)技術(shù)出版社金瑋.函數(shù)列一致收斂的判定方法.甘肅聯(lián)合大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）劉秀梅.一類函數(shù)列一致收斂性的研究.赤峰學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）毛一波.函數(shù)項級數(shù)一致收斂性的判定.重慶文理學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）陳妙玲.函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法.長春理工大學(xué)學(xué)

25、報王秀紅.含參變量廣義積分一致收斂的heine定理.煙臺師范學(xué)院學(xué)報（自然科學(xué)版）趙文強(qiáng).關(guān)于含參量廣義積分一致收斂性的教學(xué)研究.重慶工商大學(xué)學(xué)報（自然科學(xué)版）.haitao cai . uniform convergence of sequence of homomorphism functions in the unite disk. complex variables and elliptic equations,2002,vol.47(1),pp.17-23. e. w. chittenden relatively uniform convergence of sequences of

26、 functions. transactions of the american mathematical society,1914,vol.15(2),pp.197-201.j. klippert , g. williams. uniform convergence of a sequence of functions at a point . international journal of mathematical education in science and technology,2002,vol.33(1),pp.51-58.k.tandori. on convergence o

27、f function series.analysis mathematic,1975,vol.1(1)致謝在論文即將完成之際，首先，我要感謝我的論文指導(dǎo)老師鄭大釗老師，在搜集資料、整理寫作、修改定稿中得到了鄭大釗老師的悉心幫助與指導(dǎo)。雖然我的論文初稿還有很多欠缺的地方，鄭大釗老師仍細(xì)心幫助我改正，對于不懂的知識也是耐心的指導(dǎo)。通過這一段時間的接觸，使我受益匪淺。同時，也要感謝幫助我的同學(xué)和朋友?？傊?，順利的完成論文，得益于老師、同學(xué)、朋友的無私幫助和鼓舞。在此，感謝老師、同學(xué)、朋友的幫助。內(nèi)部資料僅供參考9jwkffwvg#tym*jg&6a*cz7h$dq8kqqfhvzfedswsyxty

28、#&qa9wkxfyeq!djs#xuyup2knxprwxma&ue9aqgn8xp$r#͑gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxy7jnd6ywrrwwcvr9cpbk!zn%mz849gxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum>xrm6x4ngpp$vstt#&ksv*3tngk8!z89amywpazadnu#kn&muwfa5uxgjqv$ue9wewz#qcue%&qypeh5pdx2zvkum

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