三角函數(shù)最值問題的探究

1、三角函數(shù)最值問題探究 2008-10-8三角函數(shù)的值域和最值是三角函數(shù)的重要性質(zhì)之一，也是學(xué)習(xí)中的難點(diǎn)之一.求三角函數(shù)的值域和最值，所涉及三角函數(shù)的所有知識(shí)外，還與二次函數(shù)、不等式等其他重要知識(shí)點(diǎn)有密切的聯(lián)系，是歷年高考考查的熱點(diǎn)。本文對三角函數(shù)求值域（最值）的幾種常用類型略作歸納，供同學(xué)們參考。1型設(shè)化為一次函數(shù)在閉區(qū)間上最值求之。例1 求函數(shù)的最值解 令，則原式化為，得，故2型引進(jìn)輔助角，化為，再利用正弦、余弦的有界解之例2 當(dāng)，求函數(shù)的最值解 ，設(shè)，即，由的圖象知，當(dāng)時(shí)，有最小值，；當(dāng)時(shí)，有最大值1，故；3型設(shè)，化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之例3 求函數(shù)的值域解 原式化為令，則，由二次

2、函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，4型函數(shù) 此類函數(shù)可先降次，整理再化為類型2：求的最大值、最小值。 例4 求 的最大值. 解 當(dāng)時(shí)，y取得最大5型函數(shù)設(shè)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求之例5 求函數(shù)的最值解 原式化為，則令，則，且，故，所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。6型反解出，由正弦函數(shù)的有界性；或可用分析法求最值例6 求函數(shù)求最值解法一：利用求反函數(shù)法解出，由，解得，故；解法二：利用“部分分式”分析法，原式化為，再由，解得，故7型化歸為型解或用數(shù)形結(jié)合法（常用到直線斜率的幾何意義）例7 求函數(shù)的最大值及最小值解法一： 原式可化為，化為，即，由得，解得，故yp(-2,0)x解法二：函數(shù)的幾何意義為兩點(diǎn)，連線的斜

3、率，而點(diǎn)的軌跡為單位圓，如圖可知，故8型例8 求函數(shù)的最小值。解：令，則，利用函數(shù)型的單調(diào)性得，函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，最小值為5。由以上幾種形式歸納出解三角函數(shù)最值問題的基本方法：一是用正余弦函數(shù)的有界性求解，二是利用二次函數(shù)閉區(qū)間內(nèi)最大值、最小值方法。此外，還可以利用重要的不等式公式或數(shù)形結(jié)合的方法來解決。附:2008年三角函數(shù)最值問題1.（湖南卷6）函數(shù)在區(qū)間上的最大值是( c )a.1 b. c. d.1+2.（重慶卷10)函數(shù)f(x)=() 的值域是b（a）-(b)-1,0 （c）-（d）-3.（上海卷6）函數(shù)f(x)sin x +sin(+x)的最大值是 24.（遼寧卷16

4、）已知，且在區(qū)間有最小值，無最大值，則_5.（全國一17）（本小題滿分10分）（注意：在試題卷上作答無效）設(shè)的內(nèi)角所對的邊長分別為，且（）求的值；（）求的最大值解析：（）在中，由正弦定理及可得即，則；（）由得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故當(dāng)時(shí)，的最大值為.6.（北京卷15）（本小題共13分）已知函數(shù)（）的最小正周期為（）求的值；（）求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍解：（）因?yàn)楹瘮?shù)的最小正周期為，且，所以，解得（）由（）得因?yàn)椋?，所以，因此，即的取值范圍?.（四川卷17）（本小題滿分12分）求函數(shù)的最大值與最小值?！窘狻浚河捎诤瘮?shù)在中的最大值為 最小值為 故當(dāng)時(shí)取得最大值，當(dāng)時(shí)取得最小值8.（天津卷17

5、）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）的最小值正周期是（）求的值；（）求函數(shù)的最大值，并且求使取得最大值的的集合（17）本小題主要考查特殊角三角函數(shù)值、兩角和的正弦、二倍角的正弦與余弦、函數(shù)的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查基本運(yùn)算能力滿分12分（）解： 由題設(shè)，函數(shù)的最小正周期是，可得，所以（）由（）知，當(dāng)，即時(shí)，取得最大值1，所以函數(shù)的最大值是，此時(shí)的集合為9.（安徽卷17）（本小題滿分12分）已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期和圖象的對稱軸方程（）求函數(shù)在區(qū)間上的值域解：（1） 由函數(shù)圖象的對稱軸方程為 （2）因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以 當(dāng)時(shí)，取最大值 1又 ，當(dāng)時(shí)，取最小值所以 函數(shù) 在區(qū)間上的值域?yàn)?0.（湖北卷16）.已知函數(shù)（）將函數(shù)化簡成（，）的形式；（）求函數(shù)的值域.本小題主要考查函數(shù)的定義域、值域和三角函數(shù)的性質(zhì)等基本知識(shí)，考查三角恒等變換、代數(shù)式的化簡變形和運(yùn)算能力.（滿分12分）解：（）（）由得在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，又（當(dāng)），即故g(x)的值域?yàn)?1.（陜西卷17）（本